第三章 控制系统的时域分析法

第三章 控制系统的时域分析法

第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标 第二节 增加零极点对二阶系统响应的影响 第三节 反馈控制系统的稳态误差 第四节 劳斯 - 霍尔维茨稳定性判据 第五节 控制系统灵敏度分析 第六节 应用 MATLAB 分析控制系统的性能 第七节 设计实例

第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标

瞬态响应，是指系统的输出从输入信号 r(t) 作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应，可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态响应，有以下方法：

1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法 本小节首先讨论典型输入信号、性能指标等内容，然后

讨论一阶、二阶系统的瞬态响应，最后讨论如何处理高阶系统的瞬态响应问题。

一、典型输入信号（一）阶跃信号 阶跃信号的表达式为：

(3.1)

当 A=1 时，则称为单位阶跃信号，常用 1(t) 表示，如图 3-1 所示。

图 3-1 阶跃信号 图 3-2 斜坡信号

（二）斜坡信号 斜坡信号在 t =0 时为零，并随时间线性增加，所以也叫等 速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导

数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：

(3.2)

（三）抛物线信号

抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号的积分而得。抛物线信号的表达式为：

（ 3.3 ）

当 A =1 时，则称为单位抛物线信号，如图 3-3 所示

（四）脉冲信号

单位脉冲信号的表达式为：

(3.4)

其图形如图 3-4 所示。是一宽度为，高度为 1 ／的矩形脉冲，当趋于零时就得理想的单位脉冲信号 ( 亦称 (t) 函数 ) 。

(3.5)

（五）正弦信号 正弦信号的表达式为 :

（ 3.6 ）

其中 A 为幅值， =2/T 为角频率。

图 3-5 正弦信号

二、系统的性能指标

系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图 3-6 所示。这时瞬态响应的性能指标有：

1 。最大超调量 p—— 响应曲线偏离稳态值的最大值，常以百分比表示，即 最大百分比超调量 p ＝最大超调量说明系统的相对稳定性。

2 。延滞时间 td—— 响应曲线到达稳态值 50% 所需的时间，称为延滞时间。

3. 上升时间 tr—— 它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的 10% 到 90% 所需时间；

(2) 响应曲线从稳态值的 5% 到 95% 所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。

一般对有振荡的系统常用“ (3)” ，对无振荡的系统常用“ (1)” 。

4. 峰值时间 tp—— 响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义为峰值时间。

5. 调整时间 ts—— 响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105% （或 98%~102% ）误差带时所需要的时间，定义为调整时间。

图 3-6 单位阶跃响应

对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰动输入为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动，如图 3-7 所示。

可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统。考虑如图 3-8 所示的一阶系统，它代表一个电机的速度控制系统，其中 t 是电机的时间常数。

该一阶系统的闭环传递函数为

(3.7)

三、瞬态响应分析

（一）一阶系统的瞬态响应

图 3-8 一阶控制系统

当系统输入为单位阶跃信号时，即 r(t)=1(t) 或 R(s)=1/s ，输出响应的拉氏变换为

(3.8)

取C(s) 的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为

(3.9)

系统响应如图 3-9 所示。 从图中看出，响应的稳态值为

(3.10)

图 3-9 一阶系统的单位阶跃响应

若增加放大器增益 K ，可使稳态值近似为 1 。实际上，由于放大器的内部噪声随增益的增加而增大， K 不可能为无穷大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。所以，系统的稳态误差

(3.11)

不可能为零。 系统的时间常数为

(3.12)

它可定义为系统响应达到稳态值的 63.2% 所需要的时间。

由式 (3.9) ，很容易找到系统输出值与时间常数 T 的对应关系：

从中可以看出，响应曲线在经过 3T （ 5% 误差）或 4T （ 2%误差）的时间后进入稳态。

t = T ， c(1T) = 0.632 c(∞)

t = 2T ， c(2T) = 0.865c(∞)

t = 3T ， c(3T) = 0.950c(∞)

t = 4T ， c(4T) = 0.982c(∞)

如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图 3-9 中 的 c1(t) 所示， T还可定义为 c1(t) 曲线达到稳态值所需要 的时间。

(3.13)

因此

当 t= T 时， c1(t) 曲线到达稳态值，即

，

所以

（二）二阶系统的阶跃响应 在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似

或降阶为二阶系统处理。 图 3-10 是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为

由上式可看出，和 n 是决定

二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中称为阻尼比， n

称为无阻尼自然振荡频率 .

