Из истории квадратных уравнений

Автор: обучающаяся 9 «А» класса Радченко Светлана

Руководитель: Алабугина И.А. учитель математикиМБОУ “CОШ №5 г.Гурьевска”

Кемеровской области

Предметная область презентации: математика

Выполнена в помощь учителю

Всего 20 слайдов

2

Содержание1. Введение…………………………………………………………………………32. Из истории возникновения квадратных уравнений Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………………….4 Квадратные уравнения в Индии………………………………………………...5 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми…………………………………………6 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………….....7 Квадратные уравнения в Европе Xll – XVll вв.………………………………...8 3. Квадратные уравнения в наши дни…………………………………………….10 Методика изучения квадратных уравнений……………………………………11 10 способов решения квадратных уравнений………………………………….12 Алгоритм решения неполных квадратных уравнений…………………………13 Алгоритм решения полного квадратного уравнения…………………………..14 Решение приведенных квадратных уравнений…………………………………154.Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач…………………………………………………………………………………….16

5.Заключение. …………………………………………………………………………18

6.Список используемой литературы…………………………………………….19

3

Введение

Считать несчастным тот день или тот час,в который ты не усвоил ничего нового,

ничего не прибавил к своему образованию.Ян Амос Коменский

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они широко применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Квадратные уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится много времени школьного курса математики. В основном квадратные уравнения служат конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений, в том числе квадратных. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники.

4

Из истории возникновения квадратных уравнений

Древний Вавилон: уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Например, в Древнем Вавилоне, решали такие квадратные уравнения:

5

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии "Ариабхаттиам", написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:ax2+bx=c; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме «a» могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

6

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми: В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

«Квадраты равны корням», т.е. ах2 = bх.;

«Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с;

«Корни равны числу», т. е. ах = с ;

«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх;

«Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с;

«Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.

7

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения:

Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский.

До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в. н.э.

Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи

составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

8

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.:

Итальянский математик Леонард Фибоначчи разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. Михаэлем Штифелем.

9

Франсуа ВиетФранцузский математик Ф. Виет (1540-1603), ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.

10

Квадратные уравнения в наши дни

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем. Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обуславливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных уравнений

11

Методика изучения квадратных уравнений

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы.

12

10 способов решения квадратных уравнений:• Разложение левой части уравнения на множители.

• Метод выделения полного квадрата.

• Решение квадратных уравнений по формуле.

• Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

• Решение уравнений способом «переброски»

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

• Графическое решение квадратного уравнения.

• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

• Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

• Геометрический способ решения квадратных уравнений.

13

Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = - 

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее х2.= -    В случае, когда -  < 0, уравнение х2 =-  не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда -   > 0, т.е. -   = m , где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня 

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня. 

14

Алгоритм решения  полного квадратного уравнения.

Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное. Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду    , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений:

D < 0, D = 0, D > 0.1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле  .    3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам:   ;   

15

Решение приведенных квадратных уравнений

Теорема Ф.Виета:Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

x1 + x2 = - p,

x1 x2 = q. (*)

Теорема обратная теореме Виета:Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (*), то x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0.

16

Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных задач

Бхаскара (1114—1185) - крупнейший индийский математик и астроном XII века. Возглавлял астрономическую обсерваторию в Удджайне.Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» — алгебре, «Голадхайя» — сферике, «Гранхаганита» — теории планетных движений.Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя.

17

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

18

Заключение Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь.

Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара, Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.

Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Изучая литературу и Интернет ресурсы, связанные с историей развития квадратных уравнений, я спрашивала себя : «Что же двигало ученых, живших в такое непростое время, заниматься наукой, даже под угрозой смерти?» Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума, которая является ключом к развитию науки. Вопросы о сущности Мира, о месте человека в этом мире не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным, разумным. Понять себя, свое место в мире люди стремились во все времена.

Загляните и Вы в себя, может, страдает Ваша природная любознательность, потому что Вы уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Задумайтесь: каков я для окружающих меня близких людей? Но самое главное – как я сам к себе отношусь, достоин ли уважения? Подумайте об этом…

19

Список литературы

1. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002.2. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М.,

1985.3. Ю.Н.Макарычев “Алгебра 8 класс”, М, 2012.4. https://ru.wikipedia.org5. http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html

20

Спасибо за внимание