第四章流体运动学和流体动力学基础

第四章第四章流体运动学和流体动力学基础流体运动学和流体动力学基础

第四章流体运动的基本概念和基本方程

§4.1§4.1 研究流体流动的方法§4.2§4.2 流动的分类§4.3§4.3 迹线与流线§4.4§4.4 流管流束流量§4.5§4.5 系统与控制体§4.6§4.6 连续方程§4.7§4.7 动量方程与动量矩方程§4.8§4.8 能量方程 §4.9§4.9 伯努利方程及其应用 §4.10 §4.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化 §4.11 §4.11 粘性流体总流的粘性流体总流的伯努利方程

基本要求基本要求

描述流体运动的欧拉方法和拉格朗日方法质点导数及其定义定常流动与非定常流动一、二、三元流动迹线、流线、流管、流束、流量连续性方程动量方程及其应用伯努利方程及其应用

§4.1 §4.1 研究研究流体流动的方法

1.1. 方法概要方法概要

一、拉格朗日法一、拉格朗日法

2. 2. 研究对象研究对象流体质点

着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。

拉格朗日法

t0 时，坐标 a 、 b 、 c 作为该质点的标志

x=x(a,b,c,t) ， y=y(a,b,c,t) ， z=z(a,b,c,t)

物理概念清晰，但处理问题十分困难

Joseph L.Lagrange(1736-1813)


3.3. 运动描述运动描述

二、拉格朗日法（续）二、拉格朗日法（续）

流体质点坐标：

流体质点速度：

流体质点加速度：

),,,(

),,,(

),,,(

tcbazz

tcbayy

tcbaxx

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx ，，

2

2

2

2

2

2

dt

zda

dt

yda

dt

xda zyx ，，

§4.1 §4.1 研究流体流动的方法

1.1. 方法概要方法概要

一、欧拉法一、欧拉法

着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性。

2. 2. 研究对象研究对象流场

流场流场：：充满运动流体的空间。

2. 欧拉法（局部法、当地法）

某瞬时，整个流场各空间点处的状态),,,( tzyxuu xx

),,,( tzyxuu zz

),,,( tzyxuu yy

),,,( tzyxpp

),,,( tzyx

以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法

Leonhard Euler (1707-1783);

