Повторные гравиметрические наблюдения. Изд. МГК при Президиуме АН СССР и НПО

«Нефтегеофизика».– М.: 1984. – с. 87-100.

УДК 550.312:528.11

И.В.Джунь, Г.П.Арнаутов, Ю.Ф.Стусь, С.Н.Щеглов (УИИВХ МВССО УССР,

АиЭ СО АН СССР, ИФЗ АН СССР)

ОСОБЕННОСТЬ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

БАЛЛИСТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Представление о математической сложности задачи оценки

действительного ускорения земного притяжения и его точности дает

следующая вероятностная модель баллистических измерений по каждому

броску

2

0 0

221

2

t

t

g c f g

t

t

y g e

,

где ty g – гауссова плотность вероятности в момент времени t; 2

t и tf –

функции, отражающие изменения дисперсии и математического ожидания

погрешностей измерений в зависимости от различных причин: энергии и

частотной структуры микросейсм, состояния погоды, инструмента и т.д.; 0g –

искомое ускорение силы тяжести; 0c – систематическая ошибка гравиметра.

Для совокупности измерений, полученных за время 2 , суммарная

плотность распределения будет иметь вид

2

0 0

221 1,2

2 2

t

t

g c f gt

t

tt

y g e dt

(1)

t , функции t и tf предлагаем непрерывными в интервале 2 .

Так как 0g предполагается постоянным, то форма суммарного

распределения результатов измерений и степень его уклонения от

нормального закона будут определяться диапазоном изменения и видом

функций t и tf [2,6].

Таким образом, проблема оценки значения 0g в (1) и оценки его

точности неотделима от задачи изучения закона распределения; т.е.

отклонение от закона Гаусса, как это следует из (1):

– есть результат нестационарности измерительного процесса, которая

часто вызвана неправильной организацией измерений;

– ставит задачу изучения и стабилизации функций tf и t ;

– свидетельствует о необходимости применения других методов

обработки измерений и оценки их точности, свойственных данному

закону распределения.

Чтобы показать, насколько важным является последнее обстоятельство,

Ю.В.Кемниц в [3] приводит два распределения – Гаусса и распределение

x

ey

2

1, (2)

которое применял Лаплас в своих работах для обоснования теории ошибок.

Вероятность ошибки 3x для распределения Гаусса 0,997, для

распределения (2) – 0,950, т.е., основываясь на законе Гаусса, если

действительное распределение следует закону (2), мы существенно искажаем

доверительный интервал и даем завышенную оценку надежности измерений.

Учитывая изложенные выше обстоятельства, нами, по рекомендации и

при научном и практическом содействии члена-корреспондента АН СССР

Ю.Д.Буланже, был поставлен эксперимент с целью исследования

действительной формы эмпирических распределений результатов

определения абсолютного значения силы тяжести по каждому броску

гравиметром ГАБЛ ИАиЭ СО АН СССР. Измерения выполнены 25-

28.10.1983 г. на Международном гравиметрическом пункте № 5035 (Лѐдово,

Подмосковная испытательная база ИФЗ АН СССР). Всего получено в

течение трех ночей 2160 абсолютных значений ускорения силы тяжести (18

серий, каждая объемом в 120 измерений). Измеренные значения ijg , где i –

номер броска в серии 1,2,...,120; 1,2,...,18j i j , считывалось с дисплея ЭВМ

гравиметра и заносились в специальную ведомость. Чтобы исключить риск

возможных описок при считывании, результаты измерений по каждой серии

выводились на дисплей и были засняты на фотопленку.

Исходными величинами при изучении закона распределения были

ij ij cj pj hj n ijg g g g g g g , (3)

где , ,cj pj hjg g g – поправки, исключающие влияние систематических

погрешностей, обусловленных эффектом Доплера, сопротивлением воздуха,

изменением длины волны излучения лазера: ,n ijg g – поправки за градиент

и прилив.

Так как для получения уверенных выводов о законе распределения

нужно более 400-500 измерений [8], то программа исследования включала

изучение закона распределения для:

а) измерений, полученных в течение одной ночи 2 7 25h m ;

б) изменений, полученных для двух ближайших ночей 2 30 55h m ;

в) суммарного распределения всех значений (3) 2 54 00h m .

