Элементы векторной алгебры.

Лекции 6,7

Вектором называется направленный

отрезок.

Обозначают векторы символами

или , где А- начало, а B-конец

направленного отрезка .

a

aAB

А

В

a

Нулевым вектором) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом

вектора называется его длиной, или

модулем, или абсолютной величиной.

Векторы называются коллинеарными,

если они расположены на одной прямой

или на параллельных прямых

0

Векторы называются

компланарными, если они параллельны

одной плоскости.

Векторы называются равными,

если они сонаправлены и имеют

равные длины.

Два вектора, имеющие равные длины,

коллинеарные и противоположно

направленные,называются противоположными.

Вектор, длина которого равна 1,

называется единичным вектором или

ортом.

Ортом вектора называется

сонаправленный ему вектор, который

обозначают

a

0a

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют

операции сложения и вычитания

векторов и умножения вектора на

число.

Сложение векторов

a bc

Правило треугольника.

bac

bac

Правило параллелограмма

a

b

c

Сумма нескольких векторов

ab

c

ddcba

Вычитание векторов

Разностью векторов и называется вектор

такой, что a

b

c

bac

a bbac

acb

a

b

bac

Свойства линейных операций

abba

aa 0

cbacba )()(

0)( aa

Умножение вектора на число

Произведением вектора на действительное число называется

вектор (обозначают ), удовлетворяющий следующим условиям: 1. , 2. при и при .

a

b ab

ab 0 ab 0

ab

Примеры

a

a3b

b2

1

c c

Свойства умножения

)()()( aaa

aaa )(

baba )(

aa 1

aa )1(

Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Если орт вектора , то

и тогда

.0 , ab0a a

0aaa a

aa

10

Пример

В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N. Пусть , выразить вектор

через и .

bCBaCA , CM

a b

Решение

M

N

1,

3

,

1.

3

AM AB

AB b a

CM CA AM a b a

А

ВС

Угол между двумя векторами

Углом между векторами называется

наименьший угол , на который

надо повернуть один из векторов до его

совпадения со вторым.

Под углом между вектором и осью понимают угол между этим вектором и единичным вектором, расположенным на оси

0

l0l

a

Проекция вектора на ось

A

B

1A 1B l0l

)

coslï ð AB ÀÂ

Линейная зависимость векторов

Векторы наз-ся линейно

зависимыми, если существуют числа

,не все равные 0, для

которых имеет место равенство

naaa ,...,, 21

1 2, ,..., n

1 1 2 2 ... 0n na a a ##########################################

Векторы называются

линейно независимыми, если равенство

выполняется только при

naaa ,...,, 21

1 2 ... 0n

1 1 2 2 ... 0n na a a ##########################################

Если векторы линейно зависимы, то один из них можно выразить через другие, представив его в виде линейной комбинации этих векторов.

321 2 3

1 1 1

... nna a a a

########################################################

nn aaaa ...33221

векторовкомбинация

линейнаяaaa nn

...3322

Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

Рассмотрим три вектора на плоскости. Выразим через один из них другие :

1D

1B

A

C

D

B

11 ADABAC

1 1AB AB ############################

1 2AD AD ############################

1 2AC AB AD ##########################################

Для того чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трём.

Базис на плоскости и в пространстве

Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора, взятых в определенном порядке.

Теорема.Разложение любого вектора на плоскости по базису является единственным.

acb ,

Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора, взятых в определенном порядке.

Теорема. Разложение любого вектора в пространстве по базису

является единственным

adcb , ,

Прямоугольный декартовый базис

i

j

k

Z

Y

X

.1

,

kji

kji

О

Прямоугольной декартовой системой координат называется совокупность точки О и прямоугольного единичного базиса.

Прямые, проходящие в направлении базисных векторов , называются осями координат.

Разложение вектора по базису

a

Рассмотрим в пространстве вектор

a

y

x

z

a

ij

k

o

O a

i j

X

Y

Z

kA

CB

D

E

OCODOBOA

kaпрOD

jaпрOC

iaпрOB

oz

oy

ox

zoz

yoy

xox

aaпр

aaпр

aaпр

kajaiaa zyx

Линейные операции над векторами в

координатной форме

Пусть

тогда:

1)

2)

3)

4)

kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

kbajbaibaba zzyyxx )()()(

kajaiaa zyx

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

aba ||

222

zyx aaaa

Вычисление координат вектора

Пусть даны точки и 111 ;; zyxA

А

В

222 ;; zyxB

Тогда координаты вектора равны разности координат его конца и начала:

Длину вектора вычисляют по формуле

kzzjyyixxAB 121212

2

12

2

12

2

12 zzyyxxAB

Направляющие косинусы

X

Y

ZM

O

) )

Пусть дан вектор

kajaiaa zyx

cos

cos

cos

aaпрa

aaпрa

aaпрa

ozz

oyy

oxx

a

axcos

a

a ycos

a

a zcos

1coscoscos 222

Координаты единичного вектора

,cos,cos,cos0 a

Пример

Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).

