Теоретическая механика
DESCRIPTION
Теоретическая механика. Литература. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:: Учебник. -М., 1985.- т. 2 /и другие издания/ Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М., 1998 /и другие издания/ - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Теоретическая механика
Литература
• Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:: Учебник. -М., 1985.- т. 2 /и другие издания/
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М., 1998 /и другие издания/
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие. -М. 1998 /и другие издания/
• Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие под ред. А.А. Яблонского. -М. 1998 /и другие издания/
Формы отчетности:
• Дифф. зачет
• зачет по индивидуальным заданиям
• контрольные работы
• защита курсовой работы
• итоговое компьютерное тестирование
Теоретическая механика
Кинематика Кинетика
Статика Динамика
Раздел: Динамика
Основные понятия и определения
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается
движение материальных тел под действием сил.
ИнертностьКоличественной мерой инертности
является масса тела.
Модели:
1)Материальная точка:
геометрическая точка, обладающая
конечной массой.
2) Система материальных точек.3) Абсолютно твердое тело.
Системой называется такая совокупность материальных
точек, движения и положения которых взаимно связаны.
Неизменяемой будем называтьсистему, в которой взаимноерасположение точек остаетсянеизменным.
Если вещество, образующее неизменяемую систему,
непрерывно заполняет некоторую часть пространства, то такая
система называется абсолютно твердым телом.
Расстояние между любыми двумя точками такого тела не изменяется.
Законы (аксиомы) динамики
1. Существует инерциальная система отсчета. В такой
системе материальная точка находится в покое или
движется прямолинейно и равномерно, если на нее не
действуют силы.
2. В инерциальной системе отсчета вектор ускорения
материальной точки пропорционален вектору
силы, действующей на эту точку.
3. Две материальные точки взаимодействуют так, что
силы взаимодействия равны по величине,
противоположны по направлению и имеют
общую линию действия.
4. Систему сил, действующих на материальную точку, можно заменить равнодействующей.
Ускорение точки под действием системы сил равно ускорению
под действием равнодействующей.
0,,
;,,2
bn
zyx
k
aV
adt
dVa
zayaxa
Fam
Дифференциальные уравнениядвижения точки
m x = Fkx
m y = Fky
m z = Fkz
дифференциальные уравнениядвижения точки в декартовой с. к.
.0
,
,
2
kb
kn
k
F
FV
m
Fdt
dVm
Дифференциальные уравнения движения точки в естественных
координатах
Прямая задача:
Зная массу точки и ее уравнения движения, определить
равнодействующую приложенных к точке сил.
Два класса задач динамики:
прямые и обратные.
Дано: m,x = x(t),y = y(t),z = z(t).
Найти: F.
Решение:
m x = Fx
m y = Fy
m z = Fz
F = Fx2 + Fy
2 + Fz2 - модуль силы
Обратная задача
По известным массе, силам, начальным условиям определить закон движения.
Эта задача называется ещеосновной задачей динамики.
dt 2
d2z=m
dt 2
d2x=m
dt 2
d2y=m
Fx (t, x, y, z, x, y, z)
Fz (t, x, y, z, x, y, z)
Fy (t, x, y, z, x, y, z)
Чтобы получить закон движения, необходимо
дважды проинтегрировать каждое
уравнение, используя начальные условия.
Динамика относительного движения точки
• Можно ли решать задачи динамики в неинерциальных (подвижных) системах отсчета?
В неподвижной системе:
RFam (1)
КориолисатеоремеПо
Корперотн aaaa )2(
)1()2( вПодставим
)()( Корпер
отн
amam
RFam
инерциисила
переноснаяamF
Обозначим
пери
пер
:
инерциисила
акориолисовamF Кори
Кор
иКор
ипер
отн
FFRF
am
• Чтобы составить дифф. ур. движения точки в подвижной системе координат в форме второго закона Ньютона, необходимо к действующим на точку активным силам и реакциям связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.
• Можно считать, что силы инерции вводятся с целью
формального преобразования неинерциальной (подвижной)
системы отсчета в инерциальную (неподвижную).
Пример
аm
?
./3,17 2
иповерхностегонаточки
ойматериальнравновесиели
Возможносма
раполуцилиндУскорение
2/10 смg
N
G
иперF
amamF пери
пер
0sincos иперFG
3
13,17
10 mamg
FG
tg ипер
030
:На
Динамика механической системы
и твердого тела
• Совокупность материальных точек или тел, движение которой рассматривается, назовем механической системой.
Действующие на механическую систему
активные силы и реакции связей разделяют на
.ik
ek
Fсилывнутренние
иFсилывнешние
Внешними называют силы, действующие на точки
системы со стороны точек, не входящих в систему.
• Внутренними называют силы, с которыми точки системы действуют друг на друга.
Свойства внутренних сил:
• 1. Геометрическая сумма (главный вектор) внутренних сил системы равняется нулю.
• 2. Сумма моментов (главный момент) внутренних сил относительно любого центра или оси равняется нулю.
Дифф. уравнения движения механической
системы
Рассмотрим систему, состоящую из n точек.
Для точки №k:
.
,
kkk
kkk
rVa
Fam
Для системы:
.
,
,
,
222
111
nnn Fam
Fam
Fam
Можно составить уравнения в проекциях на оси координат.
В динамике редко прибегают к составлению и интегрированию
этих уравнений.
Масса системы. Центр масс
Масса системы
Центр масс системы
- сумма масс тел, входящих в систему.
- геометрическая точка, радиус-вектор которой :
mk k=1
n
m =
rc = mkrk
k=1
n
mk k=1
n
Для того, чтобы получить координаты центра масс, надо найти проекции векторного равенства на оси
xc =
zc =
yc =
mkxk k=1
n
m
mkyk k=1
n
m
mkzk k=1
n
m
Ордината центра масс системы материальных точек yc= … см.
y, см
x, см
10
100m1=2m
m3=5m
m2=3m
Решение
m
ymy
n
kkk
c
1
Пример.
y, см
x, см
10
100m1=2m
m3=5m
m2=3m
;532
0510302
mmm
mmmyc
yc=3 см
Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Теорема о движении центра масс системы
M ac = F e
Следствия :1)
2)
Если F
e = 0 ,
Внутренними силами нельзя изменить движение центра масс системы.
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то скорость движения центра масс системы постоянна.
то v c = const
Если Fx
e = 0 , то v c x = const
3) Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось - величина постоянная.
Момент инерции тела относительно оси
(осевой момент инерции)
Осевым моментом инерции тела (системы) относительно оси Оz называется сумма произведений
масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний
от этой оси
.2
kkZ hmJ
Осевой момент инерции является мерой инертности тела при
вращательном движении
Единица измерения момента инерции СИ
21 мкг
Расстояния точек от осей можно выразить через координаты точек. Получим формулы:
.)(
,)(
,)(
22
22
22
kkkZ
kkkY
kkkX
yxmJ
xzmJ
zymJ
Радиусом инерции тела относительно оси Оz
называется линейная величина
, определяемая равенствомz
тела
массаmгде
,2
zZ mJ
В случае сплошного тела в формулах моментов инерции суммы обратятся в интегралы
)(
22 ..)(V
X дтиdVzyJ
)( материалаплотностьздесь
Зная радиус инерции, можно по формуле найти момент инерции
Тонкий однородный стержень длиной l и массой т
z
3
2mlJ Z
Моменты инерции некоторых однородных тел
x dx
z l
V
l
z
l
l
mdxx
l
mxdmJ
0
322
3
dxlm
dm
C
Z
l
0,5l
Тонкое однородное кольцо радиусом R и массой m
zRC
2mRJC
12
2mlJC
12
2lmJ z
Однородный цилиндр или диск
радиусом R и массой m
C
ZR
2
2mRJC
rdr
h
drrhdVобъем 2
dVVm
dmмасса
drrRm
dm 2
2
drrRm
dmrdJC 3
2
2 2
R
C
mRRRm
drrRm
J0
24
2
3
2 2422
drrRm
dm 2
2
Моменты инерции тела относительно
параллельных осей(теорема Гюйгенса)
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции
относительно оси, ей параллельной, проходящей через
центр масс тела, сложенному с произведением
массы тела на квадрат расстояния между осями
масс
центрC
2
1mdJJ CzOz
d
Z
O
C
Z
Примерl=2R
R
O1
2 x
Дано: m1=0,75m, m2=2m,1-тонкий однородный стержень,2 - однородный диск.
