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第二章多速率信号处理与小波变换

郑宝玉

2

内 容内 容 多速率信号处理基础 多分辨率分析与小波

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多速率信号处理基础 多速率信号处理概述 多速率信号处理系统及其实现

取样速率变换（抽取与内插）

多速率系统

多速率系统的高效实现

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多速率信号处理概述• 多速率信号处理作为数字信号处理领域的一个重要分支，

近几年得到了极大的发展。促使其发展的根本原因是层出不穷的新的应用领域，如音频、视频信号处理及编码，多载波数据传输等。

• 多速率信号处理的一个显著特点是极高的计算效率，这也是许多系统采用多速率信号处理技术的原因之一；在某些场合，通过采用多速率信号处理技术，可以极大地降低计算量，有利于实现信号的实时处理。

• 这里，我们多速率信号处理的基本概念、实现及其应用。

5

多速率信号处理系统及其实现 取样速率变换（抽取与内插）

多速率系统

多速率系统的高效实现

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取样速率变换• 抽取 (Decimation) : decimator (downsampler)

• 内插 (Interpolation) : expander (upsampler)

基本公式： Y(z) = (1/M)ΣkU(z1/M Wk) ，其中 Y(z) 为抽取器输出

基本公式： Y(z) = U(zM), 其中 Y(z) 为内插器输出

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取样速率变换 ( 续 )

• 内插器 (interpolator) z- 变换 ( 频域 ) 分析

• 时域的扩展 = 频域的压缩

• 扩展器通常伴随内插滤波器 ( 抗镜像滤波器 ) 以移走由于 内插所产生的所有“镜像”频谱。

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取样速率变换 ( 续 )

• 抽取器 (decimator) Z-transform ( 频域 ) 分析

如果输入信号占据频带大于 抽取将引入混迭 (aliasing) 因而抽取通常置于抗混迭滤波器之后。

N/2

9

抽取和内插的说明

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多速率信号处理系统及其实现 取样速率变换（抽取与内插）

多速率系统

多速率系统的高效实现

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多速率系统• 多速率构件的互连

注意：所有抽取器用扩展器代替，上述恒等关系也成立

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多速率系统（续）

• 多速率构件的互连 :

例 1: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=3)

例 2: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=4)

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多速率系统（续）• 多速率构件的互连 :

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多速率系统（续）

参考文献： A.N.Akansu: Multiresolution signal Decoposition, Academic Press,1992

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多速率信号处理系统及其实现 取样速率变换（抽取与内插）

多速率系统

多速率系统的高效实现

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多速率系统的高效实现多速率系统的高效实现 多相分解多相分解 多相分解应用多相分解应用 • 高效实现带通滤波器组 • 高效实现取样速率变换 滤波器组的两种应用形式

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多相分解多相分解 多相分解表示

1

0

)()(M

i

Mi

i zHzzH

II 型多相分解

1

0

)1( )()(M

i

Mi

iM zGzzH

其中 1,...,1,0),()( 1 MizHzG iMi

I 型多相分解

在多速率信号处理系统 (MR-SPS) 中 , 多相 (polyphase)分解是一种非常有用的工具。它不仅在 MR-SPS 理论分析中起着重要作用，而且可以更有效实现 MR-SPS 的结构。

H(z) 称为原型滤波器 ,Hi (zM) 或 Gi (zM) 称为多相分支网络 ( 简称多相网络 ) 或子滤波器 (sb-filter)

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多相分解多相分解 多相网络特性

• 当原型滤波器 H(z) 为理想低通时

• 当原型滤波器 H(z) 为非理想低通时

Hk(zM) 为全通，且 Hk/ H0 的相位呈锯齿形的线性变化

只要 H(z) 的幅度特性足够陡峭 ( 过渡带较窄 ) ，上述特性仍然近似成立。

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多相网络设计

多相分解多相分解（续）

1. 当 H(z)为 FIR滤波器时 21 )2()()()( zMihzMihihzH i

即第 k个多相子滤波器的脉冲响应为

1,...,1,0,)()( MiMnihnhi

20

多相网络设计 ( 续 )

