ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ...
DESCRIPTION
ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К. 12 октября 2011 года. Для того, чтобы надежно определялось решение системы. линейных уравнений с квадратной. матрицей. нужно, чтобы число. было не очень большим. число обусловленности. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/1.jpg)
ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ
Годунов С.К.
12 октября 2011 года
![Page 2: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/2.jpg)
Для того, чтобы надежно определялось решение системы Ax f
линейных уравнений с квадратной N N матрицей Aнужно, чтобы число 1|| || || || ( ) 1A A A было не очень большим.
( ) A число обусловленности A
Справедливо неравенство2 ( ) || ||
| ( ) ( ) ||| || || ||1 ( )|| ||
AA A
AAA
Число обусловленности ( )A возмущенной матрицы A
близко к ( )A если|| ||
( ) 1|| ||
AA
Решая систему Ax f с хорошо обусловленной матрицей A
можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо , A fбудет использованы возмущенные , A f с малыми ,
2
![Page 3: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/3.jpg)
В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить
Постулат:Только такие числовые функции ( )f A от N N матрицы Aможно вычислять, для которых справедливо неравенство
|| ( ) ( ) || || ||f A f A
в котором (|| ||, ( ))A f A - известная функция
При этом условии, зная || ||A и точность || ||можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной ( )f A
Пример вычислимой функции - ( )A
число обусловленности матрицы A2 ( ) || ||
| ( ) ( ) | || |||| || || ||1 ( )|| ||
AA A
AAA
где 4 ( ) || ||A A если1
|| || ( ) || ||2
A A
( )A
Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, привыполнении которых одновременно с решением вычисляется ( )A
3
![Page 4: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/4.jpg)
Решение систем линейных уравнений
289 2044 336 128 80 32 16
1152 30 1312 512 288 128 32
-29
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
-1980 756 384 1008 224 48
512 128 640 1 640
1
1
1
1
1
1
1
512 128
1
0 0 0 0
0
053 2136 -604 -384 -856 800 108
-287 4 1712 -128
0 0 0 0 0
A
1968 -30 2032
-2176 -185 -1463 -512 -439 -1152 -187
![Page 5: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/5.jpg)
Решение систем линейных уравнений с матрицей (1 )A I C
1
1
1
1
1
1
1
xA A f
0.05 0.1
1( ) ?A
x
0.997070312500000 1.001052856445313 1.004882812500000 0.999641142785549 0.996093750000000 1.001953125000000 0.999984741210938
0.000000000000000 0.969726562500000 1.750000000000000 1.004194498062134 0.250000000000000 1.500000000000000 0.997070312500000
MA
TL
AB
SC
ILA
B
0.9990234 1.0000153 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
1.2500000 1.0019531 1. 0000000 1.0000002 0.7500000 1.2500000 1.0000000
x
1 16( ) 1.2 10A
1 14( ) 3 10A 1 16( ) 1.1 10A
xРешения получены с
помощью коммерческогоMATLAB и свободнораспростроняемого
SCILAB (НГУ, ИМ СО РАН)
![Page 6: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/6.jpg)
Изложение понятия о решении системы уравненийОбычно начинается с введения определителя
Ax fdet A
Реальное вычисление определителя приводит к серьёзным проблемам:
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 101 10
1
1 101
A
ПРИМЕР:
1det 1 10N NA
25
24
det , 0, 25
det , 10
1 1.2
, 5
10
0 2
2A A N
A A N
6
![Page 7: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/7.jpg)
25 222.6 18 010 При
7
В теории дифференциальных уравнений (также механике, физике) широко используется критерий устойчивости решения ( ) 0x t
2510 2 2 10 1
1 cos sin , 18 25 25 8 4
0jj j
i
( ) 0x t (0)x Re ( ) 0j A Чтобы для всех надо, чтобы
Не устойчиво
Пример исследования устойчивости
задано
, 0
(0)
dxAx t
dtx
При 1 2 25 1 0 устойчиво
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 101 10
1
1 101
A
С необычайной чувствительностью определителя к возмущениям (например, кпогрешностям округлений) связана чувствительность и собственных значений
( ); det( ) 0j jA A I
![Page 8: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/8.jpg)
t
|| ( ) ||x t
|| (0) ||x
|| (0) ||M x
|| ( ) || || (0) ||
t
Lx t e xM
M - оценка амплитудыL - характерное время (декремент затухания)
Типичное поведение затухающих решений
задано
, 0
(0)
dxAx t
dtx
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 101 10
1
1 101
A
22|| ( ) || || (0) ||, 10 , 1L
t
M Mx Lx t e
При в оценке решения
Можно ли это считать устойчивостью?