Определить момент инерции и положение центра масс маятника.
Решениеl=2R
R
O1
2 x mm
RmRmo
mm
xmxmxc
275,0
2275,
.121
2211
22
22
21
21 23.2 lm
RmlmJJJ OOO
xc=1,73R; Jo=10mR2.
Принцип Даламбера для материальной точки
RFam
0
..
..
amRF
связейреакцравнодR
силактравнодF
Вектор Fи , равный по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленный
противоположно вектору ускорения,называется силой
инерции.
amFОбозначим и
Принцип Даламбера для материальной точки:
0 иFRF
В каждый момент движения сумма активных сил, реакции связи и силы инерции равна нулю.
Определить натяжение троса
Пример
мR
радt
кгт
Дано
4,0
6,0
60
:
2
R
mg
Решение
sz
а
mgFи
HS
agmS
FmgS
F
атF
см
Rа
срад
и
z
и
617
)(
0
:0
48,0
2,1
2
2
Принцип Даламбера для механической системы:
Силы инерции точек механической системы «уравновешивают»
активные силы и реакции связей.
Определить усилие в стержне А
Пример
АF1 F2
Дано:F1=3 kHF2=12 kH
Массыодинаковы
Решение
1.3та=F1+F2
ma 52.
xs
aF1
Fи
Fи=та=5 кН
:0XF
S+F1-Fи=0
S=2 кН
(F1=3 kH, F2=12 kH)
Следствия принципа Даламбера для системы
Рассмотрим систему n материальных точек.
.0 и
K
i
K
e
K FFF
инерциисилаF
силавнутрF
силавнешнF
и
K
i
K
e
K
.
.
(*)
Для к-й точки:
Умножим (*) векторно слева на rк
0 и
kk
i
kk
e
kk FrFrFr
(**)k=1,2,…,n
Получили:
0,0 i
kk
i
k FrF
0,0 и
о
е
о
иe ММFF
Здесь
-главные векторы и главные моменты внешних сил и сил
инерции
и
kk
и
о
и
k
и
e
kk
e
o
e
k
e
FrМFF
FrMFF
,
,
Внешние силы включают в себя реакции внешних связей:
е
реакц
е
акт
e FFF
Главный вектор и главный момент сил инерции
Главный вектор сил инерции:
k k
kk
и
k
и amFF
k
kkc rmm
r1 дифф.
дважды
kkC amam
Главный вектор сил инерции равен произведению массы
системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому
ускорению.
C
и amF
Приведение сил инерции твердого тела к удобному виду
1. При поступательном движении тела силы инерции приводятся к равнодействующей,
приложенной в центре масс тела
c
и amF
Вращательное движение
Z
krka
kk ra
иkF
2kk
kkkиz
rm
ramM
zиz JM
2.Вращательное движение(центр приведения – т. О)
о εи
ozM
сас
FИ
x
y
Пл. мат. симм. oz
c
и
oz
И
oz
amF
JM
Центр приведения – центр масс С
εо
сас
и
CZM
Fи
c
и
CZ
и
CZ
amF
JM
2*. Ось вращения проходит через центр масс тела
cz
и
cz
и
JM
F 0
Плоское движение
cz
и
cz
c
и
JM
amF
В центре масс:
Пример 1
RO
Мтр
1 2G1
.
707,0
1,0
4
2
,
:
2
1
Найти
R
mgRM
mm
mm
Rm
Дано
тр
Решение
0)( KO FMО
RO
Мтр
1 2G1
ε
а
Fи
Ми
Xo
Yo
По модулю:Fи=т2аМи=J1εa=εR. 2
11 mJ
01 RGRFМM и
тр
и
024
1,02
2
mgRmR
mgRmR
Rg
38,0
Пример 2
z Дано:т,l,α,ω=const.Найтинатяжениенити.
А y
ξ
αω
Решение
А YA
ZA
h
S
Fи
mgc
.0)(
cos32
KA FM
lh
sin2
2
l
а
атF
с
с
и
tgglmS
lmghFSl и
21
sin31
0sin2
cos
2
sin2
2
l
а
атF
с
с
и
.0)(
cos32
KA FM
lh
Работа и мощность силы
ММо
М1F
Fn
τ
Fτ
vα
ЭЛЕМЕНТ.РАБОТА
СИЛЫ F:
dsFdA
Другие выражения:
dzFdyFdxFdA
rdFdA
dsFdA
zyx
cos
Работа силы на конечном перемещении
)(
)(
)(
1
1
M
M
MM
O
OdsFA
В системе СИ единицей измерения работы является
джоуль
)111(2
2
смкг
мНДж
МощностьМощностью называется
величина, определяющая работу в единицу времени
VFdtdsF
dtdA
N
Мощность равна произведению касательной составляющей силы на
скорость.
VFN
VFN
В системе СИ единицей измерения мощности является
ватт
сДж
Вт 11
Работа и мощность сил, приложенных к вращающемуся
телуz
B
ds
d
F
F
r
drds
dsFdA
0
)(
dMA
dMdA
FMrF
drFdA
Z
Z
Z
Для постоянного момента
Z
Z
MN
Мощность
MA
Пример
2 Н м от 0 до 4 рад сила тяжести
и момент М = 3 совершат работу … Дж.
При изменении углаР= 10 Н
Ответ: 16
РешениеПеремещение груза 2
s
.842 мRs
0
dMsPA
4
0
2 ;3 dsP
.164810 3 DжA
Аналитическая механика
В аналитической механике изучаются наиболее общие методы решения задач механики.
Связи
Связями в динамике называют ограничения, которые
налагаются на положения и скорости точек механической
системы и выполняются независимо от того, какие силы
действуют на систему.
Пример
xy
z
lM1
M2
связиуравнение
lzzyyxx
22
12
2
12
2
12 )()()(
Классификация связей
Связи, не изменяющиеся с течением времени, называются стационарными, изменяющиеся – нестационарными.В уравнения нестационарных связей явно входит время t.
Связи, налагающие ограничения только на координаты точек
системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости –
кинематическими или дифференциальными.
Кинематическую связь, которую интегрированием можно свести
к геометрической, называют интегрируемой.
Пример: качение без скольжения
RC
CV
RVC
RxC
Геометрические и интегрируемые кинематические связи (вместе)
называют голономными, неинтегрируемые
дифференциальные связи – неголономными.
Механические системы с неголономными связями мы не
изучаем.
Связи, налагающие ограничения, которые сохраняются при любом
положении механической системы, называются удерживающими.