Flow Field--- The region of flow of interest


3.3. 运动描述运动描述

一、欧拉法（续）一、欧拉法（续）

流速场：

压强场：

),,,(

),,,(

),,,(

tzyxuu

tzyxuu

tzyxuu

zz

yy

xx

),,,( tzyxpp

密度场： ),,,( tzyx

其他物理量（ N）场：

),,,(NN tzyx


4.4. 加速度及其他物理量的时间变化率加速度及其他物理量的时间变化率


（ 1）加速度

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

v

dt

dva xxxxx

x

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

va

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

va

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

t

va

zzzzz

yyyyy

xxxxx

vvt

va

)(

或


4.4. 加速度及其他物理量的时间变化率（续）加速度及其他物理量的时间变化率（续）


（ 1）加速度

vvt

va

)(

当地加速度 :表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率；

迁移加速度 :表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。

t

v

vv

)(


4.4. 加速度及其他物理量的时间变化率（续）加速度及其他物理量的时间变化率（续）


（ 2）其他物理量的时间变化率

vtdt

d

密度： ρvt

ρ

dt

dρ

z

ρv

y

ρv

x

ρv

t

ρ

dt

dρyyx


三、两种方法的比较三、两种方法的比较

拉格朗日法欧拉法分别描述有限质点的轨迹

表达式复杂

不能直接反映参数的空间分布

不适合描述流体微元的运动变形特性

拉格朗日观点是重要的

同时描述所有质点的瞬时参数

表达式简单

直接反映参数的空间分布

适合描述流体微元的运动变形特性

流体力学最常用的解析方法

§4.2 §4.2 流动的分类

按照流体性质分：理想流体的流动和粘性流体的流动不可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动

按照流动状态分：定常流动和非定常流动

有旋流动和无旋流动层流流动和紊流流动

按照流动空间的坐标数目分：

一维流动、二维流动和三维流动

§4.2 §4.2 流动的分类

一、定常流动和非定常流动

1. 定常流动流动参量不随时间变化的流动。

),,(

),,(

),,(

zyx

zyxpp

zyxvv

特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。

0＝（）t

即：

§4.2 §4.2 流动的分类

一、定常流动和非定常流动（续）

2. 非定常流动流动参量随时间变化的流动。

特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。

0

t

（）即：

),,,(

),,,(

),,,(

tzyx

tzyxpp

tzyxvv

例：速度场

　　求（ 1） t=2s 时，在 (2 ， 4) 点的加速度；

　　　（ 2 ）是定常流还是非定常流；

　　　（ 3 ）是均匀流还是非均匀流。

jtxyitxyu

)96()64(

（ 1）

　　将 t=2 ， x=2 ， y=4 代入得

　　同理

解：dt

dua x

x

)4()96()6()64()64( ttxyttxyxy

2/4 smax 2/6 smay

jia

64 2/ sm

z

uu

y

uu

x

uu

t

u xz

xy

xx

x

jt

ui

t

u

t

u yx

（ 2）

　　是非定常流

（ 3）

　　是均匀流

uu

0)96()64( jxyixy

0

iy

uu

x

uui

y

uu

x

uu y

yy

xx

yx

x

jtxyitxyu

)96()64(

§4.2 §4.2 流动的分类

二、一维流动、二维流动和三维流动

流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。)(xvv

),,( zyxvv

),( yxvv

一维流动二维流动

三维流动

1. 定义

2 .2 . 实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以简化。

§4.3 §4.3 迹线与流线迹线与流线

一、迹线

流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。1. 定义

迹线——质点运动的轨迹

迹线微分方程：对任一质点

——迹线微分方程

dtudx x

dtu

dz

u

dy

u

dx

zyx

dtudy y dtudz z

A pathline is the actual path followed over later times of a particular particle identified at an initial time and location.


二、流线

在同一瞬间，位于某条线上每一个流体微团的速度矢量都与此线在该点的切线重合，则这条线称为流线。适于欧拉方法。

1. 定义

u

2

1

u u

2

1

3

3 u 6

5

4

5 u

4

6 u

流线


二、流线（续）

2. 流线微分方程u

2

1

u u

2

1

3 3 u 6

5

4

5 u

4

6 u

流线

0d sv

ds

d

v

vzv

ds

dy

v

vyv

ds

dx

v

vxv

z

y

x

),cos(

),cos(

),cos(

zyx v

dz

v

dy

v

dx


二、流线（续）

3. 流线的性质

（ 1）流线彼此不能相交。

（ 2）流线是一条光滑的曲线，不可能出现折点。

（ 3）定常流动时流线形状不变，非定常流动时流线形状发生变化。

v1

v2

s1

s2

交点

v1

v2折点 s

尾迹线、脉线尾迹线、脉线 Steak lineSteak line

例：速度场 ux=a ， uy=bt ， uz=0 （ a 、 b 为常数）　　求 :（ 1）流线方程及 t=0 、 1 、 2 时流线图；　　　（ 2）迹线方程及 t=0 时过（ 0 ， 0 ）点的迹线。