( )x t222.6 10
Если 0Re j A
A – NxN матрица
то
1
2
NttA A
e N e
И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, 1958 г.
8
![Page 9: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/9.jpg)
Теорема Островского (о непрерывной зависимости )
Если все элементы матрицы и матрицыподчинены неравенствам
то для каждого найдется
такое что
В нашем случае
Пример теореме Островского не противоречит.
( )j A
kla 0A Bklb
| | 10, | | 1,kl kla b
0( )j A 0( )j A B 2
20 0| ( ) ( ) | 20( 1)
10N
j jN
A B A N
225
026
| ( ) ( 1) | 20 6258
2186j A B
Формальная непрерывность имеет место.
9
251
4
![Page 10: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/10.jpg)
Определение -спектра
( )A
( )A
принадлежит -спектру, если
1 1|| ( ) ||
|| ||I A
A
Спектральный портрет матрицы A
2 25
3 10 3 3 3
2 15 3 3
0 15 3
3 10
2 2
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
5
3
A
510 10
![Page 11: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/11.jpg)
0 0
0 0 0
0 0
3 3 15 5 2 1
4 2 10 2 8 3
0.1 1 3 20
3 4 0
3 2 0
15 10 0.1
0
0 0 0
H
2 25
3 10 3 3 3
2 15 3 3
0 15 3
3 10
2 2
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
5
3
A
11
![Page 12: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/12.jpg)
Спектральные портреты симплектических матриц
Рассмотрим симплектическую матрицу вида:
2 2
0
C S I PQ C S I
S C I
Матрицы С, S, P имеют следующую структуру:
2 0 0 02
20 0 02
20 0 02
20 0 0 2
C
2 0 0 02
20 0 02
20 0 02
20 0 0 2
S
1 0 0
2 0 0
0 0 3
0 0 4
t
t
tP
t
12
Изучим поведение спектральных портретовпри изменении параметра t
![Page 13: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/13.jpg)
Спектральные портреты симплектических матриц
13
![Page 14: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/14.jpg)
289 2044 336 128 80 32 16
1152 30 1312 512 288 128 32
-29 -1980 756 384 1008 224 48
512 128 640 0 640 512 128
1053 2136 -604 -384 -856 800 108
-287 4 1712 -128 1968 -30 2032
-2176 -187 -1465 -512 -441 -1152 -189
C
Еще один поучительный пример(к вопросу о расчёте собственных значений матриц)
14
![Page 15: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/15.jpg)
ЭкспериментЭксперимент:: Собственные числа матрицы С найденные с использованием пакетов MATLAB, MAPLE, SCILAB и библиотеки IMSL (стандартная двойная точность)
15
![Page 16: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/16.jpg)
• В действительности
= ; =
1 2028 256 128 64 32 16 1
-2 1024 512 256 128 32 1
4 512 1024 256 64 1 1
512 512 128 1
-4 1024
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
156 1 1
2 2048 1 1
-1 1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
R L
Точные значения:
ВСЕ предыдущие примеры были вычислены с машинным представлением чисел с точностью . Если использовать машинное представление с точностью ,
то вычисленные будут отличаться от точных не более чем на
1C L RL
1 2 3 4
5 6 7
0, 1, 1, 2,
2, 4, 4,
1610
1610 | | 7.5 16
j
ε-спектр покрывает круг
2210
310
![Page 17: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/17.jpg)
При вычислениях с точностью , пакетом MAPLE были получены следующие собственные значения.
2210
1
2
3
4
5
6
7
( ) 4.01
( ) 3.98
( ) 1.97
( ) 2.01
( ) 1.02
( ) 0.18
( ) 0.98
C
C
C
C
C
C
C
1
2
3
4
5
6
7
( ) 4.01
( ) 1.99
( ) 1.02
( ) 0.02
( ) 0.97
( ) 2.01
( ) 3.99
T
T
T
T
T
T
T
C
C
C
C
C
C
C
![Page 18: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/18.jpg)
Резюме проведенного обсужденияРезюме проведенного обсуждения
Стоит ли заниматься расчетом ( )j A ???
Нет гарантии, что их можно вычислить с приемлемой точностью.(речь идет о несимметричных матрицах )TA A
ВОПРОС: Зачем в приложениях интересуются ( )j A ???
