Баллистическое проектирование полета космического аппарата

к точке L2 системы Солнце-Земля

И.С. Ильин, А.Г. ТучинИПМ им М.В. Келдыша РАН

XXXVII Королёвские чтения

2013

Условно-периодические орбиты в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля

-4-2

02

46

810

1214

16

x 108

-1

-0.5

0

0.5

1

x 109

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x 108

1

X

4

150

10

X-Y-Z

20

30

100

40 280 460

90 50

Y

80 60 70

Z

-400

1600

1000

-1000

-150

100

0

0

-4-2

02

46

810

1214

16

x 108

-8-6

-4-2

02

46

810

x 108

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x 108

1

X

4

150

X-Y-Z

10

100 280 460

90

20

80

30

70 60

40

50

Y

Z

1600

-400 -800

1000

-500

400

Миссии к точке L2 системы Солнце - Земля

• На ближайшие годы запланированы 2 российских проекта:• КА «Спектр-РГ» - перелет к точке L2 и выход на гало-

орбиту в её окрестности, НПО им. С.А. Лавочкина, 2015 г.

• КА «Миллиметрон» - перелет к точке L2 и выход на гало-орбиту с большим выходом из плоскости эклиптики, НПО им. С.А. Лавочкина, 2018 г.

• Примеры реализованных миссий к точке L2 системы Солнце – Земля:

• КА НАСА «WMAP», (2001 – 2009 гг.)

• КА ЕКА «Планк» + космический телескоп «Гершель» (2009 г.)

• Также в 2013 г к точке L2 системы Солнце – Земля должен отправиться КА «Gaia» - космический телескоп ЕКА.

Проекты «Спектр-РГ» и «Миллиметрон»

• Проект «Спектр-РГ» предполагает перелет КА на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце - Земля и поддержание этой орбиты в течение 7 лет.

• Гало-орбита около точки L2 системы Солнце – Земля удобна тем, что выведение на неё обеспечивается одноимпульсным перелётом: импульс торможения не нужен.

• Для поддержания орбиты необходимо проведение коррекций раз в 70 – 90 суток. Суммарные затраты на коррекции поддержания орбиты в течение 7 лет не должны превосходить 200 м/с.

Методика построения изолиний функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты

Движение КА по условно-периодическим орбитам рассматривается во вращающихся системах координат: в системе с началом O в центре Земли и в системе с началом в точке либрации

1 2 3Ox x x

1 2 3O O2L

на Солнце

x1

Земля

ξ1

L2

ξ3

ξ2

x3

x2

Линеаризованные уравнения движения КА по условно - периодической орбите во вращающейся системе координат

1 1 1cos t tA t t t C t e D t e

2 2 1 1 1sin t tk A t t t k C t e D t e

3 2 2cosB t t t

Средние значения коэффициентов A(t) и B(t) выбираются на стадии проектирования гало-орбиты и определяют её геометрические размеры в плоскости эклиптики и в плоскости, ей ортогональной. Среднее значение коэффициента C(t) должно быть близким к нулю.Коэффициент D(t) выбирается таким образом, чтобы при t = 0 траектория движения КА пересекала границу сферы действия Земли.В ограниченной круговой задаче трех тел коэффициенты A, B, C, D не зависят от времени.

6LA R

AL

B RB

LC R

C

Расчет начального приближения. Переход на гало-орбиту с траектории перелёта

Выделим траектории, обеспечивающие безымпульсный переход на траектории перелета условием: При фиксированных к-тах A, B и C = 0 строится изолиния в плоскости φ1, φ2:

*r r *

1 2,r r

Метод изолиний для приближенного описания траекторий Земля – L2 был впервые предложен доктором М.Л. Лидовым. Он применялся для расчета прямых одноимпульсных перелетов без гравитационных маневров у Луны. Этот метод позволяет связать параметры перелётной траектории с параметрами гало-орбиты, что позволяет выделить траектории, обеспечивающие безымпульсный переход с траектории перелета на гало-орбиту.

7

rL – расстояние от точки L2 до Земли;

17

24 Lr

1 2 3 1 2 3, , , , ,

Земля L2Lr

A, B, C, D, φ1, φ2rπ , rα , i, Ω, ω, τ

Параметры орбиты ИСЗ: Параметры гало-орбиты:

Алгоритм построения изолинии

• Поиск функции высоты перицентра согласно следующему алгоритму:

1. Вычисляется вектор состояния КА в инерциальной СК, полученной фиксацией осей вращающейся СК на фиксированный момент времени в зависимости от параметров: А, B, и .

2. Полученный вектор преобразуется в невращающуюся геоцентрическую эклиптическую СК

3. По полученному вектору вычисляются элементы орбиты и в том числе расстояние перицентра .

• Поиск начальной точки изолинии

• Поиск следующей точки изолинии

BA 1 2, , ,f

1 2

r

Поиск начальной точки изолинии Выполняется сканирование в интервалах по φ1 от 0 до 360° и по φ2 от–180° до 180° с шагом по φ2 45º , а по φ1 1º.

