일반함수모형의 비교정태분석

일반함수모형의 비교정태분석일반함수모형의 비교정태분석 일반함수모형의 비교정태분석일반함수모형의 비교정태분석

전도함수 (total derivatives) 전도함수 (total derivatives)

합성함수의 전미분 (total differentials of composite

function)

- 일반적 함수형태가 다음과 같음 .

y=f(x, w), 여기서 x=g(w)

- 함수 f 와 g 는 다음과 같이 합성함수로 결합될 수 있음 .

y=f[g(w), w]

- 여기서 세 변수 y, x, w 간의 상호관계는 [ 그림 8.4]

의 경로도 (channel map) 에 나타내고 있음 .

- 이 그림에서 알 수 있듯이 변화를 일으키는 궁극적인 원인변수인 w 는 두 경로를 통해 y 에 영향을 줌 .


function)

- 일반적 함수형태가 다음과 같음 .

y=f(x, w), 여기서 x=g(w)

- 함수 f 와 g 는 다음과 같이 합성함수로 결합될 수 있음 .

y=f[g(w), w]

- 여기서 세 변수 y, x, w 간의 상호관계는 [ 그림 8.4]

의 경로도 (channel map) 에 나타내고 있음 .

- 이 그림에서 알 수 있듯이 변화를 일으키는 궁극적인 원인변수인 w 는 두 경로를 통해 y 에 영향을 줌 .




function)

- 우선 , 간접적으로 함수 g 를 거친 후 , 함수 f 를 통하여 ( 직선의 화살표 ), 그리고 직접적으로 함수 f 를 통하여 ( 곡선의 화살표 ) 영향을 줌 .


function)

- 우선 , 간접적으로 함수 g 를 거친 후 , 함수 f 를 통하여 ( 직선의 화살표 ), 그리고 직접적으로 함수 f 를 통하여 ( 곡선의 화살표 ) 영향을 줌 .




function)

- y 에 대한 w 의 직접효과는 편도함수인 fw(=∂y/∂w) 로

나타낼 수 있음 .

- y 에 대한 w 의 간접효과는 합성함수의 연쇄법칙인

두 도함수의 곱 , 즉 fx (= ) 로 표현됨 .

- 이 두 효과를 합하면 w 에 관한 y 의 전도함수를

얻음 .

=fx +fw= +


function)

- y 에 대한 w 의 직접효과는 편도함수인 fw(=∂y/∂w) 로

나타낼 수 있음 .

- y 에 대한 w 의 간접효과는 합성함수의 연쇄법칙인

두 도함수의 곱 , 즉 fx (= ) 로 표현됨 .

- 이 두 효과를 합하면 w 에 관한 y 의 전도함수를

얻음 .

=fx +fw= +

dx

dw∂y∂x

dxdw

dy

dwdxdw

∂y∂x

dxdw

∂y∂w




function)

- 앞의 전도함수는 다른 방법으로도 얻을 수 있음 .

- 우선 , 함수 y=f(x, y) 를 전미분하면 , dy=fxdx+fwdw

- 이제 양변을 dw 로 나누면 다음의 결과를 얻음 .

=fx +fw= +

- 어떤 방법이든 전도함수 dy/dw 를 구하는 과정을 w

에 관한 y 의 전미분연산이라 함 .

- 여기서 dy/dw 는 전도함수이고 , ∂y/∂w 는

편도함수임 .


function)

- 앞의 전도함수는 다른 방법으로도 얻을 수 있음 .

- 우선 , 함수 y=f(x, y) 를 전미분하면 , dy=fxdx+fwdw

- 이제 양변을 dw 로 나누면 다음의 결과를 얻음 .

=fx +fw= +

- 어떤 방법이든 전도함수 dy/dw 를 구하는 과정을 w

에 관한 y 의 전미분연산이라 함 .