ОТВЕТ: Часто требуется убедится, что или, что на прямой нет
| ( ) | 1j A a it ( )j A
Предлагается решать более общий вопрос:
i
Re( ) const
Есть ли на той или иной кривой
( )j A
?
Если кривая не проходит черезто всюду на этой кривой
1|| ( ) ||A I
1 2| |·|| ( ) ||d A I
Для гладкой кривой конечной длины при этом
( )j A
18
![Page 19: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/19.jpg)
Удобно критерий отсутствия на кривой формулировать как( )j A
|| ( ) ||H A 2
1 1|| ||( ) ( ) | |·( ) ( )T TA
H A H A d I A I Al
Для кривых конечной длины предполагается, что
l|| ||·l L A
Важное неравенство
1max || ( ) ||m A I
2 2|| || || || 4 || || || ||2
LH m H H L H
|| ( ) ||H A Критерий дихотомии спектра кривой
A
Дихотомия спектраДихотомия спектра
19
![Page 20: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/20.jpg)
a
lg
* 1 11[( ) ] [( ) ]
2H dt a i t I A a i t I A
Спектральные зоны Re ,jj ja a – полосысодержащие точки спектра ( )j A
Одномерныйспектральный портрет
20
2 || || || ||A aI H - числовая функция от матрицы A aI
критерий дихотомии спектра прямой A a it
![Page 21: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/21.jpg)
Одномерный радиальныйспектральный портрет
критерий дихотомии спектра окружностьюA r H
21
1 12*
0
1
2
i ie eH d I A I A
r r
lg H
![Page 22: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/22.jpg)
Алгоритм анализа радиальной дихотомии спектра 0 0 0(0)1 2
10n A A X I X I H I
r
1,2,...,n N
1 112 1
1 11 2 1
10
0
n
n
n nn n
n nn n
X K AX Lr
X K X L
находим n nK L из систем:
после чего вычисляем
1
1 11 1 2 2n n
n n n nn nX X K X X L
1 1T T
n n n n n n nH K H K L H L
Если1 1
2 2
0
0 0 0
N N T
N N
I R B I RA U U
I C I
, ,T
j jUU I B r C r
то
1 12*
0
12
20
1
2
1
2n
i in
n
in
rn
e eH d I A I A H
r r
eX d I A
r
22
![Page 23: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/23.jpg)
Если1 1
2 2
0
0 0 0
N N T
N N
I R B I RA U U
I C I
, ,T
j jUU I B r C r
то
1 12*
0
12
20
1
2
1
2n
i in
n
in
rn
e eH d I A I A H
r r
eX d I A
r
23
H - критерий дихотомии спектра A окружностью r
Дискретное уравнение Ляпунова(обобщение):
2, ,
T T Tr r r r
T Tr r r r r r
H A HA I I
A A H H
Оценки:
R H21
1
k
k kC r HH
21 11
k
kk
HB
r H
![Page 24: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/24.jpg)
1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений dxAx
dt
Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение2 2 21 2|| ( ) || ( ) ( ) . . . ( ) 0N
t
x t x t x t x t
Критерий устойчивости:
?Универсальная оценка ( )A
|| ||
( )|| ( ) || ( ) || (0) ||t A
Ax t A e x
( ) 2 || || || ||A A H
Н -- матрица Ляпунова – решенияматричного уравнения
* 0HA A H I
Исследование устойчивости (по Ляпунову)
24
Дихотомия спектра A прямой a it имеет место, если существует
матрица Грина G x dG xA aI G x x a I
dx
0G x при x
11lim
2
Ri x
RR
G x e d i a I A
![Page 25: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/25.jpg)
Дихотомия прямой Re a
25
Дихотомия спектра A прямой a it имеет место, если существует
матрица Грина G x dG xA aI G x x a I
dx
0G x при x
11lim
2
Ri x
RR
G x e d i a I A
Критерий дихотомии
1 1* *1
2H dxG x G x dt it a I A it a I A
2 A aI H
![Page 26: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/26.jpg)
1 1* *1
2H dxG x G x dt it a I A it a I A
Эта матрица удовлетворяет матричным уравнениям
2 ( )( )T T THA A H aI P P I P I P
2,
, T T
A A
H H H H
Для убывающих при решений векторного уравнения t ( ) ( )
dyA aI
tfy t
d
t -a-T
f M
a - t-T-f M
e , t ay( t )
e , t a-
Справедливы оценки
( ) ( )max minM || P || h / h
(-) (-)- max minM || I - P || h / h
2 2( ) (-)max maxT h T h
0 0
T T
( ) ( )
T TPx Px
P HPx P HPxh sup h inf
P Px P Px
26
![Page 27: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/27.jpg)
Сходится ли итерационный процесс
к решению системы
( ) ( 1) ( 1)
( ) 1
n n n
n
x x Ax f
x A f x
?