Связи, от которых система может освободиться,
называются неудерживающими.
Удерживающие связи математически выражаются
уравнениями, неудерживающие – неравенствами.
Пример
22
12
2
12 )()( lyyxx
22
12
2
12 )()( lyyxx
:Пример
0),,,,( txzyxf
аянеголономн
рнаянестациона
связь
ющаянеудержива
Виртуальные (возможные) перемещения
Виртуальным перемещением механической системы называют
любую совкупность элементарных перемещений ее точек
из занимаемого в данный момент положения ,
допускаемую наложенными на систему связями.
В изображении виртуального перемещения используют символ
),,( 21 nrrr ,
Число независимых между собой виртуальных перемещений
механической системы называется
числом степеней свободы этой системы.
У механической системы с голономными связями
число независимых координат, определяющих положение системы,
совпадает с числом степеней свободы.
Пример. Число степеней свободы механизма …
Ответ: 2
Виртуальная работа
А = Fk· rkk = 1
n
Дадим системе виртуальное перемещение и подсчитаем элементарную работу сил
на этом перемещении
Идеальные связиСвязи называются идеальными,
если работа реакций связей на любом виртуальном перемещении системы
из любого ее положения равна нулю.
Условие идеальности связей:
Примеры идеальных связей
n
kKK rR
1
0
1.
R
r
0 rRA
R
0r
2.
N
Fсц
0r
3. Качение без проскальзывания
R r
4.
0 rRA
AB
RA
RB
VA
VBRA=-RB
Сумма мощностей:
5.
.0
.)(
BAB
BAAB
ABB
BBAA
VRN
VVV
VVR
VRVRN
Вывод: стержень с шарнирами на концах является идеальной связью.
Принцип виртуальных перемещений
(АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА)
Система материальных точек находится в равновесии,
если силы, действующие на каждую точку системы,
взаимно уравновешиваются и скорости всех точек равны нулю.
Для того, чтобы система, подчиненная идеальным
стационарным удерживающим связям, находилась в равновесии,
необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных
сил на любом виртуальном перемещении была равна нулю.
.0
0
1
1
n
kkk
n
kkk
VF
или
rF
Вместо работы на виртуальном перемещении можно рассматривать
мощность на виртуальном движении системы
Замечания
• Если есть неидеальные связи, то их реакции (например, силы трения) следует отнести к активным силам.
Если требуется определить реакцию идеальной связи,
следует мысленно отбросить эту связь,
а соответствующую ей реакцию рассматривать как активную
силу.
Считая силу F известной,
определить силу Р при равновесии
системы.
F
P
120
Пример 1
Решение
F
P
120
PVFV
0 FP VFVP
030cos FP VV
0)30cos( 0 FVFP
3
230cos 0
FFP
Определить усилие в
стержне 1 фермы, если
F=6 kH.
F
6060
1
23
A
B
C
Пример 2
SS CV
BV
Уравнение связи:
0
0
60cos
30cos
C
B
V
V
Принцип:
0
30cos
1
0
C
B
VS
VF
F
A
B
C
Решение
kHS 31
Кинетическая энергия
материальной точки:
2
21
mV
Кинетическая энергия
T = mkvk
2
k=1
n12
Кинетическая энергия системы –это сумма кинетических энергий точек, входящих в систему
Теорема Кёнига
rC TVmT 2
2
1
Кинетическая энергия механической системы равна сумме
кинетической энергии поступательного движения c
центром масс системы и кинетической энергии движения
системы относительно центра масс.
Рассмотрим движение механической системы в двух
системах координат: неподвижной и подвижной.
01x1y1z1 - неподвижная система
Система координат 02x2y2z2 перемещается поступательно.
k
y2
x2
z2
O2
Mk
ro
rk
y1
x1
z1
O1
Вектор rk определяет положение точки относительно неподвижной системы координат, а вектор k - относительно подвижной системы координат;
;kOk rr
дифференцируем уравнение по времени:
;rkOk VVV
Tr = mkvk r2
k=1
n12
- кинетическая энергия системы относительно подвижной системы
координат
vk r - скорость точки относительно подвижной системы координат
= mkv0
2 +12 mkv0 vk r +
+ mkvk r2 =1
2
+ v0 mkvk r +
v0
2 mk +12
Tr
T = mk(v0 + vk r)
2 = k=1
n12
mk k
mc =
Дифференцируем по времени:
c - радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы относительно подвижной системы координат
;rkkrC VmVm
0vc r =
Совместим начало подвижной системы координат с центром масс системы:
vc r - скорость центра масс относительно подвижной
системы координат
Получили формулу Кенига
Кинетическая энергия твёрдого тела
При поступательном движении:
mkvk
212T = vk = v
T = v
2 mk =12 v
2 m
12
T = v
2 m
12
Кинетическая энергия системы
где
При вращательном движении:
z
hkMk
vk
mkvk
212Tk =
vk = hk
mk hk
2 212Tk =
mkvk
2 =12T = 2mk hk
212
mk hk
2 = Iz
T = 2 Iz
12
Кинетическая энергия системы:
- момент инерции тела
При плоскопараллельном движении
m v0
2 +12
кинетическая энергия определяется по формуле Кенига -
T = m vC
2 +12 2 1
2 CI
T = Tr
Пример. Дано: r, m - радиус и масса однородного диска.
Vc - скорость центра масс.Диск катится без скольжения.
Определить кинетическую энергию диска.
С
rCV
2c
2c ωI
2
1mV
2
1T +=
r
Vω c=2
C mr2
1I =
=••+= 2
2C22
c r
Vmr
2
1
2
1mV
2
1T
2CmV
4
3=
Силовое поле
Силовым полем называется область, в каждой точке которой на
помещенную в нее материальную точку действует сила, однозначно
определенная по величине и направлению в любой момент
времени.
Силовое поле называется стационарным,
если проекции силы не зависят от времени.
• Стационарное силовое поле называется потенциальным,если существует такая функция координат П(x,y,z), называемая потенциальной энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:
Потенциальная энергия определяется с точностью до
постоянного слагаемого.
Потенциальная энергия в данной точке равна работе,
производимой силами поля при перемещении точки
из данного положения в начальное положение,
в котором она равна нулю.
Работа силы по любому замкнутому контуру в
потенциальном силовом поле равна нулю.
Потенциальная энергия поля силы тяжести
• Если принять • П(0)=0, • то П(z)=mgz
Z
mg
z
O
Потенциальная энергия восстанавливающей силы
пружины
20
2
21
xxСП
oxx, - конечное и начальное удлинения пружины
Обобщенные координатыи
обобщенные скорости
Рассматриваем только системы с геометрическими связями
(голономные). У такой системы число независимых
координат, определяющих положение системы,
совпадает с числом степеней свободы.
Независимые между собой параметры любой размерности,
число которых равно числу степеней свободы системы
и которые однозначно определяют ее положение,
называют обобщенными координатами
системы.
q - обобщенная координатаs –число степеней свободы
Положение системы определяется обобщенными
координатами
.,,, 21 sqqq
Производные обобщенных координат по времени называются
обобщенными скоростями
.,,, 21 sqqq
.