解：（ 1）流线：

　　　　积分：

bt

dy

a

dx

cxa

bty

o

y

xc=0

c=2

c=1

t=0 时流线o

y

x

c=0

c=2

c=1

t=1 时流线o

y

x

c=0

c=2

c=1

t=2 时流线

——流线方程

（ 2）迹线：

　　即

dtbt

dy

a

dx

dta

dx

dtbt

dy

222

xa

by ——迹线方程（抛物线）

o

y

x

注意：流线与迹线不重合

tx

atxadtdx00

ty t

bybtdtdy0

2

0 2

速度场 ux=a ， uy=bt ， uz=0

例：已知速度 ux=x+t ， uy= － y+t

　　求：在 t=0 时过（－ 1 ，－ 1 ）点的流线和迹线方程。

解：（ 1）流线：

　　　积分：　　　 t=0 时， x= － 1 ， y= － 1 　　 c=0

ty

dy

tx

dx

ctytx ))(ln(

——流线方程（双曲线）1xy

（ 2）迹线：

dtty

dy

dttx

dx

tydt

dy

txdt

dx

1

1

2

1

tecy

tecxt

t

由 t=0 时， x= － 1 ， y= － 1 　得　 c1=c2=0

——迹线方程（直线）2 yx

1

1

ty

tx

（ 3）若恒定流： ux=x ， uy= － y

　流线

　迹线

1xy

1xy注意：恒定流中流线与迹线重合

1

1

2

1

tecy

tecxt

t

§4.4 §4.4 流管流束流量流管流束流量

一、流管流束

1. 流管流束流管：在流场内任意作一封闭曲线（不是流线），通过封闭曲线上所有各点作流线，所形成的一个封闭的管状曲面称为流管。

流束：流管内部的流体称为流束。封闭曲线无限小时所形成的流管


一、流管流束（续）

2. 微元流管

微元流管：封闭曲线无限小时所形成的流管

微元流管的极限为流线


二、缓变流急变流缓变流：流线平行或接近平行的流动

缓变流

急变流缓变流急变流

缓变流急变流

缓变流

急变流

缓变流

急变流

急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动


三、有效截面流量平均流速 1. 有效截面处处与流线相垂直的流束的截面

单位时间内流经某一规定表面的流体量

2. 流量

dAxvvqA

v ),cos(

dAvqA

v

3. 平均流速流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商

Aqv va

有效截面：

有效截面——在流束上作出与流线正交的横断面

12

注意：只有均匀流的过流断面才是平面

例：1

2

1 处过流断面2处过流断面

净通量 Flow rate

AAA

V dAdAvdAq nvvnv ),cos(

平均流速 Mean velocity

A

qv v


四、湿周水力半径 1.湿周在有效截面上，流体同固体边界接触部分的周长

2.水力半径

R

χ=2R =AB+BC+CD

A

B C

D

有效截面积与湿周之比称为水力半径

h

AR

A

B

C

ABC

§4.5 §4.5 系统与控制体系统与控制体

一、系统控制体 1. 系统一团流体质点的集合，拉格朗日法研究流体运动的研究对象。

2. 控制体流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象。

始终包含确定的流体质点有确定的质量系统的表面常常是不断变形的

控制体的周界称为控制面一旦选定后，其形状和位置就固定不变

•系统系统 systemsystem

• 由确定质点所组成的集合• 特征组成不变 , 形状可变


一、系统控制体（续）

x

y

z

II

o

II '

z

x

y

n v

n

v

o

III

I

t时刻 t+t时刻系统

控制体


二、输运公式II '

z

x

y

n v

n

v

o

III

I

将拉格朗日法求系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法去计算的公式

推导过程：(1)(1)符号说明符号说明

N : t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等）

n : 单位质量流体所具有的物理量

系统所占有的空间体积

控制体所占有的空间体积

t 时刻

t+t 时刻

II

II’+III

II

II’+I


二、输运公式（续）II '

z

x

y

n v

n

v

o

III

I

推导过程（续）：

t

dVdV

V t

tVttVdVdt

d

dt

dN

0

lim

t

dVdV

tt

dVdV

t

tIttIIItIIttII

dt

dN

00limlim

III III

CVI

n

n

1dA3dA

tt t

v

v

0

0

0 0 0

(

( )

( )

(

( )lim

{ } ( )lim

( )lim lim l

)

( )

( )im

( )

)

sys

t

C

sys

CV II I V

t

CV

t t

CV

I

t

I III

N t

N t

DNDt t

NN t t

NN t t

N

t tt

tt

N

t t

N t t

t

t

N t tt t

V

DN DdV

Dt Dt

dV

N V



z

x

y

n v

n

v

o

III

I

推导过程（续）：

t

dVdV

tt

dVdV

t

tIttIIItIIttII

dt

dN

00limlim

dVtt

dVdV

t

tIIttII

0lim

22

coslim0 CS

nCS

t

dV

tdAvdAvttIII

11

coslim0 CS

nCS

t

dV

tdAvdAvtI

CV CS

ndAvdVtdt

dN



z

x

y

n v

n

v

o

III

I

物理意义：

CV CS

ndAvdVtdt

dN

系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。

在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细情况。

dAvdt

dN

CSn 定常流动：

§4.6 §4.6 连续方程连续方程

一、连续方程（积分形式）本质：质量守恒定律

CV CS

ndAvdVtdt

dN

mdVNV

1

0dt

dm

CV CS

ndAvdVt

0

单位质量

系统的质量

§4.6 §4.6 连续方程连续方程

二、连续方程的其它形式

定常流动： CS

ndAv 0定常流动条件下，通过控制面的流体质量等于零

一维定常流： 21

21

A

n

A

n dAvdAv

常数 2211 AvAv aa

不可压缩一维定常流：常数Ava

在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的质量流量是常量。

在定常流动条件下，通过流管的任意有效截面的体积流量是常量。

CV CS

ndAvdVtdt

dN

实质：质量守恒

1. 连续性方程的微分形式

o

y

x

zdmx

dmx’

dxdy

dz

dt 时间内 x 方向：

流入质量

流出质量

净流出质量

dydzdtudm xx

dydzdtdxx

uudm x

xx

)('

dxdydzdtx

udmdmM x

xxx

)('

连续性方程

同理： dxdydzdty

uM y

y

)(

dxdydzdtz

uM z

z

)(

dt 时间内，控制体总净流出质量：

zyx MMMM

dxdydzdt)u(divdxdydzdtu

由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于　　　　　　密度变化而减少的质量，即

dxdydzdtt

dxdydzdtudiv

)(

dxdydzdtz

u

y

u

x

u zyx

)()()(

0)(

ut

——连续性方程的微分形式

不可压缩流体

　　　　　即

0u

c

0

z

u

y

u

x

u zyx

连续性方程连续性方程 Continuity EquationsContinuity Equationsn v

dA

A

V

dAv

A

dAv

)(

V

dVt

)(

VA

dVt

d -AV

0)(

VA

dVt

d Av

0

VA

dVt

d Av

连续性方程 Continuity equations

稳定流动 Steady flow

0A

d v A

不可压缩流体的流动 Incompressible flow

0A V

d dVt

v A

V

dV V

0

t

V

0c

0A

dAv

0

VA

dVt

d Av

一维（一元）流动的连续性方程一维（一元）流动的连续性方程Continuity Equations of OneContinuity Equations of One--dimensional Flowdimensional Flow

