非线性动力学浑沌与因果律

刘华杰

北京大学哲学系

0 引子：“非”字当头的科学

非标准分析…非牛顿流体力学…非史密斯地层学…非平衡统计力学…非线性科学……

非线性 vs 线性

数学家乌拉姆说：非“大象”动物浑沌出自非线性系统非线性动力学（ nonlinear d

ynamics ）浑沌 (chaos)

Chaos 词源简述• 《神谱》中的卡俄斯• 《庄子》中的浑沌• 意义与指称：1. 古代2. 近代3. 现代：普里高津的两种用法

1 非线性动力学• E.A.Jackson 的书：In the beginning… 1.1… there was Poincare

　庞加莱（彭加勒） ( 模仿《圣经》开头一句 )

If modern nonlinear dynamics has a father, it is Henri Poincare(1854-1912)

奥斯卡国王的奖• N 体问题全局通解• 1889 年 1 月 21 日获奖• 1890 庞加莱 158 页变到 270 页的长文发表

于《数学学报》。拓朴学，分岔理论，遍历理论，同宿轨道

• 《天体力学的新方法》三卷本• 但庞加莱并不为同时代人所理解，他与三

次科学革命的接触！• 伯克霍夫 , 莫尔斯 , 李特尔伍德 , 斯梅尔

3 二十世纪 60 年代的两个突破• 保守系统： KAM 定理 Kolmogorov-Arnold-Moser, 333 阶导数 , 阿诺德扩散，标准映射 , • 耗散系统：洛仑兹 (E.Lorenz) 微分

方程 ,10 年后才为人所知 一维非线性映射，杜芬方程，范德坡

方程• 以上研究都发现了 chaos

Lorenz 方程 (1963)

)28,3

8,10(

),,(

.,

)(

rb

xzxy

bzxydt

dz

xzyrxdt

dy

yxdt

dx

标准取值非线性项为

Lorenz 系统相空间几何示意图(I)

Lorenz 系统相空间几何示意图(2)

浑沌故事多• 1963,1972-73,74,75, Lorenz-

Feller-Jorke-Li-Robert May• 1975 年 12 月《美国数学月

刊》• “ 周期三则浑沌”，经典论文• 洛仑兹，上田与导师林千博• “ 浑沌与流行的乐观主义背道

而驰”。

Duffing 振子与 Ueda 吸引子

tFxdt

dx

dt

xd

tetfdt

dx

dt

xd

cos

)()(

32

2

2

2

或

Chihiro Hayashi, Yoshisuke Ueda

上田吸引子

Y. UedaAttractor

1970-1980 年代一维非线性麻雀

• 源于实际的种群生态学问题• 非线性映射的数学分析：符号动力学（起

源更早， MSS ， DGP ）• 麻雀虽小。。。• Feigenbaum 常数

Li-Yorke 定理：

假设 f 是从实数空间 R 到实数空间 R 的连续函数，同时假设 f 有一个周期 3 点，则存在一个不可数的子集 S ，

对于 S 中的任何两点 x ， y ，有

0|)()(|suplim

yfxf nn

n

.0|)()(|inflim

yfxf nn

n

一维逻辑斯蒂映射

)]1(exp[:3,1:2

),1(:1

1

21

1

nnn

nn

nnn

XXXXXXaXX

0

参数空间

相空间

准备放大此部分

伯努力移位映射 (Bernoulli shift)展示对初始条件的敏感依赖性 (SDI)

（以下据朱照宣， 1984 ， 1992 ）

无限不循环无理数，

变为周期循环：

n

nk

n

nk

nn

xx

xM

x

xx

xnMx

xx

)8

1

2

11(

28

13)4(

.0,2

)8

11(

28

13)3(

...7/67/37/57/6...

,28

13)2(

.0,,2/)1(

)1(mod2

1000)4(

0

1000)3(

0

)2(0

)1(0

1

福特教授，浑沌福音传教士，组织科

莫会议。

普里高津，郝柏林R.May, Jeff Xia( 夏志宏 ),G+P 算法，浑沌控制，圣菲研

究所

4 浑沌淘金热（ 1980 年代后）

概念小结：“中央之帝”为 Chaos

• There are systems whose trajectories do not monotonically approximate any ideal state. They are sensitive dependence to initial conditions.

