Алгебра логики

Алгебра Алгебра логикилогики

ЛогикаЛогика

— — это наука о формах и способах это наука о формах и способах мышления. мышления.

Основными формами абстрактного Основными формами абстрактного мышления являются :мышления являются :

1.Понятие1.Понятие

2.Высказывание2.Высказывание

33..УмозаключениеУмозаключение

ПонятиеПонятие ПонятиеПонятие — это форма мышления, — это форма мышления,

фиксирующая основные, существенные фиксирующая основные, существенные признаки объекта. признаки объекта.

Примеры: : прямоугольник, проливной дождь, компьютер

Какие известные вам понятия определяются Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями: следующими предложениями:

1) группа слов, которая выражает законченную 1) группа слов, которая выражает законченную мысль; мысль;

2) расстояние, преодолеваемое за единицу 2) расстояние, преодолеваемое за единицу времени; времени;

3) часть прямой, ограниченная с двух сторон; 3) часть прямой, ограниченная с двух сторон; 4) многоугольник с наименьшим числом 4) многоугольник с наименьшим числом

сторон; сторон; 5) последовательность команд, которую 5) последовательность команд, которую

выполняет компьютер в процессе обработки выполняет компьютер в процессе обработки данных; данных;

6) система хранения файлов и организации 6) система хранения файлов и организации каталогов.каталогов.

ттождествоождество

пример: А= «столица Франции»пример: А= «столица Франции»

В= « Париж» В= « Париж»

Отношения между объемами понятий.Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна.Диаграммы Эйлера-Венна.

подчинениеподчинение пример: пример: А=«журналы»А=«журналы»В=«Информатика в школе»В=«Информатика в школе»

исключениеисключение пример:пример: А=«комплектующие компьютера»А=«комплектующие компьютера» В=«школьные принадлежности»В=«школьные принадлежности»· ·



пересечениепересечение

пример:пример:

А=«А=«сотрудники»сотрудники»

В = «академики»В = «академики»

соподчинениесоподчинение пример:пример:

А=«мальчики» и В=«девочки»А=«мальчики» и В=«девочки»

С=«школьники»С=«школьники»

По аналогии с приведенными в таблице примерами для По аналогии с приведенными в таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте каждого типа отношений между понятиями придумайте

2-3 собственных примера.2-3 собственных примера. ОтношенияОтношения ПримерыПримеры

Совпадение объемов Совпадение объемов

Включение объемов Включение объемов

Исключение объемов Исключение объемов

Пересечение объемов Пересечение объемов

Соподчинение объемовСоподчинение объемов

Самая высокая гора — Эверест Самая высокая гора — Эверест

Школьные предметы — Школьные предметы — информатика информатика Мебель — овощи Мебель — овощи

Девушки — студенты Девушки — студенты

Автобус, трамвай — Автобус, трамвай — общественный транспортобщественный транспорт

ВысказываниеВысказывание Высказывание Высказывание — это форма мышления, в — это форма мышления, в

которой что-либо утверждается или которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отрицается о предметах, признаках или их отношениях. отношениях.

Высказывание может быть либо истинно, Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.либо ложно.

Примеры: Примеры: Буква «а» - гласная.

Дважды два – четыре.

Какие из предложений являются Какие из предложений являются высказываниями? Определите их высказываниями? Определите их

истинностьистинность.. Какой длины эта лента?Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение.Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку.Делайте утреннюю зарядку. Париж – столица Англии.Париж – столица Англии. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Назовите устройство ввода информации.Назовите устройство ввода информации.

УмозаключениеУмозаключение УмозаключениеУмозаключение — это форма мышления, с помощью — это форма мышления, с помощью

которой из одного или нескольких суждений (посылок) которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).может быть получено новое суждение (заключение).

Пример: дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений.

Ответ: пусть основанием треугольника является сторона с. Тогда а=в. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например, а. Тогда в=с. Следовательно а=в=с. Треугольник равносторонний.

Алгебра Алгебра высказыванвысказыван

ий ий

ВысказываниеВысказывание может быть: может быть: простым;простым; составным.составным.

Высказывание называется Высказывание называется простымпростым (элементарным), если (элементарным), если никакая его часть сама не никакая его часть сама не является высказыванием.является высказыванием.(Миша – школьник).

Высказывание, Высказывание, состоящее из простых состоящее из простых высказываний, высказываний, называются называются составнымсоставным (сложным). (сложным). (Миша – школьник и отличник).

