ВведениеВведениев в

комбинаторикукомбинаторику

ВведениеВведениев в

комбинаторикукомбинаторикуКомбинаторика является Комбинаторика является древнейшей и, возможно, древнейшей и, возможно,

ключевой ветвью математикиключевой ветвью математики

СодержаниеСодержаниеСодержаниеСодержание

Вступление Вступление Исторические комбинаторные задачи:Исторические комбинаторные задачи:

Фигурные числаФигурные числаМагические квадратыМагические квадратыЛатинские квадратыЛатинские квадраты

Различные комбинации из трёх Различные комбинации из трёх элементовэлементовТаблица вариантов и правило Таблица вариантов и правило произведенияпроизведенияПодсчёт вариантов с помощью графовПодсчёт вариантов с помощью графов

Полный графПолный графГраф-деревоГраф-дерево

ПерестановкиПерестановкиЗаключениеЗаключениеЛитератураЛитература

Исторические Исторические комбинаторные задачикомбинаторные задачи

Исторические Исторические комбинаторные задачикомбинаторные задачи

Фигурные Фигурные числачисла

Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формулепо формуле

N=n² N=n² (1) (1)

Были сконструированы треугольные числа Были сконструированы треугольные числа (1,3,6,10,15...) м пятиугольные (1,5,12,22,...) числа. На (1,3,6,10,15...) м пятиугольные (1,5,12,22,...) числа. На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.

Любое n-е по порядку треугольное чило можно найти Любое n-е по порядку треугольное чило можно найти по формулепо формуле

(2)(2)

а любое n-е по порядку пятиугольное – по формуле.а любое n-е по порядку пятиугольное – по формуле.

(3)(3)

Фигурные Фигурные числачисла

Магические и латинские Магические и латинские квадратыквадраты

Магические квадратыМагические квадраты

Латинские квадратыЛатинские квадраты

Пример латинского квадрата размером Пример латинского квадрата размером 3×33×3

Пример латинского квадрата размером Пример латинского квадрата размером 4×44×4

Задача Л. ЭйлераЗадача Л. Эйлера

Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, Среди 36 офицеров 6 улан, 6 драгун, 6 гусар, 6 кирасир, 6 кавалергардов и 6 гренадеров, и, кроме того, среди 6 кавалергардов и 6 гренадеров, и, кроме того, среди

них поровну генералов, полковников, майоров, них поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков. При этом капитанов, поручиков и подпоручиков. При этом

каждый род войск представлен офицерами всех шести каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли этих офицеров выстроить каре 6×6 рангов. Можно ли этих офицеров выстроить каре 6×6 так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были так, чтобы в любой колонне и в любой шеренге были

офицеры всех рангов офицеры всех рангов

Задача Л. ЭйлераЗадача Л. Эйлера

5 улан (обозн. цифрой 1)5 улан (обозн. цифрой 1)

5 драгун (цифрой 2)5 драгун (цифрой 2)

5 гусар (цифрой 3)5 гусар (цифрой 3)

5 кирасир ( цифрой 4)5 кирасир ( цифрой 4)

5 кавалергардеров 5 кавалергардеров ( цифрой 5)( цифрой 5)

5 генералов (обозн. цифрой 5 генералов (обозн. цифрой 1)1)

5 полковников (цифрой 2)5 полковников (цифрой 2)

5 майоров (цифрой 3)5 майоров (цифрой 3)

5 капитанов ( цифрой 4)5 капитанов ( цифрой 4)

5 поручиков( цифрой 5)5 поручиков( цифрой 5)

Различные комбинации из трех Различные комбинации из трех элементовэлементовЗадача 1Задача 1 Три друга Антон, Борис и Виктор, приобрели два Три друга Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?вариантов похода на футбол?

Решение Решение По имеющимся двум билетам на матч могут пойти: По имеющимся двум билетам на матч могут пойти: 1) либо Антон и Борис; 2) либо Антон и Виктор; 3) либо Борис 1) либо Антон и Борис; 2) либо Антон и Виктор; 3) либо Борис и Виктор.и Виктор.

Ответ:Ответ: 3 варианта. 3 варианта.

