新课程 新复习 ( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 )

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新课程 新复习 ( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 ). 省教育厅新课程改革中学数学指导组 陈明华. 关于数学新课程 总复习教学的研究背景. 研究背景之一. ● 关于新课程总复习的教学方法和教学策略 研究已是新课程实施中的一项紧迫任务. —— 2005 年全国有 570 个省级市县实验区的 初中学生毕业与升学. —— 2006 年全国将至少有 1642 个市县实验区 的初中学生毕业与升学. ● 搞好实验区数学新课程总复习工作已是全 国和我省新课程实施中的一项重要工作. 研究背景之二. - PowerPoint PPT Presentation

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新课程 新复习新课程 新复习( 数学新课程总复习的教学方法和教学策略研究 )

省教育厅新课程改革中学数学指导组 陈明华省教育厅新课程改革中学数学指导组 陈明华

关于数学新课程关于数学新课程 总复习教学的研究背景总复习教学的研究背景

研究背景之一研究背景之一●关于新课程总复习的教学方法和教学策略研究已是新课程实施中的一项紧迫任务——2005年全国有 570个省级市县实验区的 初中学生毕业与升学——2006年全国将至少有 1642个市县实验区 的初中学生毕业与升学●搞好实验区数学新课程总复习工作已是全国和我省新课程实施中的一项重要工作

研究背景之二研究背景之二●数学新教材的编排特点不利于学业毕业复习的教学 , 应重新整合教材内容 . 新教材对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的知识内容采用了分散编排在各年级每学期的教材中。优点 体现了各领域知识间““横横””的联系和知识的应用;不足 削弱了各领域知识内““纵纵””的联系,即削弱了各领域知识的系统性和条理性。

研究背景之三研究背景之三●学生学业毕业应具有系统的、完整的知识体系和良好的数学能力——学生学业毕业时需要对所学的间断性的知识进行条理化、综合化、系统化地整理,建构系统的、完整的、科学的知识体系;——学生学业毕业时需要对已学过的数学技能、数学思想和数学方法进行强化、深化和进一步提高,形成良好的数学能力。

研究背景之四研究背景之四 ●教师需要按教育部关于课改实验区初中毕业考试的“指导意见”进行数学学业毕业复习,需要对所教过的知识进行重新整合教学; ●教师需要对数学新课程总复习的教学方法和教学策略进行研究。

数学新课程数学新课程 总复习教学的指导思想总复习教学的指导思想

基本思想之一基本思想之一 ★明确教育部对课改实验区的“初中毕业生数学学科学业考试命题指导”的有关要求 ●数学学业考试命题的基本指导思想 ●数学学业考试的考试形式 ●数学学业考试的考试内容(基础知识与基本技能、数学活动过程、数学思考、解决问题四个方面的具体指标) ●数学学业考试的命题原则

基本思想之二基本思想之二 ★明确总复习的教学目的

●教学目的是制定总复习教学方法和教学策略的重要依据; ●教学目的——使学生将所学的知识系统化、结构化,将其整合为一个有机整体,以利于学生更好地理解和掌握、巩固、熟练基本技能,促使技能类化,培养相应能力;总结、提炼数学思想方法,提高学生思维的策略水平,培养综合运用知识分析问题和解决问题的能力;培养学生良好的心理素质和个性品质,从而达到适应学生毕业考试的需要。

基本思想之三基本思想之三 ★面向全体学生,采用有效的、多样的和可操作的复习教学方法和教学策略 ●针对任教学生的特点进行复习教学; ●复习教学策略——按照复习内容,有针对性地选择和组合已学过的知识、方法、手段、组织形式和步骤,形成有效率意义的复习教学方案; ●复习教学方法——按复习教学策略进行的复习教学方式、操作手段、实施路径等。

