ТеоремТеорема а

ПіфагорПіфагораа

(бл. 580 – бл. 500 р. до н.е.)

“ “ Не вважай себе Не вважай себе великою людиноювеликою людиноюза розміром твоєї тіні за розміром твоєї тіні під час заходу Сонця. ”під час заходу Сонця. ”

ПІФАГОР

Про життя Піфагора відомо небагато. Він народився в 580 р. до н.е. в Стародавній Греції на острові Самос, який знаходиться в Егейському морі біля берегів Малої Азії, тому його називають Піфагором Самоським.

Народився Піфагор в родині різьбяра по каменю, який знайшов швидше славу, ніж багатство. Ще в дитинстві він виявляв неабиякі здібності, і коли підріс, невгамовній уяві юнака стало тісно на маленькому острові. Піфагор перебрався до міста Мілет і став учнем Фалеса, якому на той час йшов восьмий десяток. Мудрий вчений порадив юнакові відправитися до Єгипту, де сам, колись вивчав науки.

Перед Піфагором відкрилася невідома країна. Його вразило те, що в рідній Греції боги були в образі людей, а єгипетські боги - в образі напівлюдей-напівтварин. Знання були зосереджені в храмах, доступ до яких був обмежений.

Піфагору потрібні були роки, щоб глибоко вивчити єгипетську культуру перш, ніж йому було дозволено познайомитися з багатовіковими досягненнями єгипетської науки. Коли Піфагор осягнув науку єгипетських жерців, то почав збиратися додому, щоб там створити свою школу. Жерці, не бажали поширення своїх знань за межі храмів, не хотіли його відпускати. З великими труднощами йому вдалося подолати цю перешкоду. Однак по дорозі додому, Піфагор потрапив у полон і опинився в Вавилоні. Вавилоняни цінували розумних людей, тому він знайшов своє місце серед вавілонських мудреців. Наука Вавилона була більш розвиненою, ніж єгипетська. Найбільш вражаючими були успіхи алгебри. Вавілоняни винайшли і застосовували при сеті позиційну систему числення, вміли розв'язувати лінійні, квадратні і деякі види кубічних рівнянь.

Піфагор прожив у Вавилоні близько десяти років і в сорокарічному віці повернувся на батьківщину. Але на острові Самос він залишався недовго. На знак протесту проти тирана Полікрата, який тоді правив островом, оселився в одній з грецьких колоній Південної Італії в місті Кротоні. Там Піфагор організував таємний союз молоді з представників аристократії. В цей союз приймалися з великими церемоніями після довгих випробувань. Кожен вступник відрікався від свого майна і давав клятву зберігати в таємниці вчення засновника. Піфагорійці, як їх пізніше стали називати, займалися математикою, філософією, природничими науками. В школі існував декрет, за яким авторство всіх математичних робіт присвоювалося вчителю.

Піфагорійцями було зроблено багато важливих відкриттів в арифметиці і геометрії, в тому числі:

теорема про суму внутрішніх кутів трикутника;

побудова правильних багатокутників і розподіл площини на деякі з них;

геометричні способи розв'язування квадратних рівнянь;

розподіл чисел на парні і непарні, прості і складні; введення фігурних, досконалих і дружніх чисел;

доведення того, що корінь з двох не є раціональним числом;

створення математичної теорії музики і вчення про арифметичні, геометричні і гармонійні пропорції та багато іншого.

Відомо також, що крім духовного і морального розвитку учнів Піфагора турбувало їх фізичний розвиток. Він не тільки сам брав участь в Олімпійських іграх і двічі перемагав у кулачних боях, але і виховав плеяду великих олімпійців. Близько сорока років учений присвятив створеної ним школі і, за однією з версій, у віці вісімдесяти років Піфагор був убитий у вуличній сутичці під час народного повстання. Після його смерті учні оточили ім'я свого вчителя безліччю легенд.

Союз піфагорійців був таємний. Емблемою або розпізнавальним знаком союзу була пентаграма-п'ятикутна зірка. Пентаграмі привласнювалася здатність захищати людину від злих духів.

Цей п'ятикутник має цікаву геометричну властивість: поворотнью симетрію п'ятого порядку, тобто має п'ять осей симетрії, що суміщаються при кожному повороті на 72 градуси. Саме цей тип симетрії найбільш розповсюджений у живій природі у квіток незабудки, гвоздики, колокольчика, шипшини, лапчатки гусинної, вишні, груші, малини, горобини і т.д. Поворотна симетрія п'ятого порядку зустрічається і в тваринному світі, наприклад, у морської зірки і панцира морського їжака.

