ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
DESCRIPTION
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. § 1 Понятие функции двух переменных. Пусть задано множество упорядоченных пар чисел Правило которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число R , называется функцией двух переменных , определенной на множестве и записывается в виде. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/1.jpg)
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
![Page 2: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/2.jpg)
§1 Понятие функции двух переменных.
Пусть задано множество упорядоченных пар чисел Правило которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве и записывается в виде
![Page 3: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/3.jpg)
При этом и называются независимыми переменными, а – областью определения функции. В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.
Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними.
![Page 4: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/4.jpg)
Область, состоящая только из одних внутренних точек, называется открытой.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается
Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса В противном случае область называется замкнутой.
![Page 5: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/5.jpg)
Пример. Найти область определения функции
𝑧=1
√4− 𝑥2 −𝑦 2.
Решение. Данная функция определена при условии, что
или
.
![Page 6: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/6.jpg)
Для нахождения на плоскости множества точек, удовлетворяющих последнему неравенству, построим сначала границу области. Для этого в этом неравенстве поменяем знак «<» на знак «=». Получим:
или
уравнение окружности с центром в точке и радиуса
![Page 7: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/7.jpg)
Очевидно, что неравенству удовлетворяют все точки, лежащие внутри данной окружности.
![Page 8: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/8.jpg)
Графиком функции двух переменных является поверхность, образованная множеством точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
![Page 9: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/9.jpg)
§2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции.
Пусть задана функция Зафиксируем значение при этом получим функцию одной независимой переменной Придадим переменной приращение , тогда получит приращение, которое называют частным приращением по и обозначается
∆𝑥 𝑧= 𝑓 (𝑥+∆ 𝑥 ; 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ;𝑦 ) .
![Page 10: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/10.jpg)
Аналогично получим частное приращение по
Тогда частной производной первого порядка функции в точке по переменной называется предел (при условии, что он существует):
lim∆ 𝑥❑
→
0
𝑓 (𝑥+∆ 𝑥 ; 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ; 𝑦 )∆𝑥
и обозначается одним из символов:
𝜕𝑧𝜕𝑥
; 𝑧 𝑥′ ;𝜕 𝑓𝜕 𝑥
; 𝑓 𝑥′ .
![Page 11: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/11.jpg)
Аналогично определяется и обозначается частная производная первого порядка функции в точке по переменной
lim∆ 𝑦❑
→
0
𝑓 (𝑥 ;𝑦+∆ 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ; 𝑦 )∆ 𝑦
=𝜕 𝑧𝜕 𝑦 (𝑧𝑦
′ ;𝜕 𝑓𝜕 𝑦
; 𝑓 𝑦′ ) .
![Page 12: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/12.jpg)
Таким образом, частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной переменной при условии постоянства значений другой переменной. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считается постоянной величиной).
![Page 13: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/13.jpg)
Например:
![Page 14: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/14.jpg)
Если функция дифференцируема в точке то выражение
(2.1)
называется полным дифференциалом или дифференциалом первого порядка.
Учитывая, что для независимых переменных верны равенства
и выражение (2.1) можно переписать в виде:
𝑑𝑧=𝑧𝑥′ ∙ ∆ 𝑥+𝑧𝑦
′ ∙ ∆ 𝑦 . (2.2)
![Page 15: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/15.jpg)
Пример 1. Найти частные производные первого порядка функции
Решение.
![Page 16: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/16.jpg)
¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ( 𝑦2 )𝑦′+𝑒𝑥2 −𝑦 ∙ (𝑥2 −𝑦 )𝑦
′− 0+0=¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 2 𝑦+𝑒𝑥2 −𝑦 ∙ ( (𝑥2) 𝑦
′− 𝑦 𝑦
′ )=¿¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙2 𝑦+𝑒𝑥2 − 𝑦 ∙ (0 − 1 )=2 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑒𝑥2 −𝑦 .
![Page 17: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/17.jpg)
Пример 2. Найти полный дифференциал функции Решение.
𝑧𝑥′ =( ln (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 ) )𝑥
′ = [ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿
¿1
5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦∙ (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 )𝑥
′ =5
5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦,
𝑧𝑦′ =( ln (5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 ) )𝑦
′ =[ 𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿
¿1
5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦∙ (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 )𝑦
′ =𝑠𝑖𝑛𝑥
5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦.
![Page 18: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/18.jpg)
Тогда
![Page 19: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/19.jpg)
§3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Если поверхность задана уравнением
и –
точка на поверхности, то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке имеет вид:
(3.1)
![Page 20: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/20.jpg)
а нормаль к поверхности в точке определяется уравнениями
(3.2)
![Page 21: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/21.jpg)
Если поверхность задана уравнением
в неявном виде, то уравнение касательной плоскости имеет вид:
(3.3)
а нормаль к поверхности в той же точке определяется уравнениями:
(3.4)
![Page 22: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/22.jpg)
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке, для которой Решение. Подставим в данное уравнение поверхности и определим аппликату точки касания:
Следовательно, точкой касания является точка
𝑀 (1 ,−1,2 ) .
![Page 23: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/23.jpg)
Так, как уравнение поверхности разрешено относительно то касательная плоскость определяется уравнением (3.1), а нормаль – уравнениями (3.2). Найдем частные производные и вычислим их значения в точке касания:
![Page 24: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/24.jpg)
Подставим эти значения и координаты точки соответственно в уравнения (3.1) и (3.2), получим уравнение касательной плоскости
или
и уравнения нормали
![Page 25: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/25.jpg)
§4. Полный дифференциал функции. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Выражение вида
(4.1)
называется полным приращением функции в точке Если и , то имеет место приближенное равенство:
(4.2)
![Page 26: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/26.jpg)
где (4.3)
полный дифференциал функции С учетом (4.1) и (4.3) равенство (4.2) можно переписать в виде:
или
𝑓 (𝑥0+∆ 𝑥 ; 𝑦0+∆ 𝑦 ) ≈
(4.4)
![Page 27: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/27.jpg)
Формула (4.4) используется для приближенных вычислений. Замечание. Чтобы применить формулу (4.4) к приближенным вычислениям, необходимо:1) указать аналитическое выражение для функции,
приближенное значение которой надо найти;2) выбрать начальную точку так, чтобы значения
функции и ее частных производных в этой точке можно было легко вычислить, но при этом и были достаточно маленькими.
![Page 28: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/28.jpg)
Пример. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала Решение. 1)Введем в рассмотрение функцию Тогда можно рассматривать как частное значение этой функции в точке т.е.
Таким образом, имеем
![Page 29: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/29.jpg)
2)Выберем начальную точку т.е. Тогда можно найти и
Найдем частные производные:
Вычислим значения функции и частных производных в начальной точке:
![Page 30: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/30.jpg)
Воспользуемся формулой (4.4):
![Page 31: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/31.jpg)
§5 Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть задана функция Частные производные первого порядка тоже можно рассматривать как функции от
Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются и определяются следующим образом:
![Page 32: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/32.jpg)
или или или или
![Page 33: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/33.jpg)
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Например:
или Частная производная 2-го или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,
![Page 34: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/34.jpg)
Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в рассматриваемой точке то (результат не зависит от порядка дифференцирования).
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
![Page 35: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/35.jpg)
Решение.
𝑧𝑥𝑥′ ′ =(𝑧𝑥
′ )𝑥′=( 3√𝑦−15 𝑥2𝑦 2+2𝑥 )𝑥
′=[ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿−30 𝑥 𝑦2+2 ,
𝑧𝑥𝑦′ ′ =(𝑧𝑥
′ )𝑦′=( 3√𝑦−15 𝑥2 𝑦2+2𝑥 )𝑦
′=[ 𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 1
3𝑦
− 23 − 30𝑥2 𝑦 ,
![Page 36: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/36.jpg)
𝑧𝑦𝑦′ ′ =(𝑥 ∙
13𝑦
− 23 −10 𝑥3 𝑦− 7)
𝑦
′
= [𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 𝑥 ∙13
∙(− 23 )𝑦− 5
3 − 10𝑥3=−29𝑥 𝑦
− 53 −10 𝑥3 ,
𝑧𝑦𝑥′ ′ =(𝑥 ∙
13𝑦
− 23 − 10𝑥3 𝑦−7)
𝑥
′
= [ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 13𝑦
− 23 −30 𝑥2 𝑦 .
![Page 37: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/37.jpg)
Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от ее полного дифференциала в этой точке:
Если функция в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные второго порядка, причем и - независимые переменные, то второй дифференциал находят по формуле:
.
![Page 38: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/38.jpg)
§6 Экстремум функции двух переменных.
Пусть функция определена в некоторой области и Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует такая окрестность точки что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство
.
![Page 39: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/39.jpg)
Значение функции в точке локального максимума (минимума) называется локальным максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.
![Page 40: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/40.jpg)
Точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна из них не существует, называются критическими.Равенство нулю является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.
![Page 41: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/41.jpg)
Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть
Обозначим
Тогда:1)если то функция имеет в точке экстремум, а именно
максимум, если минимум, если
2)если то функция в точке экстремума не имеет.В случае экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
![Page 42: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/42.jpg)
Пример. Исследовать функцию
на экстремум.Решение.Найдем стационарные точки функции. Для этого составим и решим систему:
Найдем частные производные.
![Page 43: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/43.jpg)
Тогда
{𝑥2+( 2𝑥 )
2
=5(1)
𝑦=2𝑥
(2)
![Page 44: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/44.jpg)
Решим уравнение (1) системы.
- биквадратное уравнение.Замена:
Обратная замена:
![Page 45: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/45.jpg)
Вернемся к системе. ,
Таким образом, получили четыре стационарные точки:
Найдем частные производные второго порядка:
![Page 46: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/46.jpg)
Для каждой стационарной точки найдем соответствующее значение и, вычислив сделаем вывод.
1)
экстремума нет;
2)
экстремума нет;
![Page 47: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/47.jpg)
3) экстремум есть, минимум, т.е.
4) экстремум есть, максимум, т.е.
![Page 48: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/48.jpg)
§7 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках этой области своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией внутри или на границе области.
![Page 49: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/49.jpg)
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.1.Изобразить на координатной плоскости указанную область ;2.Найти все критические точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в этих точках;3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;4.Сравнить все полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
![Page 50: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/50.jpg)
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями Решение.1.Изобразим область
![Page 51: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/51.jpg)
2.Найдем все критические точки функции.
Получили одну критическую точку причем Вычислим значение функции в этой точке:
𝑧 (1 ;3 )=3 ∙1+3 −1 ∙3=3.
![Page 52: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/52.jpg)
3.Исследуем функцию на границе области. Поскольку граница состоит из трех отрезков и задаваемых различными аналитическими выражениями, то задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на каждом из отрезков можно свести к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений некоторой функции одной переменной или
![Page 53: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/53.jpg)
а)на отрезке Тогда
критических точек нет. Найдем значения функции на концах отрезка:
𝑔1 (0 )=0=𝑧 (0 ;0 ) ,𝑔1 ( 4 )=4=𝑧 (0 ; 4 ) .
![Page 54: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/54.jpg)
б)на отрезке Тогда
критических точек нет. Найдем значения функции на концах отрезка:
![Page 55: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022081421/56815a60550346895dc79934/html5/thumbnails/55.jpg)
в)на отрезке Тогда
Из множества полученных значений выберем наибольшее и наименьшее: