第六章 数理统计的基本概念

总 体，个 体，样 本， 统 计 量

( 三大定义，三大定理 )

关键词：

2 分布 t 分布 F 分布

数理统计学 是一门以数据为基础的科学 , 可以定义

为收集数据 , 分析数据和由数据得出结论的一组概念、

原则和方法。

例如：若规定灯泡寿命低于 1000 小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。

§6.1 随机样本与统计量 总体：研究对象的全体；

个体：总体中的成员； 总体容量：总体中包含的个体数； 有限总体：容量有限的总体； 无限总体：容量无限的总体，通常将容量非

常大的总体也按无限总体处理。

例：现要研究某一个公司员工工资水平及其影响工资水平的因素 . 这个公司的每个员工就是 " 个体 ", 而所有的员工构成一个 " 总体 ". 由于公司的员工总数是有限的 , 因此 , 是一个有限总体 .

每个员工都附着有年龄 , 性别 , 工种 ,

工资 , 受教育程度等指标 ( 变量 ).

总体的某个指标 X, 对于不同的个体来说有不同的取值 , 这些取值可以构成一个分布 , 因此 X 可以看成一个随机变量 . 有时候就把 X

称为总体 . 假设 X 的分布函数为F(x), 也称 F(x) 为总体 .

数理统计主要任务是从总体中抽取一部分个体 , 根据这部分个体的数据对总体分布给出推断 . 被抽取的部分个体叫做总体的一个 样本 .

随机样本：从总体中随机地取 n 个个体 , 称为一个随机样本。称 n 为样本容量。

简单随机样本：满足以下两个条件的随机样

本 (X1,X2,…,Xn) 称为样本容量是 n 的简单

随机样本。

1. 每个 Xi与 X 同分布；

2. X1,X2,…,Xn 是相互独立的随机变量。

[ 说明 ] ：后面提到的样本均指简单随机样本。由概率论知，若总体 X 具有概率密度 f(x) ，

则样本（ X1,X2,…,Xn ）具有联合密度函数：

1 21

, ,n

n n ii

f x x x f x

如何取得的样本才称是简单随机样本 ?

对于有限总体 , 采用放回抽样就能得到简单随机样本 .

但当总体容量很大的时候 , 放回抽样有时候很不方便 , 因此在实际中当总体容量比较大时 ,

通常将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样本来处理 .

对于无限总体 , 一般采取不放回抽样 .

统计量：不含任何未知参数的样本的函数。

常用统计量：设（ X1,X2,…,Xn ）为取自总体

X 的样本。常用的统计量如下：

1

11. Xn

ii

Xn 样本均值

1

1

13. 1, 2,

1 ( ) 1, 2,

nk

k ii

nk

k ii

k A X kn

k B X X kn

样本矩 阶矩：

阶中心矩：

2 2

1

12. ( ) ,1

n

ii

S X X Sn 样本方差 为样本标准差

答：只有(4)不是统计量。

一般, 用样本均值 X 作为总体均值 ( )E X 的估计;

用样本方差 2S 作为总体方差 2 2( )E X 的估计;

用样本的原点矩 kA 作为总体原点矩 ( )kk E X 的估计；

用样本的中心矩 kB 作为总体中心矩 ( )kk E X 的估

计. （假设总体各阶矩存在）

总体方差的估计可以用 2S 也可以 2B , 主要的区别是 2S 作为

总体方差估计是无偏估计, 但 2B 作为总体方差的估计是有偏的

(关于估计的无偏性将在下一章讨论).

§6.2

统计量的分布称为抽样分布 .

在数理统计中 , 最重要的三个分布分别为 :

2 分布 t 分布 F 分布

2 分布 t 分布 F 分布

2

2 2 2

1 2

2

1

, , 0,1 1,2, ,

1

1

n

n

n

n

i

ii

X X X X N i n

n

X

n

设随机变量 相互独立，

则称

服从自由度为 的 ，

指 式右端包含

分布 记为

的独立变自由度

定义：

量的个数.

2 分布

x

( )f x

0

10n

1n

4n

2 分布的概率密度函数

2 分布的一些重要性质：

2n

0

2分分分分分分

x

()fx

2 2 2 21. , , 2n E n D n 设 则有

2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22. , , ,Y n Y n Y Y Y Y n n 设 且 相互独立，则有

22 分布的可加性性质 称为 ，可推广到有限个的情形：

minY ii ,2,1,~ 2 ,并假设 mYYY ,, 21 相互独立，

则

m

ii

m

ii nY

1

2

1

~

2

2

2 2 2

,0 1,

,

nnf dy

n

y

n

n

为

分布的上 分

对给定的概率 称满足条件 的点

上 分位数 的值可查位数 分布表

通过 Excel 给出 .

（ 1 ）具体如下 : 在 Excel 表单的任一单元格输入“ =” ；

（ 2 ）在主菜单中点击“插入”，点击“函数 (F)” ；

（ 3 ）在选择类别的下拉式菜单中选择‘’统计“ 选择 “ CHIINV” 点击“确定”在函数参数表单中输入 Probability=0.1.

（ 4 ） Deg\_freedom=25, 点击 '' 确定 " 即在单元格中出现 ''34.382".

