第三章 直线、平面的相对位置南

昌理工学院

机械制图教研室

概述

本章小结结束放映

目 录 3.1 平行关系 3.1.1 直线与平面平行 3.1.2 平面与平面平行 3.2 相交关系 3.2.1 直线与平面相交 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交 3.2.3 两平面相交 3.3 综合举例 举例一 举例二 举例三 举例四

本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容： 1)平行关系：直线与平面平行， 两平面平行。 2)相交关系：直线与平面相交， 两平面相交。

概 述 本章主要学习直线与平面和两平面间的相对位置的投影特点及作图，是学习后续内容的基础。本章总的要求是：掌握特殊位置的直线于平面之间和两平面之间各种相对位置的投影特点及其作图方法

3.1.1 直线与平面平行

定理 : 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

3.1 平行关系

由于 ef ad∥ ， e f a∥ d ，即EF AD∥ ，且 AD 是 ABC 平面上的一直线，所以，直线 EF 平行于 ABC 平面。

[ 例 1]过已知点 k ，作一条水平线平行于△ ABC 平面。 步骤：

1 ）在 ABC 平面内作一水平线 AD ；

2 ）过点 K 作 KL AD∥ ；

3 ）直线 KL

即为所求。

d′

d

l′

l

k′

k

a′

a

b′

e′

b

c

X

[ 例 2] 试判断 : 已知直线 AB 是否平行于四棱锥的侧表面 SCF 。

作图步骤：1 ）作 cm a∥ b ；2 ）根据 CM 在平面SCF 内，作出 cm ；3 ）由于 cm 不平行于 ab ，即在该平面内作不出与 AB 平行的直线，所以，直线 AB 不平行于四棱锥侧表面SCF 。

3.1.2 平面与平面平行 两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

因为： AB DE∥ ， BC EF∥ ，所以：平面 ABC 和平面 DEF 相平行。

［例 3 ］过点 K 作一平面，是其与平面 ABC 平行。

解：只要过 K 点作两条相交直线分别平行于△ ABC 的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。

作图步骤：

2 ）作 KD AC∥　 (kd a∥ c,kd ac∥ );

a

c

a

c

b

b

k

k

l

l

d

d

X

1 ）作 KL BC∥　 (kl b∥ c, kl bc∥ );

3 ）平面 KDL 即为所求。

3.2.1 直线与平面相交

3.2 相交关系

1 利用积聚性求交点

当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

⑴ 平面为特殊位置[ 例 ] 求直线 MN 与平面 ABC 的交点 K 并判别可见性。

空间及投影分析 平面 ABC 是一正垂面，其 V 投影积聚成一条直线，该直线与 mn 的交点即为 K 点的 V 投影。

1)求交点。2)判别可见性。由 V 投影可知， km 段在平面上方，故 H 投影上km 为可见。还可通过重影点判别可见性。

作 图

直线 EF 为正垂线时

［例 1 ］求直线 MN 与铅垂面 P 的交点。解 : 平面 P 为铅垂面， PH 有积聚性，故 mn 与 PH

的交点 k 即为交点 K 的 H 投影。

k

由于交点 K 必在直线 MN 上，故可用在直线上取点的方法，由 k 求出 k 。规定：在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。

k

［例 2 ］求直线 MN 与四棱柱表面 ABCD 和 ABEF 的交点。

解： ABCD 为水平面，其 V投影有积聚性； ABEF 为铅垂面，其 H 投影有积聚性，故本题可用平面的积聚性求解。

作图步骤：1 ）求 mn 与 abcd 的交点k ；2 ）根据 k ，在 mn 上求得点 k ，则点 K(k,k ) 就是 MN 与 ABCD 的交点；3 ）求 mn 与 abef 的交点 l ；4 ）根据 l ，在 mn 上求得点l ，则点 L(l,l ) 就是 MN 与ABEF 的交点；5 ）因直线 MN 穿通四棱柱，所以线段 KL 之间部分的投影均为不可见。

一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法： 将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。

