第三章线性系统的能控，能观性

第三章线性系统的能控，能观性

控制 u(t)对状态 x(t)的控制能力

输出 y(t)反映状态 x(t)的能力

DuCxy

BuAxtx

)(

第三章线性系统的能控，能观性

控制 u(t)对状态 x(t)的控制能力

输出 y(t)反映状态 x(t)的能力能控性

历史：１９６０　最优控制和最优估计的基础

DuCxy

BuAxtx

)(

能观性

能控标准型能观标准型

结构分解

3.1 系统的能控性

状态的能控性定义定理 3-1 推论准则

３ . １能控性定义

若存在分段连续的 u(t)，能在有限的时间区间内，使系统由某一初始状态 x0, 转移到指定的任一终端状态x(tf),则称次状态是能控的．若系统所有的状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统能控．反之 , 只要有一个状态不能控 , 就称系统不能控 .

１　线性连续定常系统能控性定义

ff xtxxtx

BuAxtx

)(,)(

)(

00

)( 0tx )( ftx)(tu


状态能达

3) 分段连续的 u(t), 无约束

P1

P2

P3

P4 P5

P

1) 对于线性定常系统常选 t0=0, x(tf)=0

2) 可选 x(t0)=0, x(tf) 任意


线性时变系统定义若存在输入信号，能在有限时间

内，将系统的任意一个初始状态转移到终端状态，那么，称该系统的状态变量在时刻是完全能控的，或简称系统在时刻 t0 是能控的。否则，系统就是不完全能控的，或简称不能控的。

)(tu 0tt f

)( 0tx

)( ftx

)(tx0t


2 　线性离散定常系统能控性定义

能控性的例子 :

uxxx

xx

212

11

2

1x

-1

-2

2xu

uxxx

xxx

212

211

2


2 　线性离散定常系统能控性定义

)()()1( kBukGxkx

存在控制序列 u(k),u(k+1),..,u(N-1),能将第 k 步的某个状态 x(k),在第 N 步上到达零状态 ,x(N)=0.其中 N 是大于 k 的有限正数 . 那么就说系统在第 k 步上是能控的 . 若系统在第 k 步所有的状态 x(k)都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统能控．反之 , 只要有一个状态不能控 , 就称系统不能控 .

３ .2 线性定常系统能控性判别

的秩等于 n. rank(M)=n

],...,,[ 12 bAbAAbbM n

N 阶线性定常系统能控的充要条件为能控性判别阵

•单输入系统 buAxx

３ .2 线性连续定常系统能控性判别

jn

jj

At Atet )()(1

0

k

k

jkj t

kt )(

!)(

0

证明 : t

t

dbutxtttx0

)()()()( 00

f

f

t

t

t

t

ff

ff

dbuttx

dbutxtt

txtt

0

0

)()()(

)()()(

0)(,

00

00

３ .2 线性连续定常系统能控性判别

证明 :

t

t

jj

j

n

j

jt

t

j

n

j

j

dut

bAdutbAtx

0

0

)()(

)()()(

0

1

00

1

00

1

1

0

10 ...

],...,[)(

n

n bAAbbtx


3)( Mrank

1031

000

510

10

0

5

,

3

0

12

M

BAAB

解 :

例题 3-1 判别系统的可控性

系统不能控

uxx

1

0

0

301

010

121


rank(M)=3=n

1222

2

12

1

10

100

],...,,[

aaa

a

bAbAAbbM n解 :

例 3-2 判别系统的可控性

ux

aaa

x

1

0

0

100

010

210

所以系统能控


2121 ...,..0,0 andbb

)()det(

],[)...1(

1221112221

222

111

bbbbbbM

bb

bbAbbM解 :

例 3-3 判别系统的可控性

系统能控

ub

bxxu

b

bxx

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1)...2,....