12

1122 AAA

dAvdAvd Av

0111222 AvAv

222111 AvAv 1dA 2dA

1A

1V

2A

2V

不可压缩流动 Incompressible flow

2211 AvAv

2. 连续性方程的积分形式

A1

A2

12

v1 v2

在 dt 时间内，流入断面 1 的流体质量必等于流出断面 2 的流体质量，则

dtQdtQ 2211

222111 AvAv ——连续性方程的积分形式

不可压缩流体 21 QQ c 2211 AvAv

分流时

合流时iQQ

QQi

2211 QQ

( d d d d d d )x y z

A

d v y z v x z v x y V A

[ ]d d d( )( ) ( )

( )[

)]d

( ) (

yx z

z

V

yx

V

x yvv v

x y z

v

x

z

Vv v

y z

( ) ddVVV

VV Vt

dt t

三维流动的连续性方程 0A V

d dVt

v A

0)()()(

tz

v

y

v

x

v zyx

const

Incompressible flow

0

z

v

y

v

x

v zyx

例：已知速度场

　　此流动是否可能出现？

221xyux

xyu y 21

tzuz 21

2t

z

u

y

u

x

u

tzyx

)()()(

解：由连续性方程：

满足连续性方程，此流动可能出现

0)2(2)2(2 txxt

例：已知不可压缩流场 ux=2x2+y ， uy=2y2+z ，且在 z=0 处uz=0 ，求 uz 。

0

z

u

y

u

x

u zyx解：由

　　得 yxz

uz 44

积分 czyxuz )(4

由 z=0 ， uz=0 　得　 c=0

zyxuz )(4

一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）本质：动量定理－－动量定理的时间变化率等于外力的矢量和

CV CS

ndAvdVtdt

dN

V

dVvN

v

CV V CS

n

CS

n ApVfAvvVvt

dddd

动量定理

§4.7 §4.7 动量方程与动量矩方动量方程与动量矩方程程

单位质量流体的动量

流体系统的动量

系统上外力的矢量和

An

V

dApdVf


一、惯性坐标系中的动量方程（积分形式）（续）定常流动的动量方程

V CS

n

CS

n ApVfAvv ddd

定常流动条件下，控制体内质量力的主矢量与控制面上表面力的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量通量的主矢量。

五、定常管流的动量方程


npfAA

FFdAvvdAvv

1122

12

zpfzzzV

ypfyyyV

xpfxxxV

n

n

n

FFvvq

FFvvq

FFvvq

)(

)(

)(

12

12

12

V CS

n

CS

n ApVfAvv ddd

( )VF q v v

入出

• 叶片以匀速 Ve 沿 X 方向运动 , 截面积为 A的一股水流沿叶片切线方向射入叶片 , 并沿叶片流动最后从叶片出口处流出 , 设水流经过叶片时截面积不变 , 因而流速 (Vr) 的大小不变 .

• 已知 A=0.001m2,V0=120m/s,Ve=60m/s, 出口速度方向与水平夹角是 10 度 .

• 求水流对叶片的反作用力 .

x

y

ApplicationApplication

)cossin(sincos 1122222111 vvqFApAp vRx

)]sin(cos[cossin 1122222111 vvqFApAp vRy

将锐边平板插入水的自由射流中，并使平板与射流将锐边平板插入水的自由射流中，并使平板与射流垂直，该平板将射流分成两股，已知射流速度垂直，该平板将射流分成两股，已知射流速度 3030m/sm/s ，总流量，总流量 36l/s36l/s ，， qqv1v1=q=qvv/3/3 ，试求射流偏转角，试求射流偏转角αα 及射流对平板的作用力。及射流对平板的作用力。

水射流直径 d=4cm,速度 v=20m/s,平板法线与射流方向的夹角为 ° ，平板沿其法线方

向运动速度 v’=8m/s 。试求作用在平板法线方向上的力 F 。

30

二、惯性坐标系中的动量矩方程（积分形式）本质：动量矩定理－－动量矩的时间变化率等于外力矩的矢量和

CV CS

ndAvdVtdt

dN

V

VvrN d

vr

动量矩定理

CS

n

CV

CS

n

CV

AprVfr

AvrvVvrt

dd

dd


单位质量流体的动量矩

流体系统的动量矩

系统上外力矩的矢量和

An

V

dAprdVfr

二、惯性坐标系中的动量矩方程（积分形式）（续）定常流动的动量矩方程

定常流动条件下，控制体内质量力矩的主矢量与控制面上表面力矩的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量矩通量的主矢量。