数学新课程数学新课程 总复习教学中的方法与策略总复习教学中的方法与策略

复习方法和策略之一复习方法和策略之一 ★ 注重概念建构,实现学生基本概念系统化 ●数学是由大量数学概念和数学命题(基本事实(公理)、定理、法则等)所组成的知识体系,是一门系统性很强的学科; ●总复习应将散见于各册、各章(节)的诸多彼此关联的诸多概念、知识之间建立一定的联系,使之系统化,形成完整的概念知识系统; ●采用有效的建构形式,使学生把概念知识系统内化为自己的认知结构。

案例一——实数的有关概念及实数系的复习

●有关概念: 整数、 分数、 有理数、 无理数、实数、数轴、相反数、绝对值、倒数、平方根、立方根、……(这些概念知识在实数域这个范畴内是彼此相关联的)

(数与代数)

●实数系结构图

实数

有理数

无理数

正有理数 零 负有理数

正无理数负无理数

正整数正分数负整数负分数

有限小数或无限循环小数

无限不循环小数

●有效的建构形式——采用填空方法进行概念回顾和知识建构,促进学生突出概念系统的内化

例 1

绝对值:在数轴上表示数 a 的点与 ____ 的距离叫做数 a 的绝对值;一个正数( a>0 )的绝对值 |a|=_____ ;一个负数( a<0 )的绝对值 |a|=_____ ;任何一个实数的绝对值都是 ______ ;绝对值等于本身的数有 _________ 。

原点a

-a 非负数正数和零

例 2

非负数: _____ 和 ____ 统称为非负数;三种常见的非负数是( 1 ) _____________________;( 2 ) ______________ ;( 3 ) ______________ ;非负数具有如下重要性质:( 1 )若干个非负数的和、积、商(除数不为 0 )仍是 ________ ;( 2 )若干个非负数的和为 0 ,则每一个非负数必为 _______ ;( 3 )若一个非负数不大于零时,则这个非负数必为 ______ ;

正数 零实数的绝对值实数的平方 算术平方根

非负数0

0

案例一 (空间与图形)——四边形与特殊四边形的概念结构的复习

四边形

一组对边平行

梯形

平行四边形

一个角为直角直角梯形

一个角为直角菱形

矩形正方形

两组对边平行

一个角为直角

一组邻边相等,一个角为直角

一组邻边相等

一组邻边相等

复习方法和策略之二复习方法和策略之二 ★深化知识结构认识,促进学生条块知识结构化、系统化和明晰化。

●总复习需要学生对已学过的、带有一定遗忘程度的知识再认识,这种再认识不能是简单的重新学习;

●现代教育心理学的研究表明:学生通过对已学过知识从深化知识结构上进行认识,从知识的条块结构上进行分类整理,使其规范化、结构化和系统化,形成良好的结构性知识,可以有效地纠正原来学习中的模糊或错误认识,便于从知识结构中提取线索,有效地防止信息干扰,使学生在复习后对知识具有稳定的、清晰的观念,增强记忆的清晰度。

案例一—— 以直角三角形为基架的图形知识结构与拓展的复习研究例 1在直角三角形 ABC 中,∠ C=900 , CD 是斜

边 AB 上的高。

A BD

C ●基本结构关系的认识包括:◆角的关系;◆边的关系;◆三角形的相似关系;◆边角关系;

