Понятие объема. Объем призмы
DESCRIPTION
Понятие объема. Объем призмы. Геометрия, 11 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск. 1 ед.отр. 1 ед.отр. 1 ед.отр. Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ . Так что же такое – объем пространственной фигуры?. V=1 куб.ед. V 1 =V 2. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Понятие объема.Понятие объема.Объем призмы.Объем призмы.
Геометрия, Геометрия, 11 класс11 класс
Воробьев Леонид Альбертович, Воробьев Леонид Альбертович, г.Минскг.Минск
Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем пространственной фигуры?
Под объемом пространственной фигуры понимается положительная величина, обладающая следующими свойствами:
1) равные фигуры имеют равные объемы;
2) объем фигуры равен сумме объемов ее частей;
3) объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической единице.
V1=V2 V=V1+V2+V3
1 ед.отр.
1 ед.отр.
1 ед.отр.
V=1 куб.ед.
a
b
c=Habc
1
abc
1
abc
1
abc
3 3 3
1ĺ ä.ęóáŕV
a b c
a,b,c R
2a a bcabc
2b ab cabc
2c abcabc
2 2 23 3 3 î ńí .V a bc ab c abc abc S Ha b c
Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов.
a
b
c=H
Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания, взятых вдоль его высоты.
x
0
x
x[ 0; H ]
00 0
H H H
î ńí . î ńí . î ńí . î ńí .V S dx S dx S x S H
A
B
A1 C1
E1
D E
M
M1
Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA1B1C1.
1) Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA1B1M1 и BCMB1C1M1 плоскостью, проходящей через высоту основания B1M1 и боковое ребро BB1.
2) Достроим данную призму до прямоугольного параллелепипеда ADECA1D1C1E1.
C
3) Получили ещё две прямые треугольные призмы ADBA1D1B1 и BECB1E1C1.
D1 B1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 2ABCA B C AFBCA F B C AFBC ABC î ńí .V V S H S H S H
A
B
C
A1
B1
C1
D1 E1
D E
M
M1
Нетрудно заметить, что объем треугольной призмы в два раза меньше объема прямоугольного параллелепипеда, т.е.
HAFB BCAS S
1
2ABC AFBCS S
B1
B
M1
M
AFB BCA Объясните
самостоятельно:F1
F
Пусть дана наклонная треугольная призма. Построим сечение, перпендикулярное боковому ребру (BKC).
A
B
C
K
A1
B1
C1
β
F
Примем KAF= за угол наклона бокового ребра к основанию призмы, а KFA=β – за угол между плоскостями основания и сечения. Очевидно, что +β=900.
Сечение (KBC) разбивает призму на две пространственные фигуры – треугольную пирамиду KABC и многогранник KBCA1B1C1. По свойству объема фигуры объем призмы равен сумме объемов этих частей.
Вспомним, что:
Hm ńĺ ÷.
î ńí .
Scos sin
S
Hsin cos
m
β
Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме.
B
C
K
A1
B1
C1
A
K1
m
Тогда:1 1 1 1 1 1ABCA B C KBCK B C KBCV =V =S =S ńĺ ÷.m m , где Sсеч. – площадь
сечения, перпендикулярного
боковому ребру и m –длина бокового ребра.
1 1 1ABCA B C ńĺ ÷. ńĺ ÷.
ńĺ ÷.î ńí .
HV S m S
sinS
H S Hcos
С учетом вспомненных соотношений, получим:
B
C
K
B1
C1
K1
m
A
B
C
B1
H
A1 C1
Если применить метод бесконечных интегральных сумм, то получится:
00 0
H H H
î ńí . î ńí . î ńí . î ńí .V S dx S dx S x S H x
xx[ 0; H ]
0
H
Рассмотрим произвольную n-угольную призму A1A2…An B1B2…Bn. Разобьем её на
(n–2) треугольные призмы, полученные при проведении диагональных сечений из вершины A1. По свойству объема:
A1
A2
An
B1
B2
Bn
1 2 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1
1 2 3 1 3 4 1 1
... n ... n n n
n n
A A A B B B A A A A A A A A A
A A A A A A A A A î ńí .
V S H S H ... S H
H S S ... S S H
ńĺ ÷.V S m
Итак, для любой n-угольной призмы:
î ńí .V S H ИЛИ
,где Sосн. – площадь основания призмы, Sсеч. – площадь перпендикулярного
сечения, H – высота призмы, m – длина бокового ребра призмы.