AB

3

2cos,

3

2cos,

3

1cos

,3221

,2;2;135;24;12

222

тогда

AB

ABРешение.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть точка М делит отрезок АВ в некотором отношении.

1111 ;; zyxA

2222 ;; zyxA

zyxM ;;

2

1

MA

MA Тогда

1

21 xxx

1

21 yyy

1

21 zzz

Деление отрезка пополам

Если , то , т. е. точка М –середина отрезка, имеем

221 xxx

1 21 MAMA

221 yy

y

221 zzz

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов

называется произведение их

модулей на косинус угла между

ними.

cos baba

bпрabaa

aпрbbab

Отсюда получаем проекцию вектора на вектор:

b

baaпр

b

Физический смысл скалярного произведения

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути

равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

FeFA

Геометрические свойства скалярного произведения

Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.

cos cos 0.2

a b ab ab

Свойства скалярного произведения (продолжение)

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

22aa

2aa

Свойства скалярного произведения

abba

)()()( bababa

Скалярные произведения базисных векторов

1

1

1

22

22

22

kkkk

jjjj

iiii

0

0

0

ki

kj

ji

Скалярное произведение в координатной форме.

Если ,

,

то

)a,a,a(a zyx

),,( bbbb zyx

bababa zx zyx b ya

Пример

bac 32 4a 5b

a b

.c

.9124322222

bbaabaсс

164222

aa ,255222

bb

,1060cos54cos 0 baba

.4092591012164 c

Дан вектор , причем , ,

угол между векторами

и равен .600

Найти модуль вектора

Решение

Так как и

то

Пример

Найти величину угла при вершине А треугольника с вершинами

.1,2,3,0,2,4,4,2,1 CBA

Решение

Изобразим треугольник ABC

А

В

С

cos .AB AC

AAB AC

,4;0;340;22;14 BA

.3;0;441;22;13 CA

3 4 0 4 3cos 0,

9 16 16 9A

.

2A

Векторное произведение векторов

Понятие «правой» тройки векторов

Тройку векторов называют правой, еслинаправление вектора таково, что смотрящему с его конца вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора

к вектору будет виден против движения часовой стрелки.

,a ,b cc

ab

,a ,b с - правая правая тройкатройка

a

bс

Векторным произведением вектора

на вектор наз. вектор ,

удовлетворяющий следующим условиям:

1)

2)

3)векторы образуют правую тройку

ab bac

sin bac

c a c b

Обозначение векторного произведения векторов

a

b

c bac

Физический смысл векторного произведения

Если – сила, приложенная к точке М,

то момент этой силы относительно точки

О равен векторному произведению

векторов и .

F

F OM F

O M

oM OM F

Векторные произведения координатных векторов

ij

k

.

,

,

ikj

jik

kji

.

,

,

ijk

jki

kij

Векторное произведение в координатной форме

b zb yb x

a za ya x

kji

ba

Площадь параллелограмма

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах:

ab

baS

Площадь треугольника

baS 2

1

Геометрические свойства векторного произведения

abba

Если поменять местами сомножители, то тройка векторов станет левой и тогда

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

0a b a b

Алгебраические свойства векторного произведения

Векторное произведение удовлетворяет

cbcacba )(

)()()( bababa

Пример

Найти если .90,1,2 0 ba ,232 baba

.1490sin217

sin77

6432

232

0

abab

bbbaabaa

baba

Решение

Пример

Найти площадь треугольника , если известны координаты его вершин:

ABC

. 6, 8 ,5,4,2 ,0,6,4 ,2 CBA:

Смешанное произведение

Смешанным произведением трёх

векторов называется произведение

вида : cba )(

Смешанное произведение вычисляют по формуле

ccc

bbb

aaacba

zyx

zyx

zyx

Известно, что три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

a b

c m

n

p

,,, ыкомпланарнcba .,, рнынекомпланаpnm

Условие компланарности трёх векторов

cba ,,.0

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaaЕсли компланарны, то

Элементами определителя являются координаты

векторов cba ,,

Объём параллелепипеда

Если параллелепипед построен на трех векторах как на сторонах , то его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов:

cbaV

Объём тетраэдра

Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет одну шестую часть параллелепипеда и поэтому

cbaVтет 6

1