,
;
,
скоростьугловаяqто
уголqесли
скоростьлинейнаяqто
величиналинейнаяqЕсли
Вектор виртуального перемещения точки
s
ki
i
kk q
qr
r1
Радиус-вектор любой точки системы
.),,,( 21 skk qqqrr
Обобщенные силы
Составим сумму элементарных работ сил системы на ее
виртуальном перемещении:
n
kkk rFA
1
Перейдем к обобщенным координатам
;1 1
n
k
s
ii
i
kk q
q
rFA
Изменим порядок суммирования
.1 1
s
ii
n
k i
kk q
q
rFA
Введем обозначения
.,,2,1
,1
si
qr
FQn
k i
kki
Виртуальная работа
s
iii qQA
1
.2211 ss qQqQqQ
Обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных
координат в выражении элементарной работы
действующих на систему сил.
Вычисление обобщенных силСообщим системе виртуальное перемещение:
)0,,0,0( 21 sqqq
Виртуальная работа .111 qQA
Обобщенная сила
И так далее.
.1
11 q
AQ
Вместо виртуального перемещения можно рассматривать виртуальное
движение
)0,,0,0( 21 sVVV
Виртуальная мощность .111 VQN
Обобщенная сила
И так далее.
1
11 V
NQ
Если все действующие на систему силы потенциальны, то
.,,,2
21
1s
s qП
QqП
QqП
Q
Пример
.
.300
10
120
3,0
:
2
QНайти
HG
мНМ
мНМ
мR
Дано
тр
.
МтрM
2G
Решение
.
2G
МтрM
Виртуальное движение:
2,0 V
02V
Уравнение связи:
RV2
Мощность:
.2
22
RGMM
VGMM
N
тр
тр
Q
мHQ
RGMMQ тр
20
2
Общее уравнение динамикиПринцип виртуальных перемещений
дает общий метод решения задач статики.
Принцип Даламбера придает уравнениям динамики вид уравнений
статики.Их совместное применение
приводит к принципу Даламбера-Лагранжа:
- общее уравнение динамики.
При движении материальной системы с идеальными связями сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном
перемещении равна нулю.
(Fk – mk ak) rk = 0
Пример
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Преобразование общего уравнения динамики позволяет получить
уравнения Лагранжа :
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,
Т - кинетическая энергия системы
s- число степеней свободы
координатыобобщенныеqi
силыобобщенныеQi
• Изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему. Реакции идеальных связей не изображать. Силы трения присоединить к активным силам.
• Определить число степеней свободы и ввести обобщенные координаты.
Порядок решения:
• Вычислить кинетическую энергию системы,выразив ее через обобщенные координаты и скорости;
• Найти обобщенные силы системы;
• Выполнить действия, указанные в уравнениях Лагранжа.
Частное дифференцирование:
При частном дифференцировании все величины в скобках
рассматриваются как независимые
),,,,,,,,( 2121 tqqqqqqTT SS
Пример 1
Дано: АВ=L, ползуны безмассовые, связи идеальные
(нет трения).
Составить дифференциальное
уравнение движения.
С
X
А
В
Y
γ
mg
Решение
1. gm2. S=1, q
3. 22
21
21 CC JmVT
22
,ll
VC
Р.
122mlJC
22
61 mlT
4.Обобщенная сила
CV
.Р
С
gm
А
В
Виртуальное движение:
Виртуальная мощность:
sin2
sin
lmg
mgVN C
sin21
mglQ
CBA VVV ,,,0
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,
222
31
61
mllmqT
i
061 22
lm
qT
i
22
31
31
lmlmdtd
qT
dtd
i
0sin21
31 2 lgmlm
Особенности применения уравнений Лагранжа к
системам с неидеальными и неудерживающими связями
Уравнения Лагранжа для случая потенциальных сил
i
i qQИмеем
:
0
iii qqT
qT
dtd
Функция Лагранжа L=T-П
Tqq
Тпоэтому
ii
,iqотзависитне
энергиянаяПотенциаль
Уравнения Лагранжа (силы потенциальны)
0
ii qL
qL
dtd
1 2
Пример. Дано: .;; 021 lCmmm Определить закон движениясистемы (начальные условия ?)
С–коэффициент жесткости пружины
0l - свободная длина пружины
Общие теоремы динамики
Теорема об изменении кинетической энергии системы
Дифференциальная форма:• Полная производная кинетической
энергии по времени равна сумме мощностей всех внешних и
внутренних сил, приложенных к системе.
ie NNdt
dT
Для точки второй закон Ньютона
Ftd
VdmFam
Умножим ур. на V VFtd
VdVm
VFmV
td
d
2
2
Ntd
dT
Пусть система состоит из n материальных точек.
Делим все силы, действующие на систему, на внешние и внутренние и для каждой точки запишем теорему об изменении кинетической энергии:
k k k
i
k
e
kk NN
dt
dT
ie NNdt
dT
nkNNdt
dT ik
ek
k ,,2,1,
Если система переместилась из начального положения в конечное, то в интегральной форме теорема об изменении кинетической энергии будет иметь вид:
T - T0 = ie AA
Изменение кинетической энергии системы при перемещении ее из
начального положения в конечное равно сумме работ внешних и внутренних сил.
ЗАМЕЧАНИЯ
• Кинетическая энергия составляется по абсолютным скоростям.
• Не требуется учитывать реакции идеальных стационарных связей и внутренние силы твердого тела и нерастяжимой нити.
• Теорема дает одно скалярное уравнение.
Пример 1
• Однородный цилиндр катится без скольжения.
• Найти ускорение центра С.
Какой вариант теоремы применить?
с
030
NdtdT 22
21
21 CC JVmT
RVC
2
2RmJC
2
43
CVmT
.
mg CV30
c 030sinCVgmN
CC aVmdtdT
23
21
30sin 0
21
23
CCC VgmaVm
3g
aC
Пример 2Чтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную
угловую скорость … рад/с.
Решение
T - T0 = ie AA
;RgmA
Т=0;
о
;2
3 20 RmJ ;
2
1 2000 JT
;4
3 20
2 mgRmR .3
20 R
g
Закон сохранения полной механической энергии
• Если все силы потенциальны, то
ППAk 0
constПТПТ 00
При движении под действием потенциальных сил сумма
кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее
положении остается постоянной.
В предыдущем примересила тяжести – потенциальная,
значит, применим закон сохранения энергии.
ПримерЧтобы однородный диск из показанного на рисунке положения повернулся на четверть оборота, ему надо сообщить начальную
угловую скорость … рад/с.
Решение
constПТПТ 00
В начальном положении:
.0,4
30
20
20 принялиПRmT
В конечном положении:
.,0 RgmПT
.,4
30
20
2 RmRgm
Количеством движения материальной точки называется
векторная величина, равная произведению массы точки на ее
скорость
Vm
Тема: Теорема об изменении количества движения
vk = r k
- количество движения системы: сумма количеств движений точек, входящих в систему
Q = mkvk k=1
n
dr k
dt=Q = mk
k=1
nddt
n
kkk rm
1
Q = ddt
(mr c ) Q = mdr c
dt
=>- количество движения системы: произведение массы системы на скорость ее центра масс
CVmQ
А
В
D
VD
VA
системыQ
Определить
VVV
mmmm
Дано
DA
BDA
:
.
:
Пример
2 варианта решения:
CVmQ .1 k
kkVmQ.2
b
PAD
B.
C
0 DA QQ
030cos2
bbV
PBV AB
3VVB BVmQ
VmQ 73,1DV
BV
AV
Элементарным импульсом силы называется векторная величина
dtFSd
Импульс силы за конечное время t:
t
dtFS0
Пример. F
Определить импульс силы F ,равномерно движущейся поокружности и совершающейполный оборот за время Т.
Ответ: S=0
Теорема об изменении количества движения механической системы в
дифференциальной форме:
производная по времени вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.
dQdt
= F e
eFQ
- количество движения системы
- главный вектор внешних сил
Следствия :
1)
Если F e = 0 ,
то
Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то вектор количества движения постоянен по величине и направлению .
constQ
2) Если сумма проекций внешних сил на ось равна нулю, то проекция
количества движения системы на эту ось есть величина постоянная
.
,0
constQто
FЕсли
x
ex
Следствия выражают закон сохранения количества движения
системы.
• Из них следует, что внутренние силы не могут изменить количество движения системы.
Рассмотрим доказательство теоремы
dvk
dt= mk
Fk
e + Fk
i
ddt
mkvk =
F e
dQdt
= F e
Для системы точек:
Теорема об изменении количества движения:
Теорема об изменении количества движения системы
в интегральной форме
Изменение количества движения системы за конечное время равно сумме импульсов внешних сил за
то же время
е
kSQQ
01
Пример
1
2
s
покойt
мts
кгmкгm
Дано
0
,)(cos05,02,0
,8,2
:
21
ctctмоментыв
теласкоростьОпределить
5,0,2
2
21
Решение 0 x
ekS Закон
сохранения:
0 Oxx QconstQ1
2
s 1V
2VxО
2211 VmVmQx
tVSVV sin
20221
0sin20 2221
VmtVm
tmm
mV
sin2021
12
tV sin0314,02
:2)1 1 ct 02sin 0)( 12 tV
ct 5,0)2 2 12
sin
222 0314,0)(см
tV
Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс мало отличаются одна от другой. Действительно:
CC amVmtd
d
td
Qd
ekF
td
Qd ekC Fam
Момент количества движения
(Кинетический момент)
Моментом количества движения материальной точки относительно центра О называется векторная
величина, определяемая равенством
VmrVmM O
)(
оr
Vm
K0 = K0k = k=1
n
rk mkvk k=1
n
Момент количеств движения системы:векторная сумма моментов количеств движения точек, входящих в систему.
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси
Другое название:кинетический момент
Кинетический момент системы может рассматриваться как
характеристика ее вращательного движения
z
hzdm v
v =z·hz
v dm = z hz dm
v dm hz = z hz2 dm
момент количества движения точки:
Количество движения точки массой dm :
Для тела кинетический момент относительно оси вращения:
)(
2
V
zzz dmhK
Kz = zzJ
V
z mdhJ 2
Пример
z
)(
:
10
5,0
3,0
:
1
1
2
2
tK
Определить
ct
радt
мкгI
Дано
z
z
Решение
tz с
радtz 101
смкг
tItK zzz
2
11 3103,0
При плоском движении:
о
y
x
cCV
zCCOZOZ IVmMK )(
rc
или
.zcccOz JVmrK
Пример. Дано:
1
2
A
B
P
R
R
.15,0
,3,6 2
мR
кгmс
рад
Определить кинетичес-кий момент колеса 2относительно точки Р.
?PK(Кепе, 14.5.13)
Теорема об изменении кинетического момента механической системы
(теорема моментов)
Производная по времени вектора кинетического момента системы
относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил
относительно того же центра.
)( e
kOO FM
dtKd
О – неподвижный центр
(1)
Следствия :
1)
Если M0
e = 0 ,
Если главный момент внешних сил системы равен нулю, то вектор кинетического момента системы - величина постоянная.
то K0 = const
2) Если проекция главного момента внешних сил на какую-
либо ось равна нулю, то кинетический момент
относительно оси - величина постоянная.
Если Mxe = 0 , то Kx = const
=dKx dt
Mxe
=dKz dt
Mze
=dKy dt
Mye
Теорема в проекциях на оси координат
Доказательство теоремы
Для материальной точки по второму закону Ньютона
Ftd
VdmилиFam
Пусть r - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно какой либо системы координат.Умножим векторно слева уравнение на r:
внесем r под знак дифференциала:
Frtd
Vdmr ;
r m =dvdt
ddt
(r m v ) - dr
dt m v-
K0 = r m v
M0 = r F
Обозначим:
- момент количества движения точки
относительно центра О
- момент силы F относительно центра О
=0
Получили теорему об изменении момента количества движения
материальной точки
ddt
(r m
v )=M0
M0=dK dt
о
=dK01 dt M0 ( F1
e ) + M0 ( F1
i )
. . . . . . . . . . . . . . .
=dK0n dt M0 ( Fn
e ) + M0 ( Fn
i )
Для всех точек системы:
k=1
n
=dK0k dt
M0 ( Fke
) + M0 ( Fki )
k=1
n
k=1
n
Почленно сложим уравнения системы:
M0
e k=1
nddt
K0k =
=0
M0
e=dK0 dt
(1)
Пример
Дано:m1, J2, Mтр.Найти:
Решение
ekoz
oz FMdt
dK
о
трM
1G
x
y
о
трM
1G
RVmJKoz 12
RV .2
12 RmJKoz
.1 трe
koz MRGFM
трMRgmRmJ 12
12
212
1
RmJ
MRgm тр
P
Что будет, если при применении теоремы
выбрать подвижный центр ?
Р?
Теорема об изменении кинетического момента (для произвольного
подвижного центра Р)1.Кинетический момент механической системы в сложном движении
Ox1y1z1 – неподвижная система коорд.Pxyz – движется поступательно;С – центр масс.
mkVkBk
rk
k
y
z
Prp
.c
xO
x1
z
y1
(*)kpk rr
.kkkkkpkkk VmVmrVmr
Для точки:
Пусть k=1,2, …,n. Просуммируем:
Если Р совпадает с С:
2.Теорема для неподвижного центра:
(**).pcpo KVmrK
.ccco KVmrK
k
eko
o FMdtKd
)1(
k k k k
ekk
ekp
ekk
eko FFrFrFM .
;dt
KdamrVmV
dt
Kd pcpcp
o
.
k
ekk
k
ekp
pcpcp
FFr
dt
KdVmVamr
.ekpcp
p FMVmVdt
Kd(2)
Выводы:1.Для подвижного центра уравнение (1) несправедливо.2.Если в качестве подвижного центравзять центр масс С, то уравнение (2)примет форму уравнения (1):
.ekc
c FMdtKd
3.Если ,// cp VV то уравнение (2)имеет такой же вид, как уравнение (1).
Пример
M
сR
Дано: R,Jc,M. Найти: .
Решение
“O” или “P” ?
G
M
рN
FТо x
y
VP
VC
CP VV //
.PP M
dt
dKс
.2
3
222
22 RmRm
RmRmJJ CP
; PP JK
;
;2
3 2
MFM
RmK
kP
P
;2
3 2 MRm
.3
22Rm
M
C
P
CV
PV
Удар
Явление, при котором скорости точек тела за очень малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.
Силы, возникающие при ударе, будем называть ударными силами .удF
Время удара обозначим через Действие ударной силы оценивают ударным импульсом
0
.dtFS удуд
Ударный импульс – конечная величина.
Обозначения:
V
V
скорость точки до удара
скорость точки после удара
Применим к явлению удара теорему об изменении количества движения:
,SVVm
Изменение количества движения материальной точки за время удара
равно действующему на точку ударному импульсу.
Это – основное уравнение теории удара.
