Уравнение касательной к графику функции
DESCRIPTION
Уравнение касательной к графику функции. Повторяем геометрический смысл производной. На рисунках изображены графики функций. Укажите те, для которых существуют касательные, проведенные в точках с абсциссой x=3. в). а). б). г). д). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/1.jpg)
Уравнение касательной
к графику функции
![Page 2: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/3.jpg)
На рисунках изображены графики функций. Укажите те, для которых существуют касательные, проведенные в точках с абсциссой x=3.
а) б) в)
г)
д)
![Page 4: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/4.jpg)
Касательные к графику функции у=f(x) в некоторых точках с абсциссами изображены на рисунке. Определите количество положительных чисел среди значений производной f’(x) в этих точках.
2
1
3
4
4321 x,x,x,x
![Page 5: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/5.jpg)
На рисунке изображен график производной функции у=f(x), определенной на промежутке (-4;9). Найдите число касательных к графику функции, параллельных оси абсцисс.
y=f ’(x)
![Page 6: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/6.jpg)
Укажите длину промежутка, на котором касательная к графику функции y=f(x)образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если график производной этой функции, определенной на промежутке (-5;6) изображен на рисунке.
![Page 7: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/7.jpg)
На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.
а)
б)
в)
г)
![Page 8: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/8.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1
)(xfу
ох
)( oxf Показать (1)
Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент.
![Page 9: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/9.jpg)
Функция y=f(x)определена на промежутке [-7;7].На рисунке изображен график ее производной. Определите наибольшую длину промежутка, на котором касательная к графику функции имеет отрицательный угловой коэффициент.
0a bx
y
y = f (x)
1
![Page 10: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/10.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1
)(xfу
Показать (2)
Так как k = f ‘(xo) = 2, то считаю точки, в
которых производная принимает значения 2
К графику функции у=f(x) провели все касательные, параллельные прямой у=2х+5 (или совпадающие с ней).Укажите количество точек касания.
![Page 11: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/11.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1 ох
xkу
6,0k
Производная функции в точке х = 5 – это производная
в точке касания хо, а она равна угловому
коэффициенту касательной.Рассуждение (2)
Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y=f(x) в точке х=5. Найдите ее угловой коэффициент.
![Page 12: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/12.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1
)(xfу
Ответ (1)
К графику функции y=f(x) провели касательные под углом 135 градусов к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображен график производной функции. Укажите количество точек касания.
![Page 13: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/13.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1
Показать (1)
43
)(xfy tgf 1)3(
По графику производной определить величину угла (в градусах) между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y=f(x) в точке х=-3.
![Page 14: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/14.jpg)
0
У
Х
1-1
1
-1
)(xfy f ’ (x) = 0
По графику производной функции определить наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс.
![Page 15: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/15.jpg)
0
У
Х1-1
1
-1
)(xfу
)(7,1360
)(
:
oo
o
xftg
xfktg
ОХосикйкасательно
наклонаугол
Рассуждение (1)
По графику производной функции укажите количество касательных к графику функции у=f(x), расположенных под углом 60 градусов к оси абсцисс.
![Page 16: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/16.jpg)
Укажите множество точек координатной плоскости, через которые можно провести к параболеа) 2 касательныеб) 3 касательныев) 1 касательнуюг) 0 касательных
![Page 17: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/18.jpg)
Проверьте правильность решения
Задача 1.Составьте уравнение касательной к графику функции ,проходящей через точку М(1;5).
Решение.y=f(a)+f’(a)(x-a), где а- абсцисса точки касания, то есть а=1.
y=3+4(x-1)=4x-1.Ответ: y=4x-1.
12xf(x) 2
4;(1)' f
4х(x)' f
3;112f(1) 2
![Page 19: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/19.jpg)
Проверьте правильность решения
Задача 2.Выясните, является ли прямая у=12х-10касательной к графику функции в точке
х=1.Решение.f’(x)=12x; f’(1)=12=k,значит данная прямая является касательной в точке х=1.
26xf(x)
![Page 20: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/20.jpg)
Проверьте правильность решения
Задача 3. Выясните, касаются ли графики
функций и .Решение. Составим уравнение f(x)=g(x), то есть =
то есть графики имеютобщую точку с абсциссой 0.