0

0)...1


,02 b

222121

22

211

)det(

)...2(

bbbbbM

bb

bbbABBM

解 :

系统能控

xb

bxx

2

1

0

1)..2

此结论可推广到高阶约当型的系统

３ .2 线性定常系统能控性判别•多输入多输出系统

系统能控

BuAxx

的秩等于 n. rank(M)=n

],...,,[ 12 BABAABBM n



3)( Mrank

24

10

42

01

10

21

00

10

01

24

10

42

,

01

10

212

M

BAAB

解 :

例题 3-4 判别系统的可控性

系统能控

uxx

00

10

01

301

010

121

３ .3 线性连续定常系统能观性

能观性 : 如果对于任意给定的输入 u(t), 在有限的观测时间 ,tf>t0, 使得根据 [t0,tf] 期间的输出 y(t), 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 x(t0), 则称状态 x(t0), 是能观测的 .若系统的每一个状态都是能观测的 , 则称系统是状态完全能观测 , 或简称系统能观 .

1) y(t) 反映 x(t) 的能力 . u==0

2) m=n, x=C-1y

3) 可由 x0 x(t)

Cxy

xtxAxx

00 )(,..


a b


能观性判别 :Cxy

xtxAxx

00 )(,..

的秩等于 n. rank(N)=n

1

...nCA

CA

C

N

N 阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵

TnTTTTT CACACN 1)(...


jn

jj Atttt )()( 0

1

00

k

k

jkj tt

ktt )(

!)( 0

00

00

1

0

)()()( xCAtttCxty jn

jj

证明 : 00 )()( xtttx

0

1

110 ...],...,[)( x

CA

CA

C

IIIty

nnm

n

n

３ .3 线性定常系统能观性判别

2)( Nrank

32

11

,32

N

CA

解 :

例题 3-5 判别系统的能观性

系统能观

xy

xx

11

,30

02


2121 ,0,0 cc

2211212211

21

2211

det,..

,

ccccNcc

ccN

ccCA

满足 :

•对角型系统的能观性

系统能观

xccy

xx

21

2

1 ,0

0

2)( Nrank


,01 c

212121

211

21

)det(

)...2(

cccccN

ccc

cc

CA

CN

解 :

系统能观

xccyxx 21,0

1)..2

此结论可推广到高阶约当型的系统

•约当型系统的能观性

３ .4 离散时间系统的能控性和能观性

)(

1

0

1

)(

011

220

001

)1( kukxkx

在有限个采样周期内 ,u(k)

证明 : 在 3 步内 { 选择 u(0),u(1),u(2) } 可将非零状态 x(0), x(3)=0 转移到零状态 .

)()()1( kHukGxkx •能控性


Tx 012)0(

u(0)

u(1)

u(2)x(1

)

x(2) x(3)=0

)0()0()1(,0 huGxxk


u(1)

)1()0()0()1()1()2(,1 2 huGhuxGhuGxxk

３ .4 离散时间系统的能控性和能观性)2()1()0()0()2()2()3(,2 23 huGhuhuGxGhuGxxk

0

0

0


系统能控的秩等于 n. rank(M)=n

],...,,[ 12 hGhGGhhM n


],,[ 2hGGhhM

M 满秩 , 系统能控


能观性判别 :)()(

)()1(

kCxky

kGxkx

的秩等于 n. rank(N)=n

1

...nCG

CG

C

N

N 阶线性定常系统能观的充要条件为能观性判别阵

非奇异变换不改变系统的能控性和能观性．

３ . ６能控性与能观性的对偶关系

TTT BCCBAA 121212 ,,

222

22222

.........

...2

xCy

uBxAx

,2

两个系统

111

11111

.........

...1

xCy

uBxAx

r 维输入的 m 维输出的 n 阶系统 .

,1

满足如下条件：

则称它们是互为对偶的．

m 维输入的 r 维输出的 n 阶系统 .


系统 1u1

A1

C1B1

x1

y1

系统 2u2

A2=A1T

B2=C1TC2=B1

T

x2y2


]),...(,[

],...,[

21

22222

11

11111

TTnTTTT

n

CACACN

BABABM

222

22222

.........

...2

xCy

uBxAx

对偶原理

111

11111

.........

