Октябрь 2008

Оценка стоимости портфеля для целей управления рисками

Косьяненко А.В.

Октябрь 2008Источник: www.sortino.com

Just because you got away with it doesn't mean you didn't take any risk !

Октябрь 2008

Факторы определяющие стоимость портфеля

• Состояние рынка

• Структура портфеля

• Задачи управления портфелем

• Действия по управлению портфелем

• Рынок достаточно ликвиден

• Рынок недостаточно ликвиден

Октябрь 2008

Галактика рисков

Источник: Capital Market Risk Advisors

Октябрь 2008

Часть I

Достаточная ликвидность рынка

Октябрь 2008

Апостериорная плотность

Функция правдоподобия

Априорная плотность

- параметры (случайные величины)

- наблюдаемые данные

Байесовский подход

Октябрь 2008

Количество сделок в январе-марте 2008

Октябрь 2008

Оборот в январе-марте 2008

Октябрь 2008

Модель динамики ценОтносительные цены облигаций удовлетворяют стохастическому

дифференциальному уравнению:

- независимые стандартные винеровские процессы

Tktttt WWWW ),...,,( 21

kttt WWW ,...,, 21

kkk RR , - параметры процесса

Как оценивать параметры ?

Октябрь 2008

Пополнение данных путём заполнения пропусков их условными математическими ожиданиями

Перерасчет мод совместного апостериорного распределения параметров

Моды совместного апостериорного распределения параметров и пропущенных данных

ЕМ алгоритм

;,,

,,

1

uiij

oldon

iij

oiijij

oldij

yyyyE

yyy

y

.,,,cov

,,0

случаепротивномвyyy

yyиyyc

oldoikij

okik

oiijold

ijk

n

i

oldij

newj djy

n 1

,...,1,1

dkjcyyn

newk

newj

n

i

oldijk

oldik

oldij

newjk ,...,1,,

1

1

Октябрь 2008

ЕМ алгоритм: источники

• Впервые предложен:

BAUM L. E. et al (1970).

ORCHARD T., WOODBURY M. A. (1972).

DEMPSTER A. P., LAIRD N. M., RUBIN D. B.(1977).

• Обзор:

MENG X. L., PEDLOW S. (1992).

• Использованная формализация:

GELMAN A. et al (2004)

Октябрь 2008

Байесовское оценивание – случай полных данных

Сопряжённые априорные распределенияСопряжённые априорные распределения

Аналитические решенияАналитические решения; ; высокая высокая скорость вычисленийскорость вычислений

Выборка из многомерного нормального распределения с неизвестным вектором средних и

матрицей ковариаций

Октябрь 2008

Байесовское оценивание – случай неполных данных

Отсутствие сопряжённых априорных семействОтсутствие сопряжённых априорных семейств

Численные решенияЧисленные решения;; низкая низкая скоростьскорость

Непостоянная размерность наблюдений (в зависимости от количества наблюдаемых цен)

Октябрь 2008

Методы Markov Chain Monte-Carlo

( , )all obs misX X X obsX

misX

allX - все данные (наблюдаемые+отсутствующие)

- наблюдаемые данные

- отсутствующие данные

( | )obsp X - сложное распределение

( | , )obs misp X X - простое распределение

Более подробно см. Косьяненко (2007)

Октябрь 2008

Imputation Step

Posterior Step

Генерация отсутствующих данных в наблюдениях

( ) ( 1)~ ( | , )t tmis mis obsX p X X

( ) ( )~ ( | , )t tobs misp X X

Генерация параметров из апостериорного распределения

Марковская цепь(1) (1) (2) (2)( , ), ( , ),... ( , | )dmis mis mis obsX X p X X

Методы Markov Chain Monte-Carlo

Октябрь 2008

Совместное апостериорное распределение тренда и волатильности

Октябрь 2008

Доверительные области максимального правдоподобия

Октябрь 2008

Тестовый пример

52 10

5025,001

0605,02

25,00523,0

05,0450

123,005

,

001,0

0002,0

0004,0

0

0008,0

• 50 случайных векторов.

• 30% случайно распределенных пропусков данных.

• Горизонт прогнозирования 10.

• 10 000 итераций Markov Chain Monte-Carlo.

• Условный портфель по 1 каждого актива.