12xxf(x) 3 16xxg(x) 2
0,x
решенийнет04xx
0,x
0,4)xx(x
2
2
1,6xx2 12xx3 0,4xx-x 23
![Page 21: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/21.jpg)
Проверьте правильность решения
Задача 4. Найдите общую касательную к графикам функций иРешение.Составим систему:
то есть
Полученная система не имеетРешений, значит графики не имеют общей касательной.
65xxf(x) 2 1xxg(x) 2
1.2x52x
1;xx65xx 22
(x),g'(x)'f
g(x);f(x)
![Page 22: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/22.jpg)
Тема исследования: «Касательная к графику
функции y=f(x)».
![Page 23: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/23.jpg)
Предмет исследования: гипербола и касательная к ней.
![Page 24: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/24.jpg)
Цель исследования: установить свойства, которыми
обладает касательная к графику гиперболы.
![Page 25: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/25.jpg)
1. Лабораторная работа в программе Graph Plotter v.1.0
Задание. Построить график гиперболы у=6/х и касательную к нему в точке графика с абсциссойх= а. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого касательной от осей координат.
Результат оформить в виде таблицы.
![Page 26: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/26.jpg)
Результаты лабораторной работы.
Абсцисса точки
касания
Уравнение касательнойк графику функции у=6/x
Площадь треугольника, отсекаемого
касательной от осей координат.
1 а=1
2 а=2
3 а=3
4 а=4
5 а=6
6 а=-1
7 а=-2
8 а=-3
9 а=-4
10 а=-6
![Page 27: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/27.jpg)
Результаты лабораторной работы.
Абсцисса точки
касания
Уравнение касательнойк графику функции у=6/x
Площадь треугольника, отсекаемого
касательной от осей координат.
1 а=1 12
2 а=2 12
3 а=3 12
4 а=4 12
5 а=6 12
6 а=-1 12
7 а=-2 12
8 а=-3 12
9 а=-4 12
10 а=-6 12
![Page 28: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/28.jpg)
2. Гипотеза
Треугольник, образованный касательной к гиперболе у=k/х в точке с абсциссой а и осями координат, имеет постоянную площадь.
![Page 29: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/29.jpg)
3. Доказательство.Треугольник, образованный касательной к гиперболе у=k/х в точке с абсциссой а и осями координат,имеет постоянную площадь.
Помощь
![Page 30: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/30.jpg)
4. Выводы:1. Любая касательная к гиперболе у=k/x
отсекает от осей координат треугольник с постоянной площадью 2|k|.
2. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.
3. Точка касания является центром окружности, описанной около треугольника, отсекаемого касательной от осей координат.
![Page 31: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/31.jpg)
5. Использование установленных фактов.Придумайте способы построения касательной к графику гиперболы y=k/x в любой точке графика без нахождения уравнения касательной.
![Page 32: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/32.jpg)
(С3)При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех допустимых значениях х?
2a2
x12x
![Page 33: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/33.jpg)
О.Д.З.:
Рассмотрим функции:
- ветвь параболы, ориентированная на ось Ох;
-семейство прямых с угловым коэффициентом ½.
2
1x
2a2
x12x
12xy
2a2
xy
2a2
x12x
![Page 34: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/34.jpg)
2a2
x12x
![Page 35: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/35.jpg)
Найдем, при каких значениях а прямая
является касательной к графику функции Это все такие а, которые удовлетворяют системе:
Из второго уравнения найдем х=2,5.Тогда а=1,25.То есть при а=1,25 прямая является касательной к графику функции
2a2
xy
12xy
.2
112x
2;a2
x12x
/
2a2
xy
12xy
![Page 36: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/36.jpg)
2a2
x12x
При а<1,25 все прямые семейства будут находиться выше графика функции.Таким образом условие Задачи выполняется при а≤1,25.Ответ: а≤1,25.
![Page 37: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Уравнение касательной к графику функции](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56813652550346895d9dd82f/html5/thumbnails/38.jpg)
1. Составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=а в общем виде.
3. Доказательство
x
ky
2. Найдем ординату точки М:
3. Найдем абсциссу точки N:
4. Найдем площадь ∆MON:
.a
2kx
a
ky
a),(xa
k
a
ky
,a
k(a)'f,
x
k(x)'f,
a
kf(a)
2
2
22
.a
2kОМ.ТТогд
a
2ky0,x
.2aОNТогда2a.x,a
2kx
a
k0,
a
2kx
a
kт.е.0,y
22
.k22aa
2k
2
1S
Назад