Дисциплина ЛААГ(линейная алгебра

и аналитическая геометрия)

Кафедра высшей Кафедра высшей математикиматематикиТПУТПУЛектор:Лектор:доцент доцент Тарбокова Тарбокова ТатьянаТатьяна ВасильевнаВасильевна

Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве

• Разделы

• 1. Плоскость

• 2. Прямая в пространстве

• 3. Поверхности второго порядка

§ Плоскость1. Общее уравнение плоскости

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору },,{ CBAN

N

0r rO

0M M

Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем

случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа.

2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

Уравнения 0, Nrr 0 (1*) и 0)()()( 000 zzCyyBxxA (1) называют уравнением плоскости, проходящей через точку

),,( 0000 zyxM перпендикулярно вектору },,{ CBAN (в векторной и координатной форме соответственно).

У р а в н е н и я 0, DNr (2 * ) и 0 DCzByAx (2 ) н а з ы в а ю т о б щ и м у р а в н е н и е м п л о с к о с т и (в в е к т о р н о й и к о о р д и н а т н о й ф о р м е с о о т в е т с т в е н н о ) .

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным.

1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде )3(1

c

z

b

y

a

x

С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках. z

),0,0( cC

)0,,0( bB y

x )0,0,( aA

2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

Ax+By +Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0).

z

1

O y 2 x

ℓ1: By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz)

ℓ2: Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz;

3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов:

а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) 1b

y

a

x б) 1

c

z

a

x в) 1

c

z

b

y

z

b y

a x

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy;

в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox. z z c c

y b y

a x x

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей в уравнении координаты.

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0.

Эти уравнения можно записать соответственно в виде:

а) 1a

x б) 1

b

y в) 1

c

z

а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);

a

z

x

y

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz);

в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy).

z

x

yb

c

z

x

y

Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих в уравнении координат.

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид:

а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат и ось

отсутствующей в уравнении координаты.

x

y

z

x x

z z

y y

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид

а) Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде:

а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz,

в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0).

2) n }cos,cos,{cos – орт вектора 0OP. 3) 0OPp – расстояние от начала координат до

Тогда уравнение λ можно записать в видеcosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0,

где D = – p (доказать самим).Этот частный случай общего уравнения плоскости называется

нормальным уравнением плоскости.

Обозначим:1) P0(x0;y0;z0) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат,

O

n

0P

2. Другие формы записи уравнения плоскости

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам

ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно неколлинеарным векторам

};;{ 1111 pnm и };;{ 2222 pnm

Другие формы записи:Уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*));Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2));Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно

двум неколлинеарным векторам;Уравнение плоскости, проходящей через три точки;

1 2

0M M

0r r O

Уравнения 0,, 21 0rr (4*)

и 0

222

111

000

pnmpnm

zzyyxx (4)

называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме соответственно).

2)Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4)

Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

2M M 3M 1M

У р а в н е н и я 0,, 13121 rrrrrr ( 5 * )

и 0

131313

121212

111

zzyyxxzzyyxx

zzyyxx ( 5 )

н а з ы в а ю т у р а в н е н и я м и п л о с к о с т и , п р о х о д я щ е й ч е р е з т р и т о ч к и ),,( 1111 zyxM , ),,( 2222 zyxM и ),,( 3333 zyxM ( в в е к т о р н о й и к о о р д и н а т н о й ф о р м е с о о т в е т с т в е н н о ) .

3. Взаимное расположение плоскостей

В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться.

Пусть уравнения плоскостей λ1 и λ2 имеют вид: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Тогда: };;{ 1111 CBAN – нормаль к 1 ;

};;{ 2222 CBAN – нормаль к 2 ;

1) Пусть плоскости параллельны:

1N

2N1

2

Получаем, что плоскости λ1 и λ2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

2) Пусть плоскости пересекаются

2

1

1

1

11N

2N

2

1

22

22

22

21

21

21

2121212,1

)()()()()()(

),(cos

CBACBA

CCBBAA

21

21

NN

NN

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е.

0),(

cos 2,1

21

21

NN

NN

0),( 212121 CCBBAA21 NN

критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

9021

0coscos 21

4. Расстояние от точки до плоскости

ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 ,

M0(x0;y0;z0) – точка, не принадлежащая плоскости λ . Найти расстояние от точки M0 до плоскости λ .

222

000),(

CBA

DCzByAxd

N

MMN 01

0M N

1M

d

§ Прямая в пространстве1. Уравнения прямой в пространстве

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения

любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ . Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

.0

,0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA (1)

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору

};;{ pnmВектор, параллельный прямой в пространстве, называют

направляющим вектором этой прямой.

z

0M 0r r M O y x

называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Уравнение 0rrt, (2*)

и систему уравнений

.,,

0

0

0

ptzzntyymtxx (2)

Пусть в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. 0m, 0n и 0p).

Уравнения m

xx0n

yy0p

zz0 (3)

называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.

Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

1M

2M

Уравнения 12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

(4)

называют уравнениями прямой, проходящей через две точки ),,( 1111 zyxM и ),,( 2222 zyxM .

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:

.0

,0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA (1)

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.

