Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с...

29
Тема урока: «Вычисление площадей плоских «Вычисление площадей плоских фигур с фигур с помощью определенного помощью определенного интеграла» интеграла» Учитель математики Кутенкова Т.В. ГБОУ СОШ № 527 Санкт-Петербург 11 класс. Алгебра и начала математического анализа.

Upload: oistin

Post on 04-Jan-2016

180 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла». 11 класс. Алгебра и начала математического анализа. Учитель математики Кутенкова Т.В. ГБОУ СОШ № 527 Санкт-Петербург. Цели урока:. ". - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Тема урока:«Вычисление площадей плоских «Вычисление площадей плоских фигур сфигур с помощью определенного помощью определенного

интеграла»интеграла»

Учитель математикиКутенкова Т.В.

ГБОУ СОШ № 527Санкт-Петербург

11 класс. Алгебра и начала математического анализа.

Page 2: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

• - обучающие: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации,классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорретировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления;

• - развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся;

• - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся.

"

Page 3: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

I. Блиц – опрос. Повторение основных теоретических знанийII. Практическое применение знанийIII. Защита домашних задач

IY. Постановка проблемы (обобщение)Y. Коррекция знаний по темеYI. Историческая справкаYII. Подведение итоговYIII. Домашнее задание

Page 4: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

1. В чем заключается геометрический смысл интеграла?

2. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

3. Как найти площадь фигуры в случае, если f(x)≤0 на [a;b]?

Интеграл от неотрицательной

непрерывной функции есть

площадь соответствующей

криволинейной трапеции

Фигура, ограниченная отрезком оси

абсцисс, прямыми x=a, x=b, графиком

непрерывной функции f(x)≥0 на

[a;b]

b

a

dxxfS )(

Page 5: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

y = х², у = 0, х = -√2, х = √2

y = 2 - х², у =1 у = х², у = 2 у = х² , у = 2, у = 1y = arccos x, у = 0, x = -1

Page 6: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

1 23

45 6

Какие из заданных фигур являются криволинейными

трапециями?

Почему фигура на рис. 4 не является

криволинейной трапецией?

Площадь каких фигур можно

найти как разность

площадей криволинейных

трапеций?

Площадь какой фигуры можно

найти без помощи интеграла?

Вычислите площади фигур

I гр. на рис. 2II гр. на рис 3III гр. на рис 5

Page 7: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Page 8: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Вычислите интегралы:

2

0

sin

xdx

5

2

xdx

4

0

3dxx

0

4

2cos1

dx

x

1).

2).

3).

4).

10,5

1

64

1

Page 9: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
Page 10: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
Page 11: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

3

11)

3()2( 0

12

30

1

2 x

xdxххS АВО

3

11)

3()2( 2

0

2

0

322

xxdxххSОДЕ

9)3

4()4( 21

32

1

2

xxdxхS АВСД

.).(93

11

3

119 едквSф

Page 12: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

График функции у=х² - парабола

График функции у=½ х² -парабола

У=2х – прямая

Sф = SОАЕ+SЕАВ =(SОАД - SОЕД) +(S ДАВС –

SДЕВС)

Х ±2 ±1 0

У 4 1 0

Х ±4 ±2 ±1 0

у 8 2 0,5 0

х 0 4

у 0 8 E

Page 13: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Выполним вычисления, применив свойство

аддитивности интеграла

.).(3

21012

66

12)(2

1

2

1

2)84(2

1

2

1

42

320

3

4

2

22

0

224

2

22

0

2

0

2

едквxx

dxxdxxdxx

dxxdxхSф

Page 14: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Sф = SВСD + SDСМ + SDMN + SMNF == SABCD – SABD + SDCM + SDMN + SMNFK - SMKF

Page 15: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

22)sin(cos)cos(sin

sincoscos

sincossin

454

45

4

4545

2

2

2

4

2

4

xxdxxx

xdxxdxdxx

xdxxdxxdxSф

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

Page 16: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не

являющейся криволинейной трапецией?

Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить

Page 17: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Фигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника

Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)≤0 на [a;b]

Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)≥g(x) ≥0 и прямыми x=a, x=b

Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках

Page 18: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Перемещение фигуры (сдвиг вдоль оси Оу)

Применение свойств

интеграла (свойство

аддитивности)

Свойство симметрии

фигуры

Page 19: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

ПримерПример.. Вычислите площадь фигуры,Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ограниченной линиями

yy = = xx, , yy = 5 – = 5 – xx, , xx = 1, = 1, xx = 2. = 2.

x

y

01 2

5

5

y = x

y = 5 - xA

BC

D

2

1

5 dxxxSABCD

dxx 2

1

25 2

1

25 xx

2115225 22

2:Ответ

Page 20: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Немного историиНемного истории

«Интеграл» придумал «Интеграл» придумал Якоб БернуллиЯкоб Бернулли (1690г.) (1690г.)«восстанавливать» от латинского «восстанавливать» от латинского integrointegro

«целый» от латинского «целый» от латинского integerinteger

от латинскогоот латинского primitivusprimitivus – – начальный,начальный,

ввел ввел Жозеф Луи Лагранж Жозеф Луи Лагранж

(1797г.)(1797г.)

«Примитивная функция»,«Примитивная функция»,

Page 21: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Интеграл в древностиИнтеграл в древности

Этот метод был подхвачен и развит Этот метод был подхвачен и развит АрхимедомАрхимедом, и использовался для , и использовался для

расчёта площадей парабол и расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади приближенного расчёта площади

круга. круга.

Евдокс Книдский

Архимед

Первым известным методом для расчёта Первым известным методом для расчёта интегралов является интегралов является метод исчерпания метод исчерпания

Евдокса Евдокса ((примернопримерно 370 до н. э.), который 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая пытался найти площади и объёмы, разрывая

их на бесконечное множество частей, для их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.которых площадь или объём уже известен.

Page 22: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Исаак НьютонИсаак Ньютон(1643-1727)(1643-1727)

Наиболее полное изложение Наиболее полное изложение дифференциального и дифференциального и

интегрального исчислений интегрального исчислений содержится всодержится в

«Методе флюксий...»«Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в (1670–1671, опубликовано в

1736).1736). Переменные величины -

флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)

Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Page 23: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Лейбниц Готфрид ВильгельмЛейбниц Готфрид Вильгельм(1646-1716)(1646-1716)

ydx - впервые использован Лейбницем в конце

XVII века

Символ образовался из буквы S — сокращения слова

 summa (сумма)

Page 24: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Определенный интегралОпределенный интеграл

И. НьютонИ. Ньютон

xfxF

Г. ЛейбницГ. Лейбниц

a

b

bFaFdxxf )()()(

a

b baiii dxxfdxxf

],[

)()(где

Формула Ньютона - ЛейбницаФормула Ньютона - Лейбница

b

aaFbFdxxfS )()()(

Page 25: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла

Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач

Недаром даже поэты воспевали интеграл

Page 26: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Что сделалиЧто

планировали

Обобщить знания по

теме «Вычисление

площадей плоских фигур

с помощью определённого интеграла»

1.Классифицировали задачи

2.Систематизировали способы решения

3.Скорректировали знания

4.Совершили экскурс в историю

5. Подготовились к контрольной работе по данной теме.

Page 27: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Символ интегралаСимвол интеграла в жизнив жизни

Page 28: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

Навыки и умения отметка

1. Построение графиков функций

2. Выделение площади искомой фигуры

3. Определение общих точек графиков функций и пределов интегрирования

4. Выражение площади искомой фигуры через площади криволинейных трапеций или других фигур

5. Применение свойств фигур для упрощения решения

Page 29: Тема  урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»

СПАСИБО ЗА СПАСИБО ЗА УРОК!УРОК!

Домашнее задание:1.1. п.п.58;58;2.2. № № 1017, 10181017, 1018