У прямокутному трикутникуУ прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює квадрат гіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів.сумі квадратів катетів.

Для закріплення щогли Для закріплення щогли потрібно встановити 4 потрібно встановити 4 троса. Один кінець троса. Один кінець кожного троса повинен кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на інший на землі на відстані 5 м від щогли. відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?для кріплення щогли?

РозвРозв`̀язанняязання<<KLMKLM вписан вписанийий в в коло і спирається коло і спирається на діаметр на діаметр KMKM. . Оскільки вписані Оскільки вписані кути, які кути, які спираються на спираються на діаметр - прямі, то діаметр - прямі, то KLM KLM прямий. прямий. Отже, Отже, KLMKLM – – прямокутний. прямокутний. ЗаЗа теоремою Піфагора теоремою Піфагора для для KLMKLM з з гіпотенузою КМ: гіпотенузою КМ:

KMKM22 = KL = KL22 + KM + KM22 = 5 = 522 + 12 + 1222= 169,= 169,KMKM = 13. = 13.

A B

C

D

ABAC

ACADAcos AB

BCBCDBBcos

АС2 + ВС2 = АВ2

АВ=AD+DB AC2+BC2 = AB(AD+DB)

AC2 = ADAB BC2 = DBAB

Якщо ви раптом забули теорему Піфагора, то пропонується рисунок-опорний сигнал, який дуже легко запам'ятовується.

Відрубав Іван-царевич дракону голову, а у нього дві нові виросли. На математичній мові що означає: провели в трикутнику ABC висоту CD і утворились два нові прямокутні трикутники ADC і BDC.

Згадавши цей малюнок, ви згадайте додаткову побудову і початок доведення теореми.

Відкриття теореми Піфагора оточено ореолом Відкриття теореми Піфагора оточено ореолом красивих легенд. Розповідають, що він на честь цього красивих легенд. Розповідають, що він на честь цього відкриття приніс у жертву бика, а у деяких легендах відкриття приніс у жертву бика, а у деяких легендах один бик перетворився на цілу сотню биків.один бик перетворився на цілу сотню биків.

Сонет Шаліссо:Сонет Шаліссо:Пребудет вечной истина, как скороПребудет вечной истина, как скороЕё познает слабый человек!Её познает слабый человек!И ныне теорема ПифагораИ ныне теорема ПифагораВерна, как и в его далекий век.Верна, как и в его далекий век.Обильно бело жертвоприношеньеОбильно бело жертвоприношеньеБогам от Пифагора. Сто быковБогам от Пифагора. Сто быковОн отдал на закланье и сожженьеОн отдал на закланье и сожженьеЗа света луч, пришедший с облаков.За света луч, пришедший с облаков.Поэтому всегда с тех самых пор,Поэтому всегда с тех самых пор,Чуть истина рождается на свет,Чуть истина рождается на свет,Быки ревут, её почуяв, вслед.Быки ревут, её почуяв, вслед.Они не в силах помешать,Они не в силах помешать,А могут лишь, закрыв глаза, дрожатьА могут лишь, закрыв глаза, дрожатьОт страха, что вселил в них ПифагорОт страха, что вселил в них Пифагор.

Теорема Піфагора - одна із Теорема Піфагора - одна із найголовніших теорем найголовніших теорем

геометрії. геометрії. Але, крім того, теорема Але, крім того, теорема

Піфагора має велике Піфагора має велике практичне значення: вона практичне значення: вона

застосовується в геометрії і в застосовується в геометрії і в житті буквально на кожному житті буквально на кожному

кроці.кроці.

Практичні Практичні стародавні задачістародавні задачі

Часто математики записували свої завдання у віршованій формі.Часто математики записували свої завдання у віршованій формі.Ось одне із завдань індійського математика XII століття Бхаскара:Ось одне із завдань індійського математика XII століття Бхаскара:

На березі річки тополя рослаНа березі річки тополя рослаІ вітру порив її стовбур І вітру порив її стовбур зламав.зламав.Тополя упала і стовбур їїТополя упала і стовбур їїКут прямий з течією ріки Кут прямий з течією ріки утворив.утворив.ПамПам’’ятай, в тому місці рікаятай, в тому місці рікаЧотири фути була шириною.Чотири фути була шириною.Верхівка схилилась до краю,Верхівка схилилась до краю,Залишивши три фути всього Залишивши три фути всього над водою. над водою.Прошу, тепер швидше скажи Прошу, тепер швидше скажи мені ти:мені ти:Тополя якої була висотиТополя якої була висоти??

