第十三章压杆稳定

一、压杆稳定的概念与实例二、两端铰支细长压杆的临界力三、杆端约束的影响四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图五、压杆的稳定计算六、提高压杆稳定性的措施

第十三章压杆稳定第十三章压杆稳定

一、压杆稳定的概念与实例


压杆压杆

第十三章压杆稳定第十三章压杆稳定 // 一、压杆稳定的概念与实例一、压杆稳定的概念与实例

工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆

液压缸顶杆




木结构中的压杆



脚手架中的压杆



桁架中的压杆



嫦娥奔月中的压杆


稳定问题 : 主要针对细长压杆

F

mm26mm1

NF

MPacml s

6110102610235

235266

max

, 计算，按屈服强度若取

课堂小实验 : 横截面为 26mm×1mm 的钢尺 , 求其能承受的 Fmax=?

NF

cml

018

30

max

,,

当产生明显变形时，轴向压力按两端铰接方式使其受若取

NFcml 05010 max,则产生明显变形时，若取

NF

cml

8012

020

.

,

max 则产生明显变形时，若取

l


如何判断压杆的稳定与不稳定 ?

F<Fcr : 直线平衡构形

F>Fcr : 弯曲平衡构形


平衡构形—压杆的两种平衡构形：

直线平衡构

直线平衡构

形形 FF<<FFcrcr :: 在在扰动作用下，扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形则称原来的直线平衡构形是稳定的。是稳定的。

弯曲平衡构

弯曲平衡构

形形弯曲平衡构

弯曲平衡构

形形直线平衡构

直线平衡构

形形



直线平衡构

直线平衡构


弯曲平衡构


弯曲平衡构

形形FF>>FFcr cr :: 在在扰动作用下，扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形则称原来的直线平衡构形是不稳定的。是不稳定的。



失稳与屈曲 ?

在扰动作用下 , 直线平衡构形转变为弯曲平衡构形 , 扰动去除之后 , 不能恢复到直线平衡构形的过程 , 称为失稳或屈曲 .

细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致整个结构破坏 .


稳定性 : 压杆在外力作用下保持其直线平衡构形的能力

　　 1875 年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后，仅当工作车通过时 , 受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈曲而毁坏。


　　 1925 年 2 月 13 日，修复后的莫济里桥在试车时出现了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人们才可看到斜杆失稳后的情景。　　左图桥下侧面观察，右图桥上看：长 15.372 米的斜杆一根鼓出 1.46 米，另一根鼓出 0.905 米。


　　 2000 年 10 月 25 日上午 10 时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成 6人死亡， 35 人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。


二、两端铰支细长压杆的临界力


1 、临界力的概念压杆的压力逐渐上升 , 使压杆从稳定的平衡状态向不稳定的状态质变的临界点 , 称为临界力 , 以 Fcr 表示 .

临界力 Fcr: 压杆保持直线平衡构形的最大压力 .

或者说 : 使压杆失稳 ( 不能保持直线平衡构形 ) 的最小压力 .

第十三章压杆稳定第十三章压杆稳定 // 二、两端铰支细长压杆的临界力二、两端铰支细长压杆的临界力

2 、两端铰支细长压杆的临界力考察微弯状态下局部压杆的平衡


)(xMdx

dEI

2

2,p 若则压杆的弯曲变形为

pF

)(1 2

2

EI

F

dx

d p

,EI

Fk p2令则 (1) 式可以写成

）（2 02

2

2

k

dx

d

此二阶线性常数齐次微分方程通解为

）（321 kxCkxC cossin

式中 C1 、 C2 、 k 为待定常数。


待定常数 C1 、 C2 、 K 由边界条件确定

x

0

0

50

40

4

3 0

3001

1

1

1

2

kl

C

kxC

lx

kxC

C

x

A

B

sin

,

)(sin

,

)(sin

,,)

因此必须是不符。状态下保持平衡的前提压杆在微弯都将等于零，这显然与

移则压杆轴线上各点的位若

式后可得：

）代入（时，当

）式为。于是（解得

）式，代入（时当


0的条件满足 klsin

nkl 3,20, ,

为正整数）nl

nπk (

由此得到两个重要结果 :

