1

概 率 论概 率 论

2

第三章 多维随机变量及其分布

关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y 的概率密度M=max(X,Y) 的概率密度N=min(X,Y) 的概率密度

3

§1 二维随机变量问题的提出

例 1 ：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高 H 的分布或仅研究体重 W 的分布是不

够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。

例 2 ：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，

而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

4

定义：设 E 是一个随机试验，样本空间 S={e} ；设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的向量 (X,Y) 叫做二维随机向量或二维随机变量。

( , ) ( ) ( )

( , )

F x y P X x Y y

P X x Y y

记成

0 x

,x y

y

Se

y ,X e Y e

x

定义：设 (X,Y) 是二维随机变量对于任意实数 x,y ，二元函数

称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数。

5

分布函数 的性质

1 2 1 2( , ) ( , )x x F x y F x y

x1 x2

(x1,y) (x2,y)y

y2

x

y1(x,y1)

(x,y2)

( , )F x y

1 2 1 2( , ) ( , )y y F x y F x y

2 0 ( , ) 1 ( , ) 1

,

F x y F

x y

，对任意

( , ) ( , ) ( , ) 0F y F x F

1 , ,F x y x y。 关于 单调不减，即：

6

0( , ) ( , )lim F x y F x y

x2

y1

x1

y20 ( , ) ( , )lim F x y F x y

1 2 1 24 ,x x y y 若

2 2 2 1 1 2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0F x y F x y F x y F x y

3 , ,F x y x y。 关于 右连续，即：

1 2 1 2

2 2 2 1 1 2 1 1

,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0

P x X x y Y y

F x y F x y F x y F x y

因为

7

二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量 (X,Y) 全部可能取到的不同值是有

限对或可列无限对，则称 (X,Y) 是离散型随机变量。

,

, , , 1, 2,i i

X Y

x y i j

设 所有可能取值为

, , , 1, 2,i j ijP X x Y y p i j 称

y1 y2… yj

…XY

p11 …p12 p1j …

p21 …p22 p2j …

pi1 …pi2 pij …… … …

…

… … …

…1x

2x

ix

离散型随机变量的联合概率分布：

为二维离散型随机变量 (X,Y) 的联合概率分布。可以用如右表格表示：

8

分布律的性质

例 1 ：设随机变量 X 在 1 、 2 、 3 、 4 四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一 整数值，试求 (X,Y) 的联合概率分布。

1 0 , 1, 2, ijp i j ，

1 1( , ) ( ) ( | )

41,2,3,4

P X i Y j P X i P Y j X ii

i j i

；

116

YX 1 2 3 4

4 0 0 0 116

1 ¼ ⅛ 112

2 0 ⅛ 1161

12

3 0 0 116

112

1 1

2 1iji j

P

解： (X=i,Y=j) 的取值情况为： i=1,2,3,4 ； j 取不大于 i 的正整数。

即 (X,Y) 的联合概率分布为：

9

2 1 1 2

,

, 1, 2 ,

i

i

t

N t t Poisson X

t i t t X X

例2：某足球队在任何长度为 的时间区间内得黄牌 或红牌

的次数 服从参数为 的 分布 记 为比赛进行

分钟后的得牌数 。试写出 的联合分布。

, 0,1,2,

!

kte tP N t k k

k

解：

1 2 1 2 1, |P X i X j P X i P X j X i

2 112 11 , 0,1,2, , , 1,...

! ( )!

j ii t tt e t te ti j i i

i j i

10

二维连续型随机变量

, , ,

, ,

( , ) ( , )y x

X Y F x y

f x y x y

F x y f u v dudv

定义：对于二维随机变量 的分布函数

如果存在非负函数 ，使对于任意 ，

有

,X Y 连续型称 为 的二维随机变量

, ,f x y X Y称 为二维随机变量 的概率密度

11

概率密度的性质： 1. , 0f x y

2. ( , ) 1f x y dxdy

3. ,

(( , ) ) ( , )G

G xoy X Y G

P X Y G f x y dxdy 设 是 平面上的区域，点 落在 内的概率为：

( , )1

(( , ) ) ( , )

z f x y xoy

P X Y G z f x y

1 在几何上， 表示空间一个曲面，介于它和 平面 的空间区域的体积为

2 G等于以 为底，以曲面 为顶面的柱体体积。 X, Y所以 落在面积为零的区域的

注：

概率为零。

2 ( , )

( , ) ( , )F x y

f x y f x yx y

4.在 的连续点(x, y)，有

12

例 3 ：设二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度： (2 3 ) , 0 0

( , ) 0,

x yke x yf x y

，其他

2 ( , )F x y 求分布函数 ；

3 ( )P Y X求 的概率.

(1) k求常数 ；

( , ) 1,f x y dxdy

－ －

解： (1)利用 得

2 3

0 06 1x yk e dx e dy k

6k

13

(2 3 )6 , 0 0( , )

0,

x ye x yf x y

，其他

2 ( , ) ( , )y x

F x y f u v dudv

(2 3 )

03 ( ) 6 x y

yP Y X e dxdy

(2 3 )

0 06 , 0, 0

0 ,

y x u ve dudv x y

其他

2 3

0 02 3 , 0, 0

0 ,

x yu ve du e dv x y

其他

2 3(1 )(1 ), 0, 0

0,

x ye e x y 其他

3 2

03 ( | )y x

ye e dy

3 2

03 y ye e dy

5

03 ye dy

50

3 3|

5 5ye

14

例 4 ：设二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度

(1) 求常数 k ； (2) 求概率 解：

, 0 1( , )

0,

kxy x yf x y

其他

1 ( , ) 1f x y dxdy

利用

1 ( , )f x y dxdy

得：

2 ( 1)P X Y

( 1).P X Y

1

0 0

ykxydxdy

1 3

0 2 8

k ky dy 8k

11

2

08

x

xdx xydy

12 22

04 [(1 ) ]x x x dx

1

2

0

1 1 14 (1 2 )

2 3 6x x dx

1

x

y

y x

0

15

§2 边缘分布 二维随机变量 (X,Y) 作为整体，有分布函数 其中 X 和 Y 都是随机变量，它们的分布函数

记为： 称为边缘分布函数。

( , ),F x y

( ) ( )X YF x F y，

( ) ( , )

( ) ( , )X

Y

F x F x

F y F y

( ) ( ) ( , )YF y P Y y F y 同理得：

( ) ( ) ( , ) ( , )XF x P X x P X x Y F x

( , ) ( )XF x y y F x 即在分布函数 中令 ，就能得到

事实上，

16

对于离散型随机变量 (X,Y) ，分布律为( ) , 1, 2,i j ijP X x Y y p i j ， ，

1

( ) ( ) 1, 2,i i ij ij

P X x P X x Y p p i

记为

， ==

1

( ) ( ) 1, 2,j j ij ji

P Y y P X Y y p p j

记为

， ==

i ij

j ij

p p j

p p

i

记号 表示是由 关于求和

后得到的；同样 是由 关于

求和后得到的.

…

… … …

…

…

… … …

…

p11

…p12

p1j

… p1·1xp

21…p

22p

2j… p2·2x

pi1

…pi2

pij

… pi ·ix

X Y y1 y2… yj

… iP X x

p·1p·2 p.j

…… 1 jP Y y

X,Y 的边缘分布律为：

注意：

17

对于连续型随机变量 (X,Y) ，概率密度为 ( , )f x y

( ) ( , )

( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy

f y f x y dx

( )XF x ( , )F x ( , )x

f t y dy dt

( )

x

Xf t dt

( )YF y ( , )F y ( , )y

f x t dx dt

( )

y

Yf t dt

事实上，

同理：

X,Y 的边缘概率密度为：

18

0, 0,

1, , 10,

2, 20,

,

X Y X Y

X Y

例1：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量

健康 不吸烟和 如下： 一般 一天吸烟不多于15支

不健康 一天吸烟多于15支

根据调查结果,得 的如下的联合概率分布：

0 0.0250.35 0.04

YX 0 10 20

1 0.025

2 0.020 0.10 0.25

0.15 0.04

1

2 | 20

X Y

P X Y

试写出关于 和 的边缘概率分布；

2 求 的值。X 0 21

0.3700.415 0.215p 1解： 由题意可得：

Y 0 20100.3150.395 0.290p

0.252 2 | 20 0.794

0.315P X Y

19

例 2 ： (X,Y) 的联合分布律为

求： (1)a,b 的值； (2)X,Y 的边缘分布律； (3) ( 1| 1)P X Y

YX -1 10

0.20.1 a12 0.1 0.2 b

( 1| 1) 0.5P Y X 已知：

0.2( 1| 1)0.3 a

P Y X

又

X 10.4

20.6i

p j

p

Y

0.30.5

-1 100.2

23 ( 1| 1) 0.45

P X Y

0.2 10.3 a 2

a 0.1

b 0.3.