Логическая переменная – Логическая переменная – это простое это простое высказывание, содержащее только одну высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (А, В, С и т.д.)латинская буква (А, В, С и т.д.)

А А = {Аристотель - основоположник логики} = {Аристотель - основоположник логики}

ВВ = {На яблонях растут бананы}. = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. соответствие 1, ложному — 0.

Таким образом, Таким образом, АА = 1, = 1, ВВ = 0. = 0.

Логическая функция – Логическая функция – составное высказывание, составное высказывание, содержащее несколько простых мыслей, содержащее несколько простых мыслей, соединенных логическими операциями. Ее соединенных логическими операциями. Ее символическое обозначение – символическое обозначение – F(A,B)F(A,B)

Какие из следующих предложений являются Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями? истинными, а какие ложными высказываниями?

1)1) Город Париж — столица Франции. Город Париж — столица Франции. 2)2) Число 2 является делителем числа 7. Число 2 является делителем числа 7. 3)3) 3 + 5 = 2 3 + 5 = 2 ** 4. 4. 4)4) 2 + 6 > 10. 2 + 6 > 10. 5)5) Сканер — это устройство, которое может Сканер — это устройство, которое может

напечатать на бумаге то, что изображено на экране напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера. компьютера.

6)6) II + VI > VIII. II + VI > VIII. 7)7) Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8. Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8. 8)8) Мышка — устройство ввода информации.Мышка — устройство ввода информации.

Логические Логические операции операции

алгебры алгебры высказываний высказываний

Логическая операция Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯКОНЪЮНКЦИЯ :: в естественном языке соответствует союзув естественном языке соответствует союзу и и; ; обозначение: обозначение: &&; ; в языках программирования обозначение: в языках программирования обозначение:

andand; ; иное название: иное название: логическое умножениелогическое умножение. .

АА ВВ A&BA&B

00 00 00

00 11 00

11 00 00

11 11 11

Логическая операция Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯДИЗЪЮНКЦИЯ:: в естественном языке соответствует союзу в естественном языке соответствует союзу илиили;; обозначение: обозначение: VV ; ; в языках программирования обозначение: в языках программирования обозначение: oror; ; иное название: иное название: логическое сложениелогическое сложение. .

AA BB AVBAVB

00 00 00

00 11 11

11 00 11

11 11 11

Логическая операция Логическая операция ИНВЕРСИЯИНВЕРСИЯ :: в естественном языке соответствует словам в естественном языке соответствует словам

""Неверно, что...Неверно, что... " и частице " и частице нене; ; обозначение: обозначение: ¯̄AA ;; в языках программирования обозначение:в языках программирования обозначение: not not; ; иное название: иное название: отрицаниеотрицание. .

AA ¯A¯A

00 11

11 00

Логическая операция Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯИМПЛИКАЦИЯ :: в естественном языке соответствует обороту в естественном языке соответствует обороту

Если ..., то ...Если ..., то ...; ; обозначение:обозначение: →, →, ;; иное название: иное название: логическое следованиелогическое следование. .

АА ВВ AABB

00 00 11

00 11 11

11 00 00

11 11 11

Логическая операция Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯЭКВИВАЛЕНЦИЯ :: в естественном языке соответствует оборотам речи в естественном языке соответствует оборотам речи

тогда и только тогдатогда и только тогда и и в том и только в том в том и только в том случаеслучае; ;

обозначение: обозначение: ,, ~~ ; ; иное название: иное название: равнозначностьравнозначность..

АА ВВ AABB

00 00 11

00 11 00

11 00 00

11 11 11

Приоритеты логических операцийПриоритеты логических операций

1.1. действия в скобках;действия в скобках;

2.2. инверсия;инверсия;

3.3. конъюнкция &;конъюнкция &;

4.4. дизъюнкция дизъюнкция VV;;

5.5. импликация импликация ;;

6.6. эквиваленция эквиваленция ..

Логическое выражениеЛогическое выражение

Логическое выражение – Логическое выражение – это составное это составное высказывание, выраженное в виде формулы высказывание, выраженное в виде формулы логических переменных и логических логических переменных и логических операций.операций.

