εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

15
Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Upload: kozalakis

Post on 09-Aug-2015

168 views

Category:

Education


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα

τετράπλευρα

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 2: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ενα πολύγωνο του οποίου

όλες οι κορυφές είναι σημεία

ενός κύκλου ονομάζεται

εγγεγραμμενο πολυγωνο

στον κύκλο και ο κύκλος αυτός

ονομάζεται περιγεγραμμένος

κύκλος του πολυγώνου

Στην ειδική περίπτωση που το

πολύγωνο είναι τετράπλευρο

ονομάζεται εγγεγραμμενο

τετραπλευρο

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ορισμός

Page 3: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ενα τετράπλευρο (γενικά ένα πολύγωνο) ονομάζεται εγγραψιμο σε κύκλο, αν υπάρχει η δυνατότητα να κατασκευαστεί κύκλος, ο οποίος να διέρχεται απο όλες τις κορυφές του. Το παραπάνω θεώρημα δηλώνει εμμέσως, αλλά με σαφή τρόπο, ότι δεν είναι όλα τα τετράπλευρα έγγράψιμα σε κύκλο.

Παράδειγμα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι γωνίες δεν είναι παραπληρωματικές είναι μη εγγράψιμο.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Θεώρημα Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε

οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές

Page 4: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ασκηση 1

Αν ένας ρόμβος είναι εγγεγραμμένος σε

κύκλο, να αποδείξετε ότι είναι τετράγωνο. Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 5: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ερώτηση 1

Ποιά η διαφορά μεταξύ των λέξεων

εγγεγραμμένο και εγγράψιμο πολύγωνο;

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 6: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Με την λέξη εγγεγραμμένο εννοούμε μια υπαρκτή

κατάσταση (ένα πολύγωνο του οποίου οι κορυφές

είναι σημεία κύκλου).

Με την λέξη εγγράψιμο εννοούμε ενα πολύγωνο για

το οποίο μπορεί να υπάρξει κύκλος που να

διέρχεται απο τις κορυφές του, να γίνει δηλ.

εγγεγραμμένο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Page 7: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ερώτηση 2 Από τέσσερα μη συνευθειακά σημεία διέρχεται

πάντοτε ένας κύκλος;

Page 8: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ασκηση 2

Να αποδείξετε οτι κάθε εγγεγραμμένο

παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 9: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Σε κάθε

παραλληλόγραμμο οι

απέναντι γωνίες είναι

ίσες, δηλαδή Α=Γ, Β=Δ.

Αφού είναι και

εγγεγραμμένο οι απέναντι

γωνίες είναι και

παραπληρωνατικές,

συνεπώς Α=Γ=900 και

Β=Δ=900

Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 10: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Κριτήρια εγγράψιμων τετραπλεύρων

10 Κριτήριο Θεώρημα: Αν οι απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι

παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

20 Κριτήριο. Θεώρημα:

Ενα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, όταν μια τουλάχιστον πλευρά του φαίνεται απο τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Page 11: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

ΠΟΡΙΣΜΑ 1

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, κάθε γωνία του είναι ίση με την εξωτερική της απέναντι γωνίας.

ΠΟΡΙΣΜΑ 2

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Page 12: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ερώτηση 3

Ποιά παραλληλόγραμμα είναι εγγράψιμα σε

κύκλο;

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 13: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Ασκηση 3

Να αποδειχθεί ότι κάθε ισοσκελές

τραπέζιο είναι εγγράψιμο.

Page 14: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Page 15: εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα

Διάλειμμα