第四节 分块矩阵

第一章 矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的运算

三、常用的分块形式及其应用

华东理工大学数学系

一、矩阵分块的概念一、矩阵分块的概念

　 对于行数和列数较高的矩阵 A ，运算时常采用在 A 的行间作水平线，在列间作铅锤线，从而将大矩阵划分成小矩阵的方法，这种方法称为矩阵分块法，每个小矩阵称为矩阵 A 的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 .

华东理工大学数学系

b

b

a

a

A

110

101

000

001

例

A

001a

b

a

110

000

b110

1B

2B

3B即

华东理工大学数学系

b

b

a

a

A

110

101

000

001

A

1a

1C00

2C

10

01

0 a

3C

b

b

1

1

00

4C即

又例如

华东理工大学数学系

1

2

,A O

I A

,4321 AAAA

b

b

a

a

A

110

101

000

001

b

b

a

a

A

110

101

000

001

1

1

0

aA

a

2

1

1

bA

b

0

1

01

a

A其中

1

0

1

2

aA

1

0

0

3 bA

b

A1

0

0

4

华东理工大学数学系

.

1

111

srs

r

AA

AA

A

1. 数与分块矩阵相乘

11 1

1

,r

s sr

A A

A

A A

设 是数，那么

二、分块矩阵的运算二、分块矩阵的运算

华东理工大学数学系

那么列数相同的行数相同与其中 ,,ijij BA

.

11

111111

srsrss

rr

BABA

BABA

BA

srs

r

srs

r

BB

BB

B

AA

AA

A

1

111

1

111

,

2. 分块矩阵的加法

即相同的分块法 ,

采用列数相同的行数相同与设矩阵 ,,BA

华东理工大学数学系

,,

1

111

1

111

trt

r

sts

t

BB

BB

B

AA

AA

A

srs

r

CC

CC

AB

1

111

1

.t

ij ik kjk

C A B

其中

3. 分块矩阵的乘法

法与 B 的行的分法相同，即矩阵为矩阵为设 ,, l×nBm×lA 且 A 的列的分

那末的行数,

的列数分别等于其中 ,,,,,, 2121 tjjjitii BBBAAA

华东理工大学数学系

TsA 1

TrA1

11

.

T

T

Tsr

A

A

A

4. 分块矩阵的转置

11

,

sr

A

A

A

rA1

1sA

设 则

华东理工大学数学系

例 1 设

,

1011

0121

0010

0001

A ,

0211

1401

1021

0101

B

AB求 及 .TA

华东理工大学数学系

解 分块成把 BA,

1A

1 0 1 0

1 2 0 1

1 0 4 1

1 1 2 0

B

11B I

21B 22B则 11

1 21 22

I O B IAB

A I B B

.22121111

11

BABBA

IB

02

14

11

21221 BA ,

13

33

1 0

0 1

1 0

0 1

A

11

2100

00

,

I

IO

华东理工大学数学系

又 21111 BBA

11

01

21

01

11

21

11

01

20

43 ,11

42

于是

22121111

11

BABBA

IBAB .

1311

3342

1021

0101

1

0

TT I A

AI

1 0

0 10 0

0 0

1 1

2 1

1 0

0 1

华东理工大学数学系

,2

1

sA

A

A

AO

O

1. 将 n 阶矩阵 A 分成分块对角矩阵

三、常用的分块形式及其应用三、常用的分块形式及其应用

设 A为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵在主对角线

以外均为零子块，且主对角线上的子块 Ai(i=1,∙∙∙,n)都

是方阵 (阶数可以不等 )，即

则称 A 为分块对角矩阵 .

华东理工大学数学系

1 1

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0s s

A B

A B

A B

.

00

00

00

22

11

ssBA

BA

BA

华东理工大学数学系

;2

1

sA

A

A

Ao

o1

1

1

1

并有可逆则 ,A 都可逆每个子块若 ,,,2,1 siAi

1

2 ,

s

O A

AB

A O

若

OA

A

AO

B

s

1

2

1

1

1

1

则

华东理工大学数学系

2. 将 m×n 矩阵 A 按行分块

1

2

T

T

Tm

A

其中 为 A 的第 i 个行向量 . 1 2Ti i i ina a a

华东理工大学数学系

3. 将 m×n 矩阵 A 按列分块 1 2 nA

其中 为 A 的第 j 个列向量 .

