حل معادلت الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربعحل معادلت الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع

خطوات الحلفي طرف) المطلق( نجعل الحد الثابت : أوًل

والمتغيرات في الطرف الخر وذلك بالقسمة عليه = 1 2نجعل معامل س:ثانيًا .

نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين: ثالثًا

2 ) ثابت+ س ( نحلل الطرف اليمن كمقدار ثلثي مربع كامل على صورة : رابعًا

نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان : خامسًا .

نكمل حل المعادلتين كًل على حده فنحصل على حلين :سادسًا

صفر= ج + ب س 2 + أ س: الصورة العامة لها هي

1) مثال بطريقة ( الية ت ل ا المعادلة حل جدالمربع إكمال

2 24س + – = س صفر 16 16 بإضافة للطرفين+ 2 24س + 16 س =

س معامل على 2 وهو 2بالقسمة

22س + 8 س =

س 2 معامل =1 مربعه =1 نصفه =

للطرفين 1 بإضافة 22س + 1س + 8 =1 +

صورة على اليمن الطرف 2)ب + س ( نكتب

( )س 1 +2 9 =

ا ن ل ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذهما معادلتان

( ( )س س 1 +( 1 +229 = 9 =

+ 1 = 3 + 1 = 3 س س

للطرفين للطرفين -1 -1 بإضافة بإضافة

= 2 = 2 س س أو أو

+ 1 = -3 + 1 = -3 س س

للطرفين للطرفين -1 -1 بإضافة بإضافة

= -4 = -4 س س

-4}-4}، ، : { 2 : { 2 مجموعة الحل مجموعة الحل

2) مثال مثال ) (2 الية ( ت ل ا المعادلة حل الية جد ت ل ا المعادلة حل جدالمربع إكمال المربع بطريقة إكمال بطريقة

228سس - 8 - = س س 15 + = 15 صفرصفر+

15 بإضافة بإضافة - 15 للطرفينللطرفين-228سس - 8 - 15 س س - = 15 - =

س س معامل 8 معامل - = 8 - 4 نصفه نصفه = - = 4 - مربعهمربعه= 16 =16 =

228سس - 8 - 16 س س + 15 - = 16 + 16 + 15 - = 16 +

صورة على اليمن الطرف صورة نكتب على اليمن الطرف نكتب22))ب ب + + س س ( (

( ( )س س 4 -( 4 -22 16 + 15 - = 16 + 15 - =

( ( )س س 4 -( 4 -221 = 1 =

ا ن ل ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر ا بأخذ ن ل ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذهما هما معادلتان معادلتان

4 = 1 4 = 1 س – س –

للطرفين للطرفين +4 +4 بإضافة بإضافة

= 5 = 5 س س أو أو

4 = - 1 4 = - 1 س – س –

للطرفين للطرفين +4 +4 بإضافة بإضافة

= 3 = 3 س س

3 } 3 } ، ، = { 5 = { 5 مجموعة الحل مجموعة الحل

3) مثال مثال ) (3 الية ( ت ل ا المعادلة حل الية جد ت ل ا المعادلة حل جدالمربع إكمال المربع بطريقة إكمال بطريقة

224سس - 4 - 12س س =12 =

س س معامل 4 معامل - = 4 - 2نصفه نصفه = - =2 - =4مربعه مربعه =4 =

224سس - 4 - 4س س + 12 = 4 +4 + 12 = 4 +صورة على اليمن الطرف صورة نكتب على اليمن الطرف نكتب

22))ب ب + + س س ( (

( ( )س س 2 -( 2 -22 4 + 12 =4 + 12 =

( ( )س س 2 -( 2 -22 16 =16 =ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر ينتج بأخذ للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذ

هما معادلتان هما لنا معادلتان لنا

- 2 = 4 - 2 = 4 س س للطرفين للطرفين + 2 + 2 بإضافة بإضافة

= 6 = 6 س س أو أو

- 2 = -4 - 2 = -4 س س للطرفين للطرفين + 2 + 2 بإضافة بإضافة

= -2= -2س س -2 }-2 }، ، = { 6 = { 6 مجموعة الحل مجموعة الحل

بطريقة :تطبيق الية ت ل ا المعادلة حل جدالمربع إكمال

4 216س - = س 12 صفر+

12 بإضافة للطرفين- 4 216س - 12س - =

س معامل على 4 وهو 2بالقسمة

24س - 3 س - =

س 4 معامل - 2 نصفه = - 4مربعه = =

24س - 4س + 3 - = 4 +

صورة على اليمن الطرف +س ( نكتب2)ب

( )س 2 -2 1 =

ا ن ل نتج ي للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذهما معادلتان

- 2 = 1 - 2 = 1 س س

للطرفين للطرفين + 2 + 2 بإضافة بإضافة

= 3 = 3 س س

أو أو

- 2 = -1 - 2 = -1 س س

للطرفين للطرفين + 2 + 2 بإضافة بإضافة

= 1= 1س س

1 }1 }، ، = { 3 = { 3 مجموعة الحل مجموعة الحل

الية: : تطبيق تطبيق ت ل ا اليةجد حل المعادلة ت ل ا جد حل المعادلة

بطريقة إكمال المربعبطريقة إكمال المربع 33 2212سس + 12 + = س س 12 + = 12 صفر صفر +

12 بإضافة بإضافة - 12 للطرفينللطرفين- 33 2212سس + 12 + 12س س - =12 - =

س معامل على س بالقسمة معامل على 3 3 وهو وهو 22بالقسمة224سس + 4 + 4س س - =4 - =

س س معامل 4 معامل = 4 2 نصفه نصفه = = 2 ==مربعه مربعه = 4 4

224سس + 4 + 4 س س + 4 - = 4 + 4 + 4 - = 4 +صورة على اليمن الطرف صورة نكتب على اليمن الطرف نكتب

22))ب ب + + س س ( ( ( ( )س س 2 +( 2 +22 = = صفر صفر

ا ن ل نتج ي للطرفين لتربيعي ا الجذر ا بأخذ ن ل نتج ي للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذهما هما معادلتان معادلتان

صفر + 2 = س

للطرفين + 2 بإضافة

= -2 س = { -2 }مجموعة الحل

المعادلة السابقة لها حلن متشابهان : ملحظة

ويكتفى بكتابة حل واحد فقط 2و –-2 هما . (لماذا ؟ )

إكمال ::تطبيق تطبيق بطريقة الية ت ل ا المعادلة حل إكمال جد بطريقة الية ت ل ا المعادلة حل جدالمربعالمربع

22 2212سس - 12 - = س س 2 0 + = 2 0 صفر صفر + 2 بإضافة بإضافة 0 - 2 0 للطرفينللطرفين- 22 2212سس - 12 - 2س س 0 - =2 0 - =

س معامل على س بالقسمة معامل على 2 2 وهو وهو 22بالقسمة

226سس - 6 - 10 س س - = 10 - =

س س معامل 6 معامل - = 6 - 3 نصفه نصفه = - = 3 - 9 مربعه مربعه = = 9 =

226سس - 6 - 9 س س + 10 - = 9 + 9 + 10 - = 9 +

صورة على اليمن الطرف صورة نكتب على اليمن الطرف 22))ب ب + + س س ( ( نكتب

( ( )س س 3 -( 3 -22 1 - = 1 - =

أن لنا ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر أن بأخذ لنا ينتج للطرفين لتربيعي ا الجذر بأخذالحل مستحيلة الحل المعادلة مستحيلة المعادلة