CS

n

CVCS

n AprVfrAvrv ddd

三、旋转坐标系中的动量方程（积分形式）


由相对运动理论，在旋转坐标系中：绝对加速度 =相对加速度 + 牵连加速度 + 哥氏加速度

rr

ger vrdt

vdaaaa

22

三、旋转坐标系中的动量方程（积分形式）（续）


rr

ger vrdt

vdaaaa

22

VVV

Vt

vVt

vVv

t)d(

d

dd

d

dd

d

d

动量的时间变化率

CV CS

ndAvdVtdt

dN

0)d(d

d)(

d

d m

tdV

t

rr vrt

va

t

v

2d

d

d

d 2

V

rr

V

dVvrdt

vddVv

dt

d )22

（

三、旋转坐标系中的动量方程（积分形式）（续）


动量的时间变化率

CV CS

ndAvdVtdt

dN

V

rr

V

Vvrt

vVv

td)2

d

dd

d

d 2

（

外力的矢量和 A

nV

dApdVf

CS

nCV

rCV

r dApdVvrfdVdt

vd )2( 2

CSn

CVr

CSrrn

CVr dApdVvrfvvdVv

t

)2( 2

动量定理

四、旋转坐标系中的动量矩方程（积分形式）


rr

ger vrdt

vdaaaa

22

VVV

dVdt

dvrdV

dt

vrddVvr

dt

d)(

动量矩的时间变化率

CV CS

ndAvdVtdt

dN

0)()( dmdt

ddV

dt

d

rr vrrr

dt

vrd

ardt

vrd

22

V

rr

V

dVvrrrdt

vrd

dVvrdt

d

22（

四、旋转坐标系中的动量矩方程（积分形式）（续）


动量矩的时间变化率

CV CS

ndAvdVtdt

dN

外力矩的矢量和 A

n

V

dAprdVfr

动量矩定理

V

rr

V

dVvrrrdt

vrddVvr

dt

d

22（

CS

n

CV

r

CS

rrn

CV

r dAprdVvrfrvrvdVvrt

)2( 2

六、涡轮机械基本方程式


)(d)( ii

CS

n vrAvvr

)( 1122 vrvrqM Vz

一、能量方程（积分形式）本质：能量守恒定理

CV CS

n AvVtt

Ndd

d

d

V

dVv

uN )2

(2

2

2vu

§4.8 §4.8 能量方程能量方程

单位质量流体的能量

流体系统的能量

单位时间质量力和表面力对系统所做的功

单位时间外界与系统交换的热量

A

n

V

dAvpdVvf Q

CV CSn

CSn

VQdAvpdVvfdA

vuvdV

vu

t

)2

()2

(22

定常流动 CV CS

n

CS

n QdAvpdVvfdAv

uv )2

(2


二、一维流动的能量方程假设条件：(1)不考虑与外界的热量交换，

(2)质量力仅有重力， gf

0Q

CV CSn

CSn

VQdAvpdVvfdA

vuvdV

vu

t

)2

()2

(22

重力作功＝位势能

CSn

CSn

VdAvpdAgz

vuvdVgz

vu

t

)

2()

2(

22

CSCS

n

CSCS

dAvdApvdAvdAvnp

nppp nnn

CSCSn

VdAvdA

pgz

vuvdVgz

vu

t

)

2()

2(

22

CS

n dAvp

CV CSn

CSn

VQdAvpdVvfdA

vuvdV

vu

t

)2

()2

(22


二、一维流动的能量方程（续）

CSCSn

VdAvdA

pgz

vuvdVgz

vu

t

)

2()

2(

22

管道内一维流动的能量方程

理想流体：

粘性流体：

00 v

管壁：进、出截面：

00 vv

0 vv

垂直于

0)2

()2

(22

dAp

gzv

uvdVgzv

ut CS

nV

0＝CS

dAv

定常流动条件下： 0)

2(

2

dAp

gzv

uvCS

n

0)2

()2

(12

22

dAp

gzv

uvdAp

gzv

uvAA

§3.9 §3.9 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用

一、伯努利方程不可压缩理想流体在重力场中的一维定常流动的能量方程。

0)2

()2

(12

22

dAp

gzv

uvdAp

gzv

uvAA

沿流线积分

1

11

21

12

22

22

2 22 p

gzv

up

gzv

u

常数

p

gzv

u2

2

常数p

gzv

2

2


一、伯努利方程（续）

常数p

gzv

2

2

物理意义：

应用范围：

不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位质量流体的动能、位势能和压强势能之和是常数。

(1) 不可压缩理想流体在重力场中的定常流动；(2) 同一条流线上的不同的点；沿不同的流线时，积分常数的值一般不相同。


一、伯努利方程（续）

Hg

pz

g

v 常数

2

2 b

c

1

a a'

2

c'

b'

H

总水头线

静水头线

gv 2/21

gp /1

1z

gv 2/22

gp /2

2z

速度水头

位置水头

压强水头

总水头

不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位重力流体的总水头线为一平行于基准线的水平线。


二、伯努利方程的应用

原理：弯成直角的玻璃管两端开口，一端的开口面向来流，另一端的开口向上，管内液面高出水面 h，水中的 A 端距离水面 H0 。

1. 皮托管

B A

h

H0

由 B至 A建立伯努利方程

ABB ppv

2

2

0gHpB )( 0 hHgpA

ghppv BAB 2)(2


二、伯努利方程的应用（续）

动压管：

1. 皮托管（续）

)(2

BA ppv

静压管与皮托管组合成一体，由差压计给出总压和静压的差值，从而测出测点的流速。


二、伯努利方程的应用（续）2. 文丘里管原理：文丘里管由收缩段和扩张段组成，在入口前直管段上的截面 1和喉部截面 2两处测量静压差，根据此静压差和两截面的截面积可计算管道流量。