- 여기서 dy/dw 는 전도함수이고 , ∂y/∂w 는

편도함수임 .

dy

dw

dx

dw

∂y

∂x

dx

dw

∂y

∂w




function)

- 예 1 : y=f(x, w)=3x-w2 이고 단 , x=g(w)=2w2+w+4 일 때 전도함수 dy/dw

fx=3, fw=-2w, =4w+1 이므로 ,

=fx +fw=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함수 g 를 함수 f 에 대입하면 , y=3(2w2+w+4)-w2

이고 ,

이를 다시 정리하면 y=5w2+3w+12 이므로 dy/dw=10w+3


function)

- 예 1 : y=f(x, w)=3x-w2 이고 단 , x=g(w)=2w2+w+4 일 때 전도함수 dy/dw

fx=3, fw=-2w, =4w+1 이므로 ,

=fx +fw=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함수 g 를 함수 f 에 대입하면 , y=3(2w2+w+4)-w2

이고 ,

이를 다시 정리하면 y=5w2+3w+12 이므로 dy/dw=10w+3

dx

dwdy

dw

dx

dw




function)

- 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s) 이고 ( 여기서 c 는 커피 소 비량 , s 는 설탕 소비량 ), 또다른 방정식 s=g(c)

임 .

이 두 재화가 보완관계라면 , 효용함수는 다음과 같은 합성함수로 나타낼 수 있음 .

U=U[c, g(c)]

위 식으로부터 다음과 같은 전도함수 dU/dc 를 얻음 .

= + g(c)


function)

- 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s) 이고 ( 여기서 c 는 커피 소 비량 , s 는 설탕 소비량 ), 또다른 방정식 s=g(c)

임 .

이 두 재화가 보완관계라면 , 효용함수는 다음과 같은 합성함수로 나타낼 수 있음 .

U=U[c, g(c)]

위 식으로부터 다음과 같은 전도함수 dU/dc 를 얻음 .

= + g(c)

∂U

∂c

dU

dc

∂U

∂g(c)



논제의 한 변환 (a variation on the theme)

- 함수 y=f(x1, x2, w), 여기서 x1=g(w), x2=h(w) 임 .

- 이 경우 변수 w 는 세 경로를 통하여 y 에 영향을 줌 :

⑴ 간접적으로 함수 g 를 거친 후 함수 f 를 통해 ,

⑵ 또한 간접적으로 함수 h 를 거치고 함수 f 를 통해 ,

⑶ 직접적으로 함수 f 를 통해 y 에 영향을 줌 .

- 이 세 효과는 각각 , , 로

나타낼

수 있음 .


- 함수 y=f(x1, x2, w), 여기서 x1=g(w), x2=h(w) 임 .

- 이 경우 변수 w 는 세 경로를 통하여 y 에 영향을 줌 :

⑴ 간접적으로 함수 g 를 거친 후 함수 f 를 통해 ,

⑵ 또한 간접적으로 함수 h 를 거치고 함수 f 를 통해 ,

⑶ 직접적으로 함수 f 를 통해 y 에 영향을 줌 .

- 이 세 효과는 각각 , , 로

나타낼

수 있음 .

∂y

∂x1

dx1

dw

∂y

∂x2

∂y

∂wdx2

dw




- 이들 세 가지 효과를 더하면 , 다음의 전도함수를 얻음 .

= + +

=f1 +f2 +fw


- 이들 세 가지 효과를 더하면 , 다음의 전도함수를 얻음 .

= + +

=f1 +f2 +fw

∂y

∂x1

dx1

dw

∂y

∂x2

∂y

∂wdx2

dw

dy

dwdx1

dwdx2

dw




- 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t 는 시간변수임 .

- 이 경우 시간 t 의 경과에 따라 기술의 변화를 반영할 수 있음 . 따라서 동태적 생산함수임 .

- 시간의 경과에 따라 자본량과 노동량도 변화하므로 K=K(t), L=L(t) Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면 시간에 관한 산출량 변화율은 전도함수 공식에

따라 = + +

=QKK(t)+QLL(t)+Qt


- 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t 는 시간변수임 .

- 이 경우 시간 t 의 경과에 따라 기술의 변화를 반영할 수 있음 . 따라서 동태적 생산함수임 .

- 시간의 경과에 따라 자본량과 노동량도 변화하므로 K=K(t), L=L(t) Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면 시간에 관한 산출량 변화율은 전도함수 공식에

따라 = + +

=QKK(t)+QLL(t)+Qt

∂Q

∂k

dK

dt

∂Q

∂L

∂Q

∂t

dL

dt

dQ

dt


음함수의 도함수 (derivatives of implicit function) 음함수의 도함수 (derivatives of implicit function)

음함수 (implicit function)

- 지금까지 함수는 대부분 y=f(x) 의 형태로 나타냈음 .