а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).б) Направляющий вектор ],[ 21 NNгде };;{111CBA1N и };;{222CBA2N – нормальные

векторы к плоскостям 1 и 2, уравнения которых входят в общие уравнения прямой.

1N

1

3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:

1: 1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xx

, 2:

2

2

2

2

2

2

p

zz

n

yy

m

xx

.

1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны: 1 1

2 2Получаем: прямые параллельны их направляющие векторы };;{ 1111 pnm и };;{ 2222 pnm

коллинеарные, т.е. выполняется условие:

2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m . (6)

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:

1M

2M

1

2

1

2

Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются они не

параллельны и для них выполняется условие (7*)

0,, 21 21MM , (7*)

или, в координатной форме,

0

222

111

212121

pnmpnmzzyyxx

. (7)

3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7)

((7*)), то прямые скрещиваются.

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам:

1) параллельные прямые расстояние между прямыми

(т.е. расстояние от точки до прямой)?2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми?

б) точка пересечения прямых?3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми?

б) расстояние между прямыми?Пусть даны две прямые:

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2 :

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz .

};;{ iiii pnm – направляющий вектор прямой i,

),,( iiii zyxM i ( 2,1i ).

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией

прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

1

2

1

2

21

2Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем:

22

22

22

21

21

21

212121

21

212,1

),(cos

pnmpnm

ppnnmm

где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая m

xx 0:

n

yy 0

p

zz 0 и ),,( 1111 zyxM –

точка, не принадлежащая этой прямой.

Обозначим: };;{pnm – направляющий вектор прямой ,

0M

1M

d

Получаем:

10MM,d .

),,(0000zyxM – точка на прямой , d – расстояние от точки 1M до .

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые:

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2:

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz.

П о л у ч а е м :

222

222

CBA

DCzByAxd

};;{iiiipnm – направляющий вектор i,

где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ ,M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

11

2

21M

2M

d d

),,(iiiizyxMi

1

21

2

1M

2M

d

21

21

21

21

,

,,

,21

,,61

33

2121 MMMM

îńí

ďčđ

S

Vd

Тогда d – высота пирамиды (параллелепипеда), опущенная из точки M2.

Следовательно:

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.

Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

Пусть даны две пересекающиеся прямые

1:1

1

m

xx

1

1

n

yy

1

1

p

zz и 2:

2

2

m

xx

2

2

n

yy

2

2

p

zz.

,

,

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

p

zz

n

yy

m

xxp

zz

n

yy

m

xx

или

.,,,,,

22

22

22

11

11

11

pzznyymxxptzzntyymtxx

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Пусть : 0DCzByAx и m

xx0:

n

yy0p

zz0.

Тогда };;{ CBAN – нормальный вектор плоскости, };;{ pnm – направляющий вектор прямой.

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то

N

N

N

0,N (10) или в координатной форме

0 CpBnAm . (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

б)Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

N

В этом случае N т.е. p

C

n

B

m

A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ .

Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.

N

0M

1

Следовательно,

sin cos

N

N,

§ Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое

место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2.

в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

a11x2+a22y

2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .

Поверхности второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденныеВырожденные поверхности второго порядка это плоскости и

точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка).

Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

1. Эллипсоид

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, (1)

где a, b, c – положительные константы.Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1)

называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является

поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

1A

2A2B

2C

1B

1Cx

y

z

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой.

Каноническое уравнение сферы принято записывать в видеx2 + y2 + z2 = r2,

где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.

С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

2. Гиперболоиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, (2)

где a, b, c – положительные константы.Система координат, в которой однополостный гиперболоид

имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида.

Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

b

x

y

z

a вокруг своей мнимой оси.

12

2

2

2

c

z

b

y

1и12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

Замечание. Уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, (3)

где a, b, c – положительные константы.Система координат, в которой двуполостный гиперболоид

имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

x

y

z

12

2

2

2

c

z

b

y

вокруг своей действительной оси.

1и12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

c

Замечание. Уравнения

3. Конус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, (4)

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

Величины a, b и c называются полуосями конуса. Центр симметрии O называется вершиной конуса.

Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

x

y

z

yb

cz

вокруг оси Oz .

Замечание. Уравнения

0и02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

4. Параболоиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

zb

y

a

x2

2

2

2

2

, (5)

где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

x

y

z

вокруг оси Oz.

Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

zby 22 2Замечания: 1) Уравнение z

b

y

a

x2

2

2

2

2

xc

z

b

yy

c

z

a

x2и2

2

2

2

2

2

2

2

2

тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

zb

y

a

x2

2

2

2

2

, (6)

где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Величины a и b называются параметрами параболоида.

xy

z

Замечания: 1) Уравнение

zb

y

a

x2

2

2

2

2

тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

xc

z

b

yy

a

x

c

z2и2

2

2

2

2

2

2

2

2

определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно.

Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

5. ЦилиндрыОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром)

называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .

Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

x

y

z

xy

z

Цилиндр

в некоторой декартовой системе координат

задается уравнением,

в которое не входит одна из координат.

Кривая,

которую определяет это уравнение

в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра;

а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