h

12△z

1

2

h

由 1至 2建立伯努利方程

2

22

21

21

1 22

pvgz

pvgz

21

21 v

A

Av

])(1[

2)(22

12

212 AA

zgppv

])(1[

2)(22

12

212 AA

zgppAqv

流速：

体积流量：

2211 AuAu g

u

g

pz

g

u

g

pz

22

222

2

211

1

hzzg

pp

2121

212

22

21

22

2121 )/(1

22AA

g

u

g

uuzz

g

pp

2 22 1

2 ( / 1)

1 ( / )V q

g hq C A

A A

99.0~98.0h

1u

1A2A

2u

1p 2p

适用条件

① 流体是不可压缩的，流动为恒定的。② 质量力只有重力。③ 过流断面为渐变流断面。④ 两过流断面间没有能量的输入或输出，否则应进行修正：

whgvp

zHgvp

z 22

2222

2

2111

1

• 如图 , 求喷嘴对管子的作用力 , 忽略摩擦 , 流体是油 , 相对密度是 0.85, 截面 1 上的计示压强为p1=7×105Pa,d1=10cm,d2=4cm.

V

§4.10 §4.10 沿流线主法线方向压强和速度的变化

B

B'

z z

p+p

p

r

W

r

M A

一、速度沿流线主法线方向的变化分析流线主法线方向所受的力：

端面压力：重力分量：

法线方向的加速度：

Ap App )(

cosW

rv /2

cos)(2

WApAppr

vAr

牛顿第二定律

r

z

cos ArgW

)(2

g

pz

rgr

v

假设全场伯努利常数不变

0)2

(2

g

v

g

pz

r

0

r

v

r

v r

Cv

积分

速度分布


B

B'

z z

p+p

p

r

W

r

M A

二、压力沿流线主法线方向的变化（水平面内的流动）分析流线主法线方向所受的力：端面压力：重力分量：

法线方向的加速度：

Ap App )(

0rv /2

牛顿第二定律

r

Cv 代入积分

ApApAppr

vAr )(

2

r

v

r

p 21

21 2r

CCp

压强分布

速度分布


三、直线流动时沿流线主法线方向的变化直线流动 r r

z

流线 p2

2 p1

1

0)(

g

pz

r

g

pz

g

pz

2

21

1

)(2

g

pz

rgr

v

在直线流动条件下，沿垂直于流线方向的压强分布服从于静力学基本方程式。

水平面内的直线流动：

忽略重力影响的直线流动，沿垂直于流线方向的压强梯度为零，即没有压强差。

0

r

p

§4.11 §4.11 粘性流体总流的粘性流体总流的伯努利方程

重力场中一维定常流能量方程的积分形式：

0)2

()2

(12

22

dAp

gzv

uvdAp

gzv

uvAA

缓变流截面常数g

pz

)()(

g

pzgqdA

g

pzgv v

A

)2

()2

()(1

2

223

2

g

vgqa

g

vgqdA

v

v

AdA

g

vgv a

vA

av

aA

wq

vvAAv

hdquugq

dAg

ugvdA

g

ugv

gq v

)(1

)(1

1212

waa h

g

pz

g

va

g

pz

g

va

2

2

2221

1

211

22

能量损失

§4.11 §4.11 粘性流体总流的粘性流体总流的伯努利方程

waa h

g

pz

g

va

g

pz

g

va

2

2

2221

1

211

22

不可压缩粘性流体总流的伯努利方程

应用范围：重力作用下不可压缩粘性流体定常流动任意两缓变流截面

dA

静水头线

总水头线 g

va a

2

21

1

g

p

1

1z

g

va a

2

22

2

g

p

2

2z

wh

试确定突然扩大的直径比 D/d, 以保证测压管的读数 Δh 可以得到极大值 .

水自下而上流动 , 已知 d1=30cm,d2=15cm,U 形管中装有汞 ,a=80cm,b=10cm,试求流量 .

第五章第五章相似原理相似原理和量纲分析和量纲分析

第五章第五章相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析

§5.1§5.1 流动的力学相似§5.2§5.2 动力相似准则动力相似准则 §5.3§5.3 流动相似条件 §5.4§5.4 近似的模型试验§5.5§5.5 量纲分析法

§5.1 §5.1 流动的力学相似流动的力学相似

三类表征流动过程的物理量：三类表征流动过程的物理量：流场的几何形状流场的几何形状流体微团的运动状态流体微团的运动状态流体微团的动力性质流体微团的动力性质模型与原形的全部对应线形长度的比例相等