Значением логического выражения могут Значением логического выражения могут быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ.быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Решение задачРешение задачПример 1.Пример 1. Определите истинность простых Определите истинность простых

высказываний: высказываний: А =А = {Принтер – устройство вывода информации}, {Принтер – устройство вывода информации}, В =В = {Процессор – устройство хранения {Процессор – устройство хранения

информации}, информации}, С = {Монитор – устройство вывода информации}, С = {Монитор – устройство вывода информации}, DD = {Клавиатура – устройство обработки = {Клавиатура – устройство обработки

информации}. информации}. Пример 2.Пример 2. Определите истинность составного Определите истинность составного

высказывания: высказывания: ( ( ¯̄А А &¯B&¯B ) & (C ) & (C V V DD))

РешениеРешение

На основании знания устройства компьютера На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых устанавливаем истинность простых высказываний: высказываний:

А =А = 1, 1, В =В = 0, С = 1, 0, С = 1, DD = 0. = 0. Определим сначала истинность составного Определим сначала истинность составного

высказывания, используя таблицы истинности высказывания, используя таблицы истинности логических операций: логических операций:

((¯1¯1& & ¯0¯0 ) & (1 ) & (1 V V 0) = (0&1) & (1 0) = (0&1) & (1 V V 0) = 0&1 = 0 0) = 0&1 = 0

Пример 2. Записать в виде логического выражения Пример 2. Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в следующее высказывание: «Летом Петя поедет в

деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку»на рыбалку»

Решение: проанализируем составное Решение: проанализируем составное высказывание. Оно состоит из трех простых высказывание. Оно состоит из трех простых высказываний: высказываний:

А = Петя поедет в деревню;А = Петя поедет в деревню;В = Будет хорошая погода;В = Будет хорошая погода;С = Он пойдет на рыбалку. С = Он пойдет на рыбалку. Тогда логическое выражение примет вид:Тогда логическое выражение примет вид:F=A&(BF=A&(B→C)→C)

Пример 3.Пример 3. Какие из высказываний Какие из высказываний А, В, СА, В, С должны быть истинны и какие ложны, должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение чтобы было ложно логическое выражение ((((AA VV ВВ)) & В & В) ) СС. .

РешениеРешение

Импликация ложна на единственном наборе Импликация ложна на единственном наборе (1 0). Значит, (1 0). Значит, СС = 0, (( = 0, ((AA VV ВВ)) & В & В) = 1. ) = 1.

Конъюнкция истинна на единственном Конъюнкция истинна на единственном наборе (1 1). Значит, наборе (1 1). Значит, ВВ = 1 и ( = 1 и (AA VV ВВ) = 1. ) = 1.

Дизъюнкции истинна при наборах (1 0) Дизъюнкции истинна при наборах (1 0) и (1 1). и (1 1).

Следовательно, существуют два набора, Следовательно, существуют два набора, удовлетворяющих условию задачи: (удовлетворяющих условию задачи: (АА = 0, = 0, ВВ = 1, = 1, СС = 0) и ( = 0) и (АА = 1, = 1, ВВ = 1, = 1, С С = 0).= 0).

Пример 4.Среди следующих высказываний Пример 4.Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них простые, укажите составные; выделите в них простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое помощью логических операций каждое составное высказывание. составное высказывание.

1) Число 376 четное и трехзначное. 1) Число 376 четное и трехзначное. 2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 3) Земля имеет форму шара. 3) Земля имеет форму шара. 4) На уроке математики старшеклассники 4) На уроке математики старшеклассники

отвечали на вопросы учителя и писали отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу. самостоятельную работу.

5) Если сумма цифр числа делится на 3, то число 5) Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. делится на 3.

6) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, 6) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

Пример 5. Найдите значения логических Пример 5. Найдите значения логических выражений: выражений:

а) (1а) (1VV1)1)VV(1(1VV0); 0); б) ((1б) ((1VV0)0)VV1)1)VV1; 1; в) (0в) (0VV1)1)VV(1(1VV0); 0); г) (0&1)&1; г) (0&1)&1; д) 1&(1&1)&1; д) 1&(1&1)&1; е) ((1е) ((1VV0)&(1&1))&(00)&(1&1))&(0VV1); 1); ж) ((1&0)ж) ((1&0)VV(1&0))(1&0))VV1; 1; з) ((1&1)з) ((1&1)VV0)&(00)&(0VV1); 1); и) ((0&0)и) ((0&0)VV0)&(10)&(1VV1). 1).

Пример 6. Даны два высказывания: Пример 6. Даны два высказывания:

АА = {2 = {2 ** 2 = 4}, 2 = 4}, В =В = {2 {2 ** 2 = 5}. 2 = 5}.

Очевидно, что Очевидно, что АА = 1, = 1, ВВ = 0. = 0.

Какие из высказываний а)—е) истинны? Какие из высказываний а)—е) истинны?