，

(2)

解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即 a+b=0.4

20

例 3 ：设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A ，若二维随机 变量 (X,Y) 具有概率密度

则称 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布。现设 (X,Y) 在有界区域 上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度

解：

1 , ( , )( , )

0 ,

A x y Gf x y

其他

2x y x 26,

( , )0,

x y xf x y

其他

( ) ( )X Yf x f y，

( ) ( , )Xf x f x y dy

2

26 6( ), 0 1

0,

x

xdy x x x

其他

( ) ( , )Yf y f x y dx

6 6( ), 0 1

0,

y

ydx y y y

其他

21

21 2

2 21 1 2 2

2 2 21 21 2

1 2 1 2 1 2

4

1 ( , )2 1

( ) ( )( ) ( )1exp 22(1 )

,

0 0 1 1

,

f x y

x x y y

X

X Y

y

Y

x

例 ：设二维随机变量 的概率密度为：

其中 ， ， ， ， 都是常数，且 ， ， ；

，

我们称 为服从参 1 2 1 2

2 2( , ) ( ; ; )1 2 1 2

X Y N

数为 ， ， ， ， 的二维正态分布，

记为： ； 试求二维正态随机变量的边缘概

～ ， ，

率密度。

22

2 21 1 2 2

2 2 221 21 21 2

( ) ( )( ) ( )1 1exp 22(1 )2 1

x x y ydy

221 2 12 2

2 11

( ) 12 2(1 )

21 2

12 1

x y x

e e dy

221 2

2 12 2 211 2

( ) 1 ( )2 2 (1 )

21 2

1 12 2 1

xy x

e e dy

2

12

1

( )

2

1

1 2

x

e x

222

2

( )

2

2

1 ( ) , 2

x

Yf y e y

同理

即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数

( ) ( , )Xf x f x y dy

解：

23

§3 条件分布, ( ) 0, ( | )A B P A P B A对于两个事件 ，若 可以考虑条件概率 ，

( ) 0, ( | ) j j i jP Y y p P X x Y y 若 考虑条件概率

由条件概率公式可得：

( , )( | )

( )i j ij

i jj j

P X x Y y PP X x Y y

P Y y P

( , )

( ) , 1, 2,i j ij

X Y

P X x Y y p i j 对于二维离散型随机变量 ，设其分布律为

，

当 i 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

24

定义：设 (X,Y) 是二维离散型随机变量， 对于固定的 yj ， ( ) 0jP Y y 若 ，则称：

( )( | ) 1, 2

( )i j ij

j ii i

P X x Y y pP Y y X x j

P X x p

，

jY y X为在 条件下，随机变量 的 ；条件分布律

( )( | ) 1, 2

( )i j ij

i jj j

P X x Y y PP X x Y y i

P Y y P

，

( ) 0iP X x 若 ，则称：

iX x Y为在 条件下，随机变量 的 。条件分布律

同样，对于固定的 xi ，

25

例 1 ：盒子里装有 3 只黑球， 4 只红球， 3 只白球，在其中 任取 2 球，以 X 表示取到黑球的数目， Y 表示取到红球 的只数。求 （ 1 ）X ， Y 的联合分布律； （ 2 ）X=1时 Y 的条件分布律； (3) Y=0时X 的条件分布律。

解： X, Y 的联合分布律为

X Y 0 1 2

0 1/15 4/15 2/15

1 3/15 4/15 0

2 1/15 0 0

26

故在 X=1 的条件下， Y 的分布律为：( 1) 7 15,P X 由于

( 0 | 1) 3 7 ,P Y X ( 1| 1) 4 7,P Y X ( 2 | 1) 0.P Y X

同理 P(Y=0)=1/5 ，故在 Y=0 的条件下， X 的分布律为：

X Y 0 1 2

0 1/15 4/15 2/15

1 3/15 4/15 0

2 1/15 0 0

X 0 1 2

1/5 3/5 1/5

Y 0 1 2

3/7 4/7 0( | 1)P Y k X

( | 0)P X k Y

27

例 2 ：一射手进行射击，击中目标的概率为 射 击直中目标两次为止，设以 X 表示首次击中目标所进行的 射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和 Y的联 合分布律和条件分布律。 解：

(0 1),p p

2 2

( , )

( , ) , 1 , 2,3, , 1, 2, 1.n

X Y

P X m Y n p q q p n m n

的分布律为：

2 2 1

1 1

( )

( , ) , 1, 2,n m

n m n m

X P X m

P X m Y n p q pq m

的边缘分布律为：

1

1

12 2 2 2

1

( ) ( , )

( 1) , 2,3,

n

m

nn n

m

Y P Y n P X m Y n

p q n p q n

的边缘分布律为：

28

( 2,3, ), ( ) 0n n P Y n 于是对每一 ，

Y n X在 条件下， 的条件分布律为：2 2

2 2

1( | ) , 1, 2, , 1.

( 1) 1

n

n

p qP X m Y n m n

n p q n

( 1,2, ), ( ) 0m m P X m 对每一 ，

X m Y在 条件下， 的条件分布律为：2 2

11

( | ) , 1, 2,n

n mm

p qP Y n X m pq n m m

pq

1( | 10) , 1, 2, ,9.

9P X m Y m 如：

4( | 3) , 4,5,nP Y n X pq n 如：

29

例 3 ：设参加考研的学生，正常发挥的概率为 a, 超常发挥的概率为 b ，发挥失常的概率为 c ， a+b+c=1 。设某班有 10 人参加考研，发挥正常的人数为 X ，发挥超常的人数为 Y 。求（ 1 ）（ X,Y) 的联合分布律；（ 2 ） P(X+Y>1) ；（ 3 ）在 Y=3 的条件下， X 的分布律。

解 : (1)X, Y 的联合分布律为

10 1010 10

10!( , )

! !(10 )!

, 0,1,2,...,10; 10.

i j i j i j i j i jiP X i Y j C C a b c a b c

i j i j

i j i j

30

(2) ( 1) 1 ( 0) ( 1)P X Y P X Y P X Y

10 9

1 ( 0, 0) ( 1, 0) ( 0, 1)

1 10( )

P X Y P X Y P X Y

c a b c

7

3 7 3 7

0

10!(3) ( 3) 120 ( )

!3!(7 )!i i

i

P Y a b c b a ci i

3 10 3

773 7

10!!3!(10 3)!

