Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Математическая модель глобальных экономических

циклов в классическом приближении

E.C. Куркина

Москва, 2013

Циклы Кондратьева (40-60 лет)Циклы Кондратьева являются разновидностью глобальных исторических циклов, появились в эпоху капитализма, начало первого цикла относят к концу VIIIX в. Шумпетер в 1930-е годы утверждал, что циклы Кондратьева генерируются инновациями. Инновационная теория циклов подтвердилась в последующие годы. Благодаря самоорганизации инновации действуют не в одиночку, а собираются в группы – кластеры. Кластеры базисных технологий приводят к возникновению новых отраслей и тем самым запускают длинные экономические волны, формируя повышательную стадию Кондратьевского цикла. Для экономического цикла Кондратьева характерно то, что изменяются все показатели, и что цикл охватывает все отрасли.

Причины экономических цикловОдно из главных свойств рыночной экономики – наличие экономических циклов. Экономические циклы — циклические изменения экономической конъюнктуры, регулярные колебания уровня деловой активности от экономического подъема (бума) до спада (рецессии).

Основной причиной экономических циклов выступает несоответствие между совокупным спросом и совокупным предложением, между совокупными расходами и совокупным объемом производства, которое порождается инерцией экономических систем.

В стадии кризиса для увеличения прибыли усиливается спрос на инвестиционные товары, что служит стимулом для расширения производства в отраслях, производящих инвестиционные товары.

Вывод, основу экономического цикла составляет изменение инвестиционных расходов. Инвестиции являются наиболее нестабильной частью совокупного спроса (совокупных расходов).

Фундаментальная зависимость, порождающая деловые циклы, в том числе и циклы Кондратьева - это обратная связь между величинами уровня совокупного потребления (он же – совокупный уровень спроса на потребительские товары) и уровнем инвестиций (другими словами, реальный спрос на инвестиционные товары). Чем выше уровень потребления, тем меньше компании заинтересованы в закупке новых основных фондов, так как оборачиваемость средств (капиталоотдача) и норма прибыли также растут. Однако когда потребление падает, что вызвано насыщением емкости рынка товаров, производителям необходимо обращаться к кластеру инноваций, что дает очередной всплеск занятости, покупательной способности и экономика переходит на новый виток.

Выбор модели За основу была взята макроэкономическая динамическая модель, описывающая поведение экономики в долгосрочной перспективе в классическом приближении (соответствует классической модели Солоу). Модель охватывает все основные рынки: рынок труда, капитала, и рынок товаров. Инфляция не учитывается, чтобы исключить движение тренда. Также не учитывается финансовый рынок и банковская сфера.

В основе модели лежит нелинейная система ОДУ относительно изменения восьми основных макроэкономических переменных. Модель дополняется алгебраическими уравнениями, полученными из соотношений балансового типа, в которые входят одиннадцать других важнейших переменных.

S. Hallegattea, M. Ghilc, P. Dumasa, J.-C. Hourcadea «Business cycles, bifurcations and chaos in a neo-classical model with investment dynamics»//J. of Economic Behavior & Organization ,2008, P. 57–77.

Вывод уравненийРынок товаров

• Изменение в размерах запасов вызвано несоответствием между производством Y и спросом D :

dH/dt = Y – D, , (C – потребление, I – инвестиции).• Изменение цены определяется изменением в запасах. Если

товары копятся на складе, цена на них падает:

  dp/dt = -p*αp*H/D.

(В модели Солоу цена p определяется из равенства Y=D)

Рынок труда• Производственная функция Кобба-Дугласа (как в модели

Солоу):

  Y = A*L2/3*K1/3 ,

•   Уровень занятости определяется разницей между эффективным спросом на труд и текущем уровнем занятости:

dL/dt = (Le - L)/ τempl, (τemp =2года), Le = min(Ld, Lmax)

•  Нахождение Ld. Оптимизация производителем спроса на труд:

• Уровень зарплат диктуется кривой Филлипса: 

dw/dt = (L/Lmax - efull)*w/τwage. efull =0.9, τwage=2г.

Производитель стремится оптимизировать свой спрос на труд Ld, считая, что его продукция будет продана.