Основные положения теории удара:
1.Удар происходит мгновенно.2.Тело при ударе не изменяет своего положения.3.Действие неударных сил (таких, как сила тяжести) можно не учитывать.4.Изменения скоростей точек тела завремя удара определяются основным уравнением теории удара.
Пример.(не конспектировать!) Стальной шарик массой 100 г падает с высоты 4 м,
ударяясь о плиту со скоростью 9 м/с и отскакивая со скоростью 5 м/с.
Продолжительность удара ;0002,0 cСредняя сила удара 7000 Н.
Анализ:1.Средняя сила удара в 7000 раз больше силы тяжести шарика.
2.Время удара в 5000 раз меньше времени падения (1секунда).
3.Во время удара шарик соприкасался с плитой, координата его центра масс (в сравнении с высотой падения 4 м) менялась очень мало.
Коэффициент восстановления(гипотеза Ньютона)
Коэффициент восстановления равен отношению модуля нормальной составляющей относительной скороститочек контакта тел после удара к его значению до удара.
nB
nA
nB
nA
VV
VVk
..АВ
AV
AVBV
BVn
А, В – точки контакта
Относительные скорости точек контакта:
BA VV скорость сближения перед ударом;
BA VV скорость разлета после удара.
Коэфф. восстановления учитывает физические свойства тел. Определяется экспериментально.
При прямом ударе тела о неподвижную преграду
коэффициент восстановления равен отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в
начале удара: k=V+/V- .V
VS
n
Предельные случаи:
- абсолютно упругий удар (k=1);
- абсолютно неупругий удар (k=0).
В первом случае (k=1) кинетическая энергия после удара
полностью восстанавливается,
во втором (k=0) вся кинетическая энергия теряется на нагревание, деформацию и пр.
Теорема об изменении количества движения механической системы
при ударе
Изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.
ekSQQ 01
В проекциях на любую координатную ось x
ekxxx SQQ 01
Импульсы обычных сил при ударе не учитывают.
Следствия:
1.Если геометрическая сумма всехвнешних ударных импульсов равнанулю, то количество движения системы за время удара не изменяется. 2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения системы.
смjiV /23
(1,8 2,4 )S i j Н с
... ( / )V м с
Пример 1. На материальную точку массой 0,6 кг, движущуюся со скоростью
подействовал ударный импульс
После удара модуль скорости
,
.
.
Решение
Основное уравнение теории удара
,SVVm Vm
SV уд
;
jijiV 236,0
4,2
6,0
8,1
./6;6 смVмодульjV
смV /101 смV /22
кгmкгm 1,3 21 ... /V м с
Пример 2. После абсолютно неупругого удара тел с массами
их общая скорость
.
.
Решение
0еудS QQ
221121 VmVmVmm
21
2211
mm
VmVmV
.8
с
мV
Теорема об изменении кинетического момента механической системы (теорема моментов) при ударе
Изменение за время удара кинетического момента системы относительно какого-нибудь центраравно сумме моментов относительно
ekooo SMKK
того же центра всех действующих на систему внешних ударных импульсов.
В проекциях на любую ось x
Следствия:1.Если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудьцентра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы
.ekxxx SMKK
относительно этого центра (или оси) за время удара не изменяется.
2.Внутренние ударные импульсы не могут изменить кинетический момент системы.
Пример 1
.AB.bbbx
y .
Дано: Однородный куб,
2
32
bmJ Az
015k=0, V0=0.
Куб после удара об упор:
а) остановится,
б) опрокинется.?
1.Определим скорость перед ударом
;sin bgmA
Т0=0; 2
21
VmT
ATT 0
sin2 bgV
2. Удар .удBzBzBz SMKK
0удBz SM BzBz KK
;2b
VmKBz ; BzBz JK
(1)
Подставляем в (1):
.sin2
43 b
gx
удS
В
Vm
y
Условие опрокидывания:
В
045
С
G.
;0 ATT
20 2
1 BzJT
.45cos122 0
bgm
A
0
1T
A
ATT 0 >0
Результат вычислений:
1>0,97
Вывод:
куб опрокинется.
Н с/рад с
Пример 2. Однородный стержень массой 4 кг двигался поступательно. После приложения ударного импульса S=1,6
угловая скорость .
Решение
SS
x
y
CS
.2
,l
SSSM z
удCzCzCz SMKK 0CzK;
CzCz JK12
2lmJCz
212
2 lS
lm
lm
S6
с
рад2;
;
Пример 3. После удара об упор угловая скорость 3,5 /рад с ;
коэффициент восстановления Угловая скорость
k = 0,7.перед ударом
/рад с .O
Решение
V
Vk ;
l
l .
k
./57,05,3 срад
Удар материальной точки об идеально гладкую поверхность
n
S
V
V
Зная скорость
,Vдо удара и величину k,найдем скорость ,Vпосле удара и ударный импульс S .
Поверхность идеальногладкая, .SnS Используем основное уравнение теории удара:
.nSVVm
В проекциях на оси nи
,0 VV .
1S
mVV nn
Касательная составляющая скоростисохраняет величину и направление.
Нормальная составляющая меняет направление, а величина ее .nn VkV
Из чертежа:
n
S
V
V
,cos VV n ,sin VV
,cos VV n .sin VV
;sin
sin
VVVVИз
n
n
V
Vk
cos
cos
V
V
sincos
cossin.
ctg
ctg
ctgkctg Ударный импульс
.nn VVmS .nn VkVНо
cos1 VkmS
Импульс максимален при прямом 0 абсолютно упругом 1kударе:
При прямом абсолютно неупругом (k=0) ударе .mVS
.2 mVS
Пример Дано:n
V V
,45,1 0 смVk=0,5.
Найти: ., V
Решение
ctgkctg ;6263,5,0 0 ctg
.8945,0sin
sin
sin VV .79,0
8945,0
707,01
с
мV
Колебания
Устойчивость положения равновесия
Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если, выведенная из этого положения малым возмущением, во все последующее время она движется в малой окрестности положения равновесия или возвращается к нему.
.G
a)
G
б)
Теорема Лагранжа - Дирихле
Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то равновесие системы в этом положении является устойчивым.
Это условие – достаточное.
Для консервативной системы с одной степенью свободы достаточные
условия устойчивости положения равновесия имеют вид:
.0,00
2
2
0
qП
qП
Пример. Механическая система состоит из обращенного математического маятника массой m и длиной l и
спиральной пружины с коэффициентом жесткости С. При каких значениях
параметров верхнее положение равновесиямаятника будет устойчивым?
Решение
Для рассматриваемой системы
;cos121 2 lgmCП
!4!2
cos142
отбросим
.2
2lgmCП
;0)( 00
lgmCП
,002
2
lgmCП
или C > mgl - условиеустойчивости.
Свободные прямолинейные колебания материальной точки
.xx
F MO
сила
ивающаявосстанавлF
Fx=-Cx Дифференциальное уравнение движения:
.CxxmилиFxm x
Обозначение: С/m=k2,
- дифференциальное
уравнение свободных линейных колебаний при отсутствии сопротивления.
Общее решение имеет вид x=C1sinkt+C2coskt
или
02 xkx
.)sin( tkAx (1)
Скорость точки
.cos ktkAxVx
Колебания, совершаемые точкой по закону (1), называются гармоническими колебаниями.
А – амплитуда колебаний;
tk фаза колебаний;
начальная фаза.
(2)
k – круговая частота колебаний.