여기서 x 는 독립변수 , y 는 종속변수로 명확하게 표현 할 수 있음 . 즉 , 변수 y 가 x 의 함수로 명시적으로 표시 되기 때문에 이러한 함수를 양함수 (explicit

function)

라고 함 ( 예 : y=f(x)=3x4).

- 그러나 이 함수가 동일한 의미를 갖는 다른 형태 ,

즉 y-3x4=0

여기서 변수 x, y 는 독립변수와 종속변수가 뚜렷하지 않음 .


- 지금까지 함수는 대부분 y=f(x) 의 형태로 나타냈음 .

여기서 x 는 독립변수 , y 는 종속변수로 명확하게 표현 할 수 있음 . 즉 , 변수 y 가 x 의 함수로 명시적으로 표시 되기 때문에 이러한 함수를 양함수 (explicit

function)

라고 함 ( 예 : y=f(x)=3x4).

- 그러나 이 함수가 동일한 의미를 갖는 다른 형태 ,

즉 y-3x4=0

여기서 변수 x, y 는 독립변수와 종속변수가 뚜렷하지 않음 .




- 이와 같이 x, y 의 관계가 명확하지 않고 포괄적으로 나타난 함수를 음함수 (implicit function) 라고 함 ( 예 : y-3x4=0).

- 일반적으로 음함수는 F(y, x)=0 으로 나타냄 (y 는 x

의 음함수라고 함 ).

여기서 음함수는 함수 f 와 구변하기 위해 대문자 F

를 사용함 .


- 이와 같이 x, y 의 관계가 명확하지 않고 포괄적으로 나타난 함수를 음함수 (implicit function) 라고 함 ( 예 : y-3x4=0).

- 일반적으로 음함수는 F(y, x)=0 으로 나타냄 (y 는 x

의 음함수라고 함 ).

여기서 음함수는 함수 f 와 구변하기 위해 대문자 F

를 사용함 .




- 앞의 예에서 함수 F 는 두 독립변수 y 와 x 를 가지는 반면 , 양함수 f 는 오직 하나의 독립변수 x 만 가짐 .

- 함수 F 는 둘 이상의 독립변수가 존재할 수 있음 .

- 한편 , 양함수 y=f(x) 는 f(x) 식을 등호의 좌변으로 이항 하면 방정식 F(y, x)=0 형태로 항상 변환이 가능함 .

그러나 그 역의 변환은 항상 가능한 것이 아님 .

즉 , 음함수를 정의하지 못할 수도 있음 .


- 앞의 예에서 함수 F 는 두 독립변수 y 와 x 를 가지는 반면 , 양함수 f 는 오직 하나의 독립변수 x 만 가짐 .

- 함수 F 는 둘 이상의 독립변수가 존재할 수 있음 .

- 한편 , 양함수 y=f(x) 는 f(x) 식을 등호의 좌변으로 이항 하면 방정식 F(y, x)=0 형태로 항상 변환이 가능함 .

그러나 그 역의 변환은 항상 가능한 것이 아님 .

즉 , 음함수를 정의하지 못할 수도 있음 .




- 예 : 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0 는 원점을 중심으로 반지름 3 인 원이고 , y 를 x 에 대하여 풀어 쓰면 y=(9-x2)1/2

임 .


- 예 : 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0 는 원점을 중심으로 반지름 3 인 원이고 , y 를 x 에 대하여 풀어 쓰면 y=(9-x2)1/2

임 .




- 앞의 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0 는 함수가 아니라 하나 의 관계에 불과함 .

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내기 때문에 , x 의 각 값에 대응하는 y 값이 유일하게 존재하지 않음 .

- 그러나 y 값이 비음 ( 양 ) 이면 y=+(9-x2)1/2( 원의 상반분 )

y 값이 비양 ( 음 ) 이면 y=-(9-x2)1/2( 원의 하반분 ) 을 구성 - 한편 , 원의 왼쪽이나 오른쪽 반분은 그 어느 것도 함수가 될 수 없음 .


- 앞의 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0 는 함수가 아니라 하나 의 관계에 불과함 .

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내기 때문에 , x 의 각 값에 대응하는 y 값이 유일하게 존재하지 않음 .

- 그러나 y 값이 비음 ( 양 ) 이면 y=+(9-x2)1/2( 원의 상반분 )

y 값이 비양 ( 음 ) 이면 y=-(9-x2)1/2( 원의 하반분 ) 을 구성 - 한편 , 원의 왼쪽이나 오른쪽 반분은 그 어느 것도 함수가 될 수 없음 .