多相分解多相分解（续）

2. 当 H(z)为 IIR滤波器时设

)(

)()(

1

1

k

K

k

k

K

k

pz

zzAzH

则利用恒等式

Mk

M

Mk

Mk

M

k pz

pzpz

pz

1211

则有

Mizb

zazH K

k

kMk

KK

k

kMikM

Mi ,...,1,0,

)(1

)()(

1

1

0

或

21

多速率系统的高效实现多速率系统的高效实现 多相分解多相分解 多相分解应用多相分解应用 • 高效实现带通滤波器组 • 高效实现取样速率变换 滤波器组的两种应用形式

22

多相分解应用－高效实现多相分解应用－高效实现带通滤波器组考虑由原型低通滤波器 H(z) 频移得到中心频率为 的带通滤波器组 Bm(z) ，即

mMm

2

1,...,1,0)()( /2 MmzHzB Mmjzezm

设有多相分解

1

0

)()(M

i

Mi

i zHzzH

则有

MjM

i

Mi

miim ewzHwzzB

21

0

,)()(

23

)(

)(

)(

1

1

111

)(

)(

)(

1)1(

11

0

)1(1

1

1

1

0

2 MM

M

M

M

MM

M

M zHz

zHz

zH

WW

WW

zB

zB

zB

矩阵形式：

结论：可由多相网络与 DFT 处理器的级联来实现带通滤波器组。

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)(nx)(0

jeB

)(1jeB

)(1j

M eB

Band 0

Band 1

Band M-1

•••

)(0jeB

)(1jeB

)(1j

M eB

2

M

2

M

M )1(2

)(nx)(0

MzH Band 0

Band 1

Band M-1

•••

)(1MzH

)(1M

M zH

DFT

1z

1z

25

带通滤波器组（续）带通滤波器组（续）

抽取滤波器的高效实现（二相结构）

即所有滤波器以低速率进行运算

26

[ ]y k

0 ( )MH z

1( )MH z

2 ( )MH z

1( )MMH z

M

[ ]x k

1z

1z

1z

[ ]y k0 ( )H z

1( )H z

2 ( )H z

1( )MH z

M

[ ]x k

M

M

M

1z

1z

1z

抽取滤波器的多相结构

带通滤波器组（续）带通滤波器组（续）

＝

27

带通滤波器组（续）带通滤波器组（续）

内插滤波器的高效实现（二相结构）

即所有滤波器以低速率进行运算

28

[ ]y k

0 ( )LG zL

[ ]x k

1z

1z

1z

1( )LG z

2 ( )LG z

1( )LLG z

[ ]y kL

0 ( )G z

[ ]x k

1z

1z

1z

1( )G z

2 ( )G z

1( )LG z

L

L

L0v

1v

2v

1Lv

带通滤波器组（续）带通滤波器组（续）内插滤波器的多相结构

＝

29

DFT/IDFT 滤波器组

分析滤波器组 综合滤波器组

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DFT/IDFT 滤波器组（续）

分析滤波器组实现：

可见：分析滤波器 Hi(z)是原型滤波器 H0(z)的频移，即

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DFT/IDFT 滤波器组（续）

综合滤波器组实现：

结论：综合滤波器等于（近似）分析滤波器

32

多速率系统的高效实现多速率系统的高效实现 多相分解多相分解 多相分解应用多相分解应用 • 高效实现带通滤波器组 • 高效实现取样速率变换 滤波器组的两种应用形式

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多相分解应用－多相分解应用－高效实现取样速率变换

取样速率增加的多相网络实现（如图）取样速率下降的多相网络实现（如图） 参考文献 :

