Корреляционный и регрессионный анализ.

Временные ряды.МНК

1. Метод наименьших квадратов

Выполняя лабораторную работу по физике, например, изучая зависимость некоторой физической величины Y от физической величины X, вы получили следующие экспериментальные данные. X x1 x2 x3 …xi… xn

Y y1 y2 y3 …yi… yn

Как же правильно построить график зависимости Y=Y(X)? Как найти функцию Y=Y(X), которая наилучшим образом

соответствовала экспериментальным точкам?

Предположим, что функция Y(Х) линейная – , но конкретный вид её не известен.

• Метод поиска оптимального вида сглаживающей функции был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК).

распределений вероятностей – нормальное, а в теории случайных процессов

основной объект изучения – гауссовские процессы.

Иоганн Карл Фри дрих Га усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777,

Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий математик, астроном и физик,

считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[1]

В конце XIX в. – начале ХХ в. крупный

• Иными словами нужно свести к минимуму функцию S:

• • S•

Для отыскания минимума функции S приравняем нулю соответствующие частные производные:

Получив значения a и b, можно составить уравнение линейной зависимости вида

и построить график этой зависимости:

. Построить график зависимости по данным n=8 наблюдений, которые получены при изучении зависимости количества продаж лекарственного средства «Амбробене» у от затрат на рекламу этого товара х: х 1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 11,0 12,5 y 5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 11,0 9,0 Решение. Экспериментальные данные изобразим в виде точек на координатной плоскости. Соединим полученные точки. По виду ломанной можно предположить наличие линейной зависимости между двумя рассматриваемыми переменными, которая графически выражается тем точнее, чем больше объем выборки

Для построения линии тренда составим расчетную таблицу: № хi yi x i

2 xiyi 1 2 3 4 5 6 7 8

1,5 4,0 5,0 7,0 8,5 10,0 11,0 12,5

5,0 4,5 7,0 6,5 9,5 9,0 11,0 9,0

2,25 16,00 25,00 49,00 72,25 100,00 121,00 156,25

7,50 18,00 35,00 45,50 80,75 90,00 121,00 112,50

Σ 59,5 61,5 541,75 510,25 Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные по таблице суммы в соотношения (1): а = (61,5 × 541,75 – 510,25 ×59,50)/ (8 ×541,75 – 3540,25) = 3,73, b = (8 × 510,25 – 59,50 × 61,50)/ (8 ×541,75 – 3540,25) = 0,53. Таким образом, уравнение тренда имеет вид .𝑦ത = 3,73+ 0,53𝑥

Построенная линия тренда позволяет с некоторой вероятностью не только предсказать в интервале от х=1,5 до х=12,5 любые значения

функции у при отсутствующих в таблице значениях фактора х, но и за пределами данного интервала.

МНК и поиск по картинкам, лицам и картам

Поиск по лицам, заснятым на камеру наблюдения

Статистический анализ временных рядов.

• Временн й ряд (или ряд динамики) — это о́�собранные в разные моменты времени значения случайной величины, характеризующие исследуемый процесс.

Временные ряды состоят из двух элементов:• периода времени, за который или по состоянию

на который приводятся числовые значения;• числовых значений той или иной случайной

величины.

• Временные ряды по своему представлению бывают дискретные и непрерывные.

Пример дискретного временного ряда: результаты измерений в ходе лечения утренней температуры

тела пациента.

Непрерывный ряд представляет результаты непрерывных наблюдений за случайной

величиной (результаты снятия ЭКГ).

• Временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают, если существует строгое соответствие (однозначная зависимость) между значениями времени регистрации и соответствующими значениями временного ряда (например, ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины.

• Различают стационарные и нестационарные временные ряды. Стационарным временным рядом называют ряд, функция распределения значений которого не зависит от времени. Нестационарным рядом называют ряд, функция распределения которого меняется со временем.

Пример графического изображения нестационарного временного ряда. Детерминированная компонента

изображена синей линией.

• Детерминированная компонента f(t) (тренд) – характеризует основную тенденцию изменения временного ряда с течением времени, на которую накладываются случайные отклонения , определяемые компонентой Ɛ(t) ( "шумы", случайные погрешности).

• То есть исходный временной ряд X(t) представляется в виде суммы:

• X(t) = f(t) + Ɛ(t)

• На практике наибольший интерес представляет выявления основной тенденции изменения временного ряда. Одним из методов нахождения уравнения тренда является метод наименьших квадратов.

• Статистические модели на основе изучения нестационарных временных рядов служат для описания вероятные значения временного ряда в ближайшем будущем при известных последних значениях (прогноз). Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

• . Движение цен на валютном рынке происходит в соответствии с определёнными тенденциями - трендами. Рост курса происходит, когда спрос на определенную валюту превышает предложение на рынке, и наоборот. При долгосрочном росте или падении курса валют, участники рынка говорят о том, что сложился "восходящий" (рост курса), либо "нисходящий" (падение курса) тренд по данной валюте. Также, выделяют иногда третий тип тренда - "боковой", хотя, по сути, это, как раз, отсутствие тренда - ярко выраженного роста или падения курса валюты в течение определённого периода времени. Неформально, восходящий тренд участники рынка называют "бычьим", а нисходящий "медвежьим". Боковой тренд называют просто - "флэт" (от англ. flat - плоский). На основании анализа трендов ( или вопреки ему) принимается решение о покупке валюты.