Октябрь 2008

Тестовый пример

Октябрь 2008

Результаты оценки параметров распределения (средние значения)

Октябрь 2008

Результаты оценки параметров распределения (дисперсии)

Октябрь 2008

Результаты оценки параметров распределения (коэффициенты ковариации)

Октябрь 2008

Результаты оценки параметров распределения (коэффициенты корреляции)

Октябрь 2008

Эмпирическая плотность совместного апостериорное распределение тренда и

волатильности

Октябрь 2008

Применение методов восстановления данных для прогнозирования цен

Октябрь 2008

Распределение прогнозируемых относительных потерь условного

портфеля

Октябрь 2008

Ожидаемая стоимость портфеля и уровни соответствующие различным

уровням значимости VaRReal process

Markov Chain Monte-Carlo

EM алгоритм

Уровень значим

ости

Ож

идаемая стоим

ость

Относительны

й VaR

Квантиль стоим

ости портф

еля

Ож

идаемая стоим

ость

Относительны

й VaR

Квантиль стоим

ости портф

еля

Частота превы

шения потерь

Ож

идаемая стоим

ость

Относительны

й VaR

Квантиль стоим

ости портф

еля

Частота превы

шения потерь

5% 515,95 3,45 512,47 516,56 3,68 512,88 0,0676 516,12 2,95 513,16 0,0873

1% 515,95 4,86 511,10 516,56 5,26 511,29 0,0101 516,12 4,15 511,88 0,0253

Октябрь 2008

Часть II

Недостаточная ликвидность рынка

Октябрь 2008

Многомерная природа ликвидности

BLACK (1971), KYLE (1985)

Октябрь 2008

Понятие стоимости портфеля

• “Номинальная” стоимость (marking-to-market)

• Скорректированная стоимостьLiquidity Adjusted VaR BANGIA et al. (1998)

• Ликвидационная стоимостьНауменко (2007)

Октябрь 2008

Стратегии ликвидации портфеля

• Мгновенная ликвидация (сильно двигает рыночные цены в неблагоприятном направлении).

• Постепенная ликвидация одинаковыми порциями (накапливает потери от колебаний цен).

• Другие стратегии.

Смирнов (2004), ALMGREN R., CHRISS N.A. (1999), JORION (2000)

Октябрь 2008

Функция издержек выполнения операций

Октябрь 2008

Литература• ALMGREN R., CHRISS N.A. (1999) Optimal Execution of Portfolio

Transactions. University of Chicago, Department of Mathematics.• BAUM, L. E., PETRIE, T., SOULES, G., and WEISS, N. (1970). “A

maximization technique occurring in the statistical analysis of probabilistic functions of Markov chains.” Annals of Mathematical Statistics vol. 41,pp. 164-171.

• BAGNIA A., DIEBOLD F.X., SCHUERMANN T., STROUGHAIR J.D. (1998) Modeling Liquidity Risk, With Implications for Traditional Merket Risk Measurement and Management, Warton.

• BLACK F. (1971) Towards a Fully Automated Exchange, Part I. Financial Analysts Journal, vol. 27, pp. 29-34.

• DEMPSTER, A. P., LAIRD, N. M., and RUBIN, D. B. (1977). “Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm (with discussion).” Journal of the Royal Statistical Society B vol. 39, pp. 1-38.

• GELMAN, A., CARLIN, J.B., STERN,H.S., RUBIN, D.B. (2004) “Bayesian Data Analysis.” Second edition. A CRC Press Company, Boca Raton, Florida.

• JORION P. (2000) Value-at-Risk: the New Benchmark for Managing Financial Risk. 2 edition. McGraw-Hill.

• KYLE (1985) Continuous Auctions and Insider Trading, Econometrica, vol. 53, No. 6. pp. 1315-1336.

Октябрь 2008

Литература• MENG, X. L., and PEDLOW, S. (1992). EM: a bibliographic review with

missing articles. Proceedings of the Statistical Computing Section, American Statistical Ass ociation, 24- 27.

• ORCHARD, T., and WOODBURY, M. A. (1972). A missing information principle: theory and applications. In Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium, ed. L. LeCam, J. Neyman, and E. L. Scott, 697-715. Berkeley: University of California Press. Orchard, Woodbury, 1972

• Косьяненко А.В. (2007) Опыт восстановления пропущенной рыночной информации на основе байесовского подхода. Препринт WP16/2007/02. — М.: ГУ ВШЭ, 2007.

• Науменко В.В. (2007) Моделирование риска рыночной ликвидности с учетом глубины рынка. Препринт WP16/2007/04. — М.: ГУ ВШЭ, 2007.

• Смирнов С.Н. (2004) Риски рыночной ликвидности: измерение и управление. http://www.riskconference.ru/presentation/2004/plenary/Smirnov.pdf

Октябрь 2008

Благодарю за внимание!

Косьяненко Антон ВалерьевичМладший научный сотрудник, Лаборатория по финансовой инженерии и риск-менеджменту, Государственный университет Высшая школа экономикиakosyanenko@hse.ruhttp://fermlab.hse.ru