Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα

τετράπλευρα

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ενα πολύγωνο του οποίου

όλες οι κορυφές είναι σημεία

ενός κύκλου ονομάζεται

εγγεγραμμενο πολυγωνο

στον κύκλο και ο κύκλος αυτός

ονομάζεται περιγεγραμμένος

κύκλος του πολυγώνου

Στην ειδική περίπτωση που το

πολύγωνο είναι τετράπλευρο

ονομάζεται εγγεγραμμενο

τετραπλευρο

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ορισμός

Ενα τετράπλευρο (γενικά ένα πολύγωνο) ονομάζεται εγγραψιμο σε κύκλο, αν υπάρχει η δυνατότητα να κατασκευαστεί κύκλος, ο οποίος να διέρχεται απο όλες τις κορυφές του. Το παραπάνω θεώρημα δηλώνει εμμέσως, αλλά με σαφή τρόπο, ότι δεν είναι όλα τα τετράπλευρα έγγράψιμα σε κύκλο.

Παράδειγμα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι γωνίες δεν είναι παραπληρωματικές είναι μη εγγράψιμο.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Θεώρημα Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε

οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές

Ασκηση 1

Αν ένας ρόμβος είναι εγγεγραμμένος σε

κύκλο, να αποδείξετε ότι είναι τετράγωνο. Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ερώτηση 1

Ποιά η διαφορά μεταξύ των λέξεων

εγγεγραμμένο και εγγράψιμο πολύγωνο;

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Με την λέξη εγγεγραμμένο εννοούμε μια υπαρκτή

κατάσταση (ένα πολύγωνο του οποίου οι κορυφές

είναι σημεία κύκλου).

Με την λέξη εγγράψιμο εννοούμε ενα πολύγωνο για

το οποίο μπορεί να υπάρξει κύκλος που να

διέρχεται απο τις κορυφές του, να γίνει δηλ.

εγγεγραμμένο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ερώτηση 2 Από τέσσερα μη συνευθειακά σημεία διέρχεται

πάντοτε ένας κύκλος;

Ασκηση 2

Να αποδείξετε οτι κάθε εγγεγραμμένο

παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Σε κάθε

παραλληλόγραμμο οι

απέναντι γωνίες είναι

ίσες, δηλαδή Α=Γ, Β=Δ.

Αφού είναι και

εγγεγραμμένο οι απέναντι

γωνίες είναι και

παραπληρωνατικές,

συνεπώς Α=Γ=900 και

Β=Δ=900

Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Κριτήρια εγγράψιμων τετραπλεύρων

10 Κριτήριο Θεώρημα: Αν οι απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι

παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

20 Κριτήριο. Θεώρημα:

Ενα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, όταν μια τουλάχιστον πλευρά του φαίνεται απο τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, κάθε γωνία του είναι ίση με την εξωτερική της απέναντι γωνίας.

ΠΟΡΙΣΜΑ 2

Αν ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Ερώτηση 3

Ποιά παραλληλόγραμμα είναι εγγράψιμα σε

κύκλο;

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ασκηση 3

Να αποδειχθεί ότι κάθε ισοσκελές

τραπέζιο είναι εγγράψιμο.

Λύση

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Διάλειμμα