动 点 问 题 探 究
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动 点 问 题 探 究. 中考数学专题复习 24 题 --- 动点问题. 最后一题并不可怕，更要有信心！ 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题 ---- 动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找 确定的关系式 ，就能找到解决问题的途径。 本节课重点来探究动态几何中的第一种类型 ---- 动点问题。. 1 、如图：已知 ABCD 中， AB=7 ， BC=4 ，∠ A=30°. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
动 点 问 题 探 究
中考数学专题复习 24 题 --- 动点问题
最后一题并不可怕，更要有信心！ 图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题 ----
动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
本节课重点来探究动态几何中的第一种类型 ---- 动点问题。
1 、如图：已知 ABCD 中， AB=7 ， BC=4 ，∠ A=30°
D C
BA
(1) 点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 运动，速度为 1cm/s, 时间为t(s).
7
430°
P
当 t 为何值时，△ PBC 为等腰三角形？
若△ PBC 为等腰三角形
则 PB=BC
∴ 7-t=4
∴ t=3
如图：已知 ABCD 中， AB=7 ， BC=4 ，∠ A=30°
当 t 为何值时，△ PBC 为等腰三角形？
P
D C
BA 7
4
(2) 若点 P 从点 A 沿 AB 运动，速度仍是 1cm/s 。射线
小组合作交流讨论
P
D C
BA 7
4
当 BP=BC时（锐角 )
P
D C
BA 7
430°
当 CB=CP时
∟
E32 P
当 PB=PC时
D C
BA 7
4
P
E
D C
BA 7
4
当 BP=BC时（钝角）
1 、如图：已知 ABCD中， AB=7 ， BC=4 ，∠ A=30°
P
D C
BA 7
4
当 BP=BC时
P
D C
BA 7
430°
当 CB=CP时
∟
E32 P
当 PB=PC时
D C
BA 7
4
P
E
D C
BA 7
4
当 BP=BC时
(2) 若点 P 从点 A 沿射线 AB 运动，速度仍是 1cm/s 。当 t 为何值时，△ PBC 为等腰三角形？
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
(2) 若点 P 从点 A 沿射线 AB 运动，速度仍是 1cm/s 。当 t 为何值时，△ PBC 为等腰三角形？
P
D C
BA 7
4
当 BP=BC时 ( 钝角 )
当 BP=BC时 ( 锐角 )
当 CB=CP时
当 PB=PC时
∴ t=3 或 11 或 7+ 或 /3 +7 时 △ PBC 为等腰三角形34 34
1. 如图：已知 ABCD 中， AB=7 ， BC=4 ，∠ A=30°
D C
BA
（ 3 ）当 t ＞ 7 时，是否存在某一时刻 t, 使得线段 DP 过线段 BC 的三等分点？
P
E
P
E
D C
BA
解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程
（ 1 ）当 t 为何值时， PQ BC?∥
CB
A
P
D
Q
2. 在 Rt ABC△ 中，∠ C=90° ， AC=6cm ， BC=8cm ， 点 P 由点 A 出发 ，沿 AC 向 C 运动，速度为 2cm/s ，同时 点 Q 由 AB 中点 D 出发，沿 DB 向 B 运动，速度为 1cm/s ，连接 PQ ，若设运动时间为 t(s) (0 ＜ t ≤3)
若 PQ BC∥
6
2
10
5 tt
7
15 t
AC
AP
AB
AQ
则△ AQP ～△ ABC
2t
5+t
(2) 设△ APQ 的面积为 y( ) ，求 y 与 t 之间的函数关系。2cm
∟
M
∟
N
2. 在 Rt ABC△ 中，∠ C=90° ， AC=6cm ， BC=8cm ， 点 P 由点 A 出发 ，沿 AC 向 C 运动，速度为 2cm/s ，同时 点 Q 由 AB 中点 D 出发，沿 DB 向 B 运动，速度为 1cm/s ，连接 PQ ，若设运动时间为 t(s) (0 ＜ t ≤3)
CB
A
PD
Q
CB
A
PD
Q
∟
N
CB
A
PD
Q
tty
tty
45
4
5
442
2
1
2
∵△AQN ABC∽ △
10
