第四节 极限的运算法则一、极限的运算法则

设 lim f(x)=A, limg(x)=B, 则 lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x) (=A±B) ．

( ) lim ( )lim ( )( ) lim ( )

f x f x Ag x g x B

设 limf(x)=A, limg(x)=B, 则

定理 1

定理 2lim(f(x)g(x))=(lim f(x))(limg(x))(=AB) ．

设 limf(x)=A, limg(x)=B, 且 B≠0 ，定理 3则

一、极限的运算法则

注： (1) 以上的定理中，符号“ lim” 下方没有标明自变量的变化过程，意思是指以上定理对自变量的任何一种变化过程都成立．对每个定理，“ lim” 表示自变量的同一个变化过程． (2) 以上定理都要求 f(x), g(x) 的极限存在，商的法则还要求分母的极限不为零．

现证明定理 2 ， 其中 α(x) 、 β(x) 为无穷小，并简记作 α 、 β ，

因为 limf(x)=A, limg(x)=B ，由第四节定理 1 ，

所以 f(x)·g(x) =(A+α)(B+β)=AB+(Bα+Aβ+αβ)

f(x)=A+α(x) ， g(x)=B+β(x) ，

再由第四节定理 1 ，

由第四节定理 3 及其推论， Bα 、 Aβ 、 αβ都是无穷小，且 Bα+Aβ+αβ 也是无穷小，Lim[f(x)g(x)]=AB=[limf(x)][limg(x)] ．

定理 1 和定理 2 可以推广到有限个函数的

如果 limf(x) 存在， c 为常数，则lim[f(x)+g(x)+h(x)]=limf(x)+limg(x)+limh(x) ． 情形．例如 limf(x) 、 limg(x) 、 limh(x) 都存在，则

推论 1lim(cf(x))= c limf(x) ．

如果 limf(x) 存在， n∈N, 则推论 2lim[f(x)]n =[limf(x)]n ．

例 1 设 Pn(x)= a nx n+a n-1x n-1+…+a １ x+a ０，

)( 00011

010 xPaxaxaxa nn

nn

n

证

由例 1 可见，

011

10000

limlimlimlim axaxaxaxxxx

n

xxnn

xxn

.)()(lim 00

xPxP nnxx

任意 x0∈R ，证明)(lim)(lim 01

11

00

axaxaxaxP nn

nnxxnxx

只要计算 Pn(x) 在 x0 的函数值 Pn(x0) ．求当 x→x0 时多项式函数 Pn(x) 的极限，

例 2 求 )12(lim 23

2

xx

x解 )12(lim 23

2

xx

x1222 23 13

表示 x 的 n 次、 m 次多项式， Pm(x0)≠0 ，证明

例 3 设 )()()(

xPxPxQ

m

n , 其中 Pn(x) 、 Pm(x) 分别)()(lim 0

0

xQxQxx

证 由定理 3 和例 1 ，

)(lim

)(lim)(lim

0

0

0 xP

xPxQ

mxx

nxx

xx

)()(

0

0

xPxP

m

n )( 0xQ

例 4 求 1283lim 23

4

2

xxxx

x

解 因为 2·2 ３ -22+1=13≠0 ，由例 3 ， 1283lim 23

4

2

xxxx

x 1382324

132

例 5 求 1

2lim 2

2

1

xxx

x解 x→1 时， x2-1→0 ， x2+x-2→0 ．因此不能用商的极限的运算法则 .

通常记为“ 可能存在，也可能不存在，因此这种极限通常也称为不定式，它可以通过约去使分子、分母同时为零的因式来求解．例如

00

以上这种两个非零无穷小的比的极限，”．由于这种形式的极限，

12lim 2

2

1

xxx

x )1)(1()2)(1(lim

1

xx

xxx 1

2lim1

xx

x

1121

23

x→∞ 时，分子、分母都是无穷大， 所以不能直接用商的极限的运算法则 .

221lim 24

4

xxx

x例 6 求

这种两个无穷大的比的极限是不定式，解

通常记为“ ”．

因为分子、分母关于 x 的最高次幂是 x4, 所以这时可用 x4 同时去除分子、分母，然后取极限，得

221lim 24

4

xxx

x 42

4

)1(2)1(2

)1(1lim

xx

xx

21

1lim 2

2

1

xxx

x例 7 求 解 x→1 时， x2-1→0 ，但 x2+x→2(≠0) ，不能直接用商的极限的运算法则，

由于 011111lim 2

2

2

2

1

xxx

x

因此由第四节定理 4 ，

1lim 2

2

1 xxx

x

)1

21

(lim 21

xxx

x例 8 求 解 因为

所以不能用差的极限的运算法则，这种两个无穷大的差的极限也是不定式，通常记为“∞ -∞” ．这时可以恒等变形

1

lim1 x

xx

1

2lim 21 xx

00成“”或“ ”的极限求解．

)1

21

(lim 21

xxx

x )1)(1()2)(1(lim

1

xx

xxx 2

3

证 因为 x0≠kπ+

2例 9 x ０∈ R ， x0≠kπ+ (k∈Z) ，证明：

(k∈Z) ，0sinsinlim

0

xxxx

由商的极限运算法则，有

x

x

xx

xx

coslim

sinlim

0

0

0tantanlim0

xxxx

2

由第三节例 3 ， 0coscoslim 0

0

xxxx，

xxx

tanlim0

0

0

cossin

xx

0tan x