例：求 251.02

1, 2, ,ii

XY i n

解：(1)作变换

1 2, , , 0,1 1, 2, ,n iY Y Y Y N i n 显然 相互独立，且

2 2 2

1 1

( )n n

ii

i i

XY n

2于是

22 21 2

1 2 2

( )(2) ~ (0,2 ), ~ (1)

2

X XX X N

22 23 4 5

3 4 5 2

(2 )2 ~ (0,6 ), ~ (1)

6

X X XX X X N

1 2 3 4 5

2223 4 51 2

2 2

(2 )( )~ (2)

2 6

X X X X X

X X XX X

与2 相互独立，

故 ＋

2

2

1,

21

,62.

a

b

k

t 分布设 )1,0(~ NX ， nY 2~ ，并且假设 YX , 相互独立，

则称随机变量nY

XT

/ 服从自由度为 n的 t分布。

记为 )(~ ntT

t n 分布概率密度函数

, 0 1, ,t n

f t n dt t n

t n t t

对给定的 称满足条件 的点

为 分布的上 。分布的上 分位数可位数 查分 分布表

1 ( ) ( )t n t n

t 分布

例：求 2505.0t

通过 Excel 给出 .

（ 1 ）具体如下 : 在 Excel 表单的任一单元格输入“ =”

；

（ 2 ）在主菜单中点击“插入”，点击“函数 (F)” ；

（ 3 ）在选择类别的下拉式菜单中选择‘’统计“ 选择 “ TINV” 点击“确定“在函数参数表单中输入 Probability=0.1.

（ 4 ） Deg\_freedom=25, 点击“确定” 即在单元格中出现 ‘‘ 1.708".

F分布

11 2 2 1~ ( , ), ~ ( , )F F n n F F n n性质： 则

5,10F 分布概率密度函数

1 21 2,

1 2 1 2

1 2

, 0 1,

; ,

, ,

,

F n nf x n n dx

F n n F n n

F n n F

对于给定的 称满足条件

的点 为 分布的上 分位数。

的值可查 分布表

11 1 2 2 1( , ) [ ( , )]F n n F n n

例：求 10,91.0F

通过 Excel 给出 .

（ 1 ）具体如下 : 在 Excel 表单的任一单元格输入“ =”

；

（ 2 ）在主菜单中点击“插入”，点击“函数 (F)” ；

（ 3 ）在选择类别的下拉式菜单中选择“统计” 选择 “ FINV” 点击“确定”在函数参数表单中输入 Probability=0.1.

（ 4 ） Deg\_freedom1=9, Deg\_freedom2=10 点击“确定” 即在单元格中出现 ‘‘ 2.347”.

定理 6.3.1 设 1 2, , , nX X X 为来自正态总体

),( 2N 的简单随机样本, X 是样本均值,

则有:

n

NX2

,~ .

§6.3 正态总体下的抽样分布

定理 6.3.2 设 1 2, , , nX X X 为来自正态总体

),( 2N 的简单随机样本 , X 是样本均值 ,

2S 是样本方差, 则有:

(1) )1(~)1 2

2

2

nSn

（

,

(2) X 与 2S 相互独立.

定理 6.3.3 设 1 2, , , nX X X 为来自正态总体

),( 2N 的简单随机样本, X 是样本均值, 2S

是样本方差, 则有:

~ ( 1)X

t nS n

定理6.3.4

).1,1(~)1( 2122

22

21

21 nnFS

S

1 2

2 21 2

1 2

(2) ~ (0,1)

, .

X YN

n n

X Y

其中 分别为样本均值

（3）当 222

21 时，

.2~

1121

21

21

nnt

nnS

YX

w

21 4

1 9

2 21 2

2 21 2

1

42 2

2 1 2 1 21

, , ,

, ,

, ,

( );

(2) ~ ( ), ,

(3) ( ) ~ ( , ), , ,ii

X N X X

Y Y X

X S Y S

D S S

X Ya t k a kS

b X S F n n b n n

例：设总体 ，

与 是取自总体 的两个独立样本，

和 分别为样本均值和样本方差；

求(1)

则 各为多少？

则 各为多少？

22

2

( 1)~ ( 1),

n Sn

解：(1)一般地，由

2

2

( 1)2( 1)

n SD n

42 2( ) .

1D S

n

4 42 2

1 22( ) , ( )

3 4D S D S 所以，

42 2 2 2

1 2 1 211( ) ( ) ( ) .

12D S S D S D S 因此，

2 2

(2) ~ ( , ), ~ ( , ),4 9

X N Y N X Y 且 与 相互独立，

212

1

6 1336~ (3)

3 1313

X YSX Yt

S 所以，

22 21

12

3~ (3),

SX Y S

又 且 与 相互独立，

213~ (0, ),

36X Y N

6 13, 3.

13a k

242 2 22

2 21

42 2

21

81(3) ( ) ~ (4), ~ (8),

( )

ii

ii

SX

X S

且 与 独立，

24 42 2 22

22 21 1

81 1( ) ( ) ~ (4,8),44 8i i

i i

SX X S F

1 21 , ( , ) (4,8).4

b n n