(1) 临界力 :

EI

FK P2

l

nK

又

)(62

22

l

EInFP


的分析讨论对于公式2

22

l

EInFP

要使压杆有可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，实际上应该是公式中的 n=1 时的FP 值，即两端铰支压杆的临界力：

2

2

欧拉公式l

EInFcr


？如何确定中对欧拉公式 2

2

Il

EInFcr

∵当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲

minII

x

y

z

h

b

例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？（绕哪个轴转动）

FF


000zyI 00 , zy 为截面的主惯性轴（主轴）。

0yI 为截面对主轴的惯矩，称为主惯矩。0y

0z为截面对主轴的主惯矩。0zI

而

,max0II z min0

II y

对于矩形截面,

12

1 3bhI z 3

12

1hbI y

bh yz II

z

y

b

h


x

y

z

h

b

所以矩形截面压杆在支承情况相同时，首先在 xz 平面内绕 y 轴失稳弯曲。


两个重要结果

（ 2）屈曲位移函数

称为屈曲位移函数

已知

l

xC

nl

nKkxC

sin

,,sin

1

1 1

它表示两端铰支压杆承受临界力时的弹性曲线为一半波正弦曲线。亦称为失稳波型或失稳形式。


两端铰支压杆失稳波形

11

1

2

2

CCl

x

l

xC

maxsin

sin

时，当

∴C1 为压杆中点挠度


三、杆端约束的影响


上述两端铰支细长压杆二阶线性常数齐次方程的解所得的两个重要结果及实践告诉我们：临界力、失稳波型与杆端的约束情况有关。杆端的约束情况改变了，边界条件随之改变，临界力也就有不同的数值。当杆端为其他约束情况时，失稳波型及临界力公式推导详见顾志荣、吴永生编《材料力学》下册P349-P354

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l

1）一端固定，一端自由

2l 2

2

4l

EIFcr


22）两端固定的情况）两端固定的情况

0.5l

C

D

同理

0,0 DC MM

（（ 0.5l0.5l ）） 22

22EIEIFF cr cr = =

0.7l


33）一端固定，一端铰支的情况）一端固定，一端铰支的情况

C

w

BC 段 , 曲线上凸 , ;01

01

CA 段 , 曲线下凸 ,

0)1

( C0CM即

（（ 0.7l0.7l ）） 22

22EIEIFF cr cr = =

0.7l


压杆两端约束情况不同时临界力的欧拉公式压杆两端约束情况不同时临界力的欧拉公式

(( l l))22

22EIEIFF cr cr = =

一端自由，一端固定一端自由，一端固定＝＝ 2.02.0

一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定＝＝ 0.70.7

两端固定两端固定＝＝ 0.50.5

两端铰支两端铰支＝＝ 1.01.0

———— 约束系数，约束系数， l——l—— 相当长度相当长度


四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图


1 、欧拉公式的适用范围推导欧拉公式时所用的挠曲线近似微分方程

EI

F

dx

d P

2

2

是以材料服从虎克定律为基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。

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2 、临界应力与柔度

A

Fcrcr

A

I

l

E

2

2

)(

2

2

)(ilE

定义i

l —— 为压杆的柔度或长细比

cr

临界应力在临界压力作用下，压杆保持为直线形式平衡时横截面上的应力：

综合反映了压杆的约束条件、长度、截面形状和尺寸对临界应力的影响，则

cr2

2

E


3 、欧拉公式的适用范围用柔度表示：

pcr

E

2

2

pp

E

MPa

GPaEQ

pcrp

200

, 206 235

p

钢，。例如值，与材料的性质有关

时所对应的柔度极限达到材料比例极限为

于是 10010200

102066

92

P

才可使用欧拉公式

时，当钢制成的压杆，只有用 100 235 Q


4 、临界应力总图：

p ）（1 的大柔度杆（细长杆属弹性范围内的失稳问题其临界力由欧拉公式确定

2

2

E

Ccr 或2

2

)( l

EIFcr



ps ）（2


的中柔度杆（中长杆 )属弹塑性范围内的失稳问题其临界力直线型经验公式 : bacr

)(bs

bs

ss b

a

改成改成

对于脆性材料，则将

而

对于 Q235 钢 : 123570

2

s

s

E

.

