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『無限解析入門』　　における誤差について

１．『無限解析入門』の誤差とは？２．誤差に注目する理由３．ある誤差リストの解釈４．仮説の全体像

　　　　　　　徳島大学工学部　　　高橋浩樹

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Leonhard Euler （１７０７－１７８３）

生誕３００周年

１．『無限解析入門』の誤差とは？

「オイラーは人が息をするように、また鷲が空を舞い遊ぶように、

見た目には何の苦労もなく計算した」

天文学者　フランソア・アラゴ

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　　　　　　　　オイラーの解析三部作

　　　　　　　　　　　　　　　　著述　　　出版　　『無限解析入門』　　　１７４５　　１７４８　　『微分計算教程』　　　１７４８　　１７５５　　『積分計算教程』　　　１７６３　　１７６８～１７７０

・『入門』には，数値データに 60 個を超える間違いがある．・単なる誤植や数値の表現（四捨五入・切捨て）といった　理由ではないようである．疑問

　オイラーは数値計算が不得意だったのか？

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log (1+ ｘ )/(1-x) のマクローリン展開を用いた計算

535271696304904

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sin (m/n π/2) のマクローリン展開

163894390885773256746005513950

プログラム

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cos (m/n π/2) のマクローリン展開

00496372623070103623861530846728

7

tan (m/n π/2)cot (m/n π/2) のマクローリン展開

35 15373 69 33

53 60 27 58

8

（ゼータ値の近似値）　　　 × （１－１／２n ）

548818

9

（ゼータ値の近似値）　　　 × １／２ n

10 75 04 70 96 73 15271503 08 53 9255 55 13 86 84 08 85 58 10 77 45 86 71 68

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素数ベキ和の近似値　　　ゼータ値の近似値を組み合わせて求められる

1065 246 37 1874437 35 25 19 02 24 46 84 55 33 26 30 07 51

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２．誤差に注目する理由

　　ゼータ関数に関わる 2 つの疑問

Ａ．ゼータ関数の「美しい関係」　　なぜオイラーは，関数等式を美しいと　　形容したのか？

Ｂ．ゼータ関数の特殊値　　なぜオイラーは，特殊値を数多く計算　　したのか？

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Ａ．　『美しい関係』（Ｅ３５２）美しい？　

定義

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注）１７４９年に著述

太陽と月の記号

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E117 [ 著述 1748, 出版 1749] Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a. 1748.

1748 年の金冠日食に関する文献

E142 [ 著述 1748, 出版　 1750 以降 ?]Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil.

月の大気に関する推測

金冠日食の観測データ

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解釈上の式・・・太陽が月の背後に位置す

る．下の式・・・太陽の光の環がなおも輝

く．

Ｚ（ｎ－１）／Ｚ（－ｎ）

Γ （ｎ） ｃｏｓ（ｎπ/ ２）

π ｎ

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E41 [ 著述 1735, 出版 1740.] 　 バーゼル問題の解決　　　 　 １２ までのゼータ値 　E101 [ 著述 1745, 出版 1748.]　 『無限解析入門』 ・・・「いくつか書き添えておく」 ２６までのゼータ値 　

E352 [ 著述 1749, 出版 1768.] 　　 美しい関係 ・・・ 「計算した限りを示す」 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３４ までのゼータ値ａ　ｂ　ｃ 　

B ．　ゼータ関数の特殊値のリスト

E212 [ 著述 1748, 出版 1755.] 　 『微分計算教程』 ３０までのゼータ値 　

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ゼータ関数の特殊値

ベルヌーイ数との関係（オイラーの発見）

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予測できる素数たち

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予測が困難な素数たち

周期 p-1

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分子に現れない素数

分子に現れる素数

正則素数　２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、４１、・・・・・・

非正則素数３７、５９、６７、１０１、１０３、１３１、・・・、２８３、・・・、５９３、・・・、６１７、・・・、６８３、６９１、・・・・・・

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3 のどの分子も p で割れない。

⇔B0,B2,B4,…..,Bp-3 のどれかの分子が p で割れる。

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疑問・６９１という素数が ζ （１２）に突如現れたことに　興味を抱かなかったのか？・３４までのゼータ値を求めたのに，最小の非正則　素数３７に気づかなかったのか？

仮説『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に，オイラーは非正則素数を書き記した．基本的には，誤差の素因数として書き記した． 1998=54 ・ 37 1998-1526=472= 8 ・ 59 804=12 ・67=37+59+67+101+103+131+149+157公表しなかった理由は後述