* *1 2 1 21 , , 0 r r r r

Ищется значение φ1 , при котором выполняется условие:

Методом бисекции ищется значение φ1m , при котором:

*1 2,mr r

Найденная пара φ1m, φ2 – искомое начало изолинии.

φ1i, φ2i

φ1i+1, φ2i+1

φ1i-1, φ2i-1

φ1b, φ2b

φ1

φ2

1 1

2 2

,

,b i

b i

s

s

1. Сдвигаемся от точки изолинии ,найденной на предыдущем шаге, на расстояние s , попадаем в точку .

2. Ищем точку пересечения изолинии с сегментом , проверяя условие

3. Если пересечение не найдено, ищем точку пересечения изолинии с сегментом ; где h – шаг в градусах,

b1 b221

nhb 1 nhb 1

* *B B1 2 A 1 2 A, , , , , , 0 f i h r f i h r

nhb 2 nhb 1 4..2,1n

Продолжение изолинии от текущей точки

10

2 2

1 1 1 2 2 1

, если 1;

, если 1

i i i i

h i

hs i

Примеры построенных изолиний

A B0.14, 0.1

Изолинии в рамках окна старта 27.01.14 для

перелета с гравманевром у Луны

A B0.12, 0.1

Изолинии в рамках окна старта 18.12.14 для

перелета с гравманевром у Луны и витком на орб.

Земли

в диапазоне от 0.18 до 0.2. = 0.1

AB

Изолинии для перелета без гравманевра у Луны

φ2φ2 φ2

φ1 φ1φ1

Структура алгоритма расчета перелетной траектории КА с орбиты ИСЗ на гало-орбиту

• Построенные изолинии служат исходными данными для алгоритма расчета кинематических параметров траектории перелета - начального приближения перелета на гало-орбиту.

• Построенное начальное приближение используется для точного расчета перелета с орбиты выведения фиксированного радиуса на заданную гало-орбиту. Вектор кинематических параметров уточняется в полной модели действующих сил.

• Рассчитываются коррекции, необходимые для удержания КА в заданной окрестности точки L2

• Рассчитываются затенения и зоны радиовидимости КА с российских станций слежения на весь период существования КА

Этапы расчёта номинальных траекторий перелёта

1. Вектор скорости отлетной гиперболы, полученный из начального приближения, уточняется из условия выполнения краевых условий по заданному значению B и значению C = 0.

2. Вектор скорости, полученный на этапе 1, уточняется из условия максимального времени пребывания гало-орбиты в области вокруг L2, радиуса

2

2 2 221L L B AR r k

Расчет импульсов коррекций, обеспечивающих нахождение КА на гало-орбите L2

2 2 2B BA 2 AR , 1L kr

maxV - Максимально возможное значение импульса;

q - коэффициент, контролирующий сокращение шага

outL2 inL2CF t t

14

Tc

cqi F

FV

V

max21

Вектор импульса коррекции рассчитывается из условия максимального

времени нахождения КА в окрестности точки L2 заданного радиуса

после исполнения коррекции. Максимум времени ищется с помощью градиентного метода.

Метод изолиний для перелётовс гравитационным манёвром у Луны

• от Земли до входа в сферу действия Луны,

• полёт в сфере действия Луны,

• полёт после выхода из сферы действия Луны до входа в окрестность L2.

При расчёте высоты перицентра, соответствующей заданной гало-орбите, траектория перелёта разбивается на три участка:

Для нахождения расстояния перицентра участки проходятся в обратном направлении. Функция высоты перицентра от параметров гало-орбиты также зависит от времени при использовании гравманевра у Луны.

При построении перелета на гало-орбиту возможно использование гравитационного маневра у Луны, позволяющего найти орбиты, подходящие к точке L2 на более близкие расстояния. Поэтому метод изолиний был расширен на класс подобных траекторий.

Перелёт без использования гравитационного манёвра у Луны

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 108

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

9

1 4

10

20

30

40

50 60

70

80

90

100

150

280

460

X-Y

Проекция на плоскость XY вращающейся СК, размерность млн км.

Перелёт с использованием гравитационного манёвра у Луны

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 108

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

9

1 4

10 20

30

40

50

60 70 80

90

100

150

280

460

X-Y

Проекция на плоскость XY вращающейся СК, размерность млн км.

Перелёт с использованием гравитационного манёвра у Луны и предварительным витком на

орбите ИСЗ

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 108

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

9

1

4

10

20 30

40 50 60

70

80

90

100

150

280

460

X-Y

Проекция на плоскость XY вращающейся СК, размерность млн км.

Гало-орбита, рассчитанная для проекта «Спектр-РГ». Проекции на плоскости XY, XZ, YZ вращающейся СК, перелет

осуществлен с использованием гравитационного маневра у Луны

500

Размерность: тыс. км

-200 1500

200

-200 1500 500

200

-500

Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют около 30 м/с за период 7 лет.