M.G.Bellager,etc, Digital filtering by polyphase network: Applicationto sample-rate alteration & filterbank, IEEE T-ASSP,24(2),1976

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···

∑

z -(N-1)

z -1

x(nN)

X(zN)

y(n)

Y(z)

取样速率升高

)(0NzH

)(1NzH

)(1N

N zH

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···

x(nN)

X(zN)

y(n)

Y(z)

取样速率降低

+

z -1

z -(N-1)

)(0NzH

)(1NzH

)(1N

N zH

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多速率系统的高效实现多速率系统的高效实现 多相分解多相分解 多相分解应用多相分解应用 • 高效实现带通滤波器组 • 高效实现取样速率变换 滤波器组的两种应用形式 • 子带编码（ SBC) 形式 • 复用转换（ TMUX) 形式

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滤波器组的应用形式之一之一

子带编码

(Subband coding)

子带自适应滤波 (Subband adaptive filtering)

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应用实例

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滤波器组的应用形式之二 之二 - - TMUXTMUX

问题描述 考虑数字电话网络中的频分复用 (FDM) ，即

• M 个不同信源信号 (低速率 )经由内插器和综合滤波器复用成发射信号 (高速率）

• 接收信号 (高速率）通过分析滤波器和抽取器分解分解为 M 个信源信号 (低速率 )

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TMUXTMUX （续）（续） 高效实现方法

假设 M 个信号 通过带通滤波器组

后其输出为 ，即

1,...,1,0),( MmzX Mm

)(zBm 1,...,1,0),( MmzYm

1,...,1,0)()()( MmzBzXzY mM

mm

再将 M 个输出 相加得 Y(z)， Y(z)就是频分复用后的数字信号，当滤波器组用多相网络实现时，有

)(zYm

miM

m

Mm

M

i

Mi

i

M

omm

wzXzHz

zYzY

1

0

1

0

1

)()(

)()(

41

···

∑y(z)

DFT

取样速率升高

z -(N-1)

z -1

)(1N

N zH

)(1NzH

)(0NzH

sF

sNF

)(0Nzx

)(1Nzx

)(1N

N zx

42

TMUXTMUX （续）（续）

TMUX的实现 • 一般实现形式： GDFT/GDHT/DCT(DST)+PPN • 一种典型实现 :2个 PCM 一次群与一个 FDM超群

的复用转换。

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TMUXTMUX （续）（续）

• 特殊的复用转换器 (Transmultiplexers) :

- ideal filters = ideal bandpass filters

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TMUXTMUX （续）（续）• 特殊复用转换器 ( 续 ) ：

PS: special case is Time Division Multiplexing (TDM),

if synthesis and analysis filters are replaced by delay operators (and N=M)

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TMUXTMUX （续）（续）• 特殊复用转换器 ( 续 )

PS: special case is Code Division Multiple Access (CDMA),

where filter coefficients=(orthogonal) user codes

CDMA basics: (see digital coms courses)……

-Each user-i is assigned a pseudo-random code sequence

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TMUXTMUX （续）（续）CDMA basics:

-Reception : If received signal = transmitted chip sequence (i.e. no channel effect, no noise), multiply chips with (synchronized) code sequence + sum.

-Example (user i)

transmitted symbols +1……… -1……… -1……… +1………

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TMUXTMUX （续）（续）CDMA Transmission/reception block scheme :

-transmitter code-multiplication may be viewed as filtering operation,

with FIR transmit filter

-receiver code-multiplication & summation may be viewed as filtering

operation, with receive filter

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TMUXTMUX （续）（续）CDMA

• PS: real-world CDMA more complicated (different channels for different users + channel dispersion (instead of H(z)=1 for all users), asynchronous users, scrambling codes, etc.)

• PS: CDMA application examples :

- IS-95/IS-2000 cellular telephony (Qualcomm)

- UMTS (`wideband CDMA’)

- IEEE 802.11 wireless LANs

- GPS

- cable modems, power line comms, ….