Восходящий и нисходящие тренды.

Боковой тренд.

• 3. Корреляционный и регрессионный анализы.

3.1. Статистическая зависимость ее отличие от функциональной зависимости.

Функциональная зависимость: X→Y

Статистическая зависимость:X →Y1, Y2, … ,Yn

В медико-биологических исследованиях в большинстве случаев между переменными величинами существуют зависимости такого вида, когда

каждому значению одной переменной (Х) соответствует не какое-то одно определенное, а множество значений другой

переменной(Y), причем нельзя сказать заранее, какое именно значение примет зависимая величина Y. Такая зависимость

получила название статистической (или стохастической, вероятностной).

3.2. Корреляционная зависимость:Линии регрессии.

• X → • Функция же f(х)=М(Y), описывающая

изменение математического ожидания случайной переменной Y при изменении значений переменной Х, называется функцией регрессии Y на Х, а ее график – линией регрессии.

Термин «регрессия» ввёл в математическую статистику Френсис Гальтон. Гальтон был двоюродным братом Чарльза Дарвина по их

деду — Эразмусу (Эразму) Дарвину.

• Сэр Фрэнсис Гальтон (англ. Francis Galton; 16 февраля 1822 — 17 января 1911) — английский исследователь, географ, антрополог и психолог; основатель дифференциальной психологии и психометрики.

• Если f(х) – линейная функция, то корреляционную зависимость можно описать с помощью уравнения вида

• • М(Y/х) =Bх+A, • • где А и В – некоторые параметры, а М(Y/х) –

условное математическое ожидание наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х=х.

• Поскольку наиболее простой формой зависимости в математике является прямая, то в корреляционном и регрессионном анализе наиболее популярны линейные модели.

• Если функция f(х) линейная, то выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

• • yx=𝞺xy x + a (по аналогии с уравнением (2)),• • где 𝞺xy – выборочный коэффициент линейной регрессии Y на

X, . yx – условное среднее значение y для соответствующих Х=х.

Диаграмма связи между численностью рабочих на фармацевтическом предприятии и доходом предприятия.

yx=𝞺xy x + a

Смысл коэффициента регрессии 𝞺xy :

• В общем случае коэффициент регрессии показывает, как в среднем изменится значение Y, если X увеличится на единицу.

• Численно он равен тангенсу угла между прямой линией регрессии Y на X и положительным направлением оси ОХ.

• По величине коэффициента регрессии судят о силе корреляционной связи между изучаемыми величинами: чем больше величина 𝞺xy, тем сильнее изменится среднее значение Y при изменении Х, тем сильнее корреляционная связь.

• Знак указывает направление связи.

Y=3000x+2450

• Пример. На каком из двух графиков связь между признаками выражена сильнее?

•

• Оказывается форма связи (линия регрессии) сама по себе не дает ответа на вопрос о тесноте связи пары переменных. На этот вопрос отвечает коэффициент парной корреляции. Он показывает, насколько тесно две переменные связаны между собой.

Коэффициент парной корреляции r принимает значения в диапазоне от –1 до +1.Положительные значения коэффициента корреляции r свидетельствуют о прямой

связи между признаками, отрицательные – об обратной связи.

Если r = 0, то рассматриваемые переменные линейно независимы, т.е. на диаграмме рассеяния

облако точек "вытянуто по горизонтали".

Формула для вычисления парного коэффициента корреляции:

Сравнение коэффициентов корреляции и регрессииКоэффициент корреляции • • Принимает значения в диапазоне от -1 до +1 • • Безразмерная величина • • Показывает тесноту связи (связь как синхронность,

согласованность) между признаками • • Знак коэффициента говорит о направлении связи Коэффициент регрессии • • Может принимать любые значения • • Привязан к единицам измерения обоих признаков • • Показывает структуру связи между признаками:

характеризует связь как зависимость, влияние, устанавливает причинно-следственные связи.

• • Знак коэффициента говорит о направлении связи

• Чем выше по модулю (по абсолютной величине) значение коэффициента

корреляции, тем теснее связь между признаками:

• Принято считать, что коэффициенты корреляции, которые по модулю больше 0,7, говорят о сильной связи.

• Коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,7, но больше 0,5, говорят о связи средней силы.

• Наконец, коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,5, говорят о слабой связи.

Усложнение модели• Совокупное влияние всех независимых факторов на зависимую

переменную не может быть представлено как простая сумма нескольких парных регрессий.

• Это совокупное влияние находится более сложным методом - методом множественной регрессии .

Визуализация модели множественной регрессии

• Этапы проведения корреляционного и регрессионного анализа:

• • Выявление наличия взаимосвязи между

признаками;• Определение формы связи;• Определение силы, тесноты и направления связи.• •