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60 を超える誤差の解釈　　　　　『無限オイラー解析』　　現代数学社

この本はオイラーの問題集．未発見の解答が残っている．

「理系への数学」（現代数学社）　　 9 月号より詳細な探究の連載　　　　『オイラー数学の源流』　　　　第 1 回　巨人オイラー　　　　第 2 回　超越への助走

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３．ある誤差リストの解釈sin と　 cos 　のマクローリン展開の係数の誤差リスト

01 -0.0000000000000000000000000000 03 +0.0000000000000000000000000002 05 -0.0000000000000000000000000006 07 +0.0000000000000000000000000007 09 -0.0000000000000000000000000003 11 +0.0000000000000000000000000005 13 -0.0000000000000000000000000006 15 +0.0000000000000000000000000008 17 -0.0000000000000000000000000006 19 +0.0000000000000000000000000004 21 -0.0000000000000000000000000004 23 +0.0000000000000000000000000002 25 -0.0000000000000000000000000001 27 +0.0000000000000000000000000000 29 -0.0000000000000000000000000001

00 -0.0000000000000000000000000000 02 +0.0000000000000000000000000004 04 -0.0000000000000000000000000004 06 +0.0000000000000000000000000008 08 -0.0000000000000000000000000004 10 +0.0000000000000000000000000004 12 -0.0000000000000000000000000005 14 +0.0000000000000000000000000002 16 -0.0000000000000000000000000006 18 +0.0000000000000000000000000003 20 -0.0000000000000000000000000005 22 +0.0000000000000000000000000003 24 -0.0000000000000000000000000003 26 -0.0000000000000000000000000001 28 -0.0000000000000000000000000002 30 +0.0000000000000000000000000002

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気づくこと　・３１個中２８個もの誤差がある．　・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している．　・誤差は最終一桁の範囲に収まっている．　・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい．

　　　→奇妙な数値データに思える．

偶然の間違いではなく，意図的なものではないか？

sin （正弦）， cos （余弦）　　　　　　　　　－楽譜であれば，面白いだろう．　

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オイラーの公式

　　　　　　　　 eix=cos x+i sin x

係数を組み合わせて，元の指数関数の展開の順番で曲にする！

演奏１

　　楽譜への変換 　　　 - １－シ　０－ド　１－レ　２－ミ　３－ファ　４－ソ　　　　　５－ラ　６－シ　７－ド　８－レ 演奏０どうすれば，曲になるのだろうか？

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リズムの調整　賛美歌を参考

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楽譜

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オイラーの曲であると推測する理由

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４．仮説の全体像

『無限解析入門』がオイラーの問題集だとすると，出題者の義務として解答集も残すだろう．

解答集であると考えられる著作　 E352 　『美しい関係』　 E343 　『ドイツ王女への手紙』

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非正則素数と指数　　　（１０００まで）

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３年前に描いた非正則素数たちの宇宙　　（ p cos (2πk/(p-1)), psin (2πk/(p-1)))

33E343 　ドイツ王女への手紙

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仮説の続き（公表しなかった理由）　非正則素数に関して，オイラーは神秘的な事実を見出した．　けれども，神秘の排除という学界の流れの中では，　その事実の公表は立場上差し控えるべきだった．　他方，オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形では　残しておきたかった．　（ゼータ関数⇔天体⇔ ・・・）　　 1741 年 7 月 25 日　ロシアからベルリンに到着 　　　　↓　 1748 年 7 月 25 日　金冠日食　 1748 年　　　　　　『無限解析入門』出版　　　　　問題集　　　　　　　　　　　　　　↓　 1768 年　　　　　　『美しい関係』出版 　 解答集１　 1768 年　　　　　　『ドイツ王女への手紙』出版 解答集２　　　　　　

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仮説の反証可能性　・誤差の生成理由を説明する．　　・このような数値データは稀ではないこと

を示す．　（誤差が曲になり，しかも生成理由が説明

できないデータの例示）

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参考　ｌｏｇ 105 の計算 log(ab)1/2=(log a+log b)/2 ０　０　７　３　５　５　１　５　８　４　６　７　３　３　７　０　１　７　５　９　７　８　３　

０

０

０

０　０　０　０　０　０　５ ７ ６　１　４　６　５　５　０　３　９　７　８　８　３　

０