第二节原函数与微积分学基本定理

第二节第二节原函数与微积分学基本定理原函数与微积分学基本定理

一、原函数与变限积分

二、微积分学基本定理

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变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

变速直线运动中路程为，2

1

( )dT

Tv t t

设某物体作直线运动，已知速度 )(tvv 是时间间隔 ],[ 21 TT 上t的一个连续函数，且 0)( tv ，求物体在这段时间内所经过的路程.

另一方面这段路程可表示为 .)()( 12 TsTs

问题的提出

2

12 1( )d ( ) ( ),

T

Tv t t s T s T ).()( tvts 其中


定义 1

定理1

一、原函数与变限积分设函数 F x 在某区间 I上可导，且对任一

x I 有 F x f x 或 d dF x f x x ，

则称 f x 为函数 f x 在区间 I上的一个原函数.

设 F x 是 f x 在区间 I上的一个原函数，则 f x 在区间 I上的任何一个原函数都可表示为 F x C (C为常数).


设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设x

为 ],[ ba 上的一点，考察定积分

( )d ( )dx x

a af x x f t t

如果上限x在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在

],[ ba 上定义了一个函数，我们称 ( ) ( )dx

aΦ x f t t

为积分上限函数.

类似地，称 ,a b 上的函数 dt( )b

xΨ x f t

dt( )x

bf t 为积分下限函数.

积分上下限函数


定理 1 若 f x 在 ,a b 上可积，则 d( )x

aΦ x f t t 在

,a b 上连续.

证对 , Δ ,x x x a b ，有

d dΔ

( Δ ) ( ) ( ) ( )x x x

a ax x x f t t f t t

d( )x Δx

xf t t

d( )x Δx

xf t t

Δ 0M x (当Δ 0x 时）.

积分上限函数的性质


因此

Δ 0lim ( Δ ) ( ) 0x

x x x

，

即 ( )x 为 ,a b 上的连续函数.

定理 2 若 f x 在 ,a b 上可积，且在 0 ,x a b 处连续（ 0x a 和 0x b 时，分别为右连续和左连续），则

d( )x

aΦ x f t t 在点 0x 处可导，且 0 0( )x f x

( 0x a 和 0x b 时，分别为左导数和右导数).

证不妨设 0 ,x a b （ 0x 为端点时类似可证），由 f x 在 0x 处连续，有 0ε ， 0δ . 当

0 , ,x U x δ a b 时，


0f x f x ε ，于是当 0 ,x x δ 时，有

d0

00 0

0 0

( ) ( ) 1( ) ( ) ( )x

x

x xf x f t t f x

x x x x

d0

00

1 ( ) ( )x

xf t f x t

x x

d0

00

1 ( ) ( )x

xf t f x t

x x

00

1 ε x xx

εx

，

即

0

00

00

( ) ( )( ) lim

x x

x xx

x xf x

.


推论１如果 )(xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数 ( ) ( )d

x

aΦ x f t t 在 ],[ ba 上可导，且

d( ) ( )d ( )d

x

aΦ x f t t f x

x )( bxa

证Δ

( Δ ) ( )dx x

aΦ x x f t t

Δ ( Δ ) ( )Φ Φ x x Φ x Δ

( )d ( )dx x x

a af t t f t t

a b x

y

o xx

)(x

x


Δ( )d ( )d ( )d

x x x x

a x af t t f t t f t t

Δ( )d .

x x

xf t t

由积分中值定理得

Δ ( )Δ [ , ],Φ f ξ x ξ x x Δx

xx ,0

Δ 0 Δ 0

Δ Δ( ), lim lim ( )Δ Δx x

Φ Φf ξ f ξx x

).()( xfx

a b x

y

o xx

)(x

x


推论 2 若 f x 在区间 ,a b 上连续， F x 是 f x 的任一个原函数，则存在常数C，使得对任一 ,x a b有

d( )x

aF tx f t C .

如果 )(xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函

数 ( ) ( )dx

aΦ x f t t 就是 )(xf 在 ],[ ba 上的一个

原函数.

定理 3 （原函数存在定理）


例 1 求21

cos20

e dlim .

t

x

x

t

x

解2 21 cos

cos 1

d de d e d ,d d

xt t

xt t

x x

2 2cos cose (cos ) sin e ,x xx x 2

21

coscos

20 0

e d sin e 1lim lim .2 2e

tx

x

x x

t xxx

00

分析：这是型不定式，应用洛必达法则 .


例 2 设 )(xf 在 ),( 内连续，且 0)( xf .

证明函数 x

x

dttf

dtttfxF

0

0

)(

)()( 在 ),0( 内为单调增

加函数.

证0

d ( )d ( ),d

xtf t t xf x

x 0

d ( )d ( ),d

xf t t f x

x

0 0

2

0

( ) ( )d ( ) ( )d( )

( )d

x x

x

xf x f t t f x tf t tF x

f t t


0

2

0

( ) ( ) ( )d( ) ,

( )d

x

x

f x x t f t tF x

f t t

)0(,0)( xxf0

( )d 0,x

f t t ,0)()( tftx

0( ) ( )d 0,

xx t f t t

).0(0)( xxF

故)(xF在),0(内为单调增加函数.


例 3 设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)( xf .证明

02 ( )d 1

xx f t t 在 ]1,0[ 上只有一个解.

证0

( ) 2 ( )d 1,x

F x x f t t ,0)(2)( xfxF,1)( xf

)(xF在]1,0[上为单调增加函数. ,01)0( F

1 1

0 0(1) 1 ( )d 1 ( ) d 0,F f t t f t t

所以 0)( xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解.