- y=+(9-x2)1/2 [ 원의 상반분 ]

y=-(9-x2)1/2 [ 원의 하반분 ]

- 즉 , F(y, x)=0 가 y=f(x) 를 정의해 줄 때 , y 를 x 의 음함수

(implicit function) 라고 함 .


- y=+(9-x2)1/2 [ 원의 상반분 ]

y=-(9-x2)1/2 [ 원의 하반분 ]

- 즉 , F(y, x)=0 가 y=f(x) 를 정의해 줄 때 , y 를 x 의 음함수

(implicit function) 라고 함 .



음함수의 도함수 (derivative of implicit function)

- 음함수 F(y, x)=0 에 대하여 , y 의 x 에 대한 도함수(dy/dx)

는 우선 양변을 x 에 관하여 미분하면 ,

Fx+Fy =0 따라서 =- (Fy0)

- 앞의 예 F(y, x)=x2+y2-9=0 에서

Fx=2x, Fy=2y 이므로 =- =- 임 .

- 결국 , 음함수의 구체적 형태를 알지 못해도 ,

음함수의 도함수는 F 함수의 한 쌍의 편도함수들의 비율에 음의 부호를 붙인 것이 됨 .


- 음함수 F(y, x)=0 에 대하여 , y 의 x 에 대한 도함수(dy/dx)

는 우선 양변을 x 에 관하여 미분하면 ,

Fx+Fy =0 따라서 =- (Fy0)

- 앞의 예 F(y, x)=x2+y2-9=0 에서

Fx=2x, Fy=2y 이므로 =- =- 임 .

- 결국 , 음함수의 구체적 형태를 알지 못해도 ,

음함수의 도함수는 F 함수의 한 쌍의 편도함수들의 비율에 음의 부호를 붙인 것이 됨 .

dy

dx

dy

dxFx

Fy

dy

dx

2x

2y

x

y




- 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x4=0 의 도함수 (dy/dx)

=- =- =12x3

한편 , 주어진 방정식을 y 에 대해서 풀면 y=3x4 임 . 따라서 위의 도함수와 동일함 .

- 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y3x2+w3+yxw-3=0 의 도함수

=- =-

만약 , 점 (1, 1, 1) 에서 , 이 도함수의 값은 -3/4 임 .


- 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x4=0 의 도함수 (dy/dx)

=- =- =12x3

한편 , 주어진 방정식을 y 에 대해서 풀면 y=3x4 임 . 따라서 위의 도함수와 동일함 .

- 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y3x2+w3+yxw-3=0 의 도함수

=- =-

만약 , 점 (1, 1, 1) 에서 , 이 도함수의 값은 -3/4 임 .

dy

dxFx

Fy

-12x3

1

∂y

∂xFx

Fy

2y3x+yw

3y2x2+xw




- 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0 은 묵시적으로 생산함수

Q=f(K, L) 로 정의하면 , 한계실물생산 MPPK 및

MPPL?

MPPK =- 및 MPPL =-

이밖에도 방정식 F(Q, K, L)=0 에서 다음과 같은 편도 함수를 얻을 수 있음 .

=-


- 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0 은 묵시적으로 생산함수

Q=f(K, L) 로 정의하면 , 한계실물생산 MPPK 및

MPPL?

MPPK =- 및 MPPL =-

이밖에도 방정식 F(Q, K, L)=0 에서 다음과 같은 편도 함수를 얻을 수 있음 .

=-

∂K

∂LFL

FK

∂Q

∂KFK

FQ

∂Q

∂LFL

FQ




- 앞에서 다룬 ∂ K/∂L 의 경제적 의미는 무엇인가 ?

편미분 기호는 다른 변수 Q 가 고정되어 있음을 의미함 .

- 그러므로 이것은 등생산곡선 (isoquant curve) 을 따라 이동하는 변화의 형태를 갖게 됨 .

- 따라서 도함수 ∂ K/∂L 는 등생산곡선의 접선의 기울기 ( 기울기 값은 보통 음 (-) 의 값을 가짐 .)

- 한편 , ∂K/∂L 의 절대값은 기술적 한계대체율 (marginal

rate of technical substitution : MRTSLK) 임 .


- 앞에서 다룬 ∂ K/∂L 의 경제적 의미는 무엇인가 ?

편미분 기호는 다른 변수 Q 가 고정되어 있음을 의미함 .

