第 Ⅱ 部 協力ゲームの理論
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第 Ⅱ 部 協力ゲームの理論. 第 10 章 コア. 2008/07/01( 火 ) ゲーム理論合宿. 配分の支配 配分間の支配関係 提携合理性と支配関係 コア コアの定義 コアの存在 非分割財市場のコア 負の公共財~ごみ処理ゲーム 凸ゲーム 凸ゲーム 凸ゲームのコアとシャープレイ値. 内容. 1.配分の支配. ベンチャー企業をプログラマー1,2と営業3で起こす. 平均プログラマ1. 敏腕プログラマ2. 営業3. シャープレイ値は. いま、3人で提携することを考えたときに、利益の配分はどのようになるかを考える - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第Ⅱ部 協力ゲームの理論
第 10章 コア
2008/07/01(火 )ゲーム理論合宿
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内容
• 配分の支配– 配分間の支配関係– 提携合理性と支配関係
• コア– コアの定義– コアの存在
• 非分割財市場のコア• 負の公共財~ごみ処理ゲーム• 凸ゲーム
– 凸ゲーム– 凸ゲームのコアとシャープレイ値
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1.配分の支配
• ベンチャー企業をプログラマー1,2と営業3で起こす
平均プログラマ1
敏腕プログラマ2
営業3
シャープレイ値は
)50,40,30()( vいま、3人で提携することを考えたときに、利益の配分はどのようになるかを考える
(提携形3人ゲームの配分の集合を図示することを考える)
一般に3人ゲーム (N={1, 2, 3},v)の配分は次のように表される
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1.配分の支配
3次元の利得ベクトルで書くと(a)
高さ v(N)の正三角形で表すと(b)
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1.配分の支配1
2 3
配分 (120,0,0)
配分 (0,120,0)
配分 (0,0,120)
配分(30,40,50)
30
4050
配分(20,45,55)
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1.配分の支配
シャープレイ値的に (30,40,50)という配分にしましょう!
ふざけんな!オレら二人だけで組むと 100稼げるんだ!
せめて (20,45,55)はもらわないと!
・・・・。(涙目)
配分 a(30,40,50)は提携 {2,3}に関して
配分 b(20,45,55)に支配されているという
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定義1.配分間の支配
ゲーム (N,v)において、2つの配分 x,yについて、提携Sに関して
(i)選好条件
(ii)実現可能条件
の2つの条件が成立するとき、提携Sに関して、配分 xは配分 yを支配するといい、次のように書く
1.配分の支配
Siyx ii
)(SvxSi
i
ydomxS
選好条件:提携Sのすべてのメンバーにとって、配分 xが配分 yより大きい利得が 得られるため、 yよりも xを選好する
実現可能条件:そのような配分 xを提携Sだけで実現可能である
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優加法的提携形 n人ゲームにおける2つの配分を x,yとすると
が可能なのは n 5≧ のとき。
1.配分の支配
ydomx xdomy
●提携合理性について
ゲーム (N,v)において、利得ベクトル xがすべての提携にとって
をみたすとき、この利得ベクトルは提携合理的であるという
Si
i Svx )(
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2.コアの理論
支配される配分はその提携によって拒否され、実現されることは難しい。そこで、コアという解を定義する
●コアの定義(支配関係による定義)
ゲーム (N,v)において、いかなる配分にも支配されない配分の集合をコアとよぶ
●コアの定義(提携合理性による定義)
ゲーム (N,v,A)が弱優加法的であるならば、コアは提携合理的配分の集合である。すなわち、コアを C(v)とすると
である
NSSvxAxvCSi
i )(:)(
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2.コアの理論
コアは一次不等式の組の解として与えられ、 n次元ベクトル空間の有界閉集合である
コアはシャープレイ値と異なり、配分の集合として定義された解ただ一つの配分を指定する解ではない
コアが空集合でないゲームはプレイヤー全体が共同で行動した方が部分的な提携で行動するより、大きな利得が得られ、全体としての協力関係が安定的であることを意味する
コアが空集合のゲームは全体提携の値に対して、部分提携の値が相対的に大きく、全体的な協力関係が不安定であることを意味する
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2.コアの理論
3人ゲームの例
提携合理性の条件は
全体合理性の条件は
これらの条件から図示したのが次頁
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2.コアの理論
提携合理性の条件を コアの制約条件という
制約条件は 基本三角形上に図示でき、 三角形 DEFがコアを示す
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2.コアの理論
別の例
この場合、
コアは空である
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2.コアの理論
• 3人ゲームでコアが空でない条件
プレイヤーの集合を N={1,2,3}としたとき、優加法的提携形3人ゲームのコアが存在するための必要十分条件は次の不等式を満たすことである。
)23()13()12()123(2 vvvv
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3.非分割財市場のコア非分割財:文字通り分割できない財。家、車など。
供給者1: a円以上なら売ってもいい 需要者2: b円以下なら買ってもいい 需要者3: c円以下なら買ってもいい ここでは a<b<cとする価格
数量
c
b
a
1 2
価格 Pは需要曲線と供給曲線の 交点として定まるから、 b p c≦ ≦ となる
実際、どこに決まるかは交渉によるので、提携形ゲームとして表現
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3.非分割財市場のコア
0)3(,0)2(,)1( vvav
0)23(,)13(,)12( vcvbv
売らなくてもプレイヤー 1は aの価値をもった家を持ってるので、ここで、提携は売買と考えられるので、
三人で交渉され、もっとも高い価格で売買がなされるとcv )123(
このゲームのコアは
またはと表現され、コアを求めることによって、市場における取引の結果として、各プレイヤーが受け取る価値と価格の範囲を求めることができる
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3.非分割市場財のコア具体的な数値例として a=30, b=80, c=120とすると
シャープレイ値は Φ(v)=(80,10,30)で コアに属さない。これは提携 {1,2}が満たされる状況も考えているため。
実際に提携される構造は {1,3}{2}となる
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4.凸ゲーム
• ゲーム (N,v)において、提携Sにプレイヤー iが参加したときの限界貢献度 v(S {i})-v(S)∪ が提携の規模が大きくなるにつれて、常に増加するとき。すなわち、
• 任意の i N∈ と任意の S T N-{i}⊂ ⊂ について
のとき、このゲームを凸ゲームという
)(}){()(}){( TviTvSviSv
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4.凸ゲーム
• 凸ゲームの性質• N人凸ゲームにおいてコアは空でなく、かつその範囲が広く、任意の iについて境界 xi=v(i)と共通部分をもつ
• 凸ゲームのシャープレイ値はコアに含まれる