中華大學九十三學年度第一學期中華大學九十三學年度第一學期工程數學工程數學 (( 三三 )) 網路輔助教學教網路輔助教學教

材材

製作人：土木系呂志宗副教授製作人：土木系呂志宗副教授2005.1.242005.1.24

一、使用需知一、使用需知

• 請讀者先執行本請讀者先執行本 PowerPointPowerPoint 檔案。檔案。• 點選按鈕後會執行點選按鈕後會執行 PDFPDF 檔案、檔案、 DirectorDirector 檔案或檔案或 FlFl

ashash 檔案，檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安檔案，檔案業已經過防毒軟體掃瞄，敬請安心使用。關掉心使用。關掉 PDFPDF 檔案、檔案、 DirectorDirector 檔案或檔案或 FlashFlash檔案後，即會回到檔案後，即會回到 PowerPointPowerPoint 畫面。畫面。

• 有任何疑問，請電有任何疑問，請電 (03)518-6722(03)518-6722 或或 09285809470928580947找研究生助教戴雪蘭小姐協助解決，或以電郵找研究生助教戴雪蘭小姐協助解決，或以電郵 cclcclu@chu.edu.twu@chu.edu.tw 通知本人，謝謝您！通知本人，謝謝您！

• DemoDemo 檔案為本輔助教材之代表作，點選按鈕即檔案為本輔助教材之代表作，點選按鈕即可瀏覽。可瀏覽。

二、製作原則二、製作原則

•專業專業 ++ 創意創意 ++ 趣味趣味•「專業」使學生能學得工程數學上的知識！「專業」使學生能學得工程數學上的知識！•「創意」使教材製作與教學方法不斷創新，使「創意」使教材製作與教學方法不斷創新，使

教學更有成效！教學更有成效！•「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得有「趣味」使枯燥乏味的工程數學之學習變得有

趣，讓學生能夠樂於學習！趣，讓學生能夠樂於學習！

三、作業三、作業 1-12(1-12( 含解答含解答 ))

•作業作業 11•作業作業 22•作業作業 33•作業作業 44•作業作業 55•作業作業 66

•作業作業 77•作業作業 88•作業作業 99•作業作業 1010•作業作業 1111•作業作業 1212

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四、工程數學四、工程數學 (( 三三 )) 之之 100100 個提個提要要•後面內容為所建立之工程數學後面內容為所建立之工程數學 (( 三三 )) 的的 100100

個提要，希能以個提要，希能以 小單元式小單元式 的介紹，縮短學的介紹，縮短學習時間，吸引學生進行學習。習時間，吸引學生進行學習。

•本教材是接續「工程數學本教材是接續「工程數學 (( 一一 )100)100 個提個提要」、 「工程數學要」、 「工程數學 (( 二二 )100)100 個提要」所製個提要」所製作之後續教材，故提要之編號是由提要作之後續教材，故提要之編號是由提要 201201編列至提要編列至提要 300300 。。

•為加深修課同學的印象，有製作為加深修課同學的印象，有製作 有趣之小有趣之小動畫動畫，此亦為本輔助教材最大特色之一。 ，此亦為本輔助教材最大特色之一。

提要提要 201~210201~210

• 提要提要 201201 ：二度暨三度空間之向量表示法 ：二度暨三度空間之向量表示法 • 提要提要 202202 ：與向量相關之基本專有名詞 ：與向量相關之基本專有名詞 • 提要提要 203203 ：向量之基本運算規則 ：向量之基本運算規則 • 提要提要 204204 ：向量內積：向量內積 (Inner Product(Inner Product 或或 Dot Product)Dot Product) 之定義 之定義 • 提要提要 205205 ：向量內積之其他性質 ：向量內積之其他性質 • 提要提要 206206 ：正交向量：正交向量 (Orthogonal Vector)(Orthogonal Vector) 之定義 之定義 • 提要提要 207207 ：向量之正交性：向量之正交性 (Orthogonality)(Orthogonality) 定理 定理 • 提要提要 208208 ：利用向量之內積求作功量：利用向量之內積求作功量 (Work) (Work) • 提要提要 209209 ：利用向量之內積推求平面上之單位法線向量 ：利用向量之內積推求平面上之單位法線向量 • 提要提要 210210 ：利用向量之內積推求與另一條直線垂直的直線 ：利用向量之內積推求與另一條直線垂直的直線

提要提要 211~220211~220• 提要提要 211211 ：向量外積：向量外積 (Vector Product(Vector Product 或或 Cross Product)Cross Product) 之定之定

義 義 • 提要提要 212212 ：向量外積之其他性質 ：向量外積之其他性質 • 提要提要 213213 ：： Scalar Triple ProductScalar Triple Product 之定義及其應用 之定義及其應用 • 提要提要 214214 ：： Scalar Triple ProductScalar Triple Product 之其他性質 之其他性質 • 提要提要 215215 ：向量函數之基本微分運算 ：向量函數之基本微分運算 • 提要提要 216216 ：三度空間中之直線表示法 ：三度空間中之直線表示法 • 提要提要 217217 ：三度空間中之曲線表示法 ：三度空間中之曲線表示法 • 提要提要 218218 ：三度空間中之平面表示法 ：三度空間中之平面表示法 • 提要提要 219219 ：三度空間中之曲面表示法：三度空間中之曲面表示法• 提要提要 220220 ：三度空間中之區域表示法 ：三度空間中之區域表示法