- 그러므로 이것은 등생산곡선 (isoquant curve) 을 따라 이동하는 변화의 형태를 갖게 됨 .

- 따라서 도함수 ∂ K/∂L 는 등생산곡선의 접선의 기울기 ( 기울기 값은 보통 음 (-) 의 값을 가짐 .)

- 한편 , ∂K/∂L 의 절대값은 기술적 한계대체율 (marginal

rate of technical substitution : MRTSLK) 임 .



등생산곡선 (isoquant curve) 등생산곡선 (isoquant curve)

Q=Q1

K

∂K

∂L

0 L



연립방정식으로의 확장 (extension to the simultaneous-

equation)

- 연립방정식의 집합이 다음과 같음 .

F1(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 F2(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 Fn(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0

- 위 식에 대응하는 음함수들의 집합은 다음과 같음 .

y1=f1(x1, x2,, xm) y2=f2(x1, x2,, xm) yn=fn(x1, x2,, xm)


equation)

- 연립방정식의 집합이 다음과 같음 .

F1(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 F2(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 Fn(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0

- 위 식에 대응하는 음함수들의 집합은 다음과 같음 .

y1=f1(x1, x2,, xm) y2=f2(x1, x2,, xm) yn=fn(x1, x2,, xm)




equation)

- 앞의 연립방정식과 이에 대응하는 음함수의 존재를 보장하려면 다음의 음함수 관계가 성립해야 함 .

⑴ F1, F2,, Fn 은 모두 y 와 x 에 대하여 연속적인 편도 함수를 가져야 하며 ,

⑵ 한 점 (y10, y20,, yn0; x10, x20,, xm0) 에서 음함수의

연립방정식을 만족한다면 , 다음의 야코비행렬식은 0 이 아님 .


equation)

- 앞의 연립방정식과 이에 대응하는 음함수의 존재를 보장하려면 다음의 음함수 관계가 성립해야 함 .

⑴ F1, F2,, Fn 은 모두 y 와 x 에 대하여 연속적인 편도 함수를 가져야 하며 ,

⑵ 한 점 (y10, y20,, yn0; x10, x20,, xm0) 에서 음함수의

연립방정식을 만족한다면 , 다음의 야코비행렬식은 0 이 아님 .




equation)

- 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 이 0 이 아니면 , 즉

J 0

이때 한 점에서 변수 y1, y2,, yn 은 변수 x1, x2,, xn의

함수가 됨 ( 즉 , 음함수가 존재함 ). y10=f1(x10, x20,, xm0) y20=f2(x10, x20,, xm0) yn0=fn(x10, x20,, xm0)


equation)

- 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 이 0 이 아니면 , 즉

J 0

이때 한 점에서 변수 y1, y2,, yn 은 변수 x1, x2,, xn의

함수가 됨 ( 즉 , 음함수가 존재함 ). y10=f1(x10, x20,, xm0) y20=f2(x10, x20,, xm0) yn0=fn(x10, x20,, xm0)

∂(F1,,Fn)∂(y1,,yn)

∂F1/∂y1 ∂F1/∂y2 ∂F1/∂yn

∂F2/∂y1 ∂F2/∂y2 ∂F2/∂yn

∂Fn/∂y1 ∂Fn/∂y2 ∂Fn/∂yn




equation)

- 단일 방정식의 경우와 같이 각 항등식의 양변을 전미분 하면 다음과 같음 .

dy1++ dyn+ dx1++ dxm=0




equation)

- 단일 방정식의 경우와 같이 각 항등식의 양변을 전미분 하면 다음과 같음 .




∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F1

∂xm

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂F2

∂xm

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂Fn

∂xm




equation)

- 앞의 식 dxi 항들을 등호의 우변으로 이항하면 다음과

같음 .

dy1++ dyn=- dx1++ dxm




equation)

- 앞의 식 dxi 항들을 등호의 우변으로 이항하면 다음과

같음 .




∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F1

∂xm

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂F2

∂xm

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂Fn

∂xm




equation)

- 여기서 변수 x1 만 변화한다면 (dx10;

dx2==dxm=0),

그리고 양변을 dx1 으로 나누면 다음과 같음 .

++ =-

++ =-

++ =-


equation)

- 여기서 변수 x1 만 변화한다면 (dx10;

dx2==dxm=0),

그리고 양변을 dx1 으로 나누면 다음과 같음 .