L

一、几何相似一、几何相似

L

长度比例尺

面积比例尺

体积比例尺

l

lkl

22

2

lA kl

l

A

Ak

33

3

lV kl

l

V

Vk


模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。

二、运动相似二、运动相似

v

vkv

v

lt k

k

vl

vl

t

tk

/

/

l

v

t

va k

k

k

k

tv

tv

a

ak

2

/

/

速度比例尺

加速度比例尺

时间比例尺


模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。

二、运动相似二、运动相似（续）

vlt

l

V

Vq kk

k

k

tl

tl

q

qk

V

23

3

3

/

/

体积流量比例尺

运动粘度比例尺

角速度比例尺

vlt

l kkk

k

tl

tlk

2

2

2

/

/

l

v

k

k

lv

lvk

/

/


模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。

三、动力相似三、动力相似

F

gF

PF

a

PF

gF

F

amFi

F

gF

PF

a

PF

gF

F

amFi

i

i

g

g

P

PF F

F

F

F

F

F

F

Fk

力的比例尺

PF

F

gF

iF

——总压力——切向力——重力——惯性力


四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系

动力相似是决定运动相似的主导因素。

几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。

几何相似是流动力学相似的前提条件。

运动相似是几何相似和动力相似的表现。


五、基本比例尺、其它动力学比例尺五、基本比例尺、其它动力学比例尺

lk长度比例尺

速度比例尺

密度比例尺

vk

22/

/

vl

F

Va

F

i

i

kk

k

kk

k

aVF

VaFk

常选取常选取 ρρ、、 ll 、、 vv的比例尺为为基本比例尺

§5.1 §5.1 流动的力学相似流动的力学相似五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续）五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续）用基本比例尺表示的其它其它动力学比例尺

2 2F l v

Fk k k k

F

力的比例尺

力矩（功、能）比例尺

压强（应力）比例尺

23vllFM kkkkk

Fl

lF

M

Mk

功率比例尺

动力粘度比例尺

2

/

/v

A

F

P

Pp kk

k

k

AF

AF

p

pk

32vlvFP kkkkk

Fv

vF

P

Pk

vlv kkkkkv

vk

§5.2 §5.2 动力相似准则动力相似准则

一、牛顿相似准则

dtVdv

tdvdV

F

F

/

/

2222 vl

F

vl

F

amF

122

vl

F

kkk

k

Nevl

F

22 ——牛顿数

模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。

amF


二、各单项力相似准则模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如重力、粘滞力、总压力、弹性力、表面力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。

重力相似准则

粘滞力相似准则

表面力相似准则

非定常性相似准则

弹性力相似准则

压力相似准则


二、各单项力相似准则（续）1. 重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。

glg

gF kkk

Vg

gV

F

Fk 3

1)( 2/1

gl

v

kk

k

代入

Frgl

v

lg

v

2/12/1 )()(

Fr——弗劳德数，惯性力与重力的比值。

122

vl

F

kkk

k


二、各单项力相似准则（续）2. 粘滞力相似准则

在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。

代入 122

vl

F

kkk

k

lvx

xF kkk

Adydv

Aydvd

F

Fk

)/(

)/(

1

k

kk

k

kkklvlv Re

vllvvllv

Re——雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。


二、各单项力相似准则（续）3. 压力相似准则

在压力作用下相似的流动，其压力场相似。

代入 122

vl

F

kkk

k

2lp

p

pF kk

pA

Ap

F

Fk

12

v

p

kk

k

Euv

p

v

p

22

Eu——欧拉数，总压力与重力的比值。


二、各单项力相似准则（续）4.弹性力相似准则

对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。

代入 122

vl

F

kkk

k

2

/

/lK

e

eF kk

VKAdV

VVdAK

dpA

Apd

F

Fk

12

K

v

k

kk CaK

v

K

v

22

Ca——柯西数，惯性力与弹性力的比值。


二、各单项力相似准则（续）4.弹性力相似准则（续）

弹性力相似准则（气体）

2vCa

Kv

Mac

Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值。

对于气体满足 2/ cK （ c为声速），

§5.2 §5.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）5. 非定常性相似准则对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时间的变化必相似。