3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交

［例 3 ］求一般位置直线 MN 与一般位置平面 ABC 的交点。

解：根据上述分析，应采用换面法将平面 ABC 变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。

作图步骤：1 ）在平面 ABC 上作水平线 AD(ad,a d );

2 ）作 X1 轴垂直于 ad;

3 ）求出直线 MN 和平面 ABC 在 V1 投影面上的新投影 m1 n1 和 a1 b1 c1 ；

4 ）求出 m1 n1 和 a1 b1 c1 的交点 k1 ；5 ）根据 k1 求出 k ，再由 k 求出 k ，则点K(k,k ) 就是直线 MN 与平面 ABC 的交点；6 ）取 H 面的重影点 1 、2 判断直线 MN 的 H 投影的可见性。

7 ）取 V 面的重影点 3 、4 判断直线 MN 的 V 投影的可见性。

3.2.3 两平面相交

1 一般位置平面与特殊位置平面相交

在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。

［例 4 ］求一般位置平面 ABC 与铅垂面 DEF 的交线。解：由图可见，只要求出△ ABC 上的两条直线AB 、 AC 和△ DEF 的交点 M 、 N ，就可以求得两平面的交线。

作图步骤：1)利用积聚性求 AB 与△ DEF 的交点 M (m,m ) ；2)利用积聚性求 AC 与△ DEF 的交点 N (n,n ) ；3)连接 MN (mn,m n ) 就可得到两平面的交线；4)取直线 AB 和 DF 在 V 面上的重影点 1 (2) ，分辨可见性： 由图可见，点 1 在点 2 的前面，故 b m 为可见，为 m l 不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。

[ 例 5]求一般位置直线 ABC 与正垂面 P 的交线。

解： P 平面为正垂面，可以利用 PV 的积聚性，直接求出交线的 V 投影 m n ，再由 m n 求得 mn 。

　　由于 P 平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性。

［例 6 ］求证垂面 P 与三棱柱表面的交线。

解 : 求 P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边 AA1 、AB 、 AC 和 P 平面的交点D 、 E 、 F ，然后将交点顺次连接即可。作图步骤：1)利用积聚性求直线 AA1 与 P 平面的交点 (d,d,d ) ；

3 ）用同样的方法求出 F (f, f, f ) ；4 ）顺序连接点 D 、E 、 F 的同面投影，就可求得 P 平面与三棱柱表面的交线。

2 ）利用积聚性求直线 AB 与 P 平面的交点 E ，其过程为先求 e ， 根据 e 求出 e ，再跟据 e 求出 e ；

[ 例 7]已知三棱锥 SABC 被铅垂面 Q 切去一角，试完成其主、左视图。

解：平面 Q 为铅垂面，只需利用积聚性求得 Q 平面与三棱锥三条棱边 SA 、AB 、 AC 的交点 D 、 E 、F ，然后将其顺序连接即可。作图步骤：1)求 D 、 E 、 F 得 H 投影 d 、 e 、 f ；2)由 d 、 e 、 f 求出 d 、 e 、 f ；3)由 e 、 f 求出 e 、 f ；4)由 d 求出 d ；5)顺序连接 D 、 E 、 F 的同面投影即可。

2 两个一般位置平面相交

两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。解决此类问题的思路是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。

[ 例 8]求两一般位置平面 ABC 和 DEF 的交线。

解 : 将平面 ABC 变换成投影面垂直面，即可求得交线的一个投影。作图步骤：1)在平面 ABC 上作水平线 AN(an,a n ) ；

2)作 X1 轴垂直于 an ；

3)求出△ ABC 和△ DEF 在 V1 面上的新投影 a1 b1 c1 和 d1 e1 f1 ；

6 ）利用 V1 投影直接判断 H 投影的可见性；利用重影点1 ,2 和 3, 4 判断投影的可见性。

4 ）求出 a1 b1 c1 和 d1 e1 f1 的交线 k1 l1 ；

5 ）根据 k 1 l 1 求出kl ，再根据 kl 求出 k l ，则直线 KL(kl, k l ) 就是两平面的交线；

3.3 综合举例

本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。

[ 例 1]求点 M 与直线 AB 之间的距离。解：由图可见，求点 M 与直线 AB 间的距离，应由点向直线 AB 引垂线，交AB 于 K 点，则线段 MK 即为点 M 与直线 AB 间的距离。 当直线 AB 垂直于某一投影面时，则线段 MK必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。