• 浑沌轨道在相空间中：回复而不殆，周行而不闭。

• 浑沌轨道在轨道意义上不稳定，在结构意义上可以稳定：局部上总也安顿不下，整体上又跑不掉。

5 浑沌哲学之一 :因果性或者分离规则（ MP ）

Hi: “I have found that such an object ( 物象 )has always been attended with such an effect,”

Hii: “I foresee that other objects which are in appearance similar will be attended with similar effects.”

“These two propositions are far from being the same.”

(Hume ， An Inquiry Concerning Human Understanding, The Library of Liberal Arts, Bobbs-Merrill, 1955, p.48)

• 休谟认为，由 Hi 不可能必然地得到 Hii 。

• 那么 Hi∧ 　？　→ Hii 　　？

• 要加点儿什么？要补充什么条件？

• 自然的均一性、归纳原理？联想律？

休谟论因果性

休谟谈到了两种相似性

初始条件的相似性，这属于测量问题，与经验论的假设有部分关系。

条件句蕴涵关系的相似性，这才涉及因果必然性的问题、归纳推理可靠性的问题。

两种相似性的澄清• Hiii ：此一原因必导致此一结果（ A→B ）• Hiv ：相似的原因导致相似的结果（ A+δA→B

+δB ）• 前一种相似性用“ δ”刻画，后一种相似性用

“→”刻画。• Hi∧ 　？　　→ Hii 　或者　　 Hiii ∧ ？ 　→ Hiv 　

分离规则 MP 的地位与性质• 逻辑学的基石之一 Modus ponens ： （ 1 ）若 A 则 B

（ 2 ）已知 A

（ 3 ）所以 B

• 从卡罗尔悖论到 MP 的可操作性• 演绎逻辑与归纳逻辑不对称性的恢复

麦克斯韦（ 1831－ 1879 ）于 1873说：• “ 从同样的前件得出同样的后件，这是一个形而

上学教条。没有人能否定这一点。但是，实质上它并无很大用处，在这个世界上，同样的前件从不再出现，任何事物也不发生两次，……物理学公设与此有类似之处：‘从类似的前提得出类似的结果。’然而，在这里我们从相同过渡到了相似，从绝对的精确性过渡到了多少有些粗糙的近似。对于某些类现象，数据中小的误差在结果中只引起小的误差。在这些情形中，事件的进程是稳定的。也可以出现不稳定性，随着变量数目的增加，这些情形的数量以极快速的方式增长。”

麦克斯韦还说：• “若事物之状况使得当前状态 (state) 的无穷小

的改变，对某个未来时间的状态将只改变一个无穷小量，那么，此系统的态势（ condition ） ,无论是静止还是处于运动中，都称作稳定的。若当前状态的一种无穷小的改变，在有穷时间内可以引起系统状态的一种有穷的差别，则系统的状态称作不稳定的。现已明确，不稳定态势的存在性，使得对未来事件的预测变得不可能，如果我们对目前状态的知识只是近似的而非精确的。”

布里渊 (L.Brillouin ） 1964 年说：

• “翻开一本纯数学书，看一个定理，总会见到这样的叙述：给定某些条件 A 、 B 、 C, 假定它们被确切地满足，则可以严格证明结论 Q正确。物理学家不禁要问，我们怎么知道条件 A 、 B 、 C已被确切地满足？”

• “我们所知道的唯一东西是， A 、 B 、 C 可以在一定范围内被近似地满足。那么，定理证明了什么呢？或者 A 、 B 、 C 的很小的误差可以导致结果 Q 的很小的偏差；或者不然，可能完全破坏了 Q 。”

稳定性条件？• 无论是麦克斯韦、庞加莱还是布里渊，都远远走在时代的前列（约超前 50－ 80 年）。

• 浑沌系统对初始条件具有敏感依赖性，不满足稳定性假设，因而对于这样的系统，由 Hiii无法得到 Hiv 。这里非常重要的一点是，初条件的行为具有奇异性，不具有“单调性” 。