Промежуток времени Т, в течение которого точка
совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Период .2k
T
:
,,
колебанийчастотойназывается
периодуобратнаяВеличина
;1 T
.1
,
секундузахсовершаемы
колебанийчисло
условиямначальнымпо
иАеОпределени
Начальные условия:при t=0 x=xo и Vx=Vo .
Из (1) и (2) получим:
.cos,sin 00 A
kV
Ax
Отсюда найдем:
,220
20 kVxA .00 Vxktg
Свойства свободных линейных колебаний
1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных
условий.
2.Частота k и период Т колебаний не зависят от начальных условий
и являются неизменными характеристиками данной колебательной системы.
Отсюда, в частности, следует, что еслив задаче требуется определить толькочастоту (период) колебаний, то надосоставить дифференциальное уравнение движения в виде
02 xkx ,
после чего k определяется без интегрирования.
Влияние постоянной силы на свободные линейные колебания точки
На точку М действуют: - восстанавливающая сила
F ;
- постоянная сила .P
x.y
O O1
ст xM PF
Модуль .OMCF
Положением равновесия, относит. которого колеблется точка М, будетточка О1. .СРст
ст статическое отклонение.Составим дифф. уравнение движения:
., PPxCF xстx
;xx PFxm
;PxCxm ст
;0 PC ст
.02 xkxилиxCxm
Вывод:
Постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения .ст
Пример. Определить период малых
свободных колебаний однородного диска массой 2 кг ;
коэффициенты жесткости пружин С1=900 Н/м, С2=700 Н/м.
С1
С2
x
y
ez
z Mdt
dK
. JJK z
RRCRRCM ez 21
.2
2RmJ .2
21 RCCM ez
.02
21 CCm
02 k
.2
221
2
RCCmR
.221 CC
mk
.20
2c
kT
Свободные колебания при наличии вязкого трения
Пример
Вынужденные колебания
Малые свободные колебания линейной системы с двумя степенями
свободы
Пусть положение системы определя-ется обобщенными координатами q1,q2
и при q1=q2=0 система находится в устойчивом равновесии.
Тогда, с точностью до квадратов малых величин,
;221 2
22221122111 qaqqaqaT
.221 2
22221122111 qcqqcqcП
Подставим Т и П в ур. Лагранжа:
.2,1
,0
i
qП
qT
qT
dtd
iii
i=1. 01
qT
;2121111
qcqcqП
;2121111
qaqaqT
.0212111212111 qcqcqaqa
i=2 ;02
qT
;2221122
qcqcqП
;2221122
qaqaqT
.0222112222112 qcqcqaqa
Дифференциальные уравнения колебаний линейной системы с двумя
степенями свободы:
.0222112222112 qcqcqaqa (1)
Будем искать решение ур. (1) в виде:
,sin1 ktAq .sin2 ktBq (2)
.0212111212111 qcqcqaqa
,021212
21111 BkacAkac
.022222
21212 BkacAkac
(3)
Чтобы уравнения (3) давали для А и В решения, отличные от нуля, опреде-литель системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при Аи В должны быть пропорциональны
.22222
21212
21212
21111 n
AB
kackac
kackac
(4)
Для определения k2 получаемуравнение частот:
.022
12122
22222
1111 kackackac
Корни 22
21 , kk вещественны и
положительны.
Корням k1, k2 соответствуют две совокупности частных решений:
(5)
.sin
,sin
22222
2
2222
1
tkAnq
tkAq(6)
21 nиn найдены из (4) при k=k1
и k=k2 соответственно.
;sin
,sin
11111
2
1111
1
tkAnq
tkAq
Колебания, определяемые уравнениями (5) и (6), называются главными
колебаниями, а их частоты k1 и k2 –собственными частотами системы.
Колебание с частотой k1 (всегда меньшей) называют первым главнымколебанием, а с частотой k2 – вторымглавным колебанием.
Числа n1 , n2 , определяющие отношения амплитуд в каждом из этих колебаний, называют
коэффициентами формы.
Суммы частных решений (5) и (6) будут общим решением уравнений (1):
,sinsin 2221111 tkAtkAq
.sinsin 222211112 tkAntkAnq
Произвольные постоянные А1,А2, 21,определяются по начальным условиям.
Собственные частоты k1,k2 и коэфф. формы n1,n2 не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками колебательной системы.
Пример. Определить собственные частоты и коэффициенты формы
малых колебаний двойного физического маятника,
образованного однородными стержнями 1 и 2 одинаковой
массы m и длины l.
O
A
gm
gm1
C2
Колебания малы:
2121 ,,, малыевеличины
3/21 lmJ O
12/22 lmJ C
222
2210 2
121
21
CC JVmJT 1
AV
O
A
gm
gm1
C2 CAV
;5,0, 21 lVlV CAA
;CAAC VVV
;cos2 12
222
CAA
CAAC
VV
VVV
!21cos 21212 отбр.
;22CAAC VVV .5,0 2
2122 lVC
Сравнивая с
;221 2
22221122111 qaqqaqaT
найдем:
.31
,21
,34 2
222
122
11 lmalmalma
;31
34
21 2
22121
2
lmT
O
A
gm
gm1
C2
.cos12
cos1cos12 211 l
gmlgml
gmП
;2
cos12
Сравнивая с
.221 2
22221122111 qcqqcqcП
.341 2
221 lgmП
найдем: .21
,0,23
221211 lgmcclgmc
Значения aik , cik подставим в уравнение частот
.022
12122
22222
1111 kackackac
Получим: .0727
62
24
lg
klg
k
Корни: .30,2,86,0 21 lgklgk
Подставляя в одно из уравнений (4) сначала k1 , затем k2 , найдем коэффициенты формы:
.22222
21212
21212
21111 n
AB
kackac
kackac
(4)
.10,2,43,1 21 nn
При первом главном колебании оба стержня в каждый момент времени
отклонены от вертикали в одну сторону и
.43,112
При втором главном колебании стержни отклоняются в разные стороны и 10,212
Вынужденные колебанияОбобщенные непотенциальные силы:
.sin,sin 2211 ptHQptHQ Дифф. ур. колебаний:
р – частота возмущающих сил.Частное решение:
.sin,sin 2211 ptAqptAq
.sin
,sin
2222121222121
1212111212111
ptHqcqcqaqa
ptHqcqcqaqa
.
,)(
222
222212
2121
122
121212
1111
HApacApac
HApacApac
02 p
.21
212122
211112 pHpacHpacA
.222
221
2122211
2 pkpkaaap
,/ 22
212121
222221 pHpacHpacA
21 , kpkp условиярезонанса
При вынужденных колебаниях линейной системы с двумя
степенями свободы резонанс возникает дважды:
(р– частота возмущающей силы).
21 kpприиkp при
Динамический поглотитель колебаний
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt ;22
221
221
1 qqm
qm
T
;2
1
2
1 222
211 qcqcП
212111
qqmqmq
T
;111
qcq
П
222
qcq
П
;2122
qqmq
T
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt ,sin11
22121
ptHqc
qmqmm
.022
2212
qc
qmqm
.sin
,sin
22
11
tpBq
tpBq
.0
,
22
2212
2
22
212
211
BpmcBpm
HBpmBpmmc
;422
222
2211 pmpmcpmmc
.0
2222
22
22
1 pmcHpmc
pmH
Для q1 амплитуда .11 B
.2
2
222
221
p
mcmHpmcH
B
С2
2
22 mc парциальная частота
Если ,22 mcp то В1=0 и .01 q
.22
cHB
Динамический поглотительколебаний.