m

ba

a

b

Xm

　　图所示直线 AB 为水平线，若求点 M 到直线 AB的距离，应进行一次投影换面，将直线 AB 变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M 与直线 AB 之间的距离的实长。将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。

A

K

B

A(b)(k)

M

m

H

m

ba

a

b

Xm

k

k

m

ba

a

b

X

m

X1

H V1

(b1)a1

k1

m1

作图步骤：1)取新投影轴 X1 垂直于 ab ，求出点 M 与直线 AB的新投影 m1 和 a1 b1 ;

2)由点 M 向直线 AB 作垂线，与直线 AB 相交于点 K ，点 K 在新投影体系中的投影 k1 与 a1 b1 重合，连接 m1　k1 即为所求距离的实长；3)自 m 引直线平行于 X1

轴，与 ab 相交于 k ；4)由 k 求出 k ，则可求得点 M 与直线 AB 的距离 MK (mk, m k ) 。

[ 例 2] 求点 S 到平面 ABC 的距离。

解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如图 (a) 可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点 M 向平面所作的垂线 MK 为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。　　图 (b) 所示的平面 ABC 为一般位置平面，求点 S 到平面的距离时，应先把点 S 和 ABC 平面作一次换面，使平面 ABC 在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点 S 向平面 ABC 作垂线，则垂足 L 和点 S 的连线 SL 即为所求点 S 到平面 ABC 的距离。

作图步骤：1 ）在 ABC 平面上作水平线 CD( cd , c d ) ；

2 ）取 X1 轴垂直于 cd ，在 V1 投影面上求出 s1 和 a1 b1 c1( 积聚为一直线）；

3 ）自 s1 引 a1 b1 c1 的垂线与之相交于 l1 ，则 s1 l1 即为所求距离的实长；

4 ）自 s 作 X1 的平行线，并在其上根据 l1 求出l ；

5 ）用取面上点的方法求出 l ，则线段 SL(sl ,s l ) 即为所求点到平面的距离。

［例 3 ］求平面 ABC 和平面 ABD 间的夹角。

解 : 由图 (a) 可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线即可。

作图步骤：1 ）更换 V 面，作轴 X1 平行于 ab ，求出两平面在新的投影体系中的投影 a1 b1 c1 和 a1 b1 d1 ，此时，交线 AB平行于 V1 面；

2 ）更换 H 面，作轴 X2 垂直于 a1 b1 ，求出两平面在新的投影体系中的投影 a2b2c2 和 a2b2d2 ，此时交线 AB 垂直于 H2 面， c2a2d2 即为所求两平面夹角 的真实大小。

　　图 (b) 中，平面 ABC 和 ABD 的交线 AB 为一般位置直线，因此需要两次换面，才能使交线 AB 变换为投影面垂直线。

［例 4 ］过点 K 作一条直线，使其与平面CDE 平行，并与直线 AB 相交。

解 : 过定点 K 作一条直线平行于已知平面 CDE ，有无穷多解，这些直线的轨迹为一个过点 K 且平行于 CDE 的平面 Q 。所作的直线还应与直线 AB

相交，而 Q 平面与直线 AB 只有一个公共点，即直线 AB 与平面 Q 的交点 S 。因此 KS 即为所求直线。作图步骤：1 ）过 K 点作平面 KFG 平行于平面 CDE(KF CE, ∥KG CD∥ ) ；

2 ）用换面法求直线 AB 与平面 KFG 的交点 S ；

3 ）连接 K 、 S 两点，则直线 KS(ks,ks　) 即为所求。

本 章 结 束