Заработная плата определяется исключительно из занятости.

τwage позволяет учитывать гибкости рынка труда.

(В модели Солоу зарплата w определяется из предположения полной занятости: L = efullLmax )

Поведение потребителей

(В модели Солоу, общий доход от заработной платы и прибыли (wL + Π), всегда равен потреблению и сбережениям pC + S)• Изменение потребительских запасов денег М в обращении

отражает задержку в располагаемых доходах экономических агентов:

  dM/dt = (w*L + Div) - (p*C + S).

• Уравнения потребления и сбережений :

  C = (1 - ysave)*αM*M/p, S = ysave*αM*M.

Производственный капитал

• Для капитала используется классическое уравнение Солоу:

 dK/dt = I - K/τdep., (τdep= 20 лет), I – инвестиции.

• Уравнение для изменения ликвидных активов производителя F

.• Уравнения для валовой и чистой прибыли:. (Валовая прибыль Π растет с ростом продаж и уменьшается с ростом затрат на труд.)• Производитель распределяет имеющиеся активы

согласно желанию инвестировать:

 I = GinvαFF/p.

• Уравнение для дивидендов:

Div = αFF - pI.

Управленческая экономика

Изменение коэффициента производственных инвестиций:

  .

Распределение дивидендов и инвестиций зависит от чистой прибыли Πn на капитал. Πn сравнивается с уровнем рентабельности ν. Если ожидаемая чистая прибыль на капитал Πn/(pK) выше, инвестирование увеличивается; если, напротив, ожидаемая прибыль ниже, чем ν, инвестиции уменьшаются, что соответствует модели Тобина.

=0, =0.8 – определяют предельные уровни инвестиций.

Акционерная экономика

  . - доходность на капитал

Математическая модель, ликвидные активы , товарные запасы , капитал , занятость , объем денег у потребителей

, уровень цен , зарплата . доля инвестиций

Основные переменные модели

Обозначение Описание Ед. изм.F  H K

L   М  

pw

Ginv

Ликвидные активы банков и компанийЗапасы товаров Капитал Количество занятых работников (труд) Объем потребительской денежной массыЦенаЗаработная плата

Доля инвестиций производителя

Денежная

ФизическаяФизическая Миллионы трудящихся  Денежная ДенежнойДенежная

безразмерная

Вспомогательные переменные моделиОбозначение писание Ед. изм.

Потребительский расход (потребление) Общий спрос Дивиденды

Инвестиции Оптимальный спрос на труд Текущий спрос на труд Доступные запасы Продукция (производство) Валовая прибыль Чистая прибыль

Физическая 

 Физическая Денежная Физическая Число рабочих  Число рабочих Денежная Физическая Денежная Денежная 

Базовые параметры моделиОбозначение

Описание

А=9.3×10−2

 efull = 0.9

Lmax =180

млнysave =0.3

ν = 0.03ρ=0. 1 τdep=20 лет

αinv

αF = 0. 2

αM=0. 2

αp=0. 0036

τempl = 2 г.

τwage = 2 г.

Общая производительность

Равновесный уровень занятости Общее число рабочих

Коэффициент сбережений (доля)Финансовая рентабельность Требуемая доходность на капитал

Время амортизации капиталаКоэффициент инвестиций производителяДоля используемых ликвидных активов производителяДоля используемой денежной массы потребителяЦеновой коэффициент  Временная характеристика занятостиВременная характеристика заработной платы

Стационарное состояние

Состояние равновесия: Y=D, H=0,

Количество денег постоянно. Дополнительное условие: p=1 p – условный уровень

1629.0*180max fulleLL

162 LLL de

pFGtK Finvdep /

Для оставшихся 4-х переменных: F, M, w, Ginv имеем систему 4-х нелинейных алгебраических уравнений. Решаем ее методом Ньютона.