Гало орбита, рассчитанная в рамках проекта «Миллиметрон». Проекции на плоскости XY, XZ, YZ вращающейся СК. Перелёт

осуществлен без использования гравитационного маневра у Луны

1100

-1100 1500

900

-700

900

-1100 15001500

Размерность: тыс. км

Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют около 24 м/с за период 7 лет.

Эволюция параметров гало-орбиты , и A B C

t , сутки

LA R

A

LB R

B

LC R

C

Орбита КА “WIND”

22http://wind.nasa.gov/orbit.php

Возможная геоцентрическая орбита для КА «МКА-3», проекции на плоскости XY и XZ инерциальной СК J2000

Интервал существования КА - с 07/2016 по 06/202223

Размерность: тыс. км

• При проектировании гало-орбит необходимо было принимать во внимание следующие ограничения:– Чтобы обеспечить необходимую освещенность

солнечных батарей КА, нужно предотвратить попадание КА в область Земной тени, он должен находиться в кольцеобразной области радиуса большего, чем радиус конуса Земной тени.

– В то же время при слишком большом удалении КА от плоскости эклиптики вероятно возникновение длительных интервалов отсутствия радиовидимости с российских станций слежения, расположенных в северном полушарии.

Ограничения, наложенные на рабочую орбиту КА «Спектр-РГ»

• Решена баллистическая задача реализации гало-орбиты с заданными геометрическими характеристиками ее проекций на плоскость эклиптики и на плоскость, ортогональную плоскости эклиптики.

• Разработан новый метод построения траекторий перелёта с низкой околоземной орбиты на многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации системы Солнце-Земля, предполагающих безымпульсный переход с перелетной траектории на гало-орбиту.

• Оценены затраты характеристической скорости на поддержание КА на гало-орбите.

Результаты работы

Литература• Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Одноимпульсный перелет на

условно-периодическую орбиту в окрестности точки L2 системы Земля – Солнце и смежные задачи // Космич. исслед. 1987. Т. XXV. № 2. С. 163–185.

• Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Траектории полета Земля – Луна – гало-орбита в окрестности точки L2 системы Земля – Солнце // Космич. исслед. 1992. Т. 30. № 4. С. 435–454.

• Лидов М.Л., Ляхова В.А. Гарантирующий синтез управления для стабилизации движения космического аппарата в окрестности неустойчивых точек либрации // Космич. исслед. 1992. Т. 30. № 5. С. 579–595.

• Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Характеристики управления при выведении КА в окрестность точки L2 системы Солнце – Земля с использованием гравитации Луны (Проект «Реликт-2») // Космич. исслед. 1993. Т. 31. № 5. С. 3–20.

• Боярский М.Н., Шейхет А.И. Об одноимпульсном переходе с орбиты ИСЗ на условно-периодическую траекторию вокруг коллинеарной точки либрации системы Солнце – Земля // Космич. исслед. 1987. Т. XXV. № 1. С. 152–154.

• Dunham D.W., Farquhar R.W. Libration Point Missions, 1978 – 2002. // Libration point orbits and applications. Proceedings of the Conference Aiguablava, Spain, 10 - 14 June 2002 , pp. 45-73.

Перелёт в окрестность L2 с гравитационным манёвром у ЛуныДаты перехода в окрестность L2 в 2014гмесяц θA дата старта продолжительность окна старта, часы

январь 0.14 20140128 36

  0.15 20140128 72

февраль 0.14 20140227 40

  0.15 20140226 48

март 0.12 20140329 46

апрель 0.12 20140427 24

май 0.12 20140529 20

  0.13 20140529 28

  0.14 20140529 36

  0.15 20140529 52

июнь 0.12 20140625 22

  0.13 20140625 33.5

  0.14 20140625 40.5

  0.15 20140625 60

июль 0.15 20140725 41

август 0.14 20140824 14.5

  0.15 20140823 57.5

сентябрь 0.12 20140922 12.5

октябрь 0.12 20141023 6

ноябрь 0.12 20141121 23.5

декабрь 0.12 20141218 22

Вычисление постоянных интегрирования

21 1

1 рад9 8 2 0.035384 ;

2 суткиL L Ln B B B 2 1рад

0.034148 ;суткиLn B

21

1 рад9 8 2 0.042734 ;

2 суткиL L Ln B B B

2

11 1

12 1 0.54525;

2 / Lk Bn n

2

12

1 1 1

12 1 3.1873;

2 / Lk Bn n

1

1

;

1

313 3

1;L

L L

B ar r

µ1, µ – гравитационные параметры Солнца и Земли; a1 – астрономическая единица;

rL1, rL – расстояния от точки L2 до Солнца и Земли;

n1 – средняя угловая скорость орбитального движения Земли.

Гало-орбита, рассчитанная для проекта «Спектр-РГ». Проекции на плоскости XY, XZ, YZ вращающейся СК, перелет

осуществлен с использованием гравитационного маневра у Луны и дополнительным витком на орбите выведения

500

Размерность: тыс. км

-200 1500

200

-200 1500 500

200

-500

Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют около 30 м/с за период 7 лет.