Напречни премествания при специално огъване

1. Въведение

Външните товари предизвикват премествания перпендикулярно на първоначално правата ос на гредата (специално огъване).

Огънатата ос на гредата се нарича еластична линия. При специално огъване еластичната линия е равнинна крива.

В редица практически случаи определящо за дадена конструкция ограничение на относителното преместване – например за мостовите кранове максималното провисване отнесено към разстоянието между опорите трябва да е по-малко от 1/500. При валовете това изискване е 1/800÷1/1000

При малки премествания се приема, че точките се преместват само напречно на оста.

2. Опростено диференциално уравнение на еластичната линия

s

w

s w(s)

еластична линия

Обикновено се приема положителна посока за провисването надолу фиг.1. Ъгълът на наклона на тангентата към еластичната линия в дадена точка е равен на , като ъгли с взаимно перпендикулярни рамене.

При ограниченията налагани на преместванията, ъглите на наклона рядко достигат 5. При малки ъгли с достатъчна точност може да се приеме

)()('' SSwtgtgw (1)

фиг.1

y

y

EJ

M

1

32 ])'(1[

"1

w

w

При огъване доказахме, че радиусът на кривина е:

От математиката е известно, че кривината на линия се дава с израза:

(2)

(3)

32 ])'(1[

"1

у

у

В нашия случай можем да запишем (3):

Знакът се определя от избора на координатната система. При приетите положително посоки и правила за положителен момент (фиг.2) трябва да се приеме знак минус.

0

0"

уМ

w

0

0"

уМ

ww

w

s s

След направените уговорки за знака, сравнявайки (2) и (3) получаваме пълното диференциално уравнение на еластичната линия (4).

y

Sy

EJ

M

w

w )(

32 ])'(1[

"

Това нелинейно уравнение се решава трудно и се използва само при гъвкави греди, при които провисването е по-голямо от височината на сечението ( ресори).

(4)

фиг.2

При малки провисвания w’ е малка величина и повдигната на квадрат може да се пренебрегна спрямо единицата в знаменателя на (4). Така получаваме опростеното дифренциално уравнение на еластичната линия (5).

)(" Syy MwEJ

(5)

Диференцирайки двукратно (5) получаваме:

)()(

)(

)(

'''

"

SSzIV

y

zSy

y

Syy

qds

dQwEJ

Qds

dMwEJ

MwEJ

(6)

Интегрирането на (5) или (6) позволява да се определят параметите на провисването и разрезните усилия.

s

w

sw(s)

P

21

3

1

2

1

2

3.222'" CsC

PsdsC

PswEJC

PsdsPswEJPswEJ yyy

30

20'

3

2)(

2

1)(

PlCwls

PlCwls

l

l

yyy EJ

Pl

EJ

Plw

ls

lsPwEJ

23326

2

max

3

max

323

:

Пример:фиг.3

Огъващият момент е My=-Ps.Заместваме в (5) и интегрираме двукратно.

Константите определяме от граничните условия:

Заместваме получените константи и получаваме окончателният вид на уравнението и максималното провисване и завъртане

3. Универсално уравнение на еластичната линияОпределянето на константите при повече участъци е трудно. Това се избягва с подхода предложен от Клебш, при който независимо от броя на участъците константите са две на брой.

•Разглеждаме греда с обичайните за практиката товари фиг.4. •За опростяване на разпределеният товар се продължава до края на гредата и за да не се промени равновесието същият се изважда за компенсация. •На фиг. 4 са показани положителните посоки за товарите, които определят пет участъка. Разстоянието до началото на всеки участък е зададен от началото на гредата.

о

m P q

s

w

b

a

c

d

wо 1 2 3 4

5

еластична. линия

Фиг.4

о

m P q

s

w

b

a

c

d

wо 1 2 3 4

5

еластична. линия

Изхождаме от уравнение (5) и изразяваме огъващите моменти в различните участъци.

2

)(

2

)()(

2

)()(

)(

0

22''

5

2''

4

''3

''2

''1

dsqcsqbsPmwEJ

csqbsPmwEJ

bsPmwEJ

mwEJ

wEJ

y

y

y

y

y

Bn

bsdsbsBasmBmsmds

nn

1

)()(;)(*

1

За да определим ъгловите завъртания интегрираме получените изрази без да разкриваме скобите.

Получаваме следните изрази:

5

332'5

4

32'4

3

2'3

2'2

1'1

6

)(

6

)(

2

)()(

6

)(

2

)()(

2

)()(

)(

BdsqcsqbsP

asmwEJ

BcsqbsP

asmwEJ

BbsP

asmwEJ

BasmwEJ

BwEJ

y

y

y

y

y

Константите В1В5 определяме от условията за равенство на наклоните в съседство на границите на участъците.