令


定理 3 （微积分基本公式）

如果 )(xF 是连续函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上

的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxfb

a .

又 ( ) ( )dx

aΦ x f t t 也是 )(xf 的一个原函数,

已知 )(xF 是 )(xf 的一个原函数，

( ) ( ) [ , ]F x Φ x C x a b

证

二、微积分学基本定理


令 ax ,)()( CaaF

( ) ( )d 0a

aΦ a f t t ,)( CaF

( )d ( ) ( ),x

af t t F x F a

( ) ( )d ,x

aF x f t t C

令 bx ( )d ( ) ( ).b

af x x F b F a

牛顿―莱布尼茨公式


( )d ( ) ( ) ( )b b

aaf x x F b F a F x

微积分基本公式表明：

一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量.

注意：当 ba 时， ( )d ( ) ( )b

af x x F b F a 仍成立.

因此，求定积分问题转化为求原函数的问题 .


例 4 求 2

0(2cos sin 1)d .

π

x x x

原式π2

0

π2sin cos 3 .2

x x x

例 5 设 , 求 .

215

102)(

x

xxxf

2

0( )df x x

解

解2 1 2

0 0 1( )d ( )d ( )df x x f x x f x x

在 ]2,1[ 上规定当 1x 时， 5)( xf ,

1 2

0 12 d 5d 6.x x x 原式

x

y

o 1 2


例 6 求 2 2

2max{ , }d .x x x

解由图形可知

},max{)( 2xxxf

,

21

10

02

2

2

xx

xx

xx

0 1 22 2

2 0 1

11d d d .2

x x x x x x

原式

x

y

o

2xy

xy

1 22


例 7 求

解

1

2

1 d .xx

当 0x 时，

x1的一个原函数是 ||ln x ,

1

2

1 dxx

12||ln

x .2ln2ln1ln

例 8 计算曲线 xy sin 在 ],0[ 上与x轴所围成的平面图形的面积.

解面积x

y

o 0

sin dπ

A x x π

0cos 2.x


3. 微积分基本公式

1. 积分上限函数 ( ) ( )dx

aΦ x f t t

2. 积分上限函数的导数 ( ) ( )Φ x f x

( )d ( ) ( )b

af x x F b F a

小结小结

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．


思考题

设 )(xf 在 ],[ ba 上连续，则 ( )dx

af t t 与

( )db

xf u u 是x的函数还是t与u的函数？它们

的导数存在吗？如存在等于什么？


思考题解答

( )dx

af t t 与 ( )d

b

xf u u 都是x的函数

d ( )d ( )d

x

af t t f x

x

d ( )d ( )d

b

xf u u f x

x


一、填空题：

1、 2

2d e dd

xb

ax

x

=_______ .

2、 d ( ) dd

x

af x x

x __________ .

3、2 23d ln( 1)d

d xt t t

x

_______ .

4、2

0( )df x x ____，其中

21,2

10,)(

2

xx

xxxf .

5、设π

1 πcos cos d ,I mx nx x

π

2 πsin sin dI mx nx x

，

练习题


（1）当 nm 时， 1I =_______ , 2I =_______ ；（2）当 nm 时， 1I =_______ , 2I =_______ .

6、设π

3 πcos sin d ,I mx nx x

（1）当 nm 时， 3I =_________ ；（2）当 nm 时， 3I =_________ .

7、9

4(1 )dx x x ________ .

8、3

1 23

d1

xx

________ .

9、2

0

0

cos dlim

x

x

t t

x________ .


二、求导数：

1、设函数 )(xyy 由方程0 0

e d cos d 0y xt t t t 所

确定，求dd

yx ；

2、设

2

2

1

1 2

ln d ,

ln d ,

t

t

x u u u

y u u u

)1( t ,求2

2

dd

yx

；

3、cos 2

sin

d cos(π )dd

x

xt t

x ；

4、设2

30

d( )1

x xg xx

，求 )1(g .


三、计算下列各定积分：

1、2 2

21

1 dx xx

； 2、

121 22

d

1

x

x ；

3、4 20

21

3 3 1 d1

x x xx

； 4、

2π

0sin dx x .

四、求下列极限：

1、

2

2

2

0

2

0

( e d )lim

e d

x t

xx t

t

t

; 2、

12

2

0502

(1 cos )dlim

x

x

t t

x

.


五、设 )(xf 为连续函数，证明:

0 0 0( )( )d ( )d d

x x tf t x t t f u u t .

六、求函数 20

3 1( ) d1

x tf x tt t

在区间 0 , 1 上的最

大值与最小值 .

七、设当时

当或时

1 sin , 0 π2( )

0 0 π

x xf x

x x

，

，，

求0

) ( )dx

φ x f t t（在 ),( 内的表达式 .


八、设 baxf ,)( 在上连续且 ,0)( xf d( )d( )

x x

a b

tf t tf t

,证明：

（1） ( ) 2F x ；（2）方程 0)( xF 在 ),( ba 内有且仅有一个根 .


一、1、 0； 2、 )()( afxf ； 3、 )1ln( 23 xx ；

4、6

5； 5、(1) , ； (2) 0,0；

6、0,0； 7、 ;6

145 8、

6； 9、1.

二、1、1sin

cos

x

x； 2、

tt ln2

12

；

三、 1、8

52 ； 2、

3； 3、 1

4

； 4、4.

练习题答案


四、1、0； 2、 10

1.

六、33

5, 0.

七、

0 , 0

1( ) (1 cos ) , 0 π2

1 , π

x

φ x x x

x

.


第二节 原函数与微积分学基本定理

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