а)а)¯A¯A; б) ; б) ¯B¯B ; ;

в) в) АА & & ВВ; г) ; г) AA VV ВВ; ;

д)д) А А ВВ; е) ; е) АА В. В.

Пример 7. Составьте и запишите сложные Пример 7. Составьте и запишите сложные высказывания из простых с использованием высказывания из простых с использованием

логических операций.логических операций.

1.1. А является А является maxmax(А, В, С);(А, В, С);

2.2. Если Х делится на 2, то оно четное.Если Х делится на 2, то оно четное.

3.3. Хотя бы одно из чисел К, Хотя бы одно из чисел К, LL, М , М положительно.положительно.

4.4. Все числа Х, У, Все числа Х, У, ZZ равны 12. равны 12.

5.5. Хотя бы одно из чисел А, В, С Хотя бы одно из чисел А, В, С отрицательно.отрицательно.

Таблицы Таблицы истинности истинности

Таблица истинностиТаблица истинности

Таблицу, показывающую, какие значения Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, входящих в него простых высказываний, называют называют таблицейтаблицей истинностиистинности составного высказывания.составного высказывания.

Для составления таблицы Для составления таблицы истинности необходимо:истинности необходимо:

1.1. Выяснить кол-во строк в таблице: 2Выяснить кол-во строк в таблице: 2nn, где , где nn – кол-во переменных;– кол-во переменных;

2.2. Выяснить кол-во столбцов = кол-во Выяснить кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических переменных + кол-во логических операций;операций;

3.3. Установить последовательность Установить последовательность выполнения логических операций;выполнения логических операций;

4.4. Построить таблицу, указывая названия Построить таблицу, указывая названия столбцов;столбцов;

5.5. Заполнить таблицу истинности.Заполнить таблицу истинности.

Решение примеровРешение примеров

Пример 1Пример 1. Для формулы . Для формулы

AA&(&(BB V V ¯B¯B & & ¯C¯C) )

построить таблицу истинности построить таблицу истинности алгебраически и с использованием алгебраически и с использованием электронных таблиц. электронных таблиц.

AA BB CC ¯B¯B ¯C¯C ¯B& ¯C¯B& ¯C BV(BV(¯B& ¯C)¯B& ¯C) A&(BV(A&(BV(¯B& ¯C)¯B& ¯C)

00 00 00 11 11 11 11 00

00 00 11 11 00 00 00 00

00 11 00 00 11 00 11 00

00 11 11 00 00 00 11 00

11 00 00 11 11 11 11 11

11 00 11 11 00 00 00 00

11 11 00 00 11 00 11 11

11 11 11 00 00 00 11 11

Логические законы и Логические законы и правила правила

преобразования преобразования логических логических выражений выражений

1. Закон двойного отрицания1. Закон двойного отрицания

__ __

АА = = AA

2.2. Переместительный Переместительный

(коммутативный) закон(коммутативный) закон::

— — для логического сложения: для логического сложения:

АА VV BB = = BB VV AA

— — для логического умножения: для логического умножения:

AA&&BB = = BB&&AA

3.3. Сочетательный Сочетательный (ассоциативный) закон:(ассоциативный) закон:


((AA VV BB)) VV C C = = AA VV ((BB VV CC))


((AA&&BB)&)&CC = = AA&(&(BB&&CC))

4. 4. Распределительный Распределительный (дистрибутивный) закон(дистрибутивный) закон::


(A(A VV B)&C = (A&C)B)&C = (A&C) VV (B&C)(B&C)


((AA&&BB)) VV CC = ( = (AA VV CC)&()&(BB VV CC))

5. 5. Закон общей инверсии Закон общей инверсии (законы де Моргана):(законы де Моргана):

_____ _ ______ _ _ A V B A V B = = AA & & BB _____ _ ______ _ _ A & BA & B = = AA V BV B ____________ __ __ ((АА → B) = A & B→ B) = A & B ____ A → B = A V BA → B = A V B

6. 6. Закон идемпотентностиЗакон идемпотентности

— — для логического сложения:для логического сложения:

AA VV A A = = AA

— — для логического умножения:для логического умножения:

AA&&AA = = AA

7. 7. Законы исключения констант:Законы исключения констант:


AA VV 1 = 1; 1 = 1; AA VV 0 = 0 = AA


A A & 1 = & 1 = AA; ; A A & 0 = 0& 0 = 0

8. 8. Закон противоречия:Закон противоречия:

__

A A && A A = 0 = 0

9. 9. Закон исключения третьегоЗакон исключения третьего::