++ =-

++ =-

++ =-

∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂y1

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂yn

∂x1




equation)

- 여기서는 변수 x1 만 변수 y1, y2,, yn 에 영향을

미치는 것이므로 미분몫은 모두 편도함수로 바뀌어야 함 .

이를 행렬로 나타내면 다음과 같음 .

-

-

-


equation)

- 여기서는 변수 x1 만 변수 y1, y2,, yn 에 영향을

미치는 것이므로 미분몫은 모두 편도함수로 바뀌어야 함 .

이를 행렬로 나타내면 다음과 같음 .

-

-

-

∂F1

∂x1

∂F2

∂y1

∂F1

∂y2

∂F2

∂x1

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂y2

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂F1

∂y1

∂F1

∂yn

∂F2

∂y2

∂F2

∂yn

∂Fn

∂y2

=




equation)

- 앞에서의 식을 행렬과 벡터로 규정하면 연립방정식의 표현은 Jx=d 로 간단히 표현할 수 있음 .

- 여기서 계수행렬의 행렬식은 음함수정리의 조건에서 0 이 아니라고 했던 것은 야코비행렬식 J 이며 ,

비동차방정식체계이므로 유일한 해가 존재함 .


equation)

- 앞에서의 식을 행렬과 벡터로 규정하면 연립방정식의 표현은 Jx=d 로 간단히 표현할 수 있음 .

- 여기서 계수행렬의 행렬식은 음함수정리의 조건에서 0 이 아니라고 했던 것은 야코비행렬식 J 이며 ,

비동차방정식체계이므로 유일한 해가 존재함 .




equation)

- 이 해는 크래머의 공식 (Cramer’s rule) 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있음 .

= (j=1, 2,, n)

- 이 과정을 적절히 조정하면 그 음함수의 다른 변수 ,

즉 x2,, xm 들의 변화에 대한 편도함수들도 구할 수 있음 .


equation)

- 이 해는 크래머의 공식 (Cramer’s rule) 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있음 .

= (j=1, 2,, n)

- 이 과정을 적절히 조정하면 그 음함수의 다른 변수 ,

즉 x2,, xm 들의 변화에 대한 편도함수들도 구할 수 있음 .

∂yj

∂x1

Jj

J




equation)

- 예 1 : 세 방정식이 다음과 같음 .

xy-w=0 F1=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

y-w3-3z=0 F2=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

w3+z3-2zw=0 F3=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

- 위 식은 점 P 에서 성립함 . 즉 , (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1,

1)

- 야코비행렬식 J 가 점 P 에서 0 이 아니면 ,

음함수정리를 이용하여 비교정태도함수 ∂ x/∂z 를 구할 수 있음 .


equation)

- 예 1 : 세 방정식이 다음과 같음 .

xy-w=0 F1=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

y-w3-3z=0 F2=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

w3+z3-2zw=0 F3=(x, y, w; z)=0 (z 는 외생변수임 )

- 위 식은 점 P 에서 성립함 . 즉 , (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1,

1)

- 야코비행렬식 J 가 점 P 에서 0 이 아니면 ,

음함수정리를 이용하여 비교정태도함수 ∂ x/∂z 를 구할 수 있음 .




equation)

- 이 도함수를 구하기 위해 방정식체계를 전미분하면 ,

ydx+xdy-dw=0 [ydx+xdy-dw=0]

dy-3w2dw-3dz=0 [dy-3w2dw=3dz]

(3w2-2z)dw+(3z2-2w)dz=0 [(3w2-2z)dw=(2w-3z2)dz]

- 외생변수의 미분항을 우변으로 이항 , 행렬로 나타내면


equation)

- 이 도함수를 구하기 위해 방정식체계를 전미분하면 ,

ydx+xdy-dw=0 [ydx+xdy-dw=0]

dy-3w2dw-3dz=0 [dy-3w2dw=3dz]

(3w2-2z)dw+(3z2-2w)dz=0 [(3w2-2z)dw=(2w-3z2)dz]

- 외생변수의 미분항을 우변으로 이항 , 행렬로 나타내면 y x -1 0 1 -3w2 0 0 (3w2-2z)

03

(2w-3z2)

dxdydw

= dz




equation)

- 여기서 좌변의 계수행렬 야코비행렬식은 다음과 같음 .