( 3) ( ) ( )120 ( )

0,1,2,...,7

i i

i i i

a b ca ci i

P X i Y Cb a c a c a c

i

(7, )a

ba c

即 分布

31

定义：条件分布函数( ) 0,P Y y 若 Y y X则在 条件下， 的条件分布函数为：

|

( , )( | ) ( | )

( )X Y

P X x Y yF x y P X x Y y

P Y y

( ) 0, 0, ( ) 0P Y y y P y y Y y y 若 但对任给

Y y X则在 条件下， 的条件分布函数为：

|0 0

( , )( | ) ( | )

( )X Yy y

P X x y Y y yF x y lim P X x y Y y y lim

P y Y y y

( | )P X x Y y 仍记为

32

定义：条件概率密度 , ( , ),X Y f x y设二维随机变量 的概率密度为

, ( ),YX Y Y f y关于 的边缘概率密度为

, ( ) 0, ( )Y Yy f y f y若对于固定的 且 连续，

|

( , )

( )

( , )( | )

( )

Y

X YY

f x yY y X

f y

f x yf x y

f y

则称 为在 的条件下， 的条件概率密度，

记为：

, ( ) 0 ( )X Xx f x f x同理，若对于固定的 ，且 连续，

|

( , )( | )

( )Y XX

f x yX x Y f y x

f x 在 条件下， 的条件概率密度为：

33

也就是，由| | |

( , )( | ) ( | ) ( | )

( )X Y X Y X YY

f x yf x y F x y f x y

x f y

| |( | ) ( | )X Y X Yf x y F x yx

0

( , )

( )y

P X x y Y y ylim

x P y Y y y

0

( , ) ( , )

( ) ( )yY Y

F x y y F x ylim

x F y y F y

0

0

( , ) ( , )

( ) ( )y

Y Y

y

F x y y F x ylim

yF y y F yx lim

y

( , )

( )Y

F x yy

dF yxdy

2 ( , )

( )Y

F x yx y

f y

( , )

( )Y

f x y

f y

事实上，

34

条件概率密度的直观意义：

|

( , )( | )

( )X YY

f x y x yf x y x

f y y

( , )

( )

P x X x x y Y y y

P y Y y y

( )P x X x x y Y y y

35

例 4 ：设二维随机变量 (X,Y) 在区域 内均匀分布，求条件概率密度 2 1

| 3 2( | ) ( ).X Yf x y P X Y 及

1, y 1( , )

0,

xf x y

其他

( ) ( , )Yf y f x y dx

|

1, 1

1( | )

0, X Y

y xyf x y

其它

二维均匀分布的条件

分布仍为均匀分

布

2 13 2

122 3

1

2 3

( )

( )

22

3

X Y

P X Y

f x dx

dx

解： 根据题意， (X,Y) 的概率密度为：

Y 的边缘概率密度为：

于是给定 y(-1<y<1) ， X 的条件概率密度为：

x

y

o 1

( , ) : 1x y y x

11 , 1 1

0,

ydx y y

其他

36

4 0,1 0 1 ,

,1 ( )Y

X X x x

Y x Y f y

。

例 ：设数 在区间 上随机取值，当观察到 时

数 在区间 上随机取值，求 的概率密度

1 0 1( )

0 X

xX f x

， ，解： 的概率密度

， 其他

|

(0 1),

1 1

( | ) 10

Y X

x x X x Y

x yf y x x

对任给 在 条件下， 的条件概率密度为：

其他

|

1 1,0 1

, ( , ) ( ) ( | ) 10

X Y X

x y xX Y f x y f x f y x x

故 的概率密度为：其他

0

1(1 ) 0 1

( ) ( , ) 10

y

Y

Y

dx ln y yf y f x y dx x

所以 的边缘概率密度为：

其他

37

§4 相互独立的随机变量

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )X YP X x Y y P X x P Y y F x y F x F y 即

, ( , ), ( ), ( ), ,

( , ) ( ) ( )

X Y

X Y

X Y f x y f x f yX Y X Y

f x y f x f y

若 是 随机变量， 分别是的概率密度和边缘概率密度，则 相互独立的

条件等价于： 几乎处处成立；“ ”即在平面上除去 面积 为零的集合以外，处

连续型

处成立。

,x y的分布函数及边缘分布函数，若对所有 有：

,X Y称随机变量 相互独立。

, ,( , ) ( ) ( )

,i j i j

ij i j

X Y X YP X x Y y P X x P Y y

p p p i j

若 是 随机变量，则离散型 相互独立的条件等价于：即 对一切 都成立。

( , ) ( ), ( ) ,X YF x y F x F y X Y定义：设 及 分别是二维随机变量

38

例 1 ： §1例 2 中 X 和 Y 是否相互独立？即 (X,Y) 具有概率密度

(2 3 )6 , 0, 0( , )

0,

x ye x yf x y

其他

22 , 0( )

0,

x

X

e xf x

其他

( , ) ( ) ( ), ,X Yf x y f x f y X Y 故有 因而 是相互独立的。

33 , 0( )

0 , 0

y

Y

e yf y

y

请问：连续型随机变量 X,Y 相互独立，其密度函数有何特征？ , , ,

, , ,

f x y g x h y a x b c y d

a b c d

结论：

其中 可为有限或无穷。

计算得， X 和 Y 的边缘概率密度分别为：

39

12

X

Y 0 1 P(X=j)

161 2

6

2 16

26

12

P(Y=i) 13

23

( 1, 0) 1 6P X Y ( 1) ( 0)P X P Y ( 2, 0) 1 6P X Y ( 2) ( 0)P X P Y ( 1, 1) 2 6P X Y ( 1) ( 1)P X P Y ( 2, 1) 2 6P X Y ( 2) ( 1)P X P Y

,X Y因而 是相互独立的。

XY 0 1 P(X=j)

12

161 2

6

2 16

26

12

P(Y=i) 12

12

,X Y3:例 若 具有分布律 右图 ，则：

( 1, 0) 1 6P X Y

( 1) ( 0) 1 2 1 2 1 4P X P Y

( 1, 0) ( 1) ( 0)P X Y P X P Y 故

X Y因而 与 不相互独立。

,X Y2:例 具有分布律 右图 ，则：

40

,X Y

例4:设X与Y是相互独立的随机变量，已知 的联合分布律，求其余未知的概率值。

0 1 2 ( )

1 0.01 0.2

2 0.03

( )

X Y P X i

P Y j

0.04

0.250.04

0.8

0.6 0.12

41

,

0X Y

X Y

例5 证明：对于二维正态随机变量 ，

与 相互独立的充要条件是参 数

,X Y证：因为 的概率密度为：

21 2

2 21 1 2 2

2 2 21 21 2

1( , )2 1

( ) ( )( ) ( )1 22(1 )

f x y

x x y yexp

2 3又由 例 知，其边缘概率密度的乘积为：

2 21 2

2 21 2 1 2

( ) ( )1 1 ( ) ( )2 2X Y

x yf x f y exp

42

,

( , ), ( ), ( )X Y

X Y

f x y f x f y

反之，若 相互独立，由于 都是连续函数，

0 , ( , ) ( ) ( )X Yx y f x y f x f y 如果 ，则对于所有 ，有

,X Y即 相互独立。

, ( , ) ( ) ( )X Yx y f x y f x f y故对于所有的 ，有

1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ,X Yf f f 特别的有

21 2

1 2

1 122 1

即 0

" "

" "

43

2

, )

1e 0, 0

( , ) ( ) ( ) 40

x y

X Y

X Y

x yf x y f x f y

解：（ 的联合密度为

其他

2

6.

1, 0

( ) 20,

x

e xf x

例 设甲，乙两种元件的寿命X, Y相互独立，服从同一分布，

其概率密度为：其它

求甲元件寿命不大于乙元件寿命2倍的概率。

( 2 )P X Y 2

0 2

1

4

x y

xdx e dy

3

2 4 4

0 0

1 1 2

2 2 3

x x x

e e dx e dx

44

一般 n 维随机变量的一些概念和结果

1 1 2 2

1 2

;

, , ,

, , ,

n n

n

n

E S e

X X e X X e X X e S

n X X X n

维随机变量设 是一个随机试验，它的样本空间是

设 是定义在 上的随机变量，

由它们构成的一 维个 随维向量 称为 机变量。

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2

, , ,

( , , ) ( , , , )