提要提要 221~230221~230• 提要提要 221221 ：四種特殊曲面之定義 ：四種特殊曲面之定義 • 提要提要 222222 ：通過曲線上特定點：通過曲線上特定點 PP 之切線 之切線 • 提要提要 223223 ：曲線之長度 ：曲線之長度 • 提要提要 224224 ：速度：速度 (Velocity)(Velocity) 與速率與速率 (Speed) (Speed) • 提要提要 225225 ：切線加速度與垂直加速度 ：切線加速度與垂直加速度 • 提要提要 226226 ：純量函數之梯度：純量函數之梯度 (Gradient) (Gradient) • 提要提要 227227 ：方向導數之定義與意義 ：方向導數之定義與意義 • 提要提要 228228 ：曲面之單位垂直向量 ：曲面之單位垂直向量 • 提要提要 229229 ：向量函數之散度：向量函數之散度 (Divergence) (Divergence) • 提要提要 230230 ：純量函數之：純量函數之 LaplacianLaplacian 的定義 的定義

提要提要 231~240231~240

• 提要提要 231231 ：向量函數之旋度：向量函數之旋度 (Curl) (Curl) • 提要提要 232232 ：曲線座標系統之弧長 ：曲線座標系統之弧長 • 提要提要 233233 ：曲線座標系統之梯度 ：曲線座標系統之梯度 • 提要提要 234234 ：曲線座標系統之散度 ：曲線座標系統之散度 • 提要提要 235235 ：曲線座標系統之：曲線座標系統之 Laplacian Laplacian • 提要提要 236236 ：向量函數之線積分的意義 ：向量函數之線積分的意義 • 提要提要 237237 ：向量函數在平面上之線積分的方法 ：向量函數在平面上之線積分的方法 • 提要提要 238238 ：向量函數在空間上之線積分的方法 ：向量函數在空間上之線積分的方法 • 提要提要 239239 ：與積分路徑無關之線積分的意義 ：與積分路徑無關之線積分的意義 • 提要提要 240240 ：單閉區間：單閉區間 (Simply Connected Domain)(Simply Connected Domain) 的定義 的定義

提要提要 241~250241~250

• 提要提要 241241 ：與積分路徑無關之線積分的判斷方法 ：與積分路徑無關之線積分的判斷方法 • 提要提要 242242 ：純量函數之面積分 ：純量函數之面積分 • 提要提要 243243 ：面積分與：面積分與 Jacobian Jacobian • 提要提要 244244 ：由推求微小面積：由推求微小面積 ddAA的方法建立的方法建立 Jacobian Jacobian • 提要提要 245245 ：二度空間的：二度空間的 GreenGreen 定理 定理 • 提要提要 246246 ：： GreenGreen 定理與面積儀的原理 定理與面積儀的原理 • 提要提要 247247 ：： GreenGreen 定理與邊界元素法 定理與邊界元素法 • 提要提要 248248 ：曲面之面積分 ：曲面之面積分 • 提要提要 249249 ：曲面之面積 ：曲面之面積 • 提要提要 250250 ：通過曲面上特定點：通過曲面上特定點 PP之切平面 之切平面

提要提要 251~260251~260• 提要提要 251251 ：第一個重要的向量定理：第一個重要的向量定理 ---- 散度定理散度定理 (Divergence Theor(Divergence Theor

em) em) • 提要提要 252252 ：散度定理：散度定理 (Divergence Theorem)(Divergence Theorem) 之例證之例證 (I) (I) • 提要提要 253253 ：散度定理：散度定理 (Divergence Theorem)(Divergence Theorem) 之例證之例證 (II) (II) • 提要提要 254254 ：第二個重要的向量定理：第二個重要的向量定理 ---- 史托克定理史托克定理 (Stoke’s Theore(Stoke’s Theore

m) m) • 提要提要 255255 ：史托克定理：史托克定理 (Stoke’s Theorem)(Stoke’s Theorem) 之例證之例證 (I) (I) • 提要提要 256256 ：史托克定理：史托克定理 (Stoke’s Theorem)(Stoke’s Theorem) 之例證之例證 (II) (II) • 提要提要 257257 ：史托克定理：史托克定理 (Stoke’s Theorem)(Stoke’s Theorem) 之例證之例證 (III) (III) • 提要提要 258258 ：： FourierFourier 級數相關問題鳥瞰 級數相關問題鳥瞰 • 提要提要 259259 ：三角函數之正交性：三角函數之正交性 (Orthogonality) (Orthogonality) • 提要提要 260260 ：週期為：週期為 22 的的 FourierFourier 級數 級數

