Φύλλο εργασίας

Ονοματεπώνυμο μαθητών 1………………………………………………….

2…………………………………………………..

Ακολουθίες

Ορισμός: Ακολουθία λέγεται κάθε συνάρτηση, η οποία έχει πεδίο ορισμού το σύνολο των

φυσικών αριθμών Ν (χωρίς το μηδέν).

Μια ακολουθία συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα α όπου κάτω δεξιά βάζουμε τον

δείκτη ν, δηλαδή αν . Έτσι π.χ έχουμε την ακολουθία αν =4ν-3, νεΝ* Ο αν λέγεται γενικός

όρος ή νος όρος της ακολουθίας.

Αντικαθιστώντας το ν με τις τιμές 1,2,3…………………παίρνουμε αντίστοιχα τον πρώτο, τον

δεύτερο, τον τρίτο κλπ όρο της ακολουθίας. Στο παράδειγμά μας είναι α1=………….,

α2=………………, …………………….., ………………….., …………………..κλπ

Αναδρομικές ακολουθίες : Υπάρχουν ακολουθίες για τις οποίες είναι δύσκολο να βρεθεί ο

γενικός τους όρος ή δεν υπάρχει καθόλου. Τέτοιο παράδειγμα είναι η ακολουθία των

πρώτων φυσικών αριθμών 1,2,3,5,7,11,13,……………………….

Σε μερικές περιπτώσεις όμως είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αναδρομικός τύπος όπως λέμε,

δηλαδή ένας τύπος ο οποίος να συνδέει κάποιους γενικούς όρους της ακολουθίας.

Π.χ α ν+1 =3 αν +4, α1 =1. Για ν=1 παίρνουμε ……………………….. για ν=2 ……………………………κλπ

Δραστηριότητες

Δραστηριότητα 1( Δ16) Η ακολουθία 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,....ονομάζεται ακολουθία

Fibonacci (Leonardo di Pisa)

α) Ας αντιστοιχίσουμε λοιπόν τους φυσικούς αριθμούς ν με τους όρους της παραπάνω

ακολουθίας Χν συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα.

β) Παρατηρήστε πως προκύπτουν οι όροι της ακολουθίας από τον Χ3 και μετά

Μπορείτε να υπολογίσετε το 12 όρο της ακολουθίας; Ποιές πληροφορίες χρειάζονται για

τον υπολογισμό του 12 ου όρου ;

γ) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε έναν κανόνα που θα μας βοηθά να βρίσκουμε

οποιονδήποτε όρο της παραπάνω ακολουθίας

ν 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .........................................................

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Χν 0 1

(Στην παραπάνω ακολουθία αν διαιρέσουμε τον επόμενο όρο με τον προηγούμενο

προσεγγίζουμε τον χρυσό αριθμό Φ. Ακόμη αυτή η ακολουθία εμφανίζεται παντού στην

φύση. Π.χ Κάθε φύλλο είναι σε διαφορετική χαρακτηριστική γωνία γύρω από τον μίσχο. Οι

γωνίες είναι 1800 , 1200, 1440 , 1350 Εάν εκφράσουμε σε αναλογία προς τις 3600 βρίσκουμε

1/2 , 1/3, 2/5, 3/8, 5/11, …………………………………..Μπορείτε να βρείτε τους επόμενους όρους ;

Τι παρατηρείτε;…………………………………………………………..

Η αναλογία 2/5 εμφανίζεται στα τριαντάφυλλα, βελανιδιά, κερασιά κλπ

Η αναλογία 1/2, ή 1/3 εμφανίζεται στο γρασίδι. )

Δραστηριότητα 2 Να γράψετε τους 5 πρώτους όρους των ακολουθιών αν =2ν και αν

=2ν+1 Τι παρατηρείτε;......................................................................................

...............................................................................................................................

..............................................................................................................................

Δραστηριότητα 3 Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους της ακολουθίας αν =(-1)ν .ν2

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

Δραστηριότητα 4 Να γράψετε του 4 πρώτους όρους της ακολουθίας α ν+1 =2 αν +2 , α1=1

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Δραστηριότητα 5 Γράψτε την ακολουθία των πρώτων αριθμών. Υπάρχει γενικός τύπος τι

παρατηρείτε;.............................................................................................