...1

xCy

uBxAx

系统１的能控性（能观性）等价于系统２的能观性（能控性）

３ . ７能控标准型与能观标准型

nBAABBrankM n ],...,[ 1

xTx c1

•单输入系统的能控标准型

Cxy

buAxx

如果系统状态完全能控性

xCy

ubxAx


110 ...

100

0...00

010

naaa

A

1

0

...

0

b

•单输入系统的能控标准型

1...

...

1...

01

],,...,[

21

32

211

aa

aabAbbAbAT nn

c

110

1

...

n

cCTC


xy

uxx

100

1

1

2

020

113

021

单输入能控标准型系统的传递函数为

012

21

1

012

21

1

...

...)(

asasasas

ssssW

nn

nn

nn

nn

nn

例题 : 3-12 求能控标准型1


123100 1 cTC

0,9,2

29)(

210

3

aaa

AIf rankM=3

109

010

001

],,[ 21 bAbbATc


xy

uxx

123

1

0

0

092

100

010

能控标准型 2


nBAABBrankM n ],...,[ 1

xTx c2

•单输入系统的能控标准型 2

Cxy

buAxx

如果系统状态完全能控性

xCy

ubxAx


1

1

0

1...0

...10

...01

00

na

a

a

A

1

0

...

0

b

•单输入系统的能控标准型 2

],,...,,[ 122

nnc AbAAbbT

110

2

...

n

cCTC


nCACACrankN TnTTTTT ]),...(,[ 1

xTx o11

•单输入系统的能观标准型

Cxy

buAxx

如果系统状态完全能观

xCy

ubxAx


110 ...

......00

0..100

0010

naaa

A

1

1

0

...

n

b

•单输入系统的能观标准型 1

1

11 ...

n

o

CA

CA

C

NT

0...0101

CTC


nCACACrankN TnTTTTT ]),...(,[ 1

xTx o2


Cxy

buAxx

如果系统状态完全能观

xCy

ubxAx


1...002

oCTC


C

CA

CA

a

aa

Tn

nn

o...

1...00

...00

1...

...12

1

2

11

12

1

1

0

1...0

...10

...01

00

na

a

a

A

1

1

0

...

n

b


1...002

oCTC

例题 : 求 3-12 的能观标准型2

226

020

100

2CA

CA

C

N

1

1

0

...

n

b

xy

uxx

100

1

1

2

020

113

021

0,9,2

29)(

210

3

aaa

AIf

rankN=3


1...002

oCTC

例题 :

100

020

226

100

010

90112oT

010

901

200

A

1

2

3

b

３ .8 线性系统的结构分解

线性系统的结构分解

能控性分解能观测性分解

能控能观测性分解

如何分解，线性变换的方法，线性变化不改变系统的能控、能观测性程度分解后的形式如何展现系统的性质


ux

xx

1

1

10

01

2

1

例如 : 观察下列系统的能控性能控字空间


Cxy

buAxx

nnBAABBM n 1

1 ],...,[

线性定常系统

状态不完全能控

xRx c ˆ

2

1

ˆ

....

ˆ

ˆ

x

x

xxCy

uBxAx

ˆˆ

ˆˆˆˆ


线性定常系统

c

c

x

x

x

x

x ....

ˆ

....

ˆ

ˆ

2

1

12

0 0c c cc

ccc

cc c

c

x x BA Au

xAx

xy C C

x


能控性分解12

0 0c c cc

ccc

cc c

c

x x BA Au

xAx

xy C C

x

非奇异变换阵],...,,...,[ 121 11 cncncnccc RRRRRR

ccc

ccccc

xAx

uBxAxAx

12

M 中 n1 个线性无关的列


能控性结构分解


11

111 ˆ)ˆ()()( BAsIBAsIsWx

传递函数W(s)


210

311

101

],,[ 2bAAbbM

uxx

0

1

1

210

301

100

例题 3-15 ，将系统按能控性分解

rankM=2<3

110

011

001

cR


xCRy c 211

ux

bRxARRx ccc

0

0

1

100

221

110

11


xy

uxx

ˆ211

0

0

1

ˆ

100

221

010

ˆ

110

011

101

cR例题 3-15 另选

xy

uxx

ˆ211

0

0

1

ˆ

100

221

110

ˆ

能控标准２型


Cxy

buAxx

nn

CA

CA

C

rankrankN

n

1

1

...