(сочетания из трех элементов по 2)(сочетания из трех элементов по 2)

Задача 2Задача 2 Три друга Антон, Борис и Виктор, приобрели два Три друга Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать всевозможные варианты.на стадионе? Записать всевозможные варианты.

Решение Решение Для удобства перечисления всех возможных Для удобства перечисления всех возможных вариантов размещения друзей на 1-е и 2-е места будем вариантов размещения друзей на 1-е и 2-е места будем вместо полных имён мальчиков записывать лишь их первые вместо полных имён мальчиков записывать лишь их первые буквы . При этом запись АБ будет означать, что на первом буквы . При этом запись АБ будет означать, что на первом месте сидит Антон, а на втором- Борис. месте сидит Антон, а на втором- Борис.

Ответ:Ответ: 6 способов; АБ;БА;АВ;ВА;БВ;ВБ; 6 способов; АБ;БА;АВ;ВА;БВ;ВБ;

(размещения из (размещения из трех элементов по 2)трех элементов по 2)

Различные комбинации из трех Различные комбинации из трех элементовэлементовЗадача 3Задача 3

Антону, Борису и Виктору повезло они купили 3 билета Антону, Борису и Виктору повезло они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е, и 3-е места первого ряда на футбол на 1-е, 2-е, и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?эти места?

РешениеРешение

Число способов будет таким же, как и в задаче 2 Число способов будет таким же, как и в задаче 2 Действительно, если к каждой паре мальчиков, Действительно, если к каждой паре мальчиков, сидящих на 1м и 2м местах, посадить на 3-е место их сидящих на 1м и 2м местах, посадить на 3-е место их друга, не попавшего раньше по условию задачи 2 на друга, не попавшего раньше по условию задачи 2 на матч, то будут составлены всевозможные матч, то будут составлены всевозможные варианты(обозначенные тройками букв рассаживания варианты(обозначенные тройками букв рассаживания мальчиков по трём местам: АБВ;БАВ;АБВ;ВАБ;БВА;ВБА;мальчиков по трём местам: АБВ;БАВ;АБВ;ВАБ;БВА;ВБА;

Ответ:Ответ:

шестью способами.шестью способами.

(варианты перестановок из трех элементов)(варианты перестановок из трех элементов)

Таблица вариантов и правила Таблица вариантов и правила произведенияпроизведенияЗадача 1:Задача 1: Записать всевозможные двузначные числа, Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом: 1) Цифры 1,2 и 3; 2) цифры 0, 1, используя при этом: 1) Цифры 1,2 и 3; 2) цифры 0, 1, 2, и 3. подсчитать их количество 2, и 3. подсчитать их количество NN

Ответ:Ответ: NN=9; =9; NN=12. =12.

Таблица вариантов и правила Таблица вариантов и правила произведенияпроизведения

Задача 3:Задача 3: Катя и Оля пришли в магазин, где продаются Катя и Оля пришли в магазин, где продаются в любом количестве плитки шоколада 3 видов. Каждая в любом количестве плитки шоколада 3 видов. Каждая девочка хочет купить одну плитку. Сколько существует девочка хочет купить одну плитку. Сколько существует способов покупки?способов покупки?

Решение.Решение.

Катя может купить плитку из трёх видов шоколада Катя может купить плитку из трёх видов шоколада ((nn=3). Аналогично может поступить и Оля (=3). Аналогично может поступить и Оля (mm=3). Пара =3). Пара шоколадок для Кати и для Оли может быть куплена шоколадок для Кати и для Оли может быть куплена nn**mm=3*3=9 различными способами.=3*3=9 различными способами.

Ответ: Ответ: 9.9.

Полный графПолный графЗадача 2:Задача 2: Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвраще-Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвраще-ния из спортивного лагеря подарили на память друг другу ния из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?фотографий было подарено?

Решение. Решение. 1 Способ – с помощью стрелок на ребрах полного 1 Способ – с помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В, Г показан процесс обмена графа с вершинами А, Б, В, Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в два раза больше, фотографиями. Очевидно, что стрелок в два раза больше, чем ребер, 6 * 2 = 12. Столько же было подарено и чем ребер, 6 * 2 = 12. Столько же было подарено и фотографий. фотографий.

2 способ – каждый из четырех мальчиков подарил друзьям 3 2 способ – каждый из четырех мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 * 4 = 12 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 * 4 = 12 фотографийфотографий

Ответ:Ответ: 12фотографий 12фотографий

Граф - деревоГраф - деревоЗадача 3:Задача 3: Антон, Борис и Василий купили 3 билета на Антон, Борис и Василий купили 3 билета на первое, второе, третье места первого ряда стадиона на первое, второе, третье места первого ряда стадиона на футбольный матч. Сколькими способами они могут футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?занять имеющиеся места?

Решение. Решение. На первое место может сесть любой их трех На первое место может сесть любой их трех друзей, на второе – любой из оставшихся, на третье друзей, на второе – любой из оставшихся, на третье последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы имен А, Б,В.помещая в вершины графа первые буквы имен А, Б,В.

Ответ: Ответ: 66

ПерестановкиПерестановкиЗадача 1: Задача 1: Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу за Галина побежали на перемене к теннисному столу за которым уже шла игра. Сколькими способами которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Решение: Первым (1) в очередь мог встать любой из Первым (1) в очередь мог встать любой из четырех семиклассников, вторым (2) – любой из четырех семиклассников, вторым (2) – любой из оставшихся трех, третьим (3)- любой из оставшихся оставшихся трех, третьим (3)- любой из оставшихся двух и четвертым (4)- семиклассник, подбежавший двух и четвертым (4)- семиклассник, подбежавший последним. По правилу произведения у четверых ребят последним. По правилу произведения у четверых ребят существует 4х3х2х1=24 способа занять очередь. существует 4х3х2х1=24 способа занять очередь.

Ответ:Ответ: 24 способа. 24 способа.

Число всевозможных перестановок из Число всевозможных перестановок из nn элементов элементов обозначают обозначают PPnn ((PP- первая буква французского слова - первая буква французского слова permutationpermutation-перестановка).-перестановка).

С помощью правила произведения можно обосновать, С помощью правила произведения можно обосновать, чточто

PPnn=1*2*3*…*=1*2*3*…*nn = = n! n! (читается как « Эн факториал»),(читается как « Эн факториал»),

ПерестановкиПерестановкиЗадача 3.Задача 3.

Сколькими способами можно расставить на полке 8 Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять которые при любых перестановках должны стоять рядом?рядом?

Решение.Решение.

Первоначально будем считать 2 книги одного Первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов.равно числу перестановок из 7 элементов.

PP77= 1*2*3*4*5*6*7 = 5040.= 1*2*3*4*5*6*7 = 5040.

Но в каждой такой перестановке книги одного Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно поменять местами, потому число автора можно поменять местами, потому число способов расстановки книг на полке будет в два способов расстановки книг на полке будет в два раза больше, т.е. 5040*2=10080.раза больше, т.е. 5040*2=10080.

Ответ:Ответ:

10080 способами.10080 способами.

ЗаключениеЗаключение

В наши дни комбинаторные В наши дни комбинаторные задачи приходится решать задачи приходится решать

физикам, химикам, биологам, физикам, химикам, биологам, экономистам и специалистам экономистам и специалистам

самых разных профессий.самых разных профессий.

В наши дни комбинаторные В наши дни комбинаторные задачи приходится решать задачи приходится решать

физикам, химикам, биологам, физикам, химикам, биологам, экономистам и специалистам экономистам и специалистам

самых разных профессий.самых разных профессий.

Выполнили:Выполнили:

Березенский СергейБерезенский Сергей

Либанов СергейЛибанов Сергей

8 класс8 класс

МОУ СОШ № 15МОУ СОШ № 15

Руководитель:Руководитель:

Учитель математикиУчитель математики

Бахмач Г. И.Бахмач Г. И.

с. Бада 2008 г.с. Бада 2008 г.

Выполнили:Выполнили:

Березенский СергейБерезенский Сергей

Либанов СергейЛибанов Сергей

8 класс8 класс

МОУ СОШ № 15МОУ СОШ № 15

Руководитель:Руководитель:

Учитель математикиУчитель математики

Бахмач Г. И.Бахмач Г. И.

с. Бада 2008 г.с. Бада 2008 г.