Критерий сходимости:
Ax f
2( ) (0) 1
|| || || || || || 1|| ||
n
nx x x x HH
Н -- матрица решения дискретного матричного уравнения Ляпунова
*H A HA I
27
![Page 28: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/28.jpg)
В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить
Постулат:
Только такие числовые функции ( )f A от N N матрицы Aможно вычислять, для которых справедливо неравенство
|| ( ) ( ) || || ||f A f A
в котором (|| ||, ( ))A f A - известная функция
При этом условии, зная || ||A и точность || ||можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной ( )f A
Критерий дихотомии удовлетворяет этому постулату( )H A
28
![Page 29: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/29.jpg)
Одномерный радиальныйспектральный портрет
1 12*
0
1
2
i ie eH d I A I A
r r
lg H
Мы показали как рассчитать и следовательно какнарисовать этот спектральный портрет
H
Портреты дихотомии прямымирассчитываются аналогично
Re a
* 1 11[( ) ] [( ) ]
2H dt a i t I A a i t I A
2 || || || ||A aI H
![Page 30: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/30.jpg)
APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL “ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL
PORTRAITS OF MATRIX”TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY
VIBRATION
• Godunov S.K Novosibirsk• Kurzin V.B. Novosibirsk• Bunkov V.G. Jukovskii• Sadkane M. Brest (France)
Из доклада, прочитанного на конференции по аэроупругости (Москва, октябрь 2006)
30
![Page 31: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/31.jpg)
The simple flatter modelThe simple flatter model
• Without the aerodynamic
effect:
• Modeling of aerodynamic effects
(v is the flow velocity)
2
20
d xGx
dt
37.7
169
899
1792
O
G
O
dxGy
dtdy
xdt
2v vdx
Dx G F ydtdy
xdt
2
3 2 32
3
3
10 0,197 10 0 0
10,12 10 0 0,419 10 0,171 100.73 10
10 0,176 10 0 0
10 0,154 10 0 0
F D
2v v,
0
D G Fx xdA A
y ydt I
31
![Page 32: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/32.jpg)
, aa a
kk HA aI
32
2
0T T T
T
HA A H I I
A A H H
![Page 33: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/33.jpg)
33
![Page 34: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/34.jpg)
The same exampleThe same example 2v v
0
D G Fx x xdA
y y ydt I
VV
34
![Page 35: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/35.jpg)
Упорядоченная последовательность букв
Рассмотрим 6 букв алфавита: а б и п р т
Рассмотрим большую (периодическую) последовательность букв:
…ритатипбратарбатпиратритатипбратарбат…
В этой последовательности: за буквой а следует 1 раз за период буква р и 4 раза буква т, за буквой б 1 раз следует буква а и 1 раз буква р…
1 40 0 0 0 5 51 10 0 0 02 2
1 1 10 0 0 3 3 31 10 0 0 02 2
1 1 1 0 0 02 4 42 1 1 10 05 5 5 5
а б и п р т
а
б
и
п
р
т
0 0 0 0 1 4
1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 0
2 1 1 0 0 0
2 0 1 1 1 0
а б и п р т
а
б
и
п
р
т
Таблица вероятностей следования букв
![Page 36: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/36.jpg)
Этой последовательности соответствует матрица:
1 40 0 0 0 5 51 10 0 0 02 2
1 1 10 0 0 3 3 31 10 0 0 02 2
1 1 1 0 0 02 4 42 1 1 10 05 5 5 5
а б и п р т
а
б
и
п
р
т
Можно рассмотреть 32 буквы алфавита и любые длинные тексты, написанные с их помощью. Например, произведения разных писателей. Каждому произведению
аналогичным способом сопоставляется 32х32 матрица.
Можно ли идентифицировать писателя по спектральному портрету такой матрицы?
Упорядоченная последовательность букв
![Page 37: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/37.jpg)
Характерные двумерные спектральные портреты писателей
![Page 38: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/38.jpg)
Характерные двумерные спектральные портреты писателей
Граница хаусдорфова множества
38
Л. Толстой А. Чехов
![Page 39: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/39.jpg)
Литература
![Page 40: ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ Годунов С.К](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062422/56814099550346895dac394c/html5/thumbnails/40.jpg)
Спасибо за внимание !