Марина Александровна

Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит.

Эпиграф к уроку

Случай из жизни!!

Бранислав Нушич –

сербский писатель-драматург

Три способа формулировки математических утверждений:

1)Словесный – понятный, но длинный, неудобный;

2)Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычисления;

3)Символьный – краткий, легко

запоминающийся.

КВАДРАТ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ ПЛЮС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Квадрат суммыКвадрат суммы

(a+b)2=(a 2 +2ab + b 2)Доказательство:Доказательство:

(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a2+ab+ab+b2= a2 + 2ab +b2

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть a и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной a+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами a и b. Площадь квадрата со стороной a+b равна (a+b)²

Этот квадрат мы разрезали на 4 части: квадрат со стороной a (его площадь a²), квадрат со стороной b (его площадь b²), 2 прямоугольника со сторонами a и b (площадь каждого прямоугольника равна ab)

Значит, (a + b)² = a² + b² + 2ab

Квадрат разностиКвадрат разности

КВАДРАТ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ МИНУС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(a-b)2=(a 2 - 2ab + b 2)Доказательство:Доказательство:

(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a·a - a·b - b·a + b·b = a2-ab-ab+b2= a2 -2ab +b2

Расширение знаний по формулам

сокращенного умножения

(а + b + с)2 = а2 + b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс

Геометрическое доказательство

Докажем следующие утверждения

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что

((──a — b)a — b)² = (a + b)²;² = (a + b)²; (b — a)² = (a — b)².(b — a)² = (a — b)².

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СУММЫ ОДНОЧЛЕНОВ НА ИХ РАЗНОСТЬ

a2-b2=(a+b)(a-b)Доказательство:Доказательство:

(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2= a2-b2

S-площадь квадрата со стороной a.По рисунку получаем

S=S1+S2+2S3таким образом, получаем

a2=b2+(a-b)2+2(a-b)b

a2-b2=(a-b)(a-b+2b)

a2-b2=(a-b)(a+b)

a

S3

b

b

S1

a-b

a-b

S2

a-b

bS3

Доказательство:

Доказано a2-b2=(a-b)(a+b)

Задача – сказка!

У одного царя-батюшки было две дочки и прямоугольное царство, длина которого на 11 км больше ширины. Первой вышла замуж за соседского принца младшая дочка и получила в приданое квадратную часть со стороной равной ширине царства, которое было изначально у батюшки. Старшей дочери, когда она наконец уговорила Иванушку, ее батюшка - царь выделил площадь в 50 км2. Вычислите площадь царства, которое было до замужества всех дочерей у царя, если жилплощадь, которая осталась у царя-батюшки равна 49 км2.

 

a b S

Было царство

X+11 x X*(x+11)

Мл. дочь X*x

Ст. дочь 50

Осталось 49

Некоторые математические фокусыНекоторые математические фокусы

Отметим, что на формулах квадрата суммы и квадрата разности основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9.

7171² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041 Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат

чисел, оканчивающихся цифрой 5:

8585² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·(80 + 10) + 25 = ² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·(80 + 10) + 25 = = 80·90 + 25 = 7200 + 25 = 7225 = 80·90 + 25 = 7200 + 25 = 7225

a2 = а2 – b2 + b2 = (a – b)(a + b) + b2, где b – дополнение числа а до

круглого числа.

Пример.Вычислите 942

1. Круглое число 100.

а = 94, b = 6, а + b = 100, a – b = 88.

2. 942 = 942 - 62 + 62 = (94-6)*(94+6)+36=88*100+36=8836.

Вычислите:

1)952

2)1952

Быстрый счётБыстрый счёт

292-282=(29-28)(29+28)=1·57=57

732-632=(73+63)(73-63)=136·10=1360

1332-1342=(133-134)(133+134)= -1·267= -267

Но и в формуле разности квадратов Но и в формуле разности квадратов есть свои фокусыесть свои фокусы

«Устный счет»Николая Богданова – Бельского

365

1413121110 22222

Главный герой картины

Задача из второй книги «Начал» Евклида

Доказать, что:

Домашнее задание 1. Вычислите: а) 9762; б) 2952.

2. Найти три последовательных натуральных чисел таких, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

3.

• Я считаю себя отличным хозяином. Все, что касается домашних дел, я решаю сам. Вот и вчера я купил напольное покрытие, длина которого была на 1,6 метра больше его ширины. При укладке пришлось отрезать вдоль и поперек покрытия полосы шириной 20 см (0,2 м) , в результате чего его площадь сократилась на 1,2 м2. Найдите площадь комнаты, которой я любуюсь вот уже второй день?

• (Примечание: покрытие легло ровно на всю поверхность пола.)

Спасибо за урок!!!

«Мышление надо упражнять, надо ежедневно снова и снова размышлять, чтобы сохранить жизнь мысли»

И.Бехер