线性定常系统

状态不完全能观

xRx o ˆ

2

1

ˆ

....

ˆ

ˆ

x

x

x

xCy

uBxAx

ˆˆ

ˆˆˆˆ

能观性分解

非奇异变换阵


21

0

0

o o oo

ooo o

oo

o

x x BAu

xA Ax B

xy C

x

能观性分解

uBxAxAx

xCy

uBxAx

ooooo

oo

oooo

21


例题３－１６将系统进行能观性分解

能观性分解

xy

uxx

210

0

1

1

310

301

100

on

on

on

o

o

o

R

R

R

R

R

R

...

...

1

2

1

1

1

1

N 中 n1 个线性无关的行


xy

uxx

001

0

1

1

ˆ

101

021

010

ˆ

变换后

Rank N=2

100

321

2101

oR

432

321

210

2CA

CA

C

N


选择非奇异变换后

系统不完全能控，不完全能观时

oc

oc

oc

co

x

x

x

x

x

能控能观能控不能

观

不能控能观

不能控不能观


系统结构的规范分解

13

21 23 24

43

0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0

co coco co

co coco co

cococo

cococo

co

coco co

co

co

x xA A B

x xA A A A Bu

xAx

xA Ax

x

xy C C

x

x

),,( cococo CBA 是能控能观子系统


occo

occo

xxu

xxy

,

,

ococococ

ocococ

ocococococcooc

cooccococo

xAxAx

xAx

uBxAxAxAxAx

uBxAxAx

43

242321

13

ococcoco xCxCy


1 1 1( ) ( ) ( ) ( )co co coG s C sI A B C sI A B C sI A B


6

4

53

21

,

,

x

x

xx

xx

ococcoco xCxCy

系统结构分解的方法

１２７　　矩阵

能控能观

能控不能观

不能控能观

不能控不能观



对不完全能控不完全能观的线性定常系统，其传递函数只能描述系统中能控且能观测部分的系统特性，

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )co co coG s C sI A B C sI A B C sI A B

所以说：一般情况下，传递函数是系统结构的一种不完全描述。

传递函数状态空间无穷个

最小实现

３ . ９传递函数矩阵的实现

)()( 1 sWDBAsIC

DuCxy

BuAxx

１　实现问题的一般描述

W(s) 满足一定的条件：实系数，真有理分式

对于给定的 w(s) 有下式成立

是 w(s) 的一个实现

状态维数最小的实现称为最小实

现


)()( 1 sWDBAsIC

DuCxy

BuAxx

１　传递函数阵 w(s) 的一个实现

写出一个实现，找出完全能控能观部分．即为 w(s) 的最小实现．

为最小实现的充分必要条件是系统能控能观．

３ .9 传递函数中的零，极点对消

bAsICsw 1)()(

Cxy

buAxx

能控能观的充要条件是 W(s) 没有零极点对消

对单输入－单输出系统实现的能控能观性与传递函数特性的关系


)1)(2(

)2()(

ss

ssw

12

1

0

12

10

y

uxx

例题　传递函数如下，写出它的实现

写出 w(s) 的实现

该实现的能控能观性？

2

22

ss

s


)1)(2(

)2()(

ss

ssw

11

1

0

10

02

y

uxx


写出 w(s) 的另一个实现

能控能观性？

1

1

2

0

ss


)1)(2(

)2()(

ss

ssw

10

1

0

10

02

y

uxx


写出 w(s) 的第３个实现

能控能观性？

1

1

2

0

ss

Matlab 在能控能观中的应用

１　 ctrb(A,B)

M=ctrb(A,B);

Rank(M)

2 obsv(A,C)

N=obsv(A,C);

Rank(N)

第三章作业（习题）

3-1 的 (1)3-23-3 的 (1),(2)

3-63-73-83-9

第三章 线性系统的能控，能观性

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第三章线性系统的能控，能观性