Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие...

28
Последствия Последствия ошибок в ошибок в спецификации спецификации моделей моделей Замещающие Замещающие переменные переменные

Upload: waneta

Post on 05-Jan-2016

163 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные. Последствия ошибок спецификации модели. Возможные ошибки спецификации модели: 1. Неправильный выбор вида уравнения регрессии 2. В уравнение регрессии включена лишняя (незначимая) переменная - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия Последствия ошибок в ошибок в

спецификации спецификации моделеймоделей

Замещающие Замещающие переменныепеременные

Page 2: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

Возможные ошибки спецификации модели:

1. Неправильный выбор вида уравнения регрессии

2. В уравнение регрессии включена лишняя (незначимая) переменная

3. В уравнении регрессии пропущена значимая переменная

Page 3: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

1. Неправильный выбор вида функции в уравнении

Пусть на первом этапе была сделана спецификация модели в виде:

2u

2

10F

σx)|M(u

0x)|M(u

u)a,a(x;fy

(1.1)

в которой функция fF(x,a0,a1) выбрана не верно

Предположим, что yT=fT(x,a0,a1) – правильный вид функции регрессии

Тогда справедливо выражение:

0φ1010 xa,a,xa,a,x ff FT (1.2)

Page 4: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

Из выражения (1.2) следует:

0φ1010

1010

xMa,a,xMa,a,xM

a,a,xa,a,xM

ffff

FT

FT (1,3)

Иными словами, математические ожидания эндогенной переменной, полученные с помощью функций fT и fF не совпадают, т.е. первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова M(ulx)=0 не выполняется

Следовательно, в результате оценивания такой модели параметры а0 и а1 будут смещенными

Page 5: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

Симптомы наличия ошибки спецификации первого типа:

1. Несоответствие диаграммы рассеяния, построенной по имеющейся выборке виду функции, принятой в спецификации

2. В динамических моделях длительно сохраняется знак у смежных (по номеру t уравнений наблюдений) значений оценок случайных возмущений

Именно этот симптом и улавливается статистикой DW Дарбина–Уотсона!

В силу данного обстоятельства тесту Дарбина–Уотсона в эконометрике придается большое значение.

Page 6: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Пример исправления ошибки Пример исправления ошибки первого типапервого типа

Задача. Построить модель относительной стоимости подержанных автомобилей фирмы Ситроен

Прода-жа

p %

Кол-тво лет

Прода-жа

p %

Кол-во

лет

Прода-жа

p %

Кол-во

лет

1 100 0 9 52 3 17 42 6

2 80 1 10 57 3 18 40 6

3 76 1 11 50 4 19 40 6

4 80 1 12 50 4 20 37 7

5 70 2 13 45 4 21 37 7

6 65 2 14 50 5 22 33 7

7 60 2 15 45 5 23 35 8

8 49 3 16 45 5 24 37 8

            25 32 9

Page 7: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Пример исправления ошибки Пример исправления ошибки первого типапервого типа

441791870

455040462

933588276

2 .D.DW.R

...

ut..p

L

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

441791920

16480

0800070040

ε1130394

ε

1

2

1130

10

01

.D.DW.R

u.p

...

t..pln

taalnpln

)u(aap

u

t.

t

e

e

1. Линейная модель 2. Нелинейная модель

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10

Page 8: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

2. В уравнение регрессии включена лишняя переменная

Пусть на этапе спецификации в модель включена «лишняя» переменная, например, X2

2u21

2

21

22110

σx,x|uM

0x,x|uM

uxaxaay(2.1)

«Правильная» спецификация должна иметь вид:

2u1

2

1

110

σx|uM

0x|uM

uxaay(2.2)

Page 9: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

Последствия:

1. Оценки параметров а0, а1, а2 останутся несмещенными, но потеряют свою эффективность (точность)

2. Увеличивается ошибка прогноза по модели

2,021,0100 xa~xa~a~y~

как за счет ошибок оценок коэффициентов и σu, так и за счет последнего слагаемого

Это особенно опасно при больших абсолютных значениях регрессора

Page 10: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

Диагностика:

В моделях множественной регрессии необходимо для каждого коэффициента уравнения проверять статистическую гипотезу H0: ai=0

Вспомним, что для этого достаточно оценить дробь Стьюдента

2

22 a~S

a~t

и сравнить ее значение с критическим значением распределения Стьюдента, которое вычисляется по значению доверительной вероятности и значению степени свободы 2 = n – (k+1)

Page 11: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Последствия ошибок Последствия ошибок спецификации моделиспецификации модели

3. В модели не достает важной переменной

0xaxaaxaxaax|uM 22110221101

Последствия такие же, как и в первом случае: получаем смещенные оценки параметров модели.