, , ,

n

n n n

n

n x x x n

F x x x P X x X x X x

n X X X

分布函数 对于任意 个实数 ， 元函数：

称为 维随机变量 的分布函数。

45

1 2

1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

, , , ( , , , ) 1, 2,

( , , , ) 1, 2, , 1, 2,

, , ,

n

n

n i i ni j

i i n ni j

n

X X X x x x i

P X x X x X x j n i

n X X X

离散型随机变量的分布律

设 所有可能取值为

称为 维离散型随机变量 的分布律。

1 1

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( , , , ) , , ,

( , , ) ( , , )n n

n n

x x x

n n n

f x x x x x x

F x x x f x x x dx dx dx

连续型随机变量的 若存在非负函数 ，使得对于任

概意实数

率密度

46

边缘分布

如：

1 2 1 2, , , ( , , )n nX X X F x x x 的分布函数 已知，

1 2, , , (1 )nX X X k k n 则 的 维边缘分布函数就随之确定。

1 1 1( ) ( , , , , )XF x F x

1 2( , ) 1 2 1 2( , ) ( , , , , )X XF x x F x x

1 1 2

2 3

1 1 1 1 2 2, ,

( ) ( , , , )n

n

i i i n nii i i

P X x P X x X x X x

1 2 1 2

3 4

1 1 2 2 1 1 2 2, ,

( , ) ( , , , )n

n

i i i i n nii i i

P X x X x P X x X x X x

1 1 1 2 2 3( ) ( , , , )X n nf x f x x x dx dx dx

1 2( , ) 1 2 1 2 3 4( , ) ( , , , )X X n nf x x f x x x dx dx dx

47

相互独立

1 2

1 2

1 2 1 2

, , , ,

( , , , ) ( ) ( ) ( )n

n

n X X X n

x x x

F x x x F x F x F x

若对于所有的 有：

1 2, , , nX X X则称 是相互独立的

1 2 1 2, , , , , ,m nX X X Y Y Y 与 的独立性

1 2 1 1 2, , , ( , , ),m mX X X F x x x 设 的分布函数为

1 2 2 1 2, , , ( , , ),n nY Y Y F y y y 的分布函数为

1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , ( , , , , , )m n m nX X X Y Y Y F x x x y y y 的分布函数为

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , , , , , , ) ( , , ) ( , , )m n m nF x x x y y y F x x x F y y y 若

1 2 1 2, , , , , ,m nX X X Y Y Y 称 与 相互独立。

48

定理 1 ：

定理 2 ：

1 2 1 2, , , , , ,m nX X X Y Y Y 设 与 相互独立，

1,2, , 1,2, ,i jX i m Y j n 则 与 相互独立。

1 2 1 2, , , , , ,m nh x x x g y y y 若 和 是连续函数，

1 2 1 2, , , , , ,m nh X X X g Y Y Y 则 和 相互独立。

1 2 1 2, , , , , ,m nX X X Y Y Y 设 与 相互独立，

49

( , )

( , ) , , 1, 2,...i j ij

X Y

P X x Y y p i j 设二维离散型随机变量 具有概率分布

( , ), ( , ), ( , )

( , )

U u X Y V v X Y U V

Z g X Y

(1)设 则 的分布律是什么？或(2) 的分布律是什么？

1 ( , ) ( , ) , 1, 2,...

( , ) {( , ) }

i j

i j

U V u v i j

U u V v X Y D

对于（），先确定 的取值

再找出 ，从而计算出分布律；

, 1, 2,...

( ) {( , ) }i

i

Z z i

Z z X Y D

对于（2）类似（1），先确定 的取值

再找出 ，从而计算出分布律；

§5 两个随机变量的函数的分布

50

例1:设X与Y的联合分布律为： 1 2

1 0.2 0.1

2 0.3 0.4

X Y

, max( , )

, )

U X Y V X Y

U V

令 ，求( 的联合分布律。

1 2

2 0.2 0

3 0 0.4

4 0 0.4

U V解：

51

, 0( )

0, 0

1, 1 1, 2,

0, 1 0, 2

, )

xe xf x

x

X XU V

X X

U V

例2:设X的概率密度为：

令

求( 的联合分布律。

2( 1, 1) ( 1, 2) ( 2)P U V P X X P X e 解：1 2( 1, 0) ( 1, 2) (1 2)P U V P X X P X e e

( 0, 1) ( 1, 2) 0P U V P X X 1( 0, 0) ( 1, 2) ( 1) 1P U V P X X P X e

52

( , ) ( , ),X Y f x y设 的概率密度为

Z X Y 的分布

( ) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Y

X Y Z X Y

f f f z y f y dy f x f z x dx

卷积公式：将 和 相互独 卷积立时， 的密度函数公式称为 公式

即

Z X Y 则 的分布函数为：

( ) ( ) ( , ) ( , )z y

Z

x y z

F z P Z z f x y dxdy f x y dx dy

( , )z

f u y y du dy

( , ) ( )z z

Zf u y y dy du f u du

( ) ( , )ZZ f z f z y y dy

故 的概率密度为：

, ( ) ( ) ( , )Z ZX Y f z f z f x z x dx

由 的对称性， 又可写成

,z y

x u y

固定令

53

例 3 ：设 X 和 Y 是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 Z X Y

( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx

2 21 1 2 2~ ( , ), ~ ( , )X N Y N

2 21 2 1 2 ~ ( , )Z X Y N 则

2 2 2 21 2 1 2~ ( , )aX bY c N a b c a b

22 ( )2 21

2

z xx

e e dx

2 2( )4 21

2

z zxe e dx

222

412

zt x zte e dt

2

412

z

e

2

41

2

z

e

~ 0,2Z N即

解：由卷积公式：

一般：设 X,Y 相互独立，

54

例 4 ： X,Y 相互独立，同时服从 [0,1] 上的均匀分布，求 的概率密度。 Z X Y

( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx

x

x=z

z1 20

x=z-1

0

1

1

0 1

( ) 2 1 2

0

z

Z z

dx z z

f z dx z z

其他

0 1 0 1

0 1 1

x x

z x z x z

即

时上述积分的被积函数不等于零

解：根据卷积公式：

易知仅当

参考图得：

55

例 5 ：设 X,Y 相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。1 0

( )

0 0

x

e xf x

x

Z X Y

( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx

(2, ) 这是参数为 的 分布(Gamma)的密度函数

0 ( ) 0Zz f z 当 时，0 0 0z x z x 当 时，仅当 、 时，上述积分的被积函数不等于零

2 20

10 ( )

x z x zz

Z

zz f z e e dx e

于是当 时，

2 0

( )

0 0

z

Z

ze z

f z

z

即

解：根据卷积公式：

56

2

2

1

2

1 0

( ) ( )

0 0

y

Y

y e yf y

y

2 0, 0

1

1

1

1

1 0

( ) ( )

0 0

x

X

y e xf x

x

1 0, 0

一般的，可以证明：若 X,Y 相互独立，且分别服从参数为X,Y 的概率密度分别为

证明：这是例 3 的推广，由卷积公式

1 2( , ), ( , ) 的 分布

1 2 ,Z X Y 则 服从参数为 的 分布

( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x dx

0 ( ) 0Zz f z 当 时，

1 21 21 2

1~ ( 1, ),

( )Z A

且常数由此可知：

1 2

1 2

1 1

01 2

( )0 ( )

( ) ( )

x z xz

Z

x z xz f z e dx

当 时，

1 2

1 2

1 1

01 2

( )( ) ( )

z

zex z x dx

1 2 21

1 2

1 1 1 1

01 2

(1 )( ) ( )

z

x z t z et t dt

1 2 1z

Az e

57

,

( ) ( ), , ( ) ( )X Y max min

X YF x F y M N F z F z

设 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 和 现在来求 的分布函数 和 。

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )max

MF z P M z P X z Y z P X z P Y z 的分布函数为：

( ) ( ) ( )max X YF z F z F z即

( ) ( , )P N z P X z Y z 因为

( ) ( ) 1 ( )

1 ( , ) 1 ( ) ( )minF z P N z P N z

P X z Y z P X z P Y z

( ) 1 (1 ( ))(1 ( ))min X YF z F z F z 即

N所以 的分布函数为：

, , ,M max X Y N min X Y 的分布

58

推广到 n个相互独立的随机变量的情况 设 X1,X2,…,Xn是 n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：

( ) 1, 2, ,iX iF x i n

1 1

i i max mini n i n

M max X N min X F z F z

:及 的分布函数 和 为

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 [1 ( )][1 ( )] [1 ( )]n

n

max X X X

min X X X

F z F z F z F z

F z F z F z F z

( ) ( ( ))

( ) 1 [1 ( )]

nmax

nmin

F z F z

F z F z

1 2, , , ( )nX X X F x特别，当 相互独立且具有相同分布函数 时，

59

~ (0,1),

max( , ), min( , )

X Y U

M X Y N X Y

例6 设 与 独立，同分别求 的概率密度。

0, 0

( ) , 0 1

1, 1

x

X F x x x

x

解： 的分布函数

2 2

0, 0

( ) [ ( )] , 0 1,

1, 1M

x

F x F x x x

x

2 2

0, 0

( ) 1 [1 ( )] 1 (1 ) , 0 1,

1, 1N

x

F x F x x x

x

2 , 0 1( )

0,M

x xf x

其它

2(1 ), 0 1( )

0,N

x xf x

其它

60

例 7 ：设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2 联结而成，联 结的方式分别为： (1)串联； (2)并联；

(3)备用 ( 当系统 L1损坏时，系统 L2开始工作 )。如图，设 L1,L2 的寿命分别为 X,Y ，已知它们的概率密度分别为：

试分别就以上三种联结方式写出 L的寿命Z 的概率密度。

X YL1 L2

X

YL2

L1X

YL2

L1

, 0, , 0,( ) ( ) 0, 0, .