2cr ba （ 0 < c)

是与材料有关的常数。ba ,

s

E

57.0

2

c



ps ）（2 的中柔度杆 ( 中长杆 )属弹性范围内的失稳时 , 其临界应力用抛物线经验公式 :

s57.0



s ）（3 的小柔度杆（短粗杆 )属强度问题

)( bscr 脆性材料为

图表示了临界应力随压杆柔度变化的规律 , 由图可见 , 压杆的临界应力是随着柔度的增大而逐渐减小的 .

cr cr

cr

例题图中所示之压杆，其直径均为 d ，材料都是 Q235 钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1. 分析那一根杆的临界荷载较大？2. 计算 d ＝ 160mm ， E ＝ 206GPa 时，二杆的临界荷载。

m5

F

d

)(a

m9

F

d

)(b

1. 1. 计算柔度判断两杆的临界荷载计算柔度判断两杆的临界荷载

4

642

4

d

d

4

d

A

Ii

i

La

4

51d

125

4

95.0db

5.112

1 5.0ba 两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。

例题图中所示之压杆，其直径均为 d ，材料都是 Q235 钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1. 分析那一根杆的临界荷载较大？2. 计算 d ＝ 160mm ， E ＝ 206GPa 时，二杆的临界荷载。

m5

F

d

)(a

2. 2. 计算各杆的临界荷载计算各杆的临界荷载

101 Pba

4

2

2

2 dE

AF crcr

4

160

125

10206 2

2

32

acr

F kN102.6 3

4

160

5.112

10206 2

2

32

bcr

F kN1021.3 3

m9

F

d

)(b

例题例题截面为截面为 120mm120mm200mm200mm 的矩形木柱，的矩形木柱，长长 ll=7m=7m，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E = 10GPa,E = 10GPa,p p = 8MPa= 8MPa。。试求该木柱的临界力。试求该木柱的临界力。

讨论 :在屏幕平面内（ xy）失稳时柱的两端可视为铰支端；若在垂直于屏幕平面内（ xz ）失稳时，柱的两端可视为固定端。

∵ 两端铰支 ∴ z = 1

1210577.0

71

z

zz

i

l

451233

z 1081020012012

1

12m

bhI

mA

Ii 0577.0

10200120

1086

5z

z

由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？在屏幕平面（ xy）内绕 z 轴失稳时

讨论：

∵ 两端固定 ∴ y = 0.5

1010346.0

75.0

y

i

lyy

471233

y 102881012

120200

12m

hbI

mA

Ii 0346.0

10120200

102886

7y

y

∵ z > y ∴木柱失稳将在垂直于屏幕平面内绕 y 轴失稳。

在垂直于屏幕平面（ xz）内绕 y 轴失稳时

110108

10106

922

pp

E

z > p ∴ 应采用欧拉公式计算

MPaPaE

734.610734.6121

101014.3 62

92

2

2

cr

kNN

AP

16210162

1020012010734.63

66crcr

木柱的临界力为

选用计算公式

F解 :

例题有一千斤顶 ,材料为 A3 钢 .螺纹内径d=5.2cm ，最大高度 l=50cm, 求临界载荷 .(已知 )

crF MPaMPa ps 200,235

i

l 柔度 :

4/

5.02

d

77

A

Ii 惯性半径 :

4

d

A3 钢 :

可查得100p

MPabMPaa 12.1,304

b

a s 0 6.61

00 < < pp可用直线公式 .

因此AF crcr Aba )(

KN462

26

410)7712.1304( d

五、压杆的稳定计算


第十三章压杆稳定第十三章压杆稳定 // 五、压杆的稳定计算五、压杆的稳定计算

1 、安全系数法压杆的稳定条件

w

crcr n

FFF ][

容许临界力 ][ crF

规定的稳定安全系数 wn

上式用应力形式表示 :

w

crcr n

][

工程上常用的压杆稳定条件 :

wcrcr n

F

Fn

分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ,从而得到 max；

计算 s 、 p ，根据 max确定压杆临界应力的计算公式。

2

2

cr E

大柔度杆

小柔度杆－强度问题；中柔度杆 bacr

计算 Fcr= crA，利用稳定条件 wcr n

F

Fn

进行稳定计算。

用安全系数法进行稳定计算的一般步骤：


3m

CF

B

3.5m

2m

A

D

例题图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为 Q235钢， P=200MPa ， s=240MPa ，