__

AA VV AA = 1 = 1

10.10. Закон поглощения Закон поглощения::


AA VV ((AA&&BB) = ) = AA


AA&(&(AA VV BB) = ) = AA

11. 11. Закон исключения (склеиванияЗакон исключения (склеивания):):


__((A A & & BB)) VV ((AA & & BB) = ) = BB

— — для логического умножения: для логического умножения: __

((AA VV BB) & () & (AA VV BB) = ) = BB

12. 12. Закон контрапозиции (правило Закон контрапозиции (правило перевертывания):перевертывания):

((AA <=><=> BB) = () = (BB <=><=> AA))

Примеры приведения логических формул к Примеры приведения логических формул к нормальному виду с помощью законов нормальному виду с помощью законов

алгебры логики.алгебры логики.

Формула имеет ненормальную форму, если в Формула имеет ненормальную форму, если в ней присутствуют знаки эквивалентности, ней присутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при знаки отрицания находятся только при логических переменных.логических переменных.

Пример: упростить логическое выражениеПример: упростить логическое выражение

__________________________ __________F= (A V B) F= (A V B) → (B V C)→ (B V C)

Ответ: Ответ: B V A & CB V A & C

Решение логических задач Решение логических задач

Разнообразие логических задач очень велико. Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических следующие три способа решения логических задач: задач: • средствами алгебры логики; средствами алгебры логики; • табличный; табличный; • с помощью рассуждений.с помощью рассуждений.

Решение логических задач средствами Решение логических задач средствами

алгебры логикиалгебры логики Обычно используется следующая схема решения: Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи; 1. изучается условие задачи; 2. вводится система обозначений для логических высказываний; 2. вводится система обозначений для логических высказываний; 3. конструируется логическая формула, описывающая 3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи; логические связи между всеми высказываниями условия задачи; 4. определяются значения истинности этой логической формулы; 4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются 5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении основании которых делается заключение о решении

Пример 1.Пример 1. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок. спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— — Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл. Первым будет Хилл.

— — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым. быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился: Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— — Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину. самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки? выиграл этап гонки?

Решение.Решение. Введем обозначения для логических высказываний: Введем обозначения для логических высказываний:

ШШ — победит Шумахер; — победит Шумахер; ХХ — победит Хилл; — победит Хилл; АА — победит — победит Алези. Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается. гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей: Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание истинное высказывание

Высказывание истинно только при Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ.Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Решение логических задач табличным способомРешение логических задач табличным способом

Пример Пример 22.. В симфонический оркестр приняли на работу трёх В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что: Известно, что:

1. Смит самый высокий; 1. Смит самый высокий; 2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит 4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; их; 5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. 5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? владеет двумя инструментами?

Решение.Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. высказывание.

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют. остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями: заполним нулями:

СкрипкаСкрипка ФлейтаФлейта АльтАльт КларнетКларнет ГобойГобой ТрубаТруба

БраунБраун 00 00 11 11 00 00

СмитСмит 00 11 00 00 11 00

ВессонВессон 11 00 00 00 00 11

Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое, Вессон — на скрипке и трубе.

Пример 2.Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия. время и у кого какая профессия.

Решение.Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение). (имя — профессия — увлечение).

ИмяИмя ЮраЮра ТимурТимур ВладВлад

ПрофессияПрофессия ФизикФизик ВрачВрач ЮристЮрист

УвлечениеУвлечение БегБег ТуризмТуризм РегбиРегби

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

Решение логических задач с помощью Решение логических задач с помощью

рассужденийрассуждений

Пример 3.Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей? язык изучает каждый из молодых людей?

РешениеРешение. Имеется три утверждения: . Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский; 1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский. 3. Михаил не изучает арабский. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей. китайский изучает Сергей.

Ответ:Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский. Вадим — арабский.

Решение задач с помощью таблицыРешение задач с помощью таблицы

ЗАДАЧА. Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша ЗАДАЧА. Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша – стали победителями олимпиад школьников по физике, – стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:что:

1.1. Победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу Победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере;работе на компьютере;

2.2. Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

3.3. Саша всегда побаивался физики;Саша всегда побаивался физики;

4.4. Лена, Саша и победитель и победитель олимпиады по Лена, Саша и победитель и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;литературе занимаются плаванием;

5.5. Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике;математике;

6.6. Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?