Є водойм зі стороною в 1 чжан = 10 чі. У Є водойм зі стороною в 1 чжан = 10 чі. У центрі його росте очерет, який виступає над центрі його росте очерет, який виступає над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берега, то він як раз торкнеться його. берега, то він як раз торкнеться його. Питається: яка глибина води і яка довжина Питається: яка глибина води і яка довжина очерету?очерету?

Захотілось деякій Захотілось деякій людині до стіни людині до стіни драбину драбину притулити, висота притулити, висота стіни тієї 117 стоп, стіни тієї 117 стоп, а довжина а довжина драбини 125 стоп. драбини 125 стоп. І знати хоче, І знати хоче, скільки стоп ця скільки стоп ця драбина має від драбина має від нижнього кінця і нижнього кінця і до стіни.до стіни.

ЗастосуванЗастосування теореми ня теореми ПіфагораПіфагора

• Вікна Вікна

• Дахи Дахи

• БлискавковідводиБлискавковідводи

БудівництвоБудівництво

У будинках готичного і ромУ будинках готичного і ромaaнського стилю нського стилю верхні частини вікон розчленовуються верхні частини вікон розчленовуються кам'яними ребрами, які не тільки кам'яними ребрами, які не тільки грають роль грають роль орнаменту, а й сприяють міцності вікон. На орнаменту, а й сприяють міцності вікон. На малюнку представлений простий приклад малюнку представлений простий приклад такого вікна в готичному стилі. Спосіб такого вікна в готичному стилі. Спосіб побудови його дуже простий: З малюнка легко побудови його дуже простий: З малюнка легко знайти центри шести дуг кіл, радіуси яких знайти центри шести дуг кіл, радіуси яких дорівнюють ширині вікна дорівнюють ширині вікна ((b)b) для зовнішніх дуг і для зовнішніх дуг і половині ширини половині ширини ((b / 2), b / 2), для внутрішніх дуг. для внутрішніх дуг. Залишається ще повна окружність, що Залишається ще повна окружність, що стосується чотирьох дуг. Так як вона укладена стосується чотирьох дуг. Так як вона укладена між двома концентричними колами, то її між двома концентричними колами, то її діаметр дорівнює відстані між цими колами, діаметр дорівнює відстані між цими колами, тобто тобто b / 2b / 2 і, отже, радіус дорівнюєі, отже, радіус дорівнює b / 4b / 4. . А А тоді тоді стає ясним і становище її центру. У стає ясним і становище її центру. У розглянутому прикладі радіуси перебували без розглянутому прикладі радіуси перебували без всяких ускладнень. В інших аналогічних всяких ускладнень. В інших аналогічних прикладах можуть знадобитися обчислення; прикладах можуть знадобитися обчислення; покажемо, як застосовується в таких задачах покажемо, як застосовується в таких задачах теорема Піфагоратеорема Піфагора

• ВікнаВікна

У романській архітектурі часто зустрічається мотив, представлений на малюнку. Якщо b як і раніше означає ширину вікна, то радіуси півкола будуть рівні R = b / 2 і r = b / 4. Радіус p внутрішнього кола можна обчислити з прямокутного трикутника, зображеного на рисунку пунктиром. Гіпотенуза цього трикутника, що проходить через точку дотику кіл, дорівнює b / 4 + p, один катет дорівнює b / 4, а інший b/2-p.

За теоремою Піфагора маємо: (b / 4 + p) = (b / 4) + (b/4-p)

або b/16 + b * p / 2 + p = b/16 + b/4-b * p + p,

звідки b * p / 2 = b/4-b * p.

Поділивши на b і скоротивши подібні члени, отримаємо: (3/2) * p = b / 4, p = b / 6.

При будівництві будинків і котеджів часто постає При будівництві будинків і котеджів часто постає питання про довжину крокв для даху, якщо вже питання про довжину крокв для даху, якщо вже виготовлені балки. Наприклад: у будинку задумано виготовлені балки. Наприклад: у будинку задумано побудувати двосхилий дах (форма в перетині). Якої побудувати двосхилий дах (форма в перетині). Якої довжини повинні бути крокви, якщо виготовлені балки довжини повинні бути крокви, якщо виготовлені балки AC AC = 8 = 8 м, і м, і AB = BFAB = BF..