0, 0. 0, 0.

x y

X Y

e x e yf x f y

x y

61

A.串联的情况 由于当 L1,L2 中由一个损坏时，系统 L就停止工作，所以 L的寿命为 Z=min(X,Y) ； 而 X,Y 的分布函数分别为：

故 Z 的分布函数为：

于是 Z 的概率密度为：

( )

min

1 0( )

0 0

ze zF z

z

1 0( )

0 0

x

X

e xF x

x

1 0( )

0 0

y

Y

e yF y

y

即 Z 仍服从 指数分布

L1 L2

( )

min

( ) 0( )

0 0

ze zf z

z

62

B. 并联的情况

由于当且仅当 L1,L2 都损坏时，系统 L才停止工作，所以这时 L的寿命为 Z=max(X,Y) ， Z 的分布函数为：

于是 Z 的概率密度为：

max ( ) ( ) ( )X YF z F z F z

L1

L2

( )

max

( ) 0( )

0 0

z z ze e e zf z

z

(1 )(1 ) 0

0 0

z ze e z

z

63

C. 备用的情况

由于这时当系统 L1损坏时，系统 L2才开始工作，因此整个系统 L的寿命Z 是 L1,L2寿命之和，即 Z=X+Y ；因此：

[ ] 0 ( )

0 0

z z

Z

e e zf z

z

即

L1

L2

0 ( ) 0ZZ f z 当 时，

0 ( ) ( ) ( )Z X YZ f z f z y f y dy

当 时， ( )

0

z z y ye e dy ( )

0

zz ye e dy [ ]z ze e

64

复习思考题 3

1. 设 (X,Y) 为二维向量， 则 P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1, y1), 对吗？

2. 设 (X,Y)为二维连续量，则 P{X+Y =1}=0, 对吗？

3.(X,Y)为二维连续型向量， f(x,y) 为 (X,Y)的联合概率密度，fX(x) 和 fY(y) 分别为关于 X 和 Y 的边缘概率密度，若有一点(x0,y0) 使f(x0,y0)≠ fX(x0)·fY(y0) 则 X 和 Y 不独立，对吗？

65

关键词：数学期望方差协方差相关系数

第四章 随机变量的数字特征

66

问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量

的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。

例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。

67

定义：

定义：

1

11

( ) 1, 2,

,

k k

k kk

k kk

k kk

X P X x p k

x p X

E X

x p

E X x p

绝对收

设离散型随机变量 的分布律为：

若级数 则称级数 的值为随机变量

的 ，数学期 记望 为 即

敛，

,

<

( )

( )

( ) (

( )

)

X f x

x fxf x dx

E X xf

x dx

xf x dx X E X

x dx

设连续型随机变量 的概率概率为 若积分

(即 )

则称积分 的值为随机变量 的 ，记为

数学期望

即

绝对收敛

数学期望简称期望，又称均值。

§1 数学期望

68

例 1 ：2

1( ) ,

(1 )X f x x

x

X

设随机变量 的概率密度为 ，

证明 不存在数学期望。

( )x f x dx

-

证明： 2

1

(1 )x dx

x

-

20

2

(1 )

xdx

x

2

0

1ln(1 )x

X由定义， 不存在数学期望。

69

例 2 ：有 2 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：

若将这 2 个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命 N( 以小时计 )的数学期望。

解：

1,2 ,kX k 1 0

( ) 00 0

x

e xf x

x

1 0 ( 1,2) ( )0 0

x

ke xX k F x

x

的分布函数

2

2 1 0( ) 1 (1 ( ))0 0

x

mine xF x F x

x

22 0( )

0 0

x

min

e xf x

x

0 00 | |

x x x

xe e dx e

是指数分布的密度函数

1 2, ,N min X X N串联情况下， 故 的分布函数为：

问题：将 2 个电子装置并联联接组成整机， 整机寿命的期望又是多少？

只要求出一般指数分布的期望（即 E(X1)) ，就可得到E(N).

1 0

1 ( )x

E X x e dx

( )

2E N 从而

3 .2答：

70

例 3 ：设一台机器一天内发生故障的概率为 0.2 ，机器发生 故障时全天停工。若一周5 个工作日里无故障，可获 利 10万元；发生一次故障获利5 万元；发生 2 次故障 获利0 元，发生 3 次或以上故障亏损 2 万元，求一周内 期望利润是多少？

( ) 5.216E Y 于是 （万元）

解：设 X 表示一周 5 天内机器发生故障天数，~ (5, 0.2)X b则

设 Y 表示一周内所获利润，则5( 10) ( 0) (1 0.2) 0.328,P Y P X

Y

其余同理可得，于是 的分布律为：

Y -2 0 5 10

P 0.057 0.205 0.410 0.328

71

例 4 ： ( ), ( )X E X 。 设 求

( ) 0,1, 0!

keX P X k kk

解： 的分布律为：

X的数学期望为：

0

( )!

k

k

eE X kk

1

1 ( 1)!

k

k

ek

e e

( )E X 即

72

例 5 ： ( , ) ( )X U a b E X 。 设 ，求1

( )0

a x bb aX f x

－ 解： 的概率密度为：其他

X的数学期望为：

( ) ( )E X xf x dx

b

a

x dxb a

2

a b

( , )a b即数学期望位于区间 的中点

73

( ) ,Y X Y g X g定理：设 是随机变量 的函数： 是连续函数

( ) , 1, 2,k kP X x p k

1 1

( ) ( ) [ ( )] ( )k k k kk k

g x p E Y E g X g x p

若 绝对收敛，则有

( )X f x是连续型随机变量，它的概率密度为

( )E Y Y

X

定理的 在于我们求 时，不必算出 的分布律重 或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就

要意义可以了。

( ) ( )g x f x dx

若 绝对收敛

( ) ( ( )) ( ) ( )E Y E g X g x f x dx

则有

X是离散型随机变量，它的分布律为：

上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。

74

,X Y若二维离散型随机变量 的分布律为：

, ( , ) ,Z X Y Z g X Y g定理：设 是随机变量 的函数： 是连续函数

( , ) , , 1, 2,i j ijP X x Y y p i j

1 1

( ) [ ( , )] ( , )i j iji j

E Z E g X Y g x y p

则有

这里设上式右边的级数绝对收敛，

( ) ( ( , )) ( , ) ( , )E Z E g X Y g x y f x y dxdy

则有

这里设上式右边的积分绝对收敛

,X Y若二维连续型随机变量 的概率密度为：

( ) ( , )

( ) ( , )

E X xf x y dxdy

E Y yf x y dxdy

特别地，

75

例 6 ： ,X Y设二维随机变量 的联合分布律为

0 1 2

0 0.1 0.25 0.15

1 0.15 0.2 0.15

X Y

( )sin

2

X YZ

求随机变量 的数学期望。

( ) (0 0) (1 0)( ) [sin ] sin 0.1 sin 0.15

2 2 2(0 1) (1 1) (0 2)

sin 0.25 sin 0.2 sin 0.152 2 2

(1 2)sin 0.15 0.25

2

X YE Z E

解：

76

例 7：设随机变量 (X,Y) 的概率密度为：

3 23 1 , 1

2( , ) 0

1,y x x

xx yf x y E Y EXY

其他

求数学期望。

X=1

1yx

y x( ) ( , )E Y yf x y dydx

解：

3 21

3 2

3 0 12

3( ), ( ) 1 ( ) ( )2

0

y

Y Y Yy

dx yx y

f y f y dx y E Y yf y dyx y

考虑 先求 得到 ；则

其他

： 。

311

32

x

x

dydxx y

131

3 1 |2

x

x

lny dxx

31

3 lnx dxx

12 31

3 3 31|2 2 4

lnx dxx x

1 1( ) ( , )E f x y dydxXY xy

4 311

32

x

x

dx dyx y

14 21

3 1[ ] |2 2

x

x

dxx y

6 21

3 1 1( )4

dxx x

3 31( 1)

4 5 5

是不是更复杂?

