1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ

Кононова И.В., учитель математики МОУ «Черлакская средняя общеобразовательная школа №2»Гурова Л. М., методист МБУ «Информационно-методический и ресурсный центр в сфере образования» Черлакская МР

2

Понятие графа. Задачи на построение

уникурсальных графов

Графы при решения комбинаторных

задач

Графы при решении логических задач

Графы при решении текстовых задач

Содержание

3

Граф - схема, состоящая из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых.

Cтепень вершины- это количество ребер графа, исходящих из этой вершины.

Вершина называется нечетной- если степень этой вершины нечетная, четной— если степень этой вершины четная.

ЧТО такое граф?

4

     К XVIII веку через реку, на которой стоял город Кенигсберг (ныне Калининград), было построено 7 мостов, которые связывали с берегами и друг с другом два острова, расположенные в пределах города (см.рисунок)Задача заключается в следующем: нужно пройти (если это возможно) по всем семи мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь по одному разу и вернуться к тому месту, откуда начал маршрут.

5

1. Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

2. Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

3. Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

4. Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».

Фигура (граф), которую можно начертить не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.

Закономерности

6

Можно ли нарисовать граф, изображенный на рисунке на отрывая карандаша от бумаги и проведя каждое ребро только один раз.

Граф, который можно нарисовать , не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым графом

7

-раздел математики, рассматривающий вопросы(задачи), связанные с подсчётом числа всевозможных комбинаций из элементов данного конечного множества при сделанных исходных предположениях.

Большинство задач решается с помощью двух правил: правило сложения и правило произведения

Комбинаторика

8

Правило суммы: Правило произведения:

Если объект А можно выбрать m способами, а объект В – n способами, то выбор «либо А, либо В», можно сделать

(m +n) способами

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А;В) в указанном порядке можно сделать mn способами

9

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В — 4 дороги (см. рис.). Сколькими способами можно проехать от А до В?

Условие задачи:

10

В Стране Чудес построили еще один город — Г и несколько новых дорог (см. рис.). Сколькими способами можно теперь добраться из города А в город В?

11

фраза

усатый

филин

таракан

кот

мудрый

филин

поет

бежит

стучит

спиткот

таракан

говорливый

филин

кот

таракан

Попугай Иннокентий знает следующие слова: филин, кот, таракан, поёт, бежит, стучит, спит, говорливый, мудрый, усатый. Он может произносить такие фразы:прилагательное + существительное + глагол . Например, «Мудрый таракан поёт». Сколько разных фраз может сказать Кеша?

12

ччччббб

(ЧЧ)ччббб

(ЧЧ)ббб

(ББ)б

(ЧБ)чбб

(ЧБ)б

(ББ)ч

(ББ)ччб

(ЧЧ)б

(ЧБ)б

(ЧБ)чччбб

(ЧЧ)чбб

(ББ)ч

(ЧБ)б

(ББ)ччч

(ЧЧ)ч

(ЧБ)ччб

(ЧБ)ч

(ЧЧ)б

(ББ)ччччб

(ЧЧ)ччб

(ЧБ)ч

(ЧЧ)б

(ЧБ)ччч

(ЧЧ)ч

В урне лежат 7 шаров 4 – черных и 3- белых. Из урны наугад выбирается сразу 2 шара. 1. Какова вероятность того, что взяли 2 белых шара?2. Какова вероятность того что в урне останется один белый шар?

13

В турнире участвовало 7 команд, причем каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий?

7*6:2=21

14

Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?

15

Логические задачи

16

Циклом в графе называется замкнутый путь, не проходящий дважды через одну и ту же вершину.Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. Простым путём называется путь, в котором никакое ребро не встречается дважды. Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро

17

Известно, что в настоящий момент: 1) Ваня сыграл шесть партий;2) Толя сыграл пять партий;3) Леша и Дима сыграли по три партии;4) Семен и Илья сыграли по две партии;5) Женя сыграл одну партию.