( 1 )相等关系:∠A= BCD∠ , ∠ B= ACD∠ , ∠ACB= ADC= BDC=90∠ ∠ 0

( 2 )互余关系:∠A=900- B=90∠ 0- ACD∠ ;∠B=900- A=90∠ 0- BDC∠ 。

●从角的关系认识A BD

C

( 1 )边的平方关系(勾股定理):AB2=AC2+BC2 , BC2=BD2+CD2 , AC2=AD2+CD2

AB2=AD2+BD2+2CD2

( 2 )利用面积关系导出的边的关系:S ABC△ =S ABC△ , S ABC△ =S ADC△ +S BCD△

S ABC△ : S ADC△ : S BDC△ =AB2 : AC2 : BC2

AC·BC=AB·CD ,AC·BC=AD·CD+BD·CD

AC2

___1BC2

___1CD2

___1+ =

●从边的关系认识

A BD

C

相似关系:△ ABC ACD∽△ ,△ ABC CBD∽△ △ADC CDB∽△

AB : BC : CA=AC : CD : DAAB : BC : CA=CB : BD : DCAC : CD : DA=CB : BD : DC

AC2=AD·AB , BC2=BD·AB ,CD2=AD·DB

●从相似关系的认识

A BD

C

AD=AC·cos A=AC·sin ACD∠ ∠

BD=BC·cos B=BC·sin BCD∠ ∠

AC=BC·tan B ∠ 等等

●从边角关系的认识

A BD

C

拓展 1● 如图,矩形 ABCD 中, BE AC⊥ 交 AC 于 E ,DF AC⊥ 交 AC 于 F (两个全等直角三角形的组合)

A

B C

ED

F

角的关系边的关系相似关系及导出关系边角关系

(基本直角三角的组合产生了许多新的边、角及相似关系)

●如图,等腰△ ABC 中, AD 是底边上的高,DE AB⊥ 于 E , DF AC⊥ 于 F 。

B

A

E F

D C

角的关系(略)边的关系(略)相似关系及导出关系(略)边角关系(略)

拓展 2●如图, P 是⊙ O 外一点, PA 、 PB 是⊙ O 的切线, A 、 B 是切点,连接 OA 、 OB 、 OP , AB ,OP 与 AB 交于 C. (把基本直角三角形与圆结合)

C

B

P

A

O

角的关系(略)边的关系(略)相似关系及导出关系(略)边角关系(略)

案例二——初中学段的函数知识结构的复习研究

●初中学段的函数:正、反比例函数、一次函数、二次函数 ●函数一般解析式中的参数决定了函数和函数图象的性质 ●对函数的复习要以参数为中心建构知识结构,从而使学生形成明晰的知识体系

●按函数一般解析式中参数个数分为:单参数函数、双参数函数和三参数函数 ●单参数函数: y=kx , y=

( 0)k kx

双参数函数: y=ax+b (a≠0)

三参数函数: y=ax2+bx+c (a≠0)

案例一 ●单参数函数( y=kx , y= ) 知识结构复习

( 0)k kx

◆函数确定:一个点确定。 ◆函数分类:( 1 ) k>0 ;( 2 ) k<0 。 ◆几何模型: y=kx 一条过原点的直线;

y= 面积为定值 |k|的长 方形(或双曲线)

kx

◆函数图象( k>0,在一、三象限; k<0,在二、四象限。)

k<0 k>0

O x

y

y=kx

O x

y

y=kx

k>0

k<0

案例二 ●双参数函数( y=ax+b)的知识结构复习 ◆函数确定:两个点确定 ◆函数分类:( 1 ) a>0 , b>0;( 2 ) a>0,b<0;( 3 ) a<0 , b>0;( 4 ) a<0 , b<0。 ◆几何模型:一条直线

◆函数图象:( a>0 必过一、三象限, a<0时必过二、四象限)

O x

y

O x

y

A

B

(a>0,b<0)

A

B

(a>0,b<0)

A

B

(a<0,b<0)

B

A

(a<0,b>0)

◆与坐标轴的交点:( , 0 ),( 0 , b )

ba

◆与坐标轴围成的三角形的面积: S△AOB= 的绝对值2

2ba

案例三 ●三参数函数( y=ax2+bx+c的知识结构复习) ◆函数确定:三个点确定 ◆函数分类:

a>0 四类: (1)a>0,b>0,c>0;(2)a>0,b>0,c<0;(3)a>0,b<0,c>0;(4)a>0,b<0,c<0.

a<0 四类: (1)a<0,b>0,c>0;(2)a<0,b>0,c<0;(3)a<0,b<0,c>0;(4)a<0,b<0,c<0.