J= = =y(3w2-

2z)

점 P 에서 야코비행렬식의 값은 J=4(0) 임 . - 따라서 음함수정리를 적용하면 , 다음과 같음 .


equation)

- 여기서 좌변의 계수행렬 야코비행렬식은 다음과 같음 .

J= = =y(3w2-

2z)

점 P 에서 야코비행렬식의 값은 J=4(0) 임 . - 따라서 음함수정리를 적용하면 , 다음과 같음 .

y x -1 0 1 -3w2 0 0 (3w2-2z)

03

(2w-3z2)

∂x/∂z∂y/∂z∂w/∂z

=

y x -1 0 1 -3w2 0 0 (3w2-2z)

Fx1 Fy

1 Fw1

Fx2 Fy

2 Fw2

Fx3 Fy

3 Fw3




equation)

- 이제 크래머의 공식을 적용하면 , 다음과 같은 ∂ x/∂z 를 구할 수 있음 .

= =

=0+(-3) +(-1)

= + =-


equation)

- 이제 크래머의 공식을 적용하면 , 다음과 같은 ∂ x/∂z 를 구할 수 있음 .

= =

=0+(-3) +(-1)

= + =-

∂x∂z

0 x -1 3 1 -3w2

(2w-3z2) 0 (3w2-2z)J

0 1/4 -1 3 1 -3 -1 0 1

41/4 -1 0 1

4

1/4 -1 1 -3

4-316

-116

14




equation)

- 예 2 : 국민소득모형이 다음과 같음 .

Y-C-I0-G0=0

C--(Y-T)=0

T--Y=0

- 여기서 내생변수 (Y, C, T) 를 (y1, y2, y3), 외생변수와

파라미터 (I0, G0, , , , ) 를 (x1, x2, x3, x4, x5, x6) 라

하면 , 각 방정식의 좌변은 Fj(Y, C, T; I0, G0, , , ,

)

형태로 n=3 이고 , m=6 인 경우가 됨 .


equation)

- 예 2 : 국민소득모형이 다음과 같음 .

Y-C-I0-G0=0

C--(Y-T)=0

T--Y=0

- 여기서 내생변수 (Y, C, T) 를 (y1, y2, y3), 외생변수와

파라미터 (I0, G0, , , , ) 를 (x1, x2, x3, x4, x5, x6) 라

하면 , 각 방정식의 좌변은 Fj(Y, C, T; I0, G0, , , ,

)

형태로 n=3 이고 , m=6 인 경우가 됨 .




equation)

- 야코비행렬식 ( 내생변수의 도함수들로만 이루어진 행렬식 ) 은 다음과 같음 .

J= = =1-

+0

- 따라서 내생변수들의 균형값을 다음같이 외생변수들과 파라미터들로 이루어진 음함수를 나타낼 수 있음 .


equation)

- 야코비행렬식 ( 내생변수의 도함수들로만 이루어진 행렬식 ) 은 다음과 같음 .

J= = =1-

+0

- 따라서 내생변수들의 균형값을 다음같이 외생변수들과 파라미터들로 이루어진 음함수를 나타낼 수 있음 .

1 -1 0- 1 - 0 1

∂F1/∂Y ∂F1/∂C ∂F1/∂T ∂F2/∂Y ∂F2/∂C ∂F2/∂T ∂F3/∂Y ∂F3/∂C ∂F3/∂T




equation)

- 즉 ,

Y*=f1(I0, G0, , , , ) C*=f2(I0, G0, , , , ) T*=f3(I0, G0, , , , )

- 이제 G0 를 제외한 모든 외생변수와 파라미터는 고정 .

그러면 , 다음과 같은 방정식을 얻음 .


equation)

- 즉 ,

Y*=f1(I0, G0, , , , ) C*=f2(I0, G0, , , , ) T*=f3(I0, G0, , , , )

- 이제 G0 를 제외한 모든 외생변수와 파라미터는 고정 .

그러면 , 다음과 같은 방정식을 얻음 .100

∂Y*/∂G0

∂C*/∂G0

∂T*/∂G0

= 1 -1 0- 1 - 0 1




equation)

- 크래머의 공식을 적용하면 , 다음과 같은 ∂ Y*/∂G0 를

구할 수 있음 .

= = [ 정부지출승수 ]


equation)

- 크래머의 공식을 적용하면 , 다음과 같은 ∂ Y*/∂G0 를

구할 수 있음 .