代入 122

vl

F

kkk

k

13

/

/

tvlx

x

it

itF kkkk

tvV

tvV

F

Fk

1tv

l

kk

kSr

vt

l

tv

l

Sr—— 斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。


二、各单项力相似准则（续）6. 表面力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。

代入 122

vl

F

kkk

k

lF kkl

l

F

Fk

12

k

kkk vlWe

lvlv

22

We——韦伯数，惯性力与张力的比值。

§5.3 §5.3 流动相似条件流动相似条件

一、流动相似条件保证流动相似的必要和充分条件。

1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程所描述。2.单值条件相似。

几何条件

3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。

边界条件（进口、出口的速度分布等）物性条件（密度、粘度等）初始条件（初瞬时速度分布等）

§5.3 §5.3 流动相似条件流动相似条件

二、流动相似条件解决的问题1. 应根据单值条件相似和相似准则数相等的原则去设计模型，选择模型中的流动介质

3.按相似准则数整理的试验结果，可推广应用到原型及其他相似流动中去

2.试验过程中应测定相似准则数包含的一切物理量，并整理成相似准则数

§5.4 §5.4 近似的模型试验近似的模型试验

在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动与圆形流动的近似相似。

例 3：溢水堰模型， kl=1/20 ，测得模型流量为 300L/s ，

水的推力为 300N ，求实际流量和推力解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则

2vlvAQ 2Q v lk k k

佛劳德准则：v lk k

5 2Q lk k

5 2 5 2 3/ 300 20 537000 / 537 /lQ Q k L s m s

22lvmaF

2 2F v lk k k k

温度不变的水： 1k

由佛劳德准则 v lk k

3F lk k

3 3/ 300 20 2400000 2400lF F k N kN

§5.5 §5.5 量纲分析法量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则量纲：物理量单位的种类，用符号 dim表示。

基本量纲：长度（ L）、时间（ T）、质量（ M）、温度（）

导出量纲：速度 dimv=LT-1 、加速度 dima=LT-2 、密度 dim=ML-3

力 dimF=MLT-2 、压强 dimp=ML -1 T-2

表面张力 dim=MT-2 、体积模量 dimK=ML -1 T-2

动力粘度 dim=ML -1 T-1 、运动粘度 dim=L2 T-1

比热容 dimcp= dimcV=L 2 T-2 -1

气体常数 dimR=L 2 T-2 -1

§5.5 §5.5 量纲分析法量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则（续）1. 物理方程量纲一致性原则

任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。

2.准则方程式

无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。

§5.5 §5.5 量纲分析法量纲分析法二、瑞利法

瑞利法是用定性物理量 x1 、 x2 、… . 、 xn 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y。

nan

aa xxkxy ...2121

k为无量纲系数，由试验确定。

a1 、 a2 、… . 、 an 为待定指数，根据量纲一致性原则求出。

§5.5 §5.5 量纲分析法量纲分析法

三、定理（泊金汉定理）

如果一个物理过程涉及到 n个物理量和 m个基本量纲，则这个物理过程可以由 n个物理量组成的 n-m个无量纲量（相似准则数 i ）的函数关系来描述。

0)...( 21 nxxxF ，，，

0)...( 21 mnf ，，，

一、 ππ定理定理

N=f(n1,n2,n3,…,ni,…nk)取 n1,n2,n3 作为基本单位。1）基本单位应该是名自独立的2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一切物理量的单位

ΠΠ定理定理

iii

iii

zyxi

izyx

zyxii

zyx

nnn

n，nnn

N

nnnn

nnnN

321321

321

321

式中无量数

ΠΠ定理（定理（ E.BuckinghamE.Buckingham ）定理））定理）

),...,,...,,(

),...,,...,,,1,1,1(

)......,,(

54

54

321321321

3

321

2

321

1

321333222111

ki

ki

zyxk

zyxi

zyxzyxzyxzyx

f

f

nnn

n

nnn

n

nnn

n

nnn

n

nnn

nf

nnn

Nkkkiii

0

333

222

111

cba

cba

cba

111 cba1 MTLdim x

222 cba2 MTLdim x

333 cba3 MTLdim x

ExampleExample•管中流动的沿程水头损失（ Δp）

ExampleExample

),,,,,( lvdfp

物理量 d ν ρ Δp μ l Δ

量纲 L LT-1 ML-3 ML-1T-2 ML-1T-1 L L

例：求有压管流压强损失的表达式

解：步骤

a. 找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系 , , , , , , 0f p l d v 7n

b. 选取基本量常取：几何学量 l（ d），运动学量 v，动力学量ρ　

基本量独立条件：指数行列式不等于零1dim LTv

Ld dim

3dim ML

110 111 cba ，，

010 222 cba ，，

031 333 cba ，，

01

031

010

110

c. 基本量依次与其余物理量组成 π项，共 n－ m=7－ 3=4个

1111 cba dv

p

2222 cba dv

3333 cba dv

l

4444 cba dv

k

d.决定各 π项的基本量的指数

111dimdim1cba dvp ：

111 3121 cbaMLLLTTML

比较两边系数

11 c

111 31 cba

12 a

M

L

T 物理量

d ν ρ Δp μ l Δ

量纲

L LT-1 ML-3 ML-1T-2 ML-1T-1 L L

得a1=2， b1=0， c1=1

21 v

p

同理vd

2d

l3 4 d

e. 整理方程式

1 2 3 4 2, , , , , , 0

p lf f

v vd d d

d

k

d

l

vdf

v

p,,

2

d

l

d

kf

v

p

Re,

2

2Re,

22 v

d

lv

d

l

d

kfp

d

kf Re,

2

2 f

p l vh

g d g

应用量纲分析法应注意应用量纲分析法应注意• 必须知道流动过程包含的全部物理量• 常数需靠实验来确定• 不能区分量纲相同而意义不同的物理量

作业作业

• 5-2• 5-3• 5-4

第四章 流体运动学和流体动力学基础

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第四章流体运动学和流体动力学基础