(分类的多样性使得参数不定的二次函数问题具有复杂性) ◆几何模型:抛物线

◆函数图象:( 1 )总体图象特点:由 a 确定, a>0 ,开口向上,必过一、二象限,a<0 ,开口向下,必过三、四象限。( 2 )每大类图象特点:由 b2-4ac 的值和 b 的值确定(以 a>0 为例)

●b2-4ac 为非正数时, 只在一、二象限;●b2-4ac 为非负数时, 只在一、二象限;

●b2-4ac 为正数时, b 为 负数时必过第四象限; ●b2-4ac 为正数时, b 为 负数时必过第三象限;基本思路 抓住特征确定图象

复习方法和策略之三复习方法和策略之三 ★注重基础知识与基本技能的迁移与类化,促进学生思维品质的提高和数学能力的形成。 ●从心理学角度来看,基础知识和基本技能的应用实质上就是学生学习的迁移问题,而迁移的实质就是概括,就是提取通性、通法进行应用。

●变式训练是复习中一种有效的学习迁移方法,它可以使学生举一反三,更好地对通性、通法进行概括,具有很好的思维培养价值。

案例一 如图, O 是正方形 ABCD的对角线 AC 、 BD的交点, EF是过 O 的任一直线,分别交 AB 、 CD于 E 、 F 。求证: 四边形 AEFD的面积 = 四边形 BCFE的面积 (或四边形 AEFD≌四边形 BCFE)

A B

D C

O

E

F

变式迁移1 把正方形改为矩形(或菱形),则命题同样成立。

A B

D C

O

E

F

OA

B

D

C

E

F

变式迁移 2

对于任意中心对称图形,此命题同样成立。

·O

E

F

·O

E

F

变式迁移 3 两个中心对称图形的组合图形的中心连线把这两个组合图形分成两个面积相等的图形。

EF

A

N

C

M

O1

BO2

D

(分割方角形钢板问题)

·

·

A

B

C

D

M

N

O1

O2

(拼接图形等积分割)E

F

案例二 如图,△ ABD、 △ ACE分别是以△ ABC的边为一边的等边三角形,连结 BE 、 CD相交于 P ,由此我们可得到 BE=DC ,∠ DPB=600 。

变式迁移 △ACE绕点 A 旋转,图形变了,但结论却仍然是 BE=DC, ∠ DPB=600

●学生的数学能力是学生内化了的经验,能力的形成的发展过程是知识技能这些个体经验的获得与类化的过程。

●在复习中,要注意把学生已掌握的数学方法类化为经验,从而内化为能力。

案例三 如 图,在矩形 ABCD中, AB=12cm, BC=8cm,动点 P1 、 P2同时分别从 B 、 C 出发,沿线路 B→C→D→A , C→D→A向 A 点移动, P1 、 P2移动速度分别为2cm/s, 1cm/s, P1 、 P2移动到 A 点时停止移动, 设△AP1P2 的面积为 y(cm2) ,移动时间为 t(s),求移动中y 随 t 的变化规律。

类化过程分析 ●学生已有知识技能(三角形、四边形的面积计算,正比例函数、一次函数、二次函数、一次方程知识、路程计算等)

△AP1P2 的形状随 P1 、 P2 的移动而变化△AP1P2 的面积计算需通过三角形、四边形组合与分割需根据 t 的变化分段进行讨论运用函数思想、数形结合,分类讨论将已有知识技能类化形成解决代数与几何综合问题的数学能力

研讨过程1 2 1 2APC AP C PP Cy S S S

1 112 (8 2 ) 82 2

1 (8 2 )2

t t

t t

=t2-12t+48(0≤t<4)

1 2APPy S1 8 [ 2( 4)]2

t t

=-4t+32(4≤t<8)

( 1 ) 0≤t<4

( 1 ) 4≤t<8

P1 追上 P2 时, 2t=t+8

∴t=8

2 1AP Py S1 8 [2( 4) ]2

t t

=4t-32(8<t≤10)

( 5 ) 10<t≤20 y=0(10<t≤20)

( 3 ) t=8 , y=0

( 4 ) 8<t≤10

结论y 随 t 的变化规律:

2 12 48(0 4)4 32 (4 8)

4 32 (8 10)0 (10 20)

t t tt t

yt t

t

复习方法和策略之四复习方法和策略之四 ★努力体现数学在实际生活中的应用,促进学生把身边的实际问题数学模型化,学会运用数学知识解决实际问题。 ●教育部《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》在试题命制中强调“普遍关注对学生在具体情境中运用所学知识和技能分析和解决问题能力的考察,注意加强试题与社会实际和学生生活的联系” ●在复习中要把学生生活中的事例和现象与相应知识的复习整合进行。

案例一 ●折纸中渗透了图形的全等、轴对称等知识,因此复习中利用折纸的探究活动,可以有效地实现对全等形、轴对称的复习。 例:把一张长为 a ,宽为 b 的长方形 ABCD沿对角线 AC对折(如图),剪去不重合部分,把剩余部分打开,请说明打开图形的形状,并求其面积。

解析由△ ABE≌ △CDE

AE=CE四边形 AECF是菱形2 2 ,AC a b

2 2bEF a ba

12

S AC EF 2 2 2 212

ba b a ba

2 2( )

2b a ba

案例二 ●镶嵌是学生生活中常见的事例,镶嵌中包含着镶嵌规律的探索(用字母表示数),也包含着方程、图形组合等数学知识,复习中可通过镶嵌这个事例进行相关知识的复习。●例 1:如图是由大小相同的长方形木块所拼成的矩形地板,已知这个矩形地板周长为 340cm,求每块小长方形木块的尺寸(即长和宽)

数学模型 二元一次方程组设长为 xcm,宽为 ycm,则

( 5 ) ( 2 ) 1705

x y x yx y

●例 2 :某宾馆用大小相同的长方形木块镶嵌地板,第一次铺 2 块,第二次把第一次铺的完全围起来,第三次把第二次铺的完全围起来(如图),… …,按此方法,第 n 次铺完后,用字母n 表示第 n 次镶嵌所使用的木块数为 _______

复习方法和策略之五复习方法和策略之五 ★提高阶段测试的有效性,综合测试的仿真性,提高学生应考能力和考试心理素质。 ●在阶段性测试中 , 要充分关注对阶段性知识中通性、通法的测试 , 提高阶段测试的有效性; ●在综合性测试中,要充分关注最后阶段性知识综合测试的仿真性 ( 试题题型、题量、难度、时间要求 ) ,提高学生应考能力和考试心理素质。 ●教师要认真研究指导意见对新课程中考的要求 , 提高自己对考试命题的把握 .

复习方法和策略之六复习方法和策略之六 ★适度拓展,提高能力,促进学生思维更加科学化。 ●新课程实验教材在知识结构上存在的不足影响了学生对一些知识的理解和把握(例一元二次方程 ,二次函数等) ●在复习中,对于一些成绩较好的学生进行适度知识拓展,可以有利于学生更全面地把握一些知识,从而提高能力,促进学生思维科学化,同时也可为高中的数学学习打下一些重要基础。 ●教师也应该拓展自己的知识,使自己能更好的指导总复习教学。

案例一 ●适度补充一元二次方程知识,可促进学生更好地把握一元二次方程,促进对一元二次方程完整地认识。

●ax2+bx+c=0(a≠0 )求根公式: 2

14

2b b acx

a

2

24

2b b acx

a

b2-4ac>0:有两个不相等的实根b2-4ac=0:有两个相等的实根b2-4ac<0:无实数根

1 2 1 2,b cx x x xa a

更加深刻认识方程的系数与方程实数根个数、系数与两根之和、两根之积的密切关系。

●二次函数是初中数学中研究得较完善的代数函数。由于它的完美特性,在对它的研究中可以充分体现函数思想、方程思想及数形结合、分类、变换的思想,因此历来在中考中是作为学生能力测试的最好载体。 ●教师要对二次函数的研究要站在更高的角度来认识二次函数,这样有利于对二次函数有更完整的认识和居高临下的思维方法,更好地处理中考中常见地以二次函数为基架的开放性问题和探究性问题的教学。