1

2

j

j

j

mj

a

a

a

说明：(1)将 m×n 矩阵 A 作为一个子块，即将 A 作为 1×1 的分块矩阵 .

(2) 将 m×n 矩阵 A 的每个元素作为一个子块，即将 A作为 m×n 的分块矩阵 .

华东理工大学数学系

例 1 设 ,

00310

00051

0400

2000

A .1A求

解

,021

41011

A则 ,

30

0512

A

于是

OA

AO

OA

AOA

11

12

1

2

11

00021

00410

3000

0500

1A

2A

分块A将 ，即

,2

1

OA

AOA

华东理工大学数学系

例 2. 设 n 阶方阵 A 按列分块的分块矩阵是

1 2 ,nA 计算 AAT， ATA.

解： TA

1

2

T

T

Tn

A 1 2 n 1 1 .T T

n n

1

21 2

T

TT

n

Tn

A A

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

.

T T Tn

T T Tn

T T Tn n n n

华东理工大学数学系

例 3. 对于线性方程组

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

设 A=[aij]m×n 是其系数矩阵，

1

2 ,

n

x

xx

x

1

2 ,

m

b

bb

b

则

线性方程组可记为 Ax=b .

华东理工大学数学系

将系数矩阵 A 按行分成 m×1 块，即

1

2 ,

T

T

Tm

A

则

Ax b

1

2

T

T

Tm

x b

11

22

T

T

Tmm

bx

bx

bx

1, , .Ti ix b i m

华东理工大学数学系

将系数矩阵 A 按列分成 1×n 块，即

则

Ax b 1

21 2 n

n

x

xb

x

1 2 ,nA

1 1 2 2 .n nx x x b

华东理工大学数学系

例 4. 设 A 的逆矩阵是 B ，即AB=BA=I .

将 B和 I 按列

分成 1×n 的分块矩阵，

1 2, , , nb b b 1 2, , , ne e eA

即

1 2, , , nAb Ab Ab 1 2, , , ne e e

其中 ei 表示 n 阶单位矩阵的第 i列，

1, , .i iAb e i n

A 的逆矩阵 B 的列向量 bi 是线性方程组 Ax＝ ei 的解向量 .

华东理工大学数学系

例 5. 证明：设 A是 m×n 矩阵，则对任一 n 维列向量 x ，

Ax=0 的充要条件是 A＝ 0.

证明：充分性显然成立 .

必要性：取 n 维向量 x=ei(ei是 n 阶单位矩阵的第 i列 ) .将

A 按列分块，即设 1 2 ,nA 则

华东理工大学数学系

1

0

1

0

i i n iAe

0.

即矩阵 A 的第 i 列为零 .

由 i 的任意性，可知 A 的每一列

都是零向量，即 A＝ O.

Aei是 A 的第 i 列 .

设 A是 m×n 矩阵， ei是 n 阶单位矩阵的第 i 列，则注

华东理工大学数学系

例 6 有分块形式：阶方阵An

nA ,,, 21

Tn

T

T

A

2

1

及

ndiag ，1 2[ , , , ]

解：

的行分块形式，即有

设

又有对角矩阵 计算

A 与 A .

A有意义，必需取矩阵依题意，为使 A

华东理工大学数学系

n

A

1

2

Tn

T

T

2

1

Tnn

T

T

22

11

同理，有

n

2

1

nA 1 2, , ,

nn ,,, 2211

华东理工大学数学系

小结小结

(2) 加法 采用相同的分块法同维矩阵,

(1) 数乘 的每个子块乘需乘矩阵数 AkAk ,

(3) 乘法 ,

.