图 3-10 二阶系统

例如图 2-2 中 R-Ｌ -Ｃ电路，其传递函数为

式中，无阻尼自然振荡频率

就是电路当 R=0 时的谐振频率；阻尼比

又如图 2-3 中电枢控制的直流电动机，输出 w 与电枢电压 ua之间传递函数为

或

式中

由式 (3.14) 描述的系统特征方程为 (3.1

5)

这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为

(3.16)

显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。

下面分别对二阶系统在 0< <1 ， z =1 ，和 z >1 三种情况下的阶跃响应进行讨论。

1. 0< <1 ，称为欠阻尼情况 按式 (3.14) ，系统传递函数可写为

GB(s)= (3.17)

它有一对共轭复数根 (3.18)

式中 称为有阻尼振荡频率。

在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号 r(t)=1(t) 时，系统输出的拉氏变换为

(3.19)

对式 (3.19) 求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应 c(t) ：

(3.20)

它是一衰减的振荡过程，如图 3-11 所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率 wd ，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数和 wn决定。

(a)根分布 (b) 单位阶跃响应

图 3-11 欠阻尼情况 (0< <1)

系统的误差则为

(3.21)

当 t→∞ 时，稳态误差 e (∞) ＝０。

若 =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即

(3.22)

此时单位阶跃响应为 (3.23)

它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率 n 。当系统有一定阻尼时， d总是小于 n 。

s1,2= jn

2. = １，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -n (3.24)

系统输出的拉氏变换为

(3.25)

取 C(s) 的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

(3.26)

(a)根分布 (b) 单位阶跃响应

图 3-12 临界阻尼情况 (z ＝ 1)

响应曲线如图 3-12 所示，它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程。

3. ＞１，称为过阻尼情况 当阻尼比 ＞１时，系统有两个不相等的实数根：

(3.27)

对于单位阶跃输入， C(s) 为

(3.28)

将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为

(3.29)

图 3-13 表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比 =１时来得长。

(a)根分布 (b) 单位阶跃响应

图 3-13 过阻尼情况 (z >1)

根据以上分析，可得不同值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族 , 如图 3-14 所示。由图可见，在一定值下 ,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。

图 3-14 二阶系统单位阶跃响应

（三）二阶系统的脉冲响应

当输入信号为单位脉冲信号 (t) ，即 R(s)=１时，二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为

(3.30)

对式 (3.30) 求拉氏反变换，得

(3.31)

可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。

由式 (3.31) ，对于欠阻尼情况 (0< <1) ，有

(3.32)

对于临界阻尼情况 ( ＝１ ) ，有 c(t) =

n t e-n t (3.33)

对于过阻尼情况 ( >1) ，有

(3.34)

图 3-15 表示不同值时的单位脉冲响应曲线。

图 3-15 二阶系统单位脉冲响应

（四）二阶系统的瞬态响应性能指标 通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过

程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。

对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有： 1. 上升时间 tr

按式 (3.20) ，令 c(tr)=1 ，就可求得

因此

(3.35)

式中

(3.36)

由式 (3.35) 可见，要使系统反应快，必须减小 tr 。因此当一定， n必须加大；若 n 为固定值，则越小， tr 也越小。

2. 峰值时间 tp

按式 (3.20) ，对 c(t) 求一阶导数，并令其为零，可得到

到达第一个峰值时 d tp =

所以

(3.37)

上式表明，峰值时间 tp与有阻尼振荡频率 d成反比。当 n 一定 , 越小， tp 也越小。

3. 最大超调量 p

以 t= tp代入式 (3.20) ，可得到最大百分比超调量

(3.38)

由上式可见，最大百分比超调量完全由决定，越小，超调量越大。当 =０时， p %= 100% ，当 =１时， p %

=０。 p与的关系曲线见图 3-16 。

图 3-16 p与的关系

4. 调节时间 ts

根据定义可以求出调节时间 ts ，如图 3-17 所示。图中 T=1/n ，为 c(t)包络曲线的时间常数，在 =0.69( 或 0.77) ， t

s 有最小值，以后 ts 随的增大而近乎线性地上升。图 3-17 中曲线的不连续性是由于在虚线附近稍微变化会引起 ts突变造成的，如图 3-18 所示。

ts 也可由式 (3.21) 的包络线近似求得，即令 e(t) 的幅值

或 0.02

(3.39)

图 3-17 ts与 的关系 图 3-18 稍微突变引起的 ts突变

当０＜ ＜ 0.9 时，则 (按到达稳态值的 95%~105% 计 )

(3.40)

或 (按到达稳态值的 98%~102% 计 )

由此可见 , n 大， ts 就小，当 n 一定，则 ts与成反比，这与tp ， tr与的关系正好相反。

根据以上分析，如何选取和 n 来满足系统设计要求，总结几点如下：

(1) 当 n 一定，要减小 tr 和 tp ，必须减少值，要减少 ts 则应增大 n 值，而且值有一定范围，不能过大。

(2) 增大 n ，能使 tr ， tp 和 ts都减少。 (3) 最大超调量 p只由决定 , 越小， p越大。所以，一般根

据 p 的要求选择值，在实际系统中，值一般在 0.5～ 0.8之间 .

四、线性定常系统的重要特性

对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号 r(t) 的作用下，其输出 c(t) 的拉氏变换为 C(s)=GB (s)R(s) 。

若系统的输入为 其拉氏变换为

这时系统的输出为

当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数。

同理，若系统的输入为 , 其拉氏变换为

此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。

由上可以推知： ( 一 )由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶

导数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数 .

( 二 )由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。