●与二次函数有关的三角形的性态研究y=ax2+bx+c(a≠0)

◆研究前提: b2-4ac>0 ◆ 重要四点: A(x1,0) , B(x2,0) C(0,c) , M ( )24,

2 4b ac ba a

◆四个重要的△:△ ABC,△ ABM,△ ACM, △BCM◆研究内容:构成直角△、钝角△、锐角△、 等腰或等边△的条件◆研究要素: a 、 b 、 c

案例二

●以交点三角形△ ABC为例 ●研究结论 充要条件:

ac=-1

( 2 )△ ABC是等边△ b=0 且ac=-3

( 1 )△ ABC 是 Rt△

例: y=3x2+2x-13

y=(m-3)x2+mx-13m

例: y=4x2- 34

非充要条件:( 3 ) ac>0 △ABC是钝角△( 4 ) b=0 △ABC是等腰△

例: y=x2+4x+2

例: y=3x2-4

例: △ ABC是直角△ ac=-12OC OA OB

2 21 2| | | |cc x x c

a 即

( a>0,c<0;a<0,c>0, ac<0)∵ ∴2 cc

a

ac=-1

●以 AB为直径的圆与二次函数问题研究 圆心: 半径 R=( ,0)

2ba

2 42 | |b aca

四个重要△的面积 (b2-4ac>0)2 4(1) | |

2ABCb ac cS

a

2 2

2

( 4 ) 4(2)8ABM

b ac b acSa

(3)S AMC△ =S ACO△ +SCOBM-S ABM△

(4)S BMC△ =S AOC△ +SCOBM-S ABC△

●S△ABM 是解决与面积有关的二次函数上点存在性问题的重要判断量。

●与二次函数有关的三角形面积研究

例:二次函数 y= x2+ x+3与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y轴交于点C , 那么在此抛物线上是否存在这样的点 P , 使 S△APB=2S△ABC 存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由。

13

83

y=ax2+bx+c(a≠0)的对称函数●y=ax2+bx+c的图象关于 y 轴对称图象的函数:

y=ax2-bx+c(a≠0)● y=ax2+bx+c的图象关于 x 轴对称的图象的函数:

y=-ax2+bx-c(a≠0)● y=ax2+bx+c的图象关于原点对称图象的函数:

y=-(ax2+bx+c)(a≠0)

x

y

O

例 :y=x2-4x+3

●关于 y 轴对称的函数 :y=x2+4x+3

●关于 x 轴对称的函数 :y=-x2-4x-3

●关于原点对称的函数 :y=-x2+4x-3

(参看南充市 2005 年新课程实验区中考试题)

初中数学学业毕业与升学考试是义务教初中数学学业毕业与升学考试是义务教育阶段数学科目的终结性考试,受到社会、育阶段数学科目的终结性考试,受到社会、学校、教师、学生、家长的高度关注。教师学校、教师、学生、家长的高度关注。教师作为这次考试中学生总复习迎考的组织者、作为这次考试中学生总复习迎考的组织者、引导者和合作者责任重大,因此教师一定要引导者和合作者责任重大,因此教师一定要注意总复习的教学方法和教学策略,实现学注意总复习的教学方法和教学策略,实现学生数学知识和能力生数学知识和能力的全面提升。的全面提升。

新课程数学总复习可参阅四川省数学会主办刊物:《天府数学》 2005年第 9 期(北京师范大学版教材)《天府数学》 2005年第 10期(华东师范大学版教材)《天府数学》 2005 年第 8 期(九义人教版教材)

谢 谢!