= = [ 정부지출승수 ]

∂Y*∂G0

1 -1 0 0 1 0 0 1

J1

1-+



분석절차의 요약 (summary the procedure)

⑴ 연립방정식을 구성하고 있는 각 균형방정식에 대해 전미분 실시 ⑵ 내생변수에 대한 전미분은 등호 좌변 , 외생변수에 대한 전미분은 우변에 놓음 .

⑶ 내생변수로 구성된 편도함수를 행렬 (matrix) 로나타 내고 , 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 을구함 .

여기서 J0 이면 함수적으로 독립이므로 비교정태 분석이 가능하고 , 유일한 해가 존재함 .


⑴ 연립방정식을 구성하고 있는 각 균형방정식에 대해 전미분 실시 ⑵ 내생변수에 대한 전미분은 등호 좌변 , 외생변수에 대한 전미분은 우변에 놓음 .

⑶ 내생변수로 구성된 편도함수를 행렬 (matrix) 로나타 내고 , 야코비행렬식 (Jacobian determinant) 을구함 .

여기서 J0 이면 함수적으로 독립이므로 비교정태 분석이 가능하고 , 유일한 해가 존재함 .




⑷ 특정 외생변수의 변화가 내생변수에 미치는 효과를 보기 위해 다른 외생변수들은 상수로 가정하고 (

미분

을 0 으로 놓고 ), 특정변수의 미분 ( 이를테면 dxi)

으로 등호 양변에 있는 미분을 나눔 .

⑸ 크래머의 공식 (Cramer’s rule) 을 이용하여외생변수가 내생변수에 미치는 효과를 도출함 . 외생변수가내생 변수에 미치는 효과는 다음과 같이 구함 .

= (i, j=1, 2,, n)


⑷ 특정 외생변수의 변화가 내생변수에 미치는 효과를 보기 위해 다른 외생변수들은 상수로 가정하고 (

미분

을 0 으로 놓고 ), 특정변수의 미분 ( 이를테면 dxi)

으로 등호 양변에 있는 미분을 나눔 .

⑸ 크래머의 공식 (Cramer’s rule) 을 이용하여외생변수가 내생변수에 미치는 효과를 도출함 . 외생변수가내생 변수에 미치는 효과는 다음과 같이 구함 .

= (i, j=1, 2,, n)

∂yj

∂xi

JjJ



비교정태분석에의 적용 - 비교정태분석 (comparative static analysis) 은 최초의

균형상태에서 외생변수 또는 파라미터가 변할 때 새로운 균형상태의 변화방향을 분석 - 비교정태분석의 기본 수단은 도함수가 기본이며 ,

연립방정식체계에서 야코비행렬식 , 크래머법칙을 이용하여 쉽게 분석 가능 - 음함수의 경우도 음함수정리에서 요구되는 조건들이 충족되면 도함수가 도출되어 비교정태분석이 가능

비교정태분석에의 적용 - 비교정태분석 (comparative static analysis) 은 최초의

균형상태에서 외생변수 또는 파라미터가 변할 때 새로운 균형상태의 변화방향을 분석 - 비교정태분석의 기본 수단은 도함수가 기본이며 ,

연립방정식체계에서 야코비행렬식 , 크래머법칙을 이용하여 쉽게 분석 가능 - 음함수의 경우도 음함수정리에서 요구되는 조건들이 충족되면 도함수가 도출되어 비교정태분석이 가능


비교정태분석의 한계 비교정태분석의 한계

비교정태분석은 본질적으로 원래의 균형에서 새로운 균형으로 가는 조정과정과 그 조정과정에 필요한 시간요소를 무시함 .

결과적으로 비교정태분석은 모형에 내재하는 불안정성 으로 인해 , 새로운 균형이 달성될 수 없을 수도 있는데 이를 무시함 .

조정과정 그 자체에 대한 연구는 동태분석 (dynamic

analysis) 의 영역에 속함 .

비교정태분석은 본질적으로 원래의 균형에서 새로운 균형으로 가는 조정과정과 그 조정과정에 필요한 시간요소를 무시함 .

결과적으로 비교정태분석은 모형에 내재하는 불안정성 으로 인해 , 새로운 균형이 달성될 수 없을 수도 있는데 이를 무시함 .

조정과정 그 자체에 대한 연구는 동태분석 (dynamic

analysis) 의 영역에 속함 .

일반함수모형의 비교정태분석

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