1,,0 max peLLH full

Параметрический анализ моделиСтационарное состояние модели с

параметрами для Евросоюза

 

< 2.83 стационарное состояние устойчиво

Обозначение

Описание Равновесие при

Данные ЕС 2001

Y 

Производство (=спрос = ВВП)

9 8.8

L Количество занятых работников

162 млн 90% 167 млн 92.6%

wL Общая годовая заработная плата

6 5.6

C Потребление 7 6.8S сбережения

потребителей3(2) 1.8

Π Валовая прибыль

3 3.2

Div Годовые дивиденды

4(3) 3.2

I Физические инвестиции

2 1.8

Все значения триллионах евро

Переход действительной части пары комплексно-сопряженных

собственных значений через ноль

 

Бифуркационная диаграмма

 

Графики изменений переменных модели в продолжении одного цикла, длительность

которого составляет примерно 50 лет.

Механизм колебаний

1: Рост занятости, сопровождающуюся ростом потребления и инвестиций. Предприятия инвестируют в новые технологии и новые товары. Начинается рост производства.

2: Высокая занятость сопровождается ростом зарплат и совокупного спроса. В результате высокого спроса и зарплат растут цены. Капиталоотдача стремительно уменьшается из-за высоких зарплат и растущих цен на сырье.

3: Когда капиталоотдача падает ниже нормы прибыльности, наблюдается мощное падение инвестиций, которое усиливает падение спроса из-за высоких цен и насыщения уже имеющимися товарами. Из-за перепроизводства товары лежат на складах, прибыли очень низкие, растет безработица. Цены до последнего держатся высокие (во многих странах работает т.н. «crisis tax», но в конце концов начинают снижаться). Производители ищут выходы из ситуации. Диверсификации в новые, инновационные, товары, еще ждет их впереди.

4: Инвестиции все еще очень низкие, производство сокращается, но спрос уже больше не падает из-за снизившихся цен. Снижение цен и зарплат, а также зарождающийся кластер инноваций повышает капиталоотдачу, что вновь делает инвестиции выгодными. Производители готовятся инвестировать в свое будущее: в новые товары на новых технологиях.

Параметрический портрет

Фазовый портрет

Область устойчивости стационарного состония

Область автоколебаний

Пример для переменных – капитал (K) и денежная масса (M)

Выход колебаний на стационар

Пример для переменной капитал (K)

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Классическая модель экономики

В классической модели экономики, основоположником которой является А. Смит, считается, что деньги не воздействуют на ситуацию в реальном секторе и что все цены относительные. Поэтому в классической модели денежный рынок отсутствует, а реальный сектор состоит из трех рынков: рынка труда, рынка заемных средств и товарного рынка. На всех реальных рынках имеет место совершенная конкуренция, что соответствовало экономической ситуации конца ХVШ и всего ХIХ века, и все цены гибкие. Гибкость цен означает, что цены меняются, адаптируясь к изменениям рыночной конъюнктуры (т.е. к изменениям соотношения спроса и предложения) и обеспечивают восстановление нарушенного равновесия на любом из рынков, причем на уровне полной занятости ресурсов. То есть имеет место саморегулирование рынков, и никто не должен (ни агенты, ни государство) вмешиваться в процесс регулирования экономики, а тем более более в

функционирование самой экономики.

Номер цикла Фаза цикла Даты начал

цикловДаты концов

циклов

IA:

восходящая

Конец 1780-х –

на чало 1790-х гг.

1810–1817 гг.

B: нисходящая 1810–1817 гг. 1844–1851 гг.

II

A: восходящая 1844–1851 гг. 1870–1875 гг.

B: нисходящая 1870–1875 гг. 1890–1896 гг.

IIIA:

восходящая 1890–1896 гг. 1914–1920 гг.

B: нисходящая 1914–1920 гг.  

Длинные волны и их фазы, идентифицированные Н. Д. Кондратьевым

Номер волны

Фаза цикла Даты начал циклов

Даты концов циклов

III

A: восходящая 1890–1896 гг. 1914–1920 гг.

B: нисходящаяС 1914 по 1928/29 гг.

1939–1950 гг.

IV

A: восходящая 1939–1950 гг. 1968–1974 гг.

B: нисходящая 1968–1974 гг. 1984–1991 гг.

V

A: восходящая 1984–1991 гг. 2005–2008 гг.?

B: нисходящая 2005–2008 гг.? ?

«Пост-Кондратьевские» длинные волны и их фазы