• 打个比方，由北京天安门前的国旗杆处出发，到达上海浦东的东方明珠塔这个目标。

朱照宣 ,1987 年 ,牛顿《原理》三百年祭• “ 《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两

个阶段。前 280 年是一阶段。那时认为由运动微分方程所确定的动态总是确定性的。……后 20 年则是另一个阶段。以卡姆定理 (KAM) 为代表的浑沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和统计力学之间没有不可逾越的界线。 ……不仅大量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学摘除了‘机械论’的帽子。” (朱照宣 1987, 第 1-2页 )

费格尔 （ Herbert Feigl,1902-1988 ）说

“A causes B” or “A is the cause of B” means that wherever and whenever A occurs it is followed (or attended) by B. Since a precise repetition of A may not be feasible (or discoverable), a less stringent formulation would use something like a mathematical limit process: The more the actual condition A' approximates the conceived (ideal) condition A, the more actual effect B' will approximate the (ideal) effect B. 　 (H.Feigl, Notes on Causality, in Readings in the Philosophy of Science, 1953, pp.408-418.)

续 Herbert Feigl

• 汉语大意为：“ A 引起 B”或“ A 是 B 的原因”意味着， B 总是跟随 A 。由于精确重复 A 不可能实现或不可测量，就要用到一种不太严格的类似数学极限过程的形式：实际条件 A′越趋近于给定理想条件 A ，实际的结果 B ′就将越趋近于理想的结果 B 。

• 评：但是，极限可能不存在！可能不存在单调的趋近过程（参见 Li-Yorke定理）

• 但是科学哲学家迪昂和波普尔是知道动力学不稳定性带来的问题的。

6 讨论• 因果性的必然性问题，不是一个纯逻辑学

问题，不可能只通过逻辑论证得到彻底解决。的确，是人的活动奠定了因果性的基础。因果律天然具有任意性、模糊性。

• 它也不是在经验论框架内可以解决的。休谟采用怀疑论与人性论的双重标准。康德用先天综合真理“解决”了此问题，但是与自然科学不符！

设想的必然性在哪里？• 必然性、偶然性等都只是人类建构的观念，用来模拟自然过程，自然过程没有必要一定要符合人的此类模拟。人的认识介于偶然与必然两极中间的广阔地带。

• 模型与实在的相似性是自然科学成功的一个关键，但模型是可错的，所以科学也是可错的。自然科学理论没有（逻辑）必然性。

• 任何一种好的科学理论也只是暂时合理的。　

Chaos 对于认识增加了什么？• 在自然科学层面， chaos告诉我们，简单的非

线性作用也能导致复杂的结果；复杂结果的原因也可能是简单的。

• 休谟的怀疑是千真万确的，发展科学，就是要寻找各种各样具体的稳定性、对称性、不变性、规律、均一性、可预测性等等。

• 对于 Hume举的那个具体例子，科学家要针对不同的系统，找出 Hume-Maxwell-Duhem-Brillouin 条件，才能保证操作性因果律的实现。此条件在不同的前提假定下有不同的提法。

置因果律于何地？• 操作性因果律有时无法实现，由此仍然不能得出抛弃因果律的强结论，实际也没必要。

• 即使考虑量子现象，也没有必要抛弃因果律。如H.Bergmann 所认为的，因果律是科学的先验前提，是不能由经验证明或推翻的，它的可能性就是一切科学的可能性。 Carnap 也说：休谟并不打算摒弃因果性概念，只是要纯化它。

• 我们也不想简单地放弃因果律，而是要明确它的或然性，进而确定因果推断成立的具体条件。

延伸阅读：

《天遇》，上海科技教育出版社。

《混沌：开创新科学》，上海译文出版社。高教社 2004 年有新版。

《浑沌语义与哲学》，湖南科学技术出版社。

《机遇与混沌》，上海科技教育出版社。

《浑沌学纵横论》，中国人民大学出版社。