Для устранения необходимо вернуться к изучению особенностей поведения экономического объекта, выявить опущенные переменные и дополнить ими модель

Вот тут и возникают неприятности!

Page 12: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Замещающие переменныеЗамещающие переменные

Проблемы в использовании переменных:

1. Не возможно получение данных по переменной

2. Не возможно измерить количественно переменную

Такие ситуации характерны для переменных социально-экономического характера (качество образования и т.п.)

Выход из ситуации – подбор переменной заместителя

Page 13: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Замещающие переменныеЗамещающие переменные

Определение. Переменные, которые вводятся в эконометрические модели вместо тех переменных, которые не поддаются измерению, называются замещающими.

Требование. Замещающая переменная должна коррелировать с переменной, которую она замещает.

Если Cor(x,xpr)=1, то xpr – называют совершенным регрессором

В качестве замещающей переменной часто используется время и лаговые переменные

Page 14: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Замещающие переменныеЗамещающие переменные

Пример. Рассмотрим модель связывающую расходы потребителей на питание (y) с личным располагаемым доходом (х) и относительной ценой продовольствия (р)

ε210 plogbxlogbbylog (4.1)

Предположим, что нет доступа к данным о располагаемом личном доходе (х)

Если эту переменную не учитывать, то оценки оставшихся параметров будут смещенными, а соответствующие тесты не корректны

Предположим, что log(x) имеет временной тренд

Page 15: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Замещающие переменныеЗамещающие переменные

Тогда уравнение (4.1) можно записать в виде:

ε320 tbplogbby

РегресРегрессорысоры

Оценки коэффициентовОценки коэффициентов

RR22

bb11 bb22 bb33

Log(x), Log(x), log(p)log(p)

0.640.64

(0.03)(0.03)

-0.48 -0.48 (0.12)(0.12)

0.990.99

Log(p), Log(p), tt

-0.47 -0.47 (0.13)(0.13)

0.023 0.023 (0.001)(0.001)

0.980.98

Log(p)Log(p) 2.04 2.04 (0.33)(0.33)

0.630.63

Page 16: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Замещающие переменныеЗамещающие переменные

uxa...xaxaay kk 22110

zX μλ1

В общем случае, пусть «правильная» модель:

Предположим, что х1 не доступна для наблюдений

Введем переменную z, которая связана с х1

(4.2)

где: λ и μ неизвестные коэффициенты

uxa...xazaaay kk 22110 μλ (4.4)

(4.3)

После оценки модели (4.4) нет формальной возможности получить значения λ, μ, а1

Page 17: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Проблемы с использованием Проблемы с использованием замещающих переменныхзамещающих переменных

Пример построения производственной функции Кобба-Дугласа

Индексы реального объема производства, в промышленности США в 1899-1922 гг.

Год Y K L Год Y K L

1899 100 100 100 1911 153 216 145

1900 101 107 105 1912 177 226 152

1901 112 114 110 1913 184 236 154

1902 122 122 118 1914 169 244 149

1903 124 131 123 1915 189 266 154

1904 122 138 116 1916 225 298 182

1905 143 149 125 1917 227 335 196

1906 152 163 133 1918 223 366 200

1907 151 176 138 1919 218 387 193

1908 126 185 121 1920 231 407 193

1909 155 198 140 1921 179 417 147

1910 159 208 144 1922 240 431 161

Спецификация модели

ε

11

1

10

110

1

011

L

KlnabL

Yln

ulnLlnaKlnaalnYln

uta

ta

aY

t

t

t

t

ttt

tt LK

1,32DW 0,56;R 1, 0,t

0,048 0,039 0,017 /LKln0,20070,02836/KYIn

2

ttttt ε

Оценка модели

[dL; dU] = [1,26; 1,44]

Page 18: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Проблемы с использованием Проблемы с использованием замещающих переменныхзамещающих переменных

Проверка адекватности моделиДля проверки адекватности взяты данные за 1922г (Y1922  = 240; K1922  = 431; L1922  = 161). Для этого вычисляем величины

0,0545q10,048S

0,29;q0,9847;)/L1n(Kx

0y

0192219220

0

и делаем точечный прогноз значения y0 = ln(Y1922 /L1922) = 0,399:

0,3786.Sy y0,0734;Syy00 y00y00 tt криткрит

~~

Критическое значение критерия Стьюдента tкрит(0.99,21)=2.8 Тогда доверительный интервал:

Page 19: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Модель оказалась не адекватной

Дальнейшие возможности:

- проверить возможность исключения незначимых параметров

-попытаться изменить вид модели

- исследовать возможность включения дополнительной переменной

Делаем все по порядку

Page 20: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

0,048 0,039 0,017

/LKln0,20070,02836/KYIn ttttt ε

1. Проверка возможности исключения параметров

Проверяем статистическую гипотезу Н0: bi=0, tкрит(0.95,21)=2.1

126250390

201012671

0170

028360

σσ10

1

1

0

0..

.

.

b

b..

.

.

b

btttt криткрит

Вывод: b0=ln(a0)=0,следовательно, a0=1

Page 21: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Исследуется спецификация модели вида:

ε

1

1

111

L

KlnaL

Yln

uta

ta

Y

t

t

t

t

tt LK(5.2)

Оценка модели (5.2) по тем же данным есть:

1,26DW 0,51;R 1, 0,t

(0,050) (0,023) )/Lln(K0,2522)/KIn(Y

2

ttttt ε

Page 22: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Проверка адекватности модели (5.2)

Вновь вычисляются необходимые величины:

0,055q10,050S

0,21;q 0,9847;)/L1n(Kx

0y

0192219220

0

0,248.x0,2522)L/~

1n(Yy~ 0192219220

Сделаем точечную проверку адекватности для доверительных вероятностей 0.99 и 0.95 tкрит(0.99,21)=2.8, tкрит(0.95,21)=2.1

7420550

24803990

σ0

00

0.

.

..

y

y~yt

Page 23: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

2. Введем дополнительную переменную

Модели (5.1) и (5.2) не учитывают влияние технического прогресса на уровень выпуска продукции

Учтем это влияние с помощью замещающей переменной t – время следующим образом

Введем переменную Et –эффективность единицы труда

Et зависит от квалификации, образования и др. личных качеств работников

Простейшая модель технологического процесса

tt gEE 10 (5.3)

Page 24: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

С учетом технологического процесса спецификация модели принимает вид:

1, 0,t1;a0 0;a

)u(1LKeaY

10

ta-1

tat

ta0t

113

(5.4)

где: a3 = (1-a1) · ln(1+g) 0

В логарифмическом виде модель (5.4) имеет вид:

1, 0,tσt),L ,K|E(

0t),L ,K|E(ta)/Lln(Ka)1n(a)/Lln(Y

2ttt

2ttt

t3tt10tt

εε

ε

(5.5)

Page 25: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Оценка модели (5.5) по тем же данным приняла вид:

0,67R 1, 0,t

t0,0120)/Lln(K0,0940,0046)/Lln(Y

2

ttttt

(0,043) (0,0048) (0,12) (0,018)

ε

Из (5.6) легко видеть, что оценки коэффициентов b0=ln(a0) и а1 оказались незначимыми (гипотезы Н0:b0=0 и H0:a1=0 не отвергаются исходными данными)

Но это приводит к абсурду: можно не затрачивая ни капитал ни труд производить продукцию

(5.6)

Page 26: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Вопрос. Почему статистические данные «не пустили» в модель время как заместитель технического прогресса?

Ответ. Переменная К (капитальные затраты) так же являются функцией времени.

В результате введения в модель еще переменной времени привело к мультиколинеарности матрицы коэффициентов наблюдения (матрица Х)

Выражение

YTa xxxT 1

стало не устойчивым из-за неустойчивости обратной матрицы

Page 27: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

Вывод. Последствием неаккуратного использования замещающих переменных приводит к нарушению обязательного условия МНК о не вырожденности матрицы коэффициентов уравнений наблюдений

При использовании замещающих переменных необходим предварительный анализ степени корреляции между экзогенными переменными

Page 28: Последствия ошибок в спецификации моделей Замещающие переменные

Построение функции Кобба-Построение функции Кобба-ДугласаДугласа

3. Проверка возможности изменить вид модели

Откажемся от жесткого условия линейной однородности (а1+а2=1) производственной функции

Тогда модель примет вид:

ulnLlnaKlnaalnYln

uta

ta

aY

ttt

tt LK1

1

210

021 (5.7)

Оценка модели (5.7) в конечном итоге получилась следующей:

9601 2810230 .RuLKy .t

.tt