77

8例 ：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该种商品每周所获得利润的数学期望。

1000 , ( , )

500( ),

Y Y XZ g X Y

X Y Y X

若若

解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则

( , )

1 100, 10 20,10 20( , )

0,

X Y X Y

x yf x y

和 相互独立，因此 的概率密度为

其他

20 20 20

10 10 10

( ) ( , ) ( , )

1000 1 100 500( ) 1 100

14166.7(

x

x

E Z g x y f x y dxdy

dx y dy dx x y dy

元）

78

数学期望的特性：

( ) ( ) ( )E aX bY c aE X bE Y c 将上面三项合起来就是：

这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况

( )C E C C设 是常数，则有1.

( ) ( )X C E CX CE X设 是一个随机变量， 是常数，则有2.

, ( ) ( ) ( )X Y E X Y E X E Y 设 是两个随机变量，则有3.

, ( ) ( ) ( )X Y E XY E X E Y设 是相互独立的随机变量，则有4.

79

证明：1. ( ) 1, ( ) ( ) 1C P X C E X E C C C 是常数，

2. ( ) ( ) ( ) ( )E CX Cxf x dx C xf x dx CE X

3. ( ) ( ) ( , )

( , ) ( , ) ( ) ( )

E X Y x y f x y dxdy

xf x y dxdy yf x y dxdy E X E Y

4. ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X Y

X Y

E XY xyf x y dxdy xyf x f y dxdy

xf x dx yf y dy E X E Y

下面仅对连续型随机变量给予证明：

80

例 9 ：一民航送客车载有 20 位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就

不停车，以 X 表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立 )

( )E X 。

0 1, 2, ,10

1 i

iX i

i

第站没有人下车第站有人下车

1 2 10 X X X X 易知：

1 2 10

20

( ) ( ) ( ) ( )

9 10[1 ( ) ] 8.784( )10

E X E X E X E X

次

( ) ( 1)i iE X P X ( )P i 第站有人下车 2091 ( )10

本题是将 X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。

解：引入随机变量：

81

例10 ：

( ) , 1, 2,3,4.iE X i i 解：

1 2 3 4

1 2

3 4

, , , ~ (0, 2 ),

( ).

X X X X U i

X XY

X X

E Y

i设随机变量 相互独立，X 求行列式

的数学期望

1 4 2 3Y X X X X

1 4 2 3

1 4 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 4 2 3 2

E Y E X X E X X

E X E X E X E X

由条件，

82

§2 方差设有一批灯泡寿命为：一半约 950小时，另一半约 1050小时→平均寿命为 1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约 1300小时，另一半约 700小时→平均寿命为 1000小时；

问题：哪批灯泡的质量更好？

单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命 X 与均值 1000小时的偏离程度。

方差─正是体现这种意义的数学特征。

83

定义：

( )( ) ,D X XXX 标准差 均将 记为 称为 的 或 ，

它是与随机变量 具有相方差

同量纲的量。

2

2

[ ( )]

(( ) ( ) ) ( ) [ ( )]D

X E

X Var X

X E X X

D X Var X E X E X

设 是一个随机变量，若 存在，则称其为 的 ，

记为 或 ，即

方差

( )

( )

( )

D X X X

X D X

X D X

方差 刻画了 取值的分散程度，它是衡量 取值分散程度的一个尺度。若 取值比较集中，则 较小，反之，若 取值比较分散，则 较大。

84

对于离散型随机变量 X ， ( ) 1, 2,k kP X x p k 其分布律为：

2

1

( ) [ ( )]k kk

D X x E X p

( ),f x其概率密度为

2 ( ) [ ( )]D X E X E X 事实上，

2( ) [ ( )] ( )D X x E X f x dx

2 2( ) ( ) [ ( )]D X E X E X

2 22 ( ) [ ( )]E X XE X E X

2 2( ) 2 ( ) ( ) [ ( )]E X E X E X E X 2 2( ) [ ( )]E X E X

对于连续型随机变量 X ，

此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：

85

例 1 ：设随机变量 X 具有数学期望( )E X

* * *( ) 0 ( ) 1E X D X X X 证明： ， ，称 为 的标准化变量

* 1( ) ( )E X E X 证：

2 *( ) 0X

D X X

方差 ，记

1 [ ( ) ] 0E X 2* * * 2 ( ) ( ) [ ( )]D X E X E X

22

1 [( ) ]E X

2[( ) ]X

E

2

2 1

86

例 2 ：设随机变量 X 具有 0-1 分布，其分布律为：

解：

( 0) 1 ( 1) ( )P X p P X p D X 。， ，求

( )E X 0 (1 ) 1p p p

2( )E X 2 20 (1 ) 1p p p

( )D X 所以 2 2( ) [ ( )]E X E X

2p p (1 )p p

87

例 3 ： 解：

( ) 1, 2, >0!

keX P X k kk

的分布律为：

( )E X 由上节例4已算得2 ( )E X而

2 2 ( ) ( ) [ ( )]D X E X E X

所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数

[ ( 1)] ( )E X X E X ( 1)E X X X 2

2

2 ( 2)!

k

k

ek

0

( 1)!

k

k

ek kk

2 2e e

( ) ( )X D X 。 设 ，求

88

例 4 ： ~ ( , ) ( ) X U a b D X 。设 ，求

2 2( ) ( )E X x f x dx

2 2( ) ( ) [ ( )]D X E X E X

1 ( )

0

a x bb af x

其他

( )2

a bE X 上节例5已算得：

2 1b

ax dx

b a

3 3

3( )b a

b a

2 2

3a b ab

2 2 2 2 23 4

a b ab a b ab 2( )

12b a

解： X 的概率密度为：

89

例 5 ：设随机变量 X 服从指数分布，其概率密度为：1 0

( ) 0 ( ), ( )0 0

x

e xf x E X D X

x

。，求

( ) ( )E X xf x dx

解：

即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数 θ

0

1 x

x e dx

0 0|

x x

xe e dx

2 2( ) ( )E X x f x dx

2

0

1 x

x e dx

2 2

0 0| 2 2

x x

x e xe dx

2 2( ) ( ) [ ( )]D X E X E X 于是 2 2 22

90

方差的性质：

2 2

, , ,

( ) ( ) ( )

X Y a b c

D aX bY c a D X b D Y

综合上述三项，设 相互独立， 是常数，

则

( ) 0C D C 1. 设 是常数，则

2( ) ( )X C D CX C D X2. 设 是随机变量， 是常数，则有

,

( ) ( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )]

, ( ) ( ) ( )

X Y

D X Y D X D Y E X E X Y E Y

X Y D X Y D X D Y

3. 设 是两个随机变量， 则有

特别，若 相互独立，则有

4. ( ) 0 ( ) 1 ( )D X P X C C E X 且

91

证明： 21. ( ) [ ( )] 0D C E C E C

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2. ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

( ) [ ( )] ( )

D CX E CX E CX C E X C E X

C E X E X C D X

2 2

2 2

3. ( ) [( ) ( )] [( ( )) ( ( ))]

[ ( )] [ ( )] 2 [ ( )][ ( )]

( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )]

D X Y E X Y E X Y E X E X Y E Y

E X E X E Y E Y E X E X Y E Y

D X D Y E X E X Y E Y

4. 证略。

, ( ) ( )

[ ( )][ ( )] [ ( )] [ ( )] 0

( ) ( ) ( )

X Y X E X Y E Y

E X E X Y E Y E X E X E Y E Y

D X Y D X D Y

当 相互独立时， 与 相互独立

故

所以

92

例 6 ： ~ ( , ) ( ), ( )X b n p E X D X 。设 ，求

1 1, 2,

0 k

A kX k n

A k

在第 次试验发生在第 次试验不发生

Xk

pk

0 1

1-p p1 2 nX X X X 易知：

1 1

( ) ( ) ( )n n

i ii i

E X E X E X np

故知：

( ) ( ) (1 )E X np D X np p 即 ，1 1

( ) ( ) ( ) (1 )n n

i ii i

D X D X D X np p

X n A

p。

解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P(A)= 引入随机变量：

1 2, , , 0 1nX X X 于是 相互独立，服从同一 分布：

,

0 1

n p n

p

以 为参数的二项分布变量，可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的 分布的随机变量之和。

例 7 ： 解：

2~ ( , ) ( ), ( )X N E X D X 。设 ，求X

Z

先求标准正态变量 的数学期望和方差

2

21( )2

t

Z t e

的概率密度为：

2

21( ) 02

t

E Z te dt

于是

2 2

( ) ( ) ,

( ) ( ) ( )

X Z E X E Z

D X D Z D Z

因为 ，故

2( ) ( )D Z E Z2

2 212

t

t e dt

2 2

2 21 1| 12 2

t t

te e dt

2, 即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。

2

0 1 1 2 2

2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 2 2

1 2

( , ) 1, 2,

~ ( , )

,

i i i

n n

n n n n

n

X N i n

C C X C X C X

N C C C C C C

C C C

若 且它们相互独立

则它们的线性组合：

是不全为0的常数

(1,3) (2,4) ,

2 3 ( 4,48)

X N Y N X Y

Z X Y N

如: ， 且 相互独立，则

n独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：

95

例 8 ：设活塞的直径 (以 cm 计 ) 汽缸的直径 X,Y 相互

独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。

2(22.40,0.03 ),X N2~ (22.50,0.04 ),Y N

( ) ( 0)P X Y P X Y 解：按题意需求2( 0.10, 05 ) 0.X Y N 由于

( ) ( 0)P X Y P X Y 故有

0 ( 0.10)( )

0.05

(2) 0.9772

96

表 1 几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或 密度函数 分

布0－ 1分布 p p(1-p)

二项分布b(n,p)

np np(1-p)

泊松分布

均匀分布U(a,b)

指数分布

正态分布

1( ) (1 )

0,1

k kP X k p p

k

1( ) (1 )

0,1,...,

k k knP X k C p p

k n

( ) ( ) !

0,1,...,

kP X k e k

k

1 ( ),( )

0,

b a a x bf x

其它

a+b2

2(b-a)12

( )Exp , 0( )

0,

xe xf x

其它 1 21

2( , )N 2

2

( )

21( )

2

x

f x e

x

2

97

§3 协方差及相关系数

对于二维随机变量 (X,Y) ，除了讨论 X 与 Y 的数学期望和方差外，还需讨论描述 X 与 Y 之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义：

( , ) [ ( )]

[ (

[ ( )]

(

)][ ( )]

( , )

,

(

.

)

( ) )

XY

XY

Cov X Y E X E X Y E Y

Cov X

E X E X Y E Y X Y

Cov

Y

D X D

Y

Y

X Y

X

量 称为随机变量 与 的 ，协方差

相关

记为： ，即

称

为随机变量 与 的 . 是一个无系数 量纲的量

98

协方差的性质：

( , ) ? ( ) ?Cov aX bY cX dY D aX bY

2 2

( ) ( ) ( ) ( , )

( ) ( ) 2 ( , )

acD X bdD Y ad bc Cov X Y

a D X b D Y abCov X Y

答案：

思考题：

( , ) ( , ) ( , ) ( )1. Cov X Y Cov Y X Cov X X D X ，

( ,2. ) ( ) ( ) ( )Cov X Y E XY E X E Y

( , ) ( , ) ,3. Cov aX bY abCov X Y a b 是常数

1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ,4. )Cov X X Y Cov X Y Cov X Y

99

1 , ( ) 1

0

.

1 0

2

1

XY

XY XY

a b P Y a bX

b b

存在常数 ，使

特别的， 时， ； 时，

2( , ) [ ( )]

( , )

X a bX Y

e a b E Y a bX

a bX Y e a b a bX Y

证明：考虑以 的线性函数 来近似表示

我们以均方误差 来衡量

以 近似表达 的好坏程度, 越小， 与 的近似程度越好。

0 0 ,( , ) ( , )

a be a b mine a b下面来求最佳近似式：

2 2 2 2

0 0

2 0

( , ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

( , ) ( ) ( )2 2 ( ) 2 ( ) 0 ( , )

( , )2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 ( )

e a b E Y b E X a bE XY abE X aE Y

e a b a E Y b E Xa bE X E Ya

Cov X Ye a b b

bE X E XY aE X D Xb

: 计算得

相关系数的性质：1. 1 XY

续

100

0 01 ( , ) 0. e a b 由

0

0

( , )1 ( , ) 0 0

( )

1 ( , ) 0 0

XY

XY

Cov X YCov X Y b

D X

Cov X Y b

特别，当 时， ，

当 时， ，

20 0 0 0( , ) [ ( )]e a b E Y a b X 此时 2

0 0 0 0[ ( )] ( )D Y a b X E Y a b X

0( )D Y b X 20 0( ) ( ) 2 ( , )D Y b D X b Cov X Y

2[ ( , )]( )

( )Cov X Y

D YD X

2(1 ) ( )XY D Y

21 0XY 1XY

2

0 01 (2. ) 0 XY E Y a b X

0 0 0 0( ) 0 [ ( )] 0D Y a b X E Y a b X 且

0 0( ) 0 1P Y a b X

0 0 0

( , )( ) ( ),

( )Cov X Y

a E Y b E X bD X

已得：

101

0

XY X Y

X Y

X Y

定义： ，称 与 不相关

注意， 与 不相关，只是对于线性关系而言的与 相互独立是就一般关系而言的

,XY X Y 是一个用来表征 之相关系数 线性关间 系紧密程度的量

0 0( , ) ,XY e a b X Y当 较大时， 较小，表明 线性关系的程度较好；

0 01 ( , ) 0 ,XY e a b X Y 1当 时， ，表明 之间以概率 存在线性关系；

0 0( , ) ,XY e a b X Y当 较小时， 较大，表明 线性关系的程度较差；

0XYX Y 随机变量 与 不相关，即 的等价条件有：1. ( , ) 0Cov X Y 2. ( ) ( ) ( )E XY E X E Y

3. ( ) ( ) ( )D X Y D X D Y

X Y X Y

X Y X Y

从而可知，当 与 相互独立 与 一定不相关反之，若 与 不相关， 与 却不一定相互独立

102

例 1 ：设 X,Y 服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 , 判断 X 和 Y 是否不相关？是否 不独立？

,

\ 1 0 1

1 1 4

0 1 2

1 1 4

1 4 1 2 1 4

j

i

X Y

X Y p

p

解：先求 的联合分布律：

0 0

0 001 4 1 4

1 4

1 4

0P X Y

103

( ) ( 1) 1 4 0 1 2 1 1 4 0E X

( , ) 0,ov YC X Y X所以， 与即 不相关.

( 1, 1) 0,P X Y

( 1, 1) ( 1) ( 1)P X Y P X P Y

X Y

所 ， 与以 不独立。

( ) ( 1) ( 1) 1 4 ( 1) 1 1 4

1 ( 1) 1 4 1 1 1 4 0

E XY

( 1) ( 1) 1 4 1 4P X P Y

104

•

21 2

2 21 1 2 2

2 2 21 21 2

2 ( , )

1 ( , )2 1

( ) ( )( ) ( )1exp{ [ 2 ]}2(1 )

X Y

f x y

x x y y

X Y X Y X Y

例 ：设 服从二维正态分布，它的概率密度为：

求 和 的相关系数，并证明 与 相互独立 与 不相关

,X Y解：由于 的边缘概率密度为：2

121

( )

2

1

1( ) 2

x

Xf x e x

；

2222

( )

2

2

1( ) 2

y

Yf y e y

续

2 21 1 2 2( ) , ( ) ( ) , ( )E X D X E Y D Y 所以 ；

105

1 2( , ) ( )( )Cov X Y E X Y 而

1 2( )( ) ( , )x y f x y dxdy

2121

( )

21 2

21 2

222 12 2

12

( ) ( )

2 2 1

1 [ ( ( ))]2(1 )

xx y

e dx

exp y x dy

2121

( )

21 22 1 2

11

( )[ ( ) ]

2

xx

e x dx

2121

( )222 1

1 1

( )

2

xx

e dx

221 1 2

1

( , )

( ) ( )XY

Cov X Y

D X D Y 于是

续

106

( , )

,

,

X Y

X Y

X Y

即二维正态变量 的概率密度中的参数就是 的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由 各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。

( , ) 0

( , )XY

X Y X Y

X Y X Y

X Y

若 服从二维正态分布，那么 和 相互独立现在知道， ，从而

和 不相

知：对于二维正态变量 来

关，

与说相互独立

107

例 3 ：设 X,Y 相互独立服从同一分布，方差存在， 记 U=X-Y,V=X+Y, 则随机变量 U与 V 是否一 定不相关，是否一定独立？,

( , ) ( , ) ( ) ( ) 0

V

Cov U V Cov X Y X Y D X D Y

U V

解：先求U 的协方差：

所以， 与 一定不相关。

1

U V

X Y U V

U V

当 与 不一定独立。举例如下：（） 设 与 独立，服从正态分布，则（ ， ）也服从正态分布，

对于二维正态分布，独立与不相关等价，从而 与 独立。2 ~ (1, 1 2), ( (0 1)

( 1, 0) ( 1, 0) 0

( 1) ( 1) ( 1, 0) 1 4,

( 0) ( 0) ( 0, 0) 1 4,

( 1, 0) ( 1) ( 0)

X b

P U V P X Y X Y

P U P X Y P X Y

P V P X Y P X Y

P U V P U P V

U V

（） 即 分布）

所以与 不独立。

108

§4 矩、协方差矩阵 X Y定义：设 和 是随机变量

( ) 1, 2,

( )

k

k

E X k

X

若 存在，则 阶 原它为 的 点称 矩；

[ ( )] 1, 2,k

k

E X E X k

X

若 存在，

则称它为 的 阶中心矩；

, 1, 2,k lE X Y k l

lX Y k

若 存在 存在，

则称它为 和 的 阶混合矩；

[ ( )] [ ( )] , 1, 2,

,

k lE X E X Y E Y k

k

l

X lY

若 存在，

阶 则称它为 的 混合中心矩；

显然，最常用到的是一、二阶矩

109

1 2

1 1 21 2

2 1 2

( , )

( ) ( , )( , )

( , ) ( )

X X

D X Cov X XX X

Cov X X D X

协方差矩阵定义：设二维随即变量 的四个二阶中心矩存在，将它们

排成矩阵： ，称为 的协方差矩阵。

1 2

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

1 2

( , , ) ( , )

, 1, 2,

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , )

( , ) ( , ) ( )

( , , )

n i j

n

n

n n n

n

n X X X Cov X X

i j n

D X Cov X X Cov X X

Cov X X D X Cov X X

Cov X X Cov X X D X

n X X X

设 维随机变量 ，

都存在，

称矩阵

为 维随即变量 的协方差矩阵，

协方差矩阵是一个对称矩阵。

利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到 n维正态变量的概率密度。

1 22 2

1 1 1 1 2 2 2 21 2 2 2 22

1 21 21 2

( , )

( ) ( )( ) ( )1 1( , ) exp [ 2 ]2(1 )2 1

X X

x x x xf x x

已知 服从二维正态分布，其概率密度为：

1 1

2 2

,x

Xx

引入列向量： ，

1222

11 2 1 2

1 1( , ) ( , ) exp ( ) ( )2(2 )

TX X f x x X C XC

于是 的概率密度可写成：

21 1 2

1 2 21 2 2

( , )X X C

的协方差矩阵为：

2 2 21 2 (1 )C 它的行列式为

21 2 1 2

21 2 1

1C CC

的逆矩阵为

21 21

2

21 2 2

1

11 1

2 21 1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 21 21 2

( ) ( )( ) ( )1( ) ( ) [ 2 ]1

T x x x xX C X

经计算，

122

1 2

1 1 1

2 2 2

11

1

2

1 2

2

( , , )( )

( ) = ,

( )

1 1( , , ) ( ) ( )2(

( , , )( , , )

2 )n

n

n n n

n

n

Tn

n X X Xx E X

x E XX

x E X

f

C X X XX X

x x x ex

X

p X C XC

上式容易推广到 维正态变量 的情况

引入列向量：

是 的协方差矩阵,的概率密度定义为：

112

n 维正态变量具有以下四条重要性质：

1 2

1 2

1 2

( , , ) , 1, 2,

, ,

( , , )

1. n i

n

n

n X X X X i n

X X X

X X X n

维正态变量 的每一个分量 都是

正态变量；反之，若 都是正态变量，且相互独立，

则 是 维正态变量；

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2

2. ( , , )

, ,

, ,

n

n n n

n

n X X X n

X X X l X l X l X

l l l

维随机变量 服从 维正态分布

的任意线性组合 服从一维正态分布

其中 不全为零

1 2 1 2

1 2

( , , ) , ,

( 1,2, ) , ,

3.

)n k

j k

X X X n Y Y Y

X j n Y Y Y

若 服从 维正态分布，设 是

(的线性函数，则 也服从多维正态分布；

这一性质称为正态变量的线性变换不变性

1 2

1 2 1 2

( , , )

, , , ,

4. n

n n

X X X n

X X X X X X

设 服从 维正态分布，

则 相互独立 两两不相关

113

复习思考题 4

1.叙述 E(X)和 D(X)的定义。

1 21 1

1, , , , , ( ) 02 ,.n n

n i ii i

x x x x x x xn

设有一批数据 记 则 对吗？

2

22

0

22

0

0

2

3 2,0 2 4

0,

,

3 2 1

42

3 21, 0 2

4

0 0 0,

3. x x

xX f x

E X

x xE X xf x dx x dx

x xx dx x

E X

xdx xdx

已知随机变量 具有概率密度：其它

求 试问下列哪种解法是正确的？

1解法 ：

解法 ：

其它

114

4. 试述计算随机变量 X 的函数 g(X)的数学期望 E[g(X)] 的两种方法。

5. 设 X ～ N(μ,σ2), 用如下两种方法求 E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2 ；

(2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2 ； 两种结果不一样，哪一种错？为什么？

6. 设 X 和 Y 为两随机变量，且已知 D(X)=6, D(Y)=7,

则 D(X － Y)=D(X) － D(Y)=6 － 7= － 1<0, 这与任意一个随机变量的方

差都不小于零相矛盾，为什么？

115

7. 考虑 100包水泥的总重量 Y 用以下两种方式表示：(1) 设第 i袋水泥的重量为 Xi , i=1,2,…,100, 由题意知 , Xi ～ N(50,2.52),Y=∑Xi , 则 Y ～ N(100*50,100*2.52) ； (2) 设一包水泥的重量为 X, 由题意知 X ～ N(50,2.52)。

若将 100包水泥的总重量看成是 1 包水泥的 100倍，即 Y=100X, Y 是 X 的线性函数，则：

E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52

Y ～ N(100*50,1002*2.52)这两种方法得到的总重量的分布不一样 ( 因为方差不同，

后者方差是前者的 100 倍 )，

试问哪一种正确？

8. 试问 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？

23/4/20

课件结束 !