Το τρίγωνο του Πασκάλ

Παρατηρήστε πως αναπτύσσετε το μοτίβο. Συμπληρώστε τις κενές γραμμές.

Παρατηρείτε κάποια κανονικότητα στο άθροισμα των αριθμών στις γραμμές;

Το άθροισμα στις γραμμές είναι ίσο με δυνάμεις του 2.

Επαναλαμβάνονται κάποιοι αριθμοί; Ποιοι είναι αυτοί;

Απάντηση 1

Μπορείτε να δείτε κάποιο μοτίβο στους διαγώνιους αριθμούς;

Απάντηση 2

Οι δυνάμεις του 11

110 = 1111 = 11112 = 121113 = 1331114 = 14641115 = 161051116 = 1771561117 = 19487171

Οι δυνάμεις του 11 μπορούν να εξαχθούν από το τρίγωνο του Πασκάλ διαβάζοντας τις γραμμές και θεωρώντας τους αριθμούς ως ψηφία ενός θεσιακού συστήματος. Μέχρι την 4η σειρά οι αριθμοί είναι οι ίδιοι με τις αντίστοιχες δυνάμεις του 11. Από την 5η σειρά και κάτω είναι λίγο πιο πολύπλοκο για να φανεί γιατί ένας διψήφιος αριθμός από το 10 και πάνω δεν μπορεί να καταλαμβάνει μια θέση στο θεσιακό σύστημα.

1

1 1 11 Γραμ 1

1 2 1 121 Γραμ 2

1 3 3 1 1331 Γραμ 3

1 4 6 4 1 14641 Γραμ 4

1 5 10 10 5 1 161051 Γραμ 5

1 6 15 20 15 6 1 1771561 Γραμ 6

1 7 21 35 35 21 7 1 19487171 Γραμ 7

1 8 28 56 70 56 28 8 1 Γραμ 8

Για την 5η σειρά μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής:

1x105+5x104+10x103+10x102+5x101+1x100 =

100.000+50.000+10.000+1.000+50+1=161.051

Για την 6η σειρά έχουμε:

1 6 15 20 15 6 1 Γραμ 6

1 7(6+1) 7(5+2) 1(0+1) 5 6 1 1771561

Οι αριθμοί Fibonacci Στη σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) κάθε όρος

προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13=8+5, κτλ.

Για να βρεθούν οι αριθμοί Fibonacci πάνω στο τρίγωνο του Πασκάλ παίρνουμε το άθροισμα των αριθμών πάνω στις πλάγιες διαγώνιες όπως φαίνεται στο σχήμα.

Blaise Pascal 1623 - 1662O Blaise Pascal ήταν Γάλλος μαθηματικός, φυσικός

και θρησκευτικός φιλόσοφος που συνέβαλε στην ανάπτυξη πολλών περιοχών των μαθηματικών. Δούλεψε στις Κωνικές Τομές στην Προβολική Γεωμετρία και σε συνεργασία με τον Fermat βοήθησε στη θεμελίωση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Διατύπωσε αυτό που ονομάζουμε νόμο του Pascal στην πίεση και διέδωσε ένα θρησκευτικό δόγμα που δίδαξε την εμπειρία του Θεού μέσω της καρδιάς παρά μέσω του λόγου.

Μεταξύ 1642 και 1644, ο Πασκάλ συνέλαβε και κατασκεύασε μια συσκευή υπολογισμού (Pascaline) για να βοηθήσει τον πατέρα του —που το 1639 ήταν τοπικός διοικητής στο Ρουέν — στους φορολογικούς υπολογισμούς του. Ήταν ο πρώτος ψηφιακός υπολογιστής δεδομένου ότι λειτούργησε με τον υπολογισμό των ακέραιων αριθμών.

Διευθύνση στο Ιντερνετ για το τρίγωνο του Pascal

http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/index.html

Περιέχει πολλά στοιχεία για το τρίγωνο του Pascal. Δείχνει πως εντάσσεται στο αναλυτικό πρόγραμμα. Δραστηριότητες κατά μαθησιακό επίπεδο. Ιστορικά στοιχεία.