• ДахиДахи

Розв'язанняРозв'язання::Трикутник Трикутник ADC - ADC -

рівнобедренийрівнобедрений AB = BC = 4 AB = BC = 4 мм, , BF = 4 BF = 4 мм. . Якщо припустити, Якщо припустити, що що FD = 1,5 FD = 1,5 мм, тоді:, тоді:

А) ЗА) З трикутника трикутника DBC: DBC: DB = 2,5 DB = 2,5 мм,,

Б) з трикутника Б) з трикутника ABFABF: :

Відомо, що громовідвід захищає від блискавки всі Відомо, що громовідвід захищає від блискавки всі предмети, відстань яких від його заснування не предмети, відстань яких від його заснування не перевищує його подвоєної висоти. Необхідно перевищує його подвоєної висоти. Необхідно визначити оптимальне положення блискавковідводу визначити оптимальне положення блискавковідводу на двосхилим даху, що забезпечує найменшу його на двосхилим даху, що забезпечує найменшу його доступну висоту.доступну висоту.

Розв'язання:Розв'язання:З теореми Піфагора З теореми Піфагора h2 ≥ a2 + b2h2 ≥ a2 + b2,, отже отже h ≥ (a2 + b2) h ≥ (a2 + b2)

1/2.1/2.

• БлискавковідводиБлискавковідводи

АстрономіяАстрономія

перший встановить зв'язок з якимось перший встановить зв'язок з якимось мешканцем іншого небесного тіла; ця премія мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає щасливця. В жарт, хоча і не все ще чекає щасливця. В жарт, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.теореми Піфагора.Невідомо, як це зробити, але для всіх Невідомо, як це зробити, але для всіх очевидно, що математичний факт, який очевидно, що математичний факт, який виражається теоремою Піфагора має місце виражається теоремою Піфагора має місце всюди і тому схожі на нас мешканці іншого всюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.світу повинні зрозуміти такий сигнал.

В кінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися В кінці дев'ятнадцятого століття висловлювалися різноманітні припущення про існування мешканців Марса різноманітні припущення про існування мешканців Марса подібних людині, це стало наслідком відкриттів італійського подібних людині, це стало наслідком відкриттів італійського астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали які довгий час астронома Скіапареллі (відкрив на Марсі канали які довгий час вважалися штучним) та ін.вважалися штучним) та ін.

Природно, що питання про те, чи можна за допомогою Природно, що питання про те, чи можна за допомогою світлових сигналів пояснюватися з цими гіпотетичними світлових сигналів пояснюватися з цими гіпотетичними істотами, викликали жваву дискусію. Паризькою академією істотами, викликали жваву дискусію. Паризькою академією наук була навіть встановлена премія в 100000 франків тому, наук була навіть встановлена премія в 100000 франків тому, хто хто

На цьому малюнку показані точки На цьому малюнку показані точки A A і і B B і і шлях шлях світлового променя від світлового променя від A A до до B B і назад. і назад. Шлях Шлях променя показаний зігнутою стрілкою променя показаний зігнутою стрілкою для наочності, насправді, світловий для наочності, насправді, світловий промінь - прямий.промінь - прямий.

Який шлях проходить промінь? Оскільки Який шлях проходить промінь? Оскільки світло йде туди і назад однаковий шлях, світло йде туди і назад однаковий шлях, запитаємо одразу: чому дорівнює відстань запитаємо одразу: чому дорівнює відстань між точками?між точками?

На цьому малюнку показаний шлях На цьому малюнку показаний шлях світлового променя тільки з іншої точки світлового променя тільки з іншої точки зору, наприклад з космічного корабля. зору, наприклад з космічного корабля. Припустимо, що корабель рухається вліво. Припустимо, що корабель рухається вліво. Тоді дві точки, між якими рухається Тоді дві точки, між якими рухається світловий промінь, стануть рухатися світловий промінь, стануть рухатися вправо з тією ж швидкістю. Причому, в той вправо з тією ж швидкістю. Причому, в той час, поки промінь пробігає свій шлях, час, поки промінь пробігає свій шлях, вихідна вихідна точка точка A A зміщується і промінь зміщується і промінь повертається вже в нову точкуповертається вже в нову точку C.C.

Мобільний зв'язокМобільний зв'язокЯку найбільшу висоту повинна Яку найбільшу висоту повинна

мати антена мобільного оператора, мати антена мобільного оператора, щоб передачу можна було щоб передачу можна було приймати в радіусі приймати в радіусі R = 200 кмR = 200 км? ? (радіус Землі дорівнює (радіус Землі дорівнює 63806380 км.) км.)

Розв'язанняРозв'язання::Нехай Нехай AB=x, BC=R=200 км, AB=x, BC=R=200 км,

OC= r =6380 км. OC= r =6380 км. OB=OA+ABOB=OA+AB

OB=r + x. OB=r + x. Застосовуючи теорему Застосовуючи теорему

Піфагора отримаємо:Піфагора отримаємо: Відповідь: Відповідь: 2,3 км.2,3 км.