Решение задач средствами алгебры логикиРешение задач средствами алгебры логики

ЗАДАЧА. Виновник ночного дорожно-транспортного ЗАДАЧА. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что марка машины нарушителя – «Жигули», первая цифра марка машины нарушителя – «Жигули», первая цифра номера машины – единица. Второй свидетель сказал, номера машины – единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с машина была иностранная, номер начинался не с единицы. А доброжелатель по телефону сообщил, что единицы. А доброжелатель по телефону сообщил, что каждый из свидетелей правильно указал либо марку каждый из свидетелей правильно указал либо марку машины, либо первую цифру номера. Помогите машины, либо первую цифру номера. Помогите следствию, определите марку машины и первую следствию, определите марку машины и первую цифру номера?цифру номера?

Построение логических Построение логических схемсхем

Любая информация в компьютере Любая информация в компьютере представлена в виде электрических представлена в виде электрических импульсов. С точки зрения логики импульсов. С точки зрения логики

электрический ток либо течет, либо не электрический ток либо течет, либо не течет, электрический импульс есть или течет, электрический импульс есть или

его нет. Для этого рассмотрим его нет. Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, электрические контактные схемы,

реализующие логические операции.реализующие логические операции.

Схема 1Схема 1

1.1. Оба контакта в положении «вкл». Оба контакта в положении «вкл». Тогда ток через лампочку идет и она Тогда ток через лампочку идет и она горит.горит.

2.2. Первый контакт в положении «вкл», Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток не второй – в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.идет, лампочка не горит.

3.3. Обратная ситуация. Лампочка не Обратная ситуация. Лампочка не горит.горит.

4.4. Оба контакта в положении «выкл». Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.Тока нет. Лампочка не горит.

Вывод: первая схема действительно Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И»реализует логическую операцию «И»


1.1. Оба контакта в положении «вкл». Тогда Оба контакта в положении «вкл». Тогда ток через лампочку идет и она горит.ток через лампочку идет и она горит.

2.2. Первый контакт в положении «вкл», Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток идет, второй – в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.лампочка горит.

3.3. Обратная ситуация. Лампочка горит.Обратная ситуация. Лампочка горит.

4.4. Оба контакта в положении «выкл». Тока Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.нет. Лампочка не горит.

Вывод: вторая схема действительно Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ»реализует логическую операцию «ИЛИ»


В этом устройстве в качестве В этом устройстве в качестве переключателя используется переключателя используется автоматический ключ Когда тока на автоматический ключ Когда тока на нем нет, пластинка замыкает нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то ключ подать напряжение, то вследствие явления вследствие явления электромагнитной индукции электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.размыкается. Лампочка не горит.

Вывод: вторая схема действительно Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «НЕ»реализует логическую операцию «НЕ»

Правила построения Правила построения логических схемлогических схем

1.1. Определить число логических Определить число логических переменных.переменных.

2.2. Определить количество базовых Определить количество базовых логических операций и их порядок.логических операций и их порядок.

3.3. Изобразить для каждой логической Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей операции соответствующий ей вентиль.вентиль.

4.4. Соединить вентили в порядке Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.выполнения логических операций.

Пример 1.Пример 1.

Составить логическую схему для Составить логическую схему для выражения выражения F = X v Y & XF = X v Y & X,,

где Х = истина, где Х = истина, Y = Y = ложь.ложь.

Пример 2Пример 2

Составить логическую схему для Составить логическую схему для

__________

выражения выражения F = X & Y v (Y v X)F = X & Y v (Y v X),,

где Х = где Х = 11, , Y = 0Y = 0..

Логические основы Логические основы компьютера компьютера

Дискретный преобразователь, который выдаёт после Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называетсялогических операций, называется логическим логическим элементом.элементом. Ниже приведены условные Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).и отрицание (инвертор).

Из логических элементов путем их комбинации Из логических элементов путем их комбинации строятся основные схемы компьютера:строятся основные схемы компьютера:

ТриггерТриггер - электронный прибор, имеющий два - электронный прибор, имеющий два устойчивых состояния является типичным устойчивых состояния является типичным запоминающим элементом, способным запоминающим элементом, способным хранить 1 бит информации.хранить 1 бит информации.

РегистрРегистр - совокупность триггеров, - совокупность триггеров, предназначенных для хранения числа в предназначенных для хранения числа в двоичном коде.двоичном коде.

СумматорСумматор - устройство обеспечивающее - устройство обеспечивающее суммирование двоичных чисел с учетом суммирование двоичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда.переноса из предыдущего разряда.

Что такое триггер?Что такое триггер?

ТриггерТриггер — это электронная схема, широко — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному двоичной единице, а другое — двоичному нулю.нулю.

Алгебра логики

Documents