5454

4343

3232

2121

010)0(

)(')('

)(')('

)(')('

)(')('

'0

BBdwdwds

BBcwcwcs

BBbwbwbs

BBawawas

EJBws y

Горните уравнения имат тази особеност, че за всеки следващ участък съдържа предишния. Те могат да се обединят, като за всеки участък се слага разделителна линия.

Така е получено унивесалното уравнение за ъгловите завъртания (7).

5

3

4

3

3

2

210)('

)( 6

)(

6

)(

2

)()(

dsqcsqbsPasmEJEJwEJ ySySy

(7)

Интегрираме (7) и получаваме уравнение за напречните премествания.

5

4

4

4

3

3

2

2

10)( 24

)(

24

)(

6

)(

2

)( dsqcsqbsPasmsEJСwEJ ySy

Константата С определяме от условието:

00)0(0 wEJCwws y

5

4

4

4

3

3

2

2

100)( 24

)(

24

)(

6

)(

2

)( dsqcsqbsPasmsEJwEJwEJ yySy

Окончателно получаваме универсалното уравнение на еластичната линия (8).

(8)

В това уравнение независимо от броя на участъците има само две неизвестни константи – началното провисване w0 и началния ъгъл на завъртане0, които винаги могат да се определят за кинематически неизменяема система. За всеки участък в уравнението играят роля само тези параметри, които са преди дясната граница на съответния участък. Ето защо този подход се нарича “ Метод на началните параметри”.

4. Аналогия на Мор за определяне на преместванията

Опростеното диференциално уравнение на еластичната линия (5) и диференциалната зависимост на Журавски между огъващия момент и разпределения товар са от математическа гледна точка едни и същи обикновени диференциални уравнения от втори ред.В такива случаи казваме, че между съответните величини съществува анлогия. В общия случай инерционният момент на сечението може да е променлив.

)('

)("

)()(

)(

2

)(2

)()(

)(

2

)(2

sQds

dMEJ

ds

wdEJwEJ

sqds

MdqEJ

EJ

M

ds

wEJdwEJ

ysc

scc

ysc

y

yscc

Вижда се, че провисването е аналогична величина на момента, а ъгълът на завъртане на срязващата сила.

Ако натоварим фиктивна греда с фиктивен разпределен товар, то фиктивният огъващ момент на същата ще бъде EJc кратното преместване на действителната греда. Диференцирайки (10), ще получим (11):

)()(

)( yy

cs M

J

Jq

)()( scs wЕJМ )()( scs ЕJQМds

d

c

s

c

sc

y

ys EJ

Qs

EJ

MswJ

J

Mq )()(

)(

)()( )(;)(;

Окончателно ще запишем следните уравнения за прилагане на аналогията на Мор:

(10)(9) (11)

(12)

Да изясним условията за подпиране на фиктивната греда. Те се определят от граничните условия.

0

0

w

0

0

w

0

0

w

0

0

w

0

0

Q

М

0

0

Q

M0

0

Q

M

0

0

w

0

0

w

0

0

w

0

0

Q

М

0

0

Q

М

0

0

Q

М 0

0

Q

М

действителна греда фиктивна греда

Фиг.5

За греда на две опори няма промяна в закрепването. При конзолна греда свободният край се запъва, а запънатият се освобождава. Опора между двата края на греда се превръща в Герберова става.

s

w

sw(s)

P

Му=-Pl

0

0

3

2

.33

2

2

.

y

y

EJlPl

Q

wEJPl

llPl

М

Пример 2 За гредата от фиг.3 да се приложи аналогията на Мор.

Реална греда Фиктивна греда

Plq

l

фиг.6

5. Греда на еластична основа

•Реакцията на основата е пропорционална на напречното преместване на гредата –c.w•Тук с [N/m2] е коефициент на еластичната основа, стойности за различните почви се вземат от таблици. •За греда, плаваща в течност със специфично тегло , коравината на еластичната основа е с=b, където b е ширината на гредата.

Редица случаи в практиката се моделират с греда на еластична основа – релса или тръба поставени в почвата, плаващи понтони; кораб и др.

с

cc

IV

EJ

qw

EJ

cw

Диференциалното уравнение на греда на еластична основа е:

Решението се представя чрез специални функции, представляващи комбинации от тригонометрични и хиперболични функции, наречени функции на Крилов. Съществуват програмни системи за числено решаване на задачи съдържащи греди на еластична основа (напр. SDAN).

Фиг.7