Универзитет у НишуФакултет заштите на раду

РИЗИК ОД МЕХАНИЧКИХ ДЕЈСТАВА

Предавање 7.

ДИНАМИКА-3

Проф. др Драган Т. Стојиљковић

ДИНАМИЧКА ДЕЈСТВА: КОЛИЧИНА КРЕТАЊА, ИМПУЛС СИЛЕ, ЗАМАХ, РАД СИЛЕ, СНАГА, МЕХАНИЧКА ЕНЕРГИЈА

Количина кретања

vmK kKjKiK zy

xK

xx vmK yy vmK zz vmK

Famdt

vdmvm

dt

d

dt

Kd

FK

IddtFKd

0

0 t

t

IdtFK-K

321 ;;. czmcymcxmcconstK

skgmMLT /1

Закон о моменту количине кретања (замаху)

Kr

0L kLjLiL zy

xL

FF MLMFrKrvmvKrKrdt

Ld

0000

kMjMiMkLjLiL zyxzy

xL

321 ;; CLCLCLCL zyx

12 TML1212 , skgmsgrcm

Момент силе за тачку

x

y

z

N

F

r

n

090

M r Fo

F

F

oM

M F r F r F hF0

sin ( , )

h 090

Mx

My

Mz

kMjMiMM zyxo

О

Диференцијалне једначине обртног кретања крутог тела око непокретне осе

,1

n

i

sz

Fzz

z MMLdt

dL si

iii rrv

sz

Fzz MMJ

si

sz

Fzz MMJ

si

zz

n

iii

ii

n

iiii

n

ii

n

i

Kzz

JJrm

rmrvmrML i

1

2

111

Диференцијалне једначине равног кретања крутог тела

,, CC yx)n 1,2,...,i ( F s

i

M

rmr iiC

"sR

siC FFaM

szz MJ

JC

siF

CsC MM

sI

ζ

FCC

siC

siC M JYyMXxM

; ;

Рад силе. Кинетичка енергија и закон о промени кинетичке енергије

sdFdA

s,dFds F sdFdA

cos

dsFdA T ; kdzjdyidxsd ; rdsd

kZjYiXF

dzZdyYdxX rFdA

M

M

M

M

TMM dzZdyYdxXdsFA00

10 )(

. 0sFA

vFdt

dsF

dt

dAP T

T

1Ј=1Nm; 1W=1Ј/s

2

2

1 mvEk FLTMLEk 22

rdF

dA amF

dt

vda

dt

vdmF

dtvrd

kdEvm

dv

dmvdvmdtvdt

vdmdA

22

22

2

2vdvdv

2vvv 22 vdvdv

22

1

22 v

dvdvdv

dAdEk 2112 MMkk AEE

vFvFvamdt

dvvmvm

dt

dvF

dt

dsFP

dt

dE

dt

dAP

TTTT

k

22

1

2

1

2

Закон о одржању механичке енергиј

rFF

zyxZZzyxYYzyxXXkZjYiXF ,,,,,,,,;

Fgrad ,,

zyxUU

pE U- z

UZ

y

UY

x

UXk

z

Uj

y

Ui

x

UgradUkZjYiXF

;;

dUsdgradUsdFdAEEs

kok ),(

00 MMkk AEE

-функција силе kdz

dUj

dy

dUi

dx

dUgradU

- ПОТЕНЦИЈАЛНА ЕНЕРГИЈА

AEEUUdUdzz

Udy

y

Udx

x

U

kdzjdyidxkz

Uj

y

Ui

x

UsdgradUsdFdAEE

pp

s

kok

00

,),(

.00 consthEEEE pkpk

mgG

rcF

02r

r

mF

0)( rrfF

Следеће силе су конзервативне:

1.Сила земљине теже;

2. Сила сразмерна растојању;

3. Њутнова гравитациона сила;

4. Сила која произвољно зависи од растојања;

.

2

120

2

22

1

0

1

0

10

xxcx

cdxxcdxFAx

x

xx

MM

e

00 x 2

2x

cA

TFF N

1

010

x

x

N

MM

dsFdsFA

sFA NMM 10

Кинетичка енергија крутог тела.

