Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах...
DESCRIPTION
Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах в системах с быстрыми и медленными движениями. А.А.Васильев, А.П.Итин, А.И.Нейштадт ИКИ РАН. А диабатический инвариант - приближенный первый интеграл уравнений движения системы с быстрыми и медленными переменными. B. e. l. d. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах в
системах с быстрыми и медленными движениями
А.А.Васильев, А.П.Итин, А.И.Нейштадт
ИКИ РАН
Адиабатический инвариант - приближенный первый интеграл уравнений движения системы с быстрыми и медленными переменными.
e B
d v
A l 3 4/ const
l
v
B
2
const d sin const
Если система имеет достаточное количество адиабатических инвариантов, то движение на длительных временах близко к регулярному.
Разрушение адиабатических инвариантов - один измеханизмов возникновения динамического хаоса.
( , , ),
( ) ( , , )
x f x
x g x
Система с вращающимися фазами:
(медл.)
(быстр.)
0 1
усреднение
( ),x F x F f
0
I(x) - первый интеграл усредненной системы => адиабатический инвариант исходной системы
x
k x k xn n1 1 0 ( ) ... ( ) - резонансная поверхность
траектория усредненнойсистемы
( ) ( ( ),..., ( ))x x xn 1
ki - целые
Гамильтонова система с быстрыми и медленными переменными:
H H p q I H p q I
p q I m m
0 1
1 2
( , , ) ( , , , )
( , ) , ( , )
R R T
pH
q
H
q
qH
p
H
p
IH
H
I
H
I
0 2 1
0 2 1
1
0 1
медленныепеременные
быстрыефазы
Двухчастотные системы:
( , ), ( , ), ( , )1 2 1 2 1 2I I I
1
2 k k1 1 2 2 0
Влияние каждого резонанса можно рассматривать отдельно.
А. Частичное усреднение с учетом резонанса.
Каноническое преобразование: ( , , , ) ( , , , )I I R J1 2 1 2
k k
l l1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
R l I l I
J k I k I
2 1 1 2
2 1 1 2
k l k l1 2 2 1 1
Усреднение по J const
Гамильтониан:
H H R J p q H 0 1( , , , )
- резонансная фаза
Б. Разложение гамильтониана вблизи резонансной поверхности.
PR R p q
O
p p O q q O
td
d
res
( , )( ),
( ), ( ),
, ( )
R
qp
R R p qres ( , )
Результаты последовательных прохождений черезрезонансы должны, по критерию растяжения фаз, рассматриваться как статистически независимые.
~ ~ ~
1 1
E E k k r t 0 sin( )
Резонанс:
k r 0
Серфотронное ускорение (T.Katsouleas, J.M.Dawson, 1985)
Лармор
волна
B
k
x1
x2
x3
B B e A B x e
k x k x t
0 3 0 1 2
0 1 1 3 3
, ,
cos( )
H m c c A ee
c 2 4 2 2| |P
m c c c B x e k x k x te
c2 4 2 2 2
0 12 2
0 1 1 3 3P P P1 2 3( ) cos( )
P P2 0, p Ae
c
Предположения:
| |~ , ~ , , ~
,
p
mc kc
e
mc
eB
mc
c
c
1 1 1
02
0
После нормировки:
~( ) cos( )H q k q k q tc 1 2 2 2
12
1 1 3 3P P1 3
e
mc
eB
mcc cc
02
0, ,
После преобразования:
H
1 2 2 2 2 2 2
12
32
3
k I p q I
k k k k k
p
k c( cos ) sin cos
, sin /
Сопряженные переменные:
( , ) ( , )p q I 1
I
q
p
Резонансная поверхность: Резонансный поток:
p
kk p qccos ( ( / ) ) sin/1 12 1 2 2 2 2 2
kc
sin kc
sin
Гамильтониан «маятника»:
F gP b
bk
q
p q
gk k
p q
c
c
c
02
2
2 2 2 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
1
2
1
1
1
cos
cos
sin
( ( / ) )
sin
/
kc
sin Резонансная кривая - гипербола
Условие ускорения:E
B
kc
kc kc0
0
2 2
21
( / ) sin
( / ) ( / )