提要提要 261~270261~270• 提要提要 261261 ：週期為：週期為 2L2L 的的 FourierFourier 級數 級數 • 提要提要 262262 ：週期為：週期為的的 FourierFourier 級數級數 (( 或稱之為或稱之為 FourierFourier 積分積分 ) ) • 提要提要 263263 ：週期為：週期為的的 FourierFourier 級數級數 (( 或稱之為或稱之為 FourierFourier 轉換轉換 ) ) • 提要提要 264264 ：： LaplaceLaplace 積分轉換的由來積分轉換的由來 (( 中原土研考過中原土研考過 ) ) • 提要提要 265265 ：特別的提醒：特別的提醒 ---- 在斷點位置上的在斷點位置上的 FourierFourier 級數 級數 • 提要提要 266266 ：特別的提醒：特別的提醒 ---- 在特定點的在特定點的 FourierFourier 級數之函數值 級數之函數值 • 提要提要 267267 ：奇函數與偶函數之定義 ：奇函數與偶函數之定義 • 提要提要 268268 ：奇函數與偶函數之應用 ：奇函數與偶函數之應用 • 提要提要 269269 ：半幅展開：半幅展開 (Half-Range Expansion)(Half-Range Expansion) 之意義與觀念 之意義與觀念 • 提要提要 270270 ：奇函數之半幅展開 ：奇函數之半幅展開

提要提要 271~280271~280• 提要提要 271271 ：偶函數之半幅展開 ：偶函數之半幅展開 • 提要提要 272272 ：： FourierFourier 級數在樑之撓度問題的應用 級數在樑之撓度問題的應用 • 提要提要 273273 ：複數之：複數之 FourierFourier 級數級數 (( 與角度變數有關與角度變數有關 ) ) • 提要提要 274274 ：： FourierFourier 級數在強制振動問題上之應用 級數在強制振動問題上之應用 • 提要提要 275275 ：： Total Square ErrorTotal Square Error 之定義與應用 之定義與應用 • 提要提要 276276 ：有限區間之：有限區間之 FourierFourier 轉換與無限區間之轉換與無限區間之 FourierFourier 轉換 轉換 • 提要提要 277277 ：： Fourier SineFourier Sine 積分與積分與 Fourier CosineFourier Cosine 積分 積分 • 提要提要 278278 ：： Fourier SineFourier Sine 轉換與轉換與 Fourier CosineFourier Cosine 轉換 轉換 • 提要提要 279279 ：微分函數之：微分函數之 Fourier SineFourier Sine 轉換與轉換與 Fourier CosineFourier Cosine 轉轉

換 換 • 提要提要 280280 ：微分函數之：微分函數之 FourierFourier 轉換 轉換

提要提要 281~290281~290

• 提要提要 281281 ：： FourierFourier 轉換之轉換之 ConvolutionConvolution 定理 定理 • 提要提要 282282 ：偏微分方程式的基本概念 ：偏微分方程式的基本概念 • 提要提要 283283 ：偏微分方程式之解的重疊原理 ：偏微分方程式之解的重疊原理 • 提要提要 284284 ：一維波傳方程式的推導 ：一維波傳方程式的推導 • 提要提要 285285 ：分離變數法的精神 ：分離變數法的精神 • 提要提要 286286 ：應用分離變數法解析一維波傳問題 ：應用分離變數法解析一維波傳問題 • 提要提要 287287 ：一維波傳問題之：一維波傳問題之 D’AlembertD’Alembert 解答 解答 • 提要提要 288288 ：應用分離變數法解析一維熱傳問題 ：應用分離變數法解析一維熱傳問題 • 提要提要 289289 ：應用分離變數法解析二維穩態熱傳問題：應用分離變數法解析二維穩態熱傳問題 (( 牽涉牽涉

LaplaceLaplace 方程式方程式 ) ) • 提要提要 290290 ：二維波傳方程式的推導 ：二維波傳方程式的推導

提要提要 291~200291~200

• 提要提要 291291 ：應用分離變數法解析二維波傳問題 ：應用分離變數法解析二維波傳問題 • 提要提要 292292 ：什麼是：什麼是 Fourier-BesselFourier-Bessel 級數？ 級數？ • 提要提要 293293 ：應用分離變數法解析軸對稱波傳問題 ：應用分離變數法解析軸對稱波傳問題 • 提要提要 294294 ：認識三種邊界值問題 ：認識三種邊界值問題 • 提要提要 295295 ：圓柱座標系統的：圓柱座標系統的 Laplacian Laplacian • 提要提要 296296 ：球體座標系統的：球體座標系統的 Laplacian Laplacian • 提要提要 297297 ：一個函數的：一個函數的 JacobianJacobian 問題 問題 • 提要提要 298298 ：兩個函數的：兩個函數的 JacobianJacobian 問題 問題 • 提要提要 299299 ：三個函數的：三個函數的 JacobianJacobian 問題 問題 • 提要提要 300300 ：誤差函數及補誤差函數 ：誤差函數及補誤差函數

五、感言與誌謝五、感言與誌謝

•本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定本輔助教材雖經授課老師多次校閱，一定還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝還是會出現打字等錯誤，敬祈使用者不吝賜教，感激不盡。賜教，感激不盡。

•感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！感謝中華大學提供經費支持本教材之完成！

感謝您的使用感謝您的使用敬請指正敬請指正