,2

1

2

1

2

1

2

1 2222 ciCCiiitrk vMmvvmvmE

2

2

1 Pk rk JE

2 PC ; ddMJJ CP

222222k 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1CCCCrk vMJdMJdMJE

2222 2

1

2

1

2

1 ziiiirotk JrmrmE

Рад спољашњих сила које дејствују на круто тело

Елементарни рад спољашњих сила које дејствују на круто тело које врши транслаторно кретање једнак је елементарном раду главног вектора спољашњих сила које дејствују на круто тело .

drdFFr

rdFdrFsdFdAs

is

ii

is

iis

iis

ii

,cos

,cos

dMi

dAs

iFz

dMAs

iFzi

dMdA;A Czss dMA

siF

zsi

dMrdFdA CzCs

R

'

Cs

Rs

R

n

i

si

sii rdFdArdFdrFdArdFdA

''

1

;;

Закон о промени кинетичке енергије крутог тела

SktrC

sR

C dAdErdFvM

d

2

2

2

d d d d 2

s szCz k

JM E A

kdE d d d d ds s s sR C R C C kX x Y y M E A

Прираштај кинетичке енергије тела које врши равно кретање једнак је диференцијалу рада спољашњих сила које дејствују на то тело:

Прираштај кинетичке енергије тела које врши обртно кретање око непокретне осе једнак је диференцијалу рада спољашњих сила обртања тела око непокретне осе:

Прираштај кинетичке енергије тела које врши транслаторно кретање једнак је диференцијалу рада спољашњих сила које дејствују на то тело:

ОПШТИ ПРИНЦИПИ МЕХАНИКЕ

Диференцијални принципи:1.Даламберов, 2.Лагранжов и 3.Лагранж-Даламберов принцип

Интегралн принципи:1.Хамилтонов и 2.Лагранж-Мопертијев принцип итд

Даламберов принцип

WFFam

eF ma

We FFF

0 ej FF

- ЕФЕКТИВНА СИЛА

amF j

- СИЛА ИНЕРЦИЈЕ

0 Wj FFF

0WFFam

WFFam

WF

-РЕЗУЛТАНТА СИЛА ВЕЗА

F

-РЕЗУЛТАНТА СВИХ АКТИВНИХ СИЛА

0 uiiij FFF

0 uiiii FFam

0 iij FF

ДАЛАМБЕРОВ ПРИНЦИП ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА

0uiF

-РЕЗУЛТАНТА УНУТРАШЊИХ СИЛА

00 Wj FO

FO

FOWj MMMFrFrFr

- ЗА МТЕР. ТАЧКУ

00 u

iiij FO

FO

FO

uiiiiiji MMMFrFrFr

- ЗА i-ту МТЕР. ТАЧКУ

00 u

iiij FO

FO

FO

uiiiiiji MMMFrFrFr

- ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА

Лагранжев принцип виртуалних померања (виртуалног рада)

k

r

n

s

1s

2s

s

xx

y y А

B

Bx

r l

Виртуалним (могућим) померањима неслободне материјалне тачке назива се скуп било којих бесконачно малих померања тачке, која, у датом тренутку времена, допуштају везе којима је подвргнута тачка.

cos cos

sin sin

sin sin

( sin sin ( ))

A

B

B

B

s r

x r l

x r l

r rr l r l

l lr r

x r ll l

Виртуална померања морају да испуне следеће услове: - мора да буду бесконачно мала, јер при коначном померању тачака , систем може да пређе у други положај; - мора да буду таква да се све везе, којима је подвргнут систем, одрже и даље не смеју да се наруше јер би се тако прешло на неки други механички систем

Лагранжов принцип се односи на неслободну материјалну тачку или на систем материјалних тачака у стању мировања, што значи да су инерцијалне силе једнаке нули .

0 WFF

00 WW AAsFsF

Лагранжев принцип померања (виртуалног рада): У положају равнотеже, укупни рад на произвољним виртуалним померањима (виртуални рад) везане материјалне тачке или система материјалних тачака једнак је нули.

00 WiiiiWii AAsFsF δδδδ

0 Wii FF

- ЗА i-ту МАТЕР. ТАЧКУ

- ЗА СИСТЕМ МАТЕРИЈАЛНИХ ТАЧАКА

00 WiiiiWii AAsFsF

- ЗА i-ту МАТЕР. ТАЧКУ

02211 BB yFyFyF

1 1 2 2; ; By h y h y l

0 1 1 2 2

1BF F h F h

l

Лагранж-Даламберов принцип виртуалних померања (виртуалног рада)

WFFam

0 Wj FFF

0 sFsFsF Wj

δδδ 0 Wj AAA δδδ

0 iWiiiiji sFsFsF

δδδ 0 Wiiji AAA δδδ

0 Wiiji AAA δδδ

0 iji AA δδ - ЗА ИДЕАЛНЕ ВЕЗЕ 0 WiA

0 iiiiiiiiiiii zzmZyymYxxmX

Збир радова силе инерције, активне силе и силе везе на могућим (виртуалним) померањима једнак је нули.

amFj