Условие задачи

Требуется определить: с кем сыграл Леша.

Шахматный турнир проводится по круговой системе, при которой каждый участник встречается с каждым ровно один раз, участвуют семь школьников.

18

Число в скобках называют степенью вершины, оно показывает сколько ребер

выходит из данной вершины

Ваня (6)Толя (5)

Леша (3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Изобразим участников турнира точкамиДля каждой точки укажем ее имя

(по первой букве имени игрока) и количество партий, сыгранные этим

игроком

19

Начать построение ребер следует с вершины В, так как это единственная вершина, которая соединяется со всеми другими

вершинами графа

Ваня (6)Толя (5)

Леша (3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Будем строить ребра графа с учетом степеней вершин

20

Для вершин В и Ж построены все возможные ребра

Ваня (6)Толя (5)

Леша (3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Сделаем первые выводы:

21

Теперь однозначно определяются ребра вершины Т.

С учетом ребра ВТ надо построить четыре ребра

Ваня (6)

Толя (5)Леша (3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Построим следующие ребра

22

Все возможные ребра теперь построены для вершин Ж, В, Т, а также для вершин С и И

Ваня (6)

Толя (5) Леша

(3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Пора делать новые выводы

23ОТВЕТ: Леша играл с Толей, Ваней и

Димой

Ваня (6)Толя (5)

Леша (3)

Дима (3)

Семен (2)Илья

(2)

Женя (1)

Требовалось определить: с кем сыграл Леша.

Граф к задаче построен

24

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея,Николай и слесарь занимаются боксом,Электрик-младший из друзей.По вечерам Андрей и токарь играют в

домино против Сергея и электрика.Определите профессию каждого из

друзей.

Условие задачи

25

Вадим КоляСергей Андрей

слесарь токарь электрик шофер

Начинаем анализировать полученную схему.От каждого верхнего кружка должно исходить 4 линии к кружкам нижнего ряда,одна из которых сплошная(прочная связь) ,три-пунктирные. (разрывная связь). И от кружков нижнего ряда-аналогично.От Сергея отходит 3 разрывные связи, значит, четвертая- прочная связь Ответ готов:

Вадим-токарь, Сергей-слесарь, Коля-электрик, Андрей-шофер

26

Основные понятия Основные сюжеты задач Задачи на движение Задачи на количественные отношения Задачи на производительность Задачи на проценты

Решение текстовых задач.

27

Определение 1.Ребро графа называется ориентированным ребром, если одну из его вершин считать началом, а другую — концом этого ребра . Определение 2.Граф, у которого все ребра ориентированные, называется ориентированным графом.

28

A2

A1d

С

ВА

граф кратного сравнения*

граф зависимости*

Структура решения текстовых задач

A2

dА1

С

ВА

граф разностного сравнения

+(-)граф суммирования(вычитания)

+(-)

29

С

ВА

граф зависимости*

1. Скорость велосипедиста 45 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 2 часа?2. Рабочий выпускает в день 45 деталей. Сколько деталей он выпустит за 2 дня?3. 1 кг лимонов стоит 45 руб. Сколько стоит 2 кг лимонов?

С=А*В

ГРАФ ЗАВИСИМОСТИ

30

Из физической формулы выразите переменную I.

R

P

I^2 *

31

A

A2А1 +

Из разных городов навстречу друг другу движутся мотоцикл и автомобиль. Скорость мотоцикла 45 км/ч, а скорость автомобиля 90 км/ч. Найти скорость сближения.

ГРАФ СУММИРОВАНИЯ (ВЫЧИТАНИЯ)

32

d

A

А1 +

Скорость велосипедиста 45 км/ч, а скорость автомобиля на 45 км/ч больше. Найти скорость автомобиля

ГРАФ РАЗНОСТНОГО СРАВНЕНИЯ

33

d

A

А1 *

Скорость мотоциклиста 45 км/ч, а скорость автомобиля в 2 раза больше. Найти скорость автомобиля.