Для измерений а) и б) число интервалов U эмпирического закона

плотности вычислено по формуле [7] minlg10 NU , где minN – объем ночной

серии, имеющей наименьшее количество наблюдений.

В нашем случае min 360N , тогда 26U , и, так как значения ijg в эту ночь

колеблются в пределах 900 мкГал, то размер градации 180 26 70g

мкГал.

Для суммарного распределения g вычислено по такому же принципу и

принято равным 50 мкГал.

Основные сведения об эмпирических распределениях и их частоты rm

для интервалов времени, указанных в п. а), б), приведены в табл. 1, а для

суммарного распределения – в табл. 2.

Таблица 1

Эмпирические частоты для результатов абсолютных определений

гравиметром ГАБЛ в течение ночи и двух ближайших ночей наблюдений

(Лѐдово, 25-28.10.1983 г.)

Цен

тры

раз

ряд

ов

Даты наблюдений и время начала и конца измерений

25.10.83-20.25

26.10.83-0.35

серии 1-3

2 4 10h m

26.10.83-19.30

27.10.83-2.55

серии 4-13

2 7 25h m

27.10.83-23.05

28.10.83-2.2

серии 14-18

2 3 20h m

26.10.83-19.30

28.10.83-2.25

серии 4-18

2 30 55h m

r

rm

nnp

r r rm nnp

r r rm nnp

r r rm nnp

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

300 1 0,01 +0,99

370 0 0,06

440 1 0 0,14

510 0 0,34

580 1 0,7 +0,3

650 2 1,5 +0,5 1 0,02 +0,98 1 0,1 +0,9

720 1 2,9 –1,9 0 0,3 1 0 0,4

790 2

2 5,1 –3,1 1 1 1,2 –0,2 1 1,5 0,6 +0,9 2,5 1,8 +0,7

860 5 8,4 –3,4 6 3,9 +2,1 4,5 2,2 +2,3 2 10,5 6,1 +4,4

930 3 13,5 12,8 +0,7 2 9 10,7 –1,7 2 4 6,3 –2,3 3 13 17,5 –3,5

1000 4 20,5 18,3 +2,2 3 26,5 27 –0,5 3 21,5 15,3 +6,2 4 48 42,4 +5,6

1070 5 27 24,4 +2,6 4 53,5 55,8 –2,3 4 26,5 31,4 –4,9 5 80 87,2 –7,2

1140 6 34,5 29,6 +4,9 5 103,5 97,5 +6,0 5 48 54,2 –6,2 6 151,5 151,5 0,0

1210 7 37,5 34,7 +2,8 6 131,5 144,5 –13,0 6 74 78,7 –4,7 7 205,5 222,9 –17,4

1280 8 43 37,7 +5,3 7 182,5 181,8 +0,7 7 104,5 96 +8,5 8 287 277,6 +9,4

1350 9 34 37,8 –3,8 8 192,5 194,0 –1,5 8 101,5 98,5 +3,0 9 294 292,5 +1,5

1420 10 33,5 35,4 –1,9 9 195,7 175,6 +19,9 9 85 85,1 –0,1 10 280,5 260,9 +19,6

1490 11 24,5 30,9 –6,4 10 136 134,8 +1,2 10 6,5 61,8 –1,3 11 196,5 196,9 –0,4

1560 12 18 25,1 –7,1 11 81,5 87,9 –6,4 11 38 37,7 +0,3 12 119,5 125,8 –6,3

1630 13 31 19,0 +12,0 12 40 48,6 –8,6 12 15,5 19,4 –3,9 13 55,5 68,0 –12,5

1700 14 10 13,4 –3,4 13 25 22,8 +2,2 13 13 8,4 +4,6 14 38 31,1 +6,9

1770 15 4 8,9 –4,9 14 11 9,0 +2,0 1 3,0 –2,0 15 12 12,0 0,0

1840 16 9 5,4 +3,6 15 2 3,1 –1,1 14 1 0,8 +0,2 16 3 3,9 –0,9

1910 6 3,1 +2,9 2 1,0 +1,0 2 1,1 +0,9

1980 0 1,6

2050 17 1 0,8 +0,2

2120 0 0,4

2190 1 1,0 +0,9

n 360 1200 600 1800

1 0,06 0,13 0,05 0,07 0,149 0,10 0,08 0,06

2 3,30 0,26 3,20 0,14 3,17 0,20 3,20 0,12

g 1319 1342 1326 1337

263 171 167 170

3U 14 12 11 13

2,2

P 23,57; 2

P =0,05 7,67; 2P =0,81 13,80; 2

P =0,25 13,24; 2P =0,44

1c 3 1 4 2

При определении типа анализируемых распределений, мы

воспользовались методами статистической школы Неймана-Пирсона [1],