1
2
С1
С2
l1+q1
l2+q2
F
F=Hsinpt
.sin
,sin
22
11
tpBq
tpBq
,22 mcp
В1=0 .01 q
.22
cHB
q1=0
Сведения из теории моментов инерции
Центробежные моменты инерции
z
x
ydm
)(
)(
)(
,
,
V
zx
V
yz
V
xy
dmzxI
dmyzI
dmxyI
Ось Z называется главной, если центробежные моменты инерции,
содержащие индекс оси, оба равны нулю
Ось называется центральной, если она проходит через центр масс тела
)0( ZXYZ II
Динамические реакции подшипников при вращении тела вокруг неподвижной оси
z
xy
B
A yA
xA
yBxB
F
и
F1
e
F2
e
F
и
Fne
zA
,AB =h
kDkr
k
k
Axyz – вращается вместе с телом;
XA,YA,ZA,XB,YB –
– вращаются с телом.
y
x
kkr
kkk rx cos
kkk ry sin
и
nkFи
kF
Для точки Dk :
;; 2 kkи
knkkи
k rmFrmF
kи
kkи
knи
kx FFF sincos
;2 kkkk ymxm
ku
kku
knu
ky FFF cossin
;2 kkkk xmym .0u
kzF
Главный вектор сил инерции:
n
k
ukz
uz
n
k
uky
uy
n
k
ukx
ux
FF
FF
FF
1
1
1
;
;
;
Главный вектор сил инерции:
.0
,
,2
2
и
z
cc
и
y
cc
и
x
F
xmymF
ymxmF
Моменты сил инерции в точке Dk
относительно осей: ku
kyu
kx zFFM;2 kkkkkk xzmzym
ku
kxu
ky zFFM
;2 kkkkkk zymxzm =
;2 kkku
ku
kz rmrFFM
Главный момент сил инерции:
.
,
,2
2
z
и
z
zxyz
и
y
yzxz
и
x
IM
IIM
IIM
Здесь
n
kkkkzx xzmJ
1
, и т.д.
Уравнения кинетостатики:
,02 CCBAkx myxmXXF
,02 CCBAky mxmyYYF
,0Akz ZF
,02 yzzxBkx JJhYFM
,02 zxyzBky JJhXFM
.0zkz JFM
Выполним разложение:
.., дтиXXX d
A
CT
AA
Для динамических реакций:
.0
,0
,0
,0
2
2
2
2
zxyz
д
B
yzxz
д
B
CC
l
B
д
A
CC
д
B
д
A
IIhX
IIhY
mxmyYY
mymxXX
Динамическая реакция в т. В:
.1
,1
,1
4222
2
2
YZZX
д
B
YZZX
д
B
ZXYZ
д
B
IJh
R
IIh
Y
IIh
X
Условия отсутствия динамических реакций:
Izx=Iyz=0; xc=yc=0.
Ось вращения должна быть главной центральной осью
инерции тела
Динамическая балансировка:
Лазерная
Электронная
Механическая
Точность
Гироскопический момент
`
F
F
+MГ
; zГ JMМодуль
Пара сил ,, FF момент которой равен
гироскопическому моменту, стремится совместить ось гироскопа с осью
прецессии.
.sin zГ JM
Правило Грюэ-Жуковского:
при сообщении оси гироскопапринудительной прецессии ось гироскопа стремится кратчайшим путем установиться параллельно осипринудительной прецессии таким образом, чтобы направления векторов и совпали.
Пример. Гироскопический измеритель угловой скорости (гиротахометр).
;cos zГ JМ
.
1
zГ JМ
для
С – коэфф. жесткости
; zJC
zy
z
zJ
C
Шкала размечена в единицах угловой скорости
Рассмотрим быстро вращающийся ротор, ось которого установлена в подшипниках.
QQ , гироскопические давления наподшипники.
угловая скоростьпринудительнойпрецессии.
МГ - гироскопическиймомент.
.МГ
0,5l0,5l
Q
Q`
Пример. Корабль испытывает килевуюкачку с амплитудой 90 и периодом 15 с. Ось ротора турбины // оси корабля.Масса ротора 200 кг, момент инерцииJ=128 кгм2, n=18000 об/мин;расстояние между подшипниками 1 м.
При этих условиях максимальныегироскопические давления наподшипники Q=16 кН. Это в 16 раз больше нагрузки от веса ротора.
Сравнение принципа Даламбера с общими теоремами динамики
Как следствие принципа Даламберадля механической системы полученыуравнения:
)2(.0
)1(,0иo
еko
иek
MFM
FF
ио
и МF , главный вектор и главныймомент сил инерциисоответственно.
В уравнения (1) и (2) не входят внутренние силы, так как главный
вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.
Главный вектор сил инерции
; kkkkи Vm
dtd
amF
QVm kk Q количество движения системы.
(3).dtQd
F и
Главный момент сил инерции
;dtVd
mramrM kkkkkk
иo
;kkkk
kk Vmrdtd
dt
Vdmr
kkko VmrK
- кинетический момент системы.
.dtKd
M oиo (4)
)2(.0
)1(,0иo
еko
иek
MFM
FF
.dtQd
F и (3)
.dtKd
M oиo (4)
Подставим (3) в (1), (4) в (2), получим:
.
,
еko
o
еk
FMdtKd
FdtQd Теоремы об изменении
количества движенияи кинетического
момента.
Вывод: уравнения принципа Даламбера эквивалентны двум общим теоремам динамики.
Достоинство общих теорем – наличиеследствий (законов сохранения).
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах
- общее уравнение динамики.
(Fk – mk ak) rk = 0
Вектор виртуального перемещения точки
s
ki
i
kk q
qr
r1
Перейдем к обобщенным координатам
;1 1
n
k
s
ii
i
kk q
q
rFA
Изменим порядок суммирования
.1 1
s
ii
n
k i
kk q
q
rFA
Введем обозначение
Аналогично
n
k i
kkk
ui q
ramQ
1
;
.,,2,1
,1
si
qr
FQn
k i
kki
Общее уравнение динамики в обобщенных координатах:
.,,2,1,0 siQQ uii
Число уравнений равно числустепеней свободы механической
системы.
Обоснование ур. Лагранжа
n
k i
kkk
и
i
и
ii
bqr
dtVd
mQ
asiQQ
1
)(
)(,,2,1,0
Имеем:Имеем:
)(cqr
dtd
Vmqr
Vmdtd
q
r
dt
Vdm
i
kkk
i
kkk
i
kkk
Докажем, что
)(,, dqV
qr
dtd
qr
qV
i
k
i
k
i
k
i
k
;,,,1 tqqrr skk
;t
rq
q
rq
q
r ks
s
ki
i
k
1
1
r
td
rdV kk
k
i
k
i
k
q
r
q
V
;22
11
2
tq
rq
r
qqq
r
q
r
dt
d
i
ks
si
k
i
k
i
k
1
1
2
qqq
r
q
V
i
k
i
k
;22
i
ks
is
k
qt
rq
r
i
k
i
k
q
V
q
r
td
d
Сравниваем:
Подставим (d) в (с):
i
kkk
i
kkk
i
kkk
qV
VmqV
Vmdtd
qr
dtVd
m
:;,,2,1
222
222
nk
Vmq
Vmq
Vmqdt
d kk
i
kk
i
kk
i
n
k iii
kkk q
TqT
dtd
qr
dtVd
m1
siQqT
qT
dtd
i
ii
,,2,1,