E=206GPa ，规定稳定安全系数为 nw 。试求容许荷截 [F] 。

解：由杆 ACB的平衡条件易求得外力 F与 CD杆轴

向压力的关系为：NF

5

2

A C

FN

FB

FAx

FAy3m2m

)(64

44 dDI

1244 10)80100(64

46109.2 m

236222

22 108.210)80100(4

)(4

mdDA

mA

Ii 032.0

108.2

109.23

6

两端铰支 =1

109032.0

5.31

i

l 10010200

102006

92

p

2

p

E

p ∴ 可用欧拉公式

2

692

2

2

cr53

109210200

.

.

)(

l

EIF kNN 46710467 3

kNF

FN 1563

467

3cr

kNFF N 4625

2.][][ kNFN 156][

3cr wN

nF

Fn由稳定条件

例题简易起重架由两圆钢杆组成，杆 AB ：，杆 AC ： , 两杆材料均为 Q235 钢 ,

, 规定的强度安全系数　　，稳定安全系数　　，试确定起重机架的最大起重量　　。

mmd 301 mmd 202 MPaGPaE s 240,200

60,100 0 p2sn

3stn maxF

F

45°A

2

1

C

B 0.6m

解 : １、受力分析

A

F1NF

2NF

)()(2 21 压，拉 FFFF NN

2 、由杆 AC 的强度条件确定。maxF

1

11 A

FNs

s

n

s

s

n

AF

21

KN7.26

3 、由杆 AB 的稳定条件确定。maxF

st

N

cr nF

Fn

2

2

2

i

l 柔度 :

4/

6.01

2d

80

00 < < pp 可用直线公式可用直线公式 ..

因此2crcr AF

2)( Aba

KN47.151

2

2

6

410)8012.1304( d

st

crN n

FFF 2 3

47.151 KN5.50

所以起重机架的最大起重量取决于杆 AC 的强度，为

KNF 7.26max

2. 折减系数法(1)折减系数

工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力 [] 乘上一个小于 1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：

[cr] = []； < 1，称为折减系数

][

][ cr


(2) 稳定条件按折减系数法进行压杆的稳定计算，其稳定条件为

2. 折减系数法

][][ crA

F

材料抗压容许应力值折减系数压杆横截面面积工作压力

:][

::

:

AF

例题图示千斤顶，已知丝杆长度 l=0.375m，直径为 d=0.04m，材料为 Q235钢，许用应力 []=160MPa，符合钢结构设计规范 (GBJ17－ 88) 中 b 类杆件要求，最大起重量为 P=80kN，试校核该丝杆的稳定性。

l

d

FP

解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。

2＝4

d

A

Ii

754/14.0

375.02

4

dl

i

l

查表， = 0.72

MPaMPaA

P160][5.88105.88

404.0

72.0

1080 62

3

故此千斤顶稳定性足够。

P

l=0.

375m

六、提高压杆稳定性的措施


1 、合理选择材料

细长杆： cr 与 E 成正比。

普通钢与高强度钢的 E 大致相同，但比铜、铝合金的高，所以要多用钢压杆。

中长杆： cr 随的提高而提高。s

所以采用高强度合金钢可降低自重，提高稳定性。

第十三章压杆稳定第十三章压杆稳定 // 六、提高压杆稳定性的措施六、提高压杆稳定性的措施

2 、合理设计压杆柔度1 ）选用合理的截面形状当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）相同，应选择（即使）的截面。在截面积一定的情况下，应使截面的主惯性矩尽可能大。例如空心圆截面比实心圆截面稳定性好。

zII y z y

当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）不同，应选择的截面，而使，如矩形、工字形等，使压杆在两个方向上的抗失稳能力相等。例如

zII y z y

x

y

z

x


2）合理安排压杆约束与选择杆长

i

l

所以可减少杆长 l ，如增加支座；加固支座，减小。


第十三章 压杆稳定

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第十三章压杆稳定