которые основаны на моментных отношениях:

3

2

2

3

1

;

2

2

42

, (4)

где – несмещенные оценки центральных моментов порядка .

Значения 1 и 2 для данных эмпирических распределений приведены в

табл. 1 и 2.

По вычисленным для каждого распределения координатам (4) на рис. 1

находим тип кривых плотности вероятности (окружностями обозначены

точки, соответствующие эмпирическим распределениям для одной ночи

наблюдений и двух ближайших ночей, двойным кругом – для суммарного

распределения).

Рис. 1. График для определения типа закона распределения: для закона Гаусса

1 20, 3 ; для распределения Пирсона УП типа – 1 20, 3 4,5 ; точка с

координатами 1 20, 3,8 соответствует оуммарному распределению результатов

измерений, остальные точки – измерениям, которые получены в течение одной ночи.

Распределение результатов баллистических измерений в течение одной

ночи и двух ближайших ночей (табл. 1) группируются вокруг точки с

координатами 1 0,01 и 2 3,21 , т.е. близки к закону Гаусса, но не являются

гауссовыми, а принадлежат линии распределения Пирсона УП типа.

Вероятности 2P того, что эти распределения являются выборками из

нормальной генеральной совокупности, получены при помощи критерия

2 для степеней свободы 3U (табл. 1) и, в среднем, составляет 0,4.

Значения 1 и 2 соответствующие суммарному распределению, сильнее уклоняются от нормального закона, чем

распределения для отдельных ночей, что обусловлено завышенной дисперсией наблюдений для первых трех серий.

Вероятность 2P , полученная в предположении закона Гаусса, составляет всего 0,015, т.е. суммарное распределение нельзя

считать Гауссовым.

Сравним теперь результаты обработки суммарного распределения,

полученные в предположении закона Гаусса и распределения Пирсона УП с

плотностью вероятности:*

2

3

22

2

12

1

!2

112

! VIIgggy , (5)

где VIIg – оцениваемое значение абсолютного ускорения;

, – соответственно меры рассеяния и уклонения распределения (5) от

закона Гаусса (для последнего ).

Используя уравнения максимума правдоподобия находим неизвестные

,,VIIg при условии

* Вместо распределения (5) позднее (7) были предложены модели смеси нескольких распределений с

различной дисперсией, однако плотность (5), как и гауссова плотность, имеет существенное преимущество –

она дифференцируема от до , что позволяет применять при нахождении оценок теоретически

наиболее важный и наиболее эффективный метод максимума правдоподобия.

Таблица 2

Эмпирические и теоретические (гауссовы и распределения Пирсона УП типа)

частоты для суммарного распределения результатов измерений по каждому

броску (ГАБЛ, Лѐдово, 25-28.10.1983 г., Международный гравиметрический

пункт № 5035, 2160 измерений)

№№

ин-

тер-

ва-

лов

Центры

интер-валов

rg

№№ раз-

рядов

Эмпири-

ческие

частоты

rm

Теорет.

частоты для

закона

Гаусса rpn

r

r pnm

Теорет.

частоты для

распред.

Пирсона

УП-типа VIIpn

VII

r pnm

1 2 3 4 5 6 7 8

1 325 1 0,0002 +0,9990 0,04 +0,96

2 375 0 0,0006 0,06

3 425 0 0,0022 0,10

4 475 0 0,0076 0,16

5 525 1 0 0,024 0,28

6 575 0 0,073 0,47

7 625 2 0,20 +1,80 0,81 +0,20

8 675 3 0,53 +2,47 1,39 +0,53

9 725 0 1,3 2,4

10 775 2 3 2,9 +0,1 4,1 –1,1

11 825 3 9,5 6,1 +3,4 7,1 +2,4

12 875 4 8,5 12,0 –3,5 12,1 –3,6

13 925 5 21,5 22,1 –0,6 20,4 +1,1

14 975 6 35,5 37,7 –2,2 33,4 +2,1

15 1025 7 61 60,2 +0,8 52,9 +8,1

16 1075 8 72 89,5 –17,5 80,4 –8,4

17 1125 9 112,5 124,0 –11,5 115,9 –3,4

18 1175 10 156,5 160,3 –3,8 156,8 –0,3

19 1225 11 193 193,2 –0,2 197,2 –4,2

20 1275 12 243 217,2 +25,8 228,7 +14,3

21 1325 13 244 227,6 +16,4 243,0 +1,0

22 1375 14 215 222,4 –7,4 236,2 –21,2

23 1425 15 228,5 202,7 +25,8 210,1 +18,4

24 1475 16 158,5 172,2 –13,7 171,9 –13,4

25 1525 17 146 136,5 +9,5 130,3 +15,7

26 1575 18 82,5 100,8 –18,3 92,4 –9,9

27 1625 19 64,5 69,5 –5,0 61,9 +2,6

28 1675 20 38,5 44,6 –6,1 39,6 –1,1

29 1725 21 30,5 26,7 +3,8 24,4 +6,1

30 1775 22 8 14,9 –6,9 14,7 –6,7

31 1825 23 10 7,8 +2,2 8,7 +1,3

32 1875 24 8 3,8 +4,2 5,0 +3,0

33 1925 2 1,7 +0,3 2,9 –0,9

34 1975 0 0,72 1,7

35 2025 25 1 0,28 +0,72 1,0 0,0

36 2075 0 0,10 0,57

37 2125 0 0,04 0,34

38 2175 1 0,01 +0,99 0,20 0,80

%6,46;7,6%;5,1

;214;6,187;223;1,189;81,3

;88,20;1,1334;69,38;6,1333;0046,0

22

2

22

1

VIIr

VII

PP

UU

gg

Используя уравнения максимума правдоподобия находим неизвестные

,,VIIg при условии

U

VVIIV

VIIVrU

V

VIIrV

VII

U

V VIIV

VIIVv

VII

U

V VIIV

VIIVV

VII

Mgg

ggm

M

ggm

d

d

d

dNL

g

Mgg

ggm

M

NL

g

Mgg

ggm

ML

g

1 222

22

12

2

1223

1222

,

2142

12

1

21ln

2

1ln

2

12

1!lnln

;021

ln

;021

ln

(6)

где L – функция правоподобия; 2

3

2

1

M ; N

U

V

rm1

– число измерений

в r -том разряде; ! – гамма-функция; U – число разрядов гистограммы; rm –

количество наблюдений в разряде r .

Система уравнений (6) решается методом приближений. В первом

приближении для параметров VIIg и принимается среднее и стандарт, а

можно найти из выражения [8] 3

5,45,2

2

2

. Значения dd ln можно

получить используя разложения в ряд r - и -функций [5]. Дисперсии

оценок ,VIIg и получены численным методом на основании следующих

соотношений:

22

2

22

2

22

2 1ln;

1ln;

1ln

LL

g

L

g

(7)

В результате решения системы (6) и вычисления ,,g из (7) имеем:

37,12,30,4

;67,6;6,187;1,334555981

VIIg (8)

Вероятность того, что суммарное распределение принадлежит

распределению Пирсона УП типа с параметрами (8), 47,02 VIIP .

Абсолютное значение ускорения, стандартная ошибка одного броска для

этого же распределения, полученные в предположении закона Гаусса,

следующие:

9,2;1,4

;1,189;6,333555981

g (9)

На рис. 2 приведена гистограмма суммарного распределения и ординаты

кривых Пирсона УП типа и Гаусса, вычисленные соответственно для