5
8
tQN
tQN5
44
AB
AQ
BC
QN
相似法
2.(2)
N
∟
CB
A
PD
Q
tQN5
44
90CABCRt 中，在
10
8
AQ
QN
10
8
5
t
QN
10
8SinA
三角函数法
2.(2)
tty
tty
45
4
5
442
2
1
2
2.(3) 是否存在某一时刻 t ，使△ APQ 的面积与△ ABC 的面积比为 7 ︰ 15 ？若存在，求出相应的 t 的值；不存在说明理由。
∴ 当 t=2 时， △ APQ 的面积与△ ABC 的面积比为7 ︰ 15
24682
1ABCS
15
7
ABCS
y
2415
74
5
4 2 tt
01452 tt
0)2)(7( tt
2,(7 tt 舍去）
CB
A
PD
Q
计算要仔细
2. （ 4 ）连接 DP, 得到△ QDP ，那么是否存在某一时刻 t ，使得点 D 在线段 QP 的中垂线上？若存在，求出相应的 t 的值；若不存在，说明理由。
∵ 点 D 在线段 PQ 的中垂线上 ∴ DQ=DP
22 DPDQ
222 )32(4 tt
025123 2 tt
∴ 方程无解。
即点 D 都不可能在线段 QP 的中垂线上。
∵ △ = —156<0
∟ G
CB
A
P
D
Q
t2t
34
.
4. （ 2009 中 考 ） 例 1 、如图，已知在直角梯形 ABCD中， AD BC ∥ ，∠ B=90° ， AD=24cm ， BC=26cm ，动点 P从点 A 开始沿 AD边向点 D ，以 1cm/ 秒的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB向点 B 以 3 厘米 / 秒的速度运动， P 、 Q 分别从点 A 点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，求：1 ） t 为何值时，四边形 PQCD为平行四边形2) t 为何值时，等腰梯形？
1t
3t
24
26
4(1) 解： 要使四边形 PQCD 为平行四边形，只要 QC=PD
∴ 3t=24-t ∴ t=6 ，∴ 当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形
1t
3t
24
26
由题意，只要 PQ=CD ，则四边形 PQCD 为等腰梯形
┐F┌
E
过 P 、 D 分别作 BC 的垂线交 BC 于E 、 F:
4.2) 解：
t
3t
则EF=PD ， QE=FC=2 ∴ t=7 ，∴当 t=7 秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。
∴ 3t--4=24--t
4
5 5 5
4
5. 如图 (1): 在梯形 ABCD 中 : AD=BC=5cm, AB=4cm, CD=10cm,BE AD∥ 。如图 (2): 若整个△ BEC 从点 E 以 1cm/s 的速度沿射线 CD 平移，同时， 点 P 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度沿 DA 向点 A 运动，时间为 t （ 0＜ t≤4 ）
E
BA
DC
B'
E'
P
t 为何值时，△ PDE 为直角三角形？
ED C
BA
6
P
E'
B'
CED
BA
P
E'
B'
CED
BA
t
5
34
t
t
5
3
4
tt
∴ t=1.5 ∴ t=2.5
4
5 5 5
4
ED C
BA
∟
F
4
3 3
4-tt4-t
小结：
CB
A
PD
Q
∟
M
CB
A
PDQ
P
E'
B'
CED
BA
P
E'
B'
CED
BA
2 、平行 3 、求面积
4 、平行四边形
D C
BA
1 、比例
6 、直角三角形
积累就是知识积累就是知识
化动为静 分类讨论 数形结合
构建函数模型、方程模型思路
5 、等腰梯形
动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法 : 首先根据题意理清题目中两个变量 X 、Y 及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。第三，确定自变量范围，画相应的图象。 必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。
小结： 积累就是知识积累就是知识
收获一：化动为静收获二：分类讨论
收获三：数形结合收获四：构建函数模型、方程模型
谢谢！谢谢！ 请各位老师批评指正！请各位老师批评指正！
3 、（ 2009 中考）如图在边长为 2cm 的正方形 ABCD中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB 、 PQ, 则 △ＰＢＱ 周长的最小值是 -----cm ( 结果不取近似值）
A D
P
B Q C