A B A B若 与 相乘 需 的列的划分与 的行的划分相一致

分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算类似

1. 分块矩阵的概念2. 分块矩阵的运算

(4) 转置

华东理工大学数学系

(1) 分块对角阵

sA

A

A

A

2

1

O

O

3. 常用的分块形式及其应用

A 1

s

O A

AB

A O

1

2

B 1

华东理工大学数学系

2. 将 m×n 矩阵 A 按行分块

1

2

T

T

Tm

A

3. 将 m×n 矩阵 A 按列分块 1 2 nA

第五节 初等变换与初等矩阵

第一章 矩阵

一、概念的引入

二、矩阵的初等变换

三、初等矩阵

四、 初等变换与初等矩阵的应用

华东理工大学数学系

引例

一、概念的引入一、概念的引入

求解线性方程组

12

13

02

321

21

321

xxx

xx

xxx

我们来分析用消元法解下列方程组的过程．

解

1

3

2

12 3

3 1

13

135

02

32

32

321

xx

xx

xxx 1

3

2

华东理工大学数学系

1 2 3

2 3

2 3

2 0

3 1

5 3 1

x x x

x x

x x

1

3

22 3

53 2

412

13

02

3

32

321

x

xx

xxx 1

3

2

31

031

3

2

1

x

x

x

华东理工大学数学系

(1) 交换两个方程的次序；

(3) 某个方程的 k 倍加到另一个方程上去．

(2) 以不等于０的常数 乘上某个方程；

用消去法解线性方程组所作的变换不外三类：

　　这三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．我们称这三种变换是方程组的同解变换．

华东理工大学数学系

　对线性方程组的求解变换过程，实际上只是

1211

1013

0121

)( bAA

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 ( 方程组的增广矩阵 ) 的变换．

A

对方程组的系数和常数作变换 . 因此，若记

华东理工大学数学系

定义 1 下面三类变换称为矩阵的初等行变换 :

二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换

)记作行乘( 第 )(, iri

对应的元素上去 .

同理可定义矩阵的初等列变换 ( 所用记号是把“ r” 换成“ c”) ．

行上倍加到第行的 jki .)( )记作 krij( 第

) ；记作两行对调两行 ( 对调 ijrji ,,(1)

0 乘以矩阵中某一行的所有元素以数 (2)

倍加到另一行把某一行所有元素的 k(3)

华东理工大学数学系

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换都是可逆的，其逆变换仍为初等变换 , 且变换类型相同．

ijr

)(ir

逆变换逆变换 ;)

1(ir

)(krij 逆变换 .)( krij

ijr

华东理工大学数学系

等价关系的性质：；反身性）（ A~ A 1

A;~B , B~ A 2 则若对称性）（

C.~ AC,~BB,~ A 3 则若）传递性（

．等价，记作与矩阵 BABA ~

，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵 BA 就称

华东理工大学数学系

定义 2 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的

方阵称为相应的初等矩阵 . 分别记第 1,2,3 类行

(列 ) 初等矩阵为 Rij(Cij), Ri (λ) (Ci(λ)), Rij(k)

(Cij(k)) .

三、初等矩阵三、初等矩阵

华东理工大学数学系

1

1

0 1

1

1

1 0

1

1

ijR

ijC

行第 i

行第 j

列第 i 列第 j

华东理工大学数学系

1

1

( )

1

1

iR

1

1

( )

1

1

ijR k

k

第 i 列 第 j 列

第 i 行

第 j 行

第 i 行

第 i 列

jiC k

( )iC

华东理工大学数学系

变换 rij 的逆变换是 rij ，则

1ijR

变换 的逆变换为 ，则 ir 1

ir

1iR

变换 rij(k) 的逆变换为 rij(-k) ，则 1ijR k

初等变换 初等矩阵

初等逆变换 初等逆矩阵

.ijR

1.iR

.ijR k

华东理工大学数学系

定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵 .

nmm

nA

AAA

A

华东理工大学数学系

例 1 设1 2 1 2

3 1 2 1 ,

2 1 2 1

A

求 12 13 3 .R AC

解： 12 13 3R AC

3 1 11 1

1 2 4 2 .

2 1 8 1

13

3 1 2 1

1 2 1 2 3

2 1 2 1

C