ГРАФ КРАТНОГО СРАВНЕНИЯ

34

d

A

А1 *

В классе 30 учащихся, из них 5 отличников. Какую часть составляют отличники? А- отличников

А1 – всегоd – результат сравнения

Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.

Задачи на проценты.

35

С1

в1*а

Из 4 800 г пряжи связали 16 шарфов. Сколько пряжи пойдет на 11 таких шарфов?

С2

в2*а

σ=2*3+2*3 1. с2=а*в22. С1=а*в1, отсюда а=с1/в1

36

20

37

Х

Х+20=37

+

Графы при решении уравнений

Графы нужны как средство выведения свойств уравнений, а уравнения решаются на основе свойств уравнений

37

σ=2(кол-во ребер, выходящих из вершины с)*7(количество вершин в дереве)+2(кол-во ребер, выходящих их вершины а)*5(кол-во вершин)+2(2(кол-во ребер, выходящих их вершины а1)*3(кол-во вершин)=14+10+6=30

Как рассчитать сложность задачи?

а2 30

С

в

+

+ а2а1

а *

38

с-? в=2ч

а2=15 км/ча1=45 км/ч

С

С2

** ва2ва1

С1 +1 этап. С=с1+с22 этап. С1= а1*в3 этап. С2= а2*в4 этап. С=а1*в+а2*в5 этап. С= в*(а1+а2)6 этап. С=2*(45+15)

39

с-? в=2ч

а2=15 км/ча1=45 км/ч

1 этап. а=а1+а22 этап. С= в*(а1+а2)3 этап. С=2*(45+15)

С

в

+ а2а1

а *

40

Модель задачи та же , что и в предыдущей

Используя те же данные можно составить задачу на другой сюжет, например на стоимость.

с-? в=2ч

а2=15 км/ча1=45 км/ч

41

с=120 км в= ? ч

а2=15 км/ча1=45 км/ч

Составим взаимно-обратные задачи

С

в

+ а2а1

а * Или по формуле с=(а1+а2)*в120=(45+15)*в60в=120, в=2

42

с=120 км в= 2 ч

а2а1>а2 на 30 км/ч

а2 30

С

в

+

+ а2а1

а * 1. с=а*в2. А=а1+а23. а1=а2+d4. С=(а1+а2)*в=(а1+d

+a2)*в=(2а2+d)*в5. 120=(2х+30)*2

43

Задача I. Поезд идет со скоростью 40 км/ч. По наблюдению машиниста встречный поезд, длина которого 75 м, проходит мимо него за 3 с. Найти скорость движения встречного поезда.

Задача II. Со станции одновременно в разных направлениях отправились два поезда. Через 3 с расстояние между ними стало 75 м. Найти скорость второго поезда, если скорость первого поезда – 40 км/ч.

С

в

+ а2а1

а *σ=2*5+2*3=16

с=75км/ча1=40км/чв=3са2-? км/ч

с=(а1+а2)*ва2=50 км/ч

44

1. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На какомрасстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

2. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка.Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение задач В12

45

3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один крут. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

4. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

46

5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час 2 скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

47

7. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

8. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?

48

10. Виноград содержит 9 1% влаги, а изюм — 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

11. Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней был покрашен весь забор?

12. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31июля начислял 2 0 % на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке ещё один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 4 4 % на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются?

49

Жигачева Наталья Александровна. Графовое моделирование структур решений сюжетных задач в курсе алгебры 7 класса : Дис. ... канд. пед. наук : 13.00.02 : Омск, 2000 146 c. РГБ ОД, 61:00-13/1265-6 http://www.dslib.net/teoria-vospitania/zhigacheva.html

Н.Г. Рыженко, Е.Г.Соломатова Структурная полнота систем задач в курсе математики 6 класса

Н.Г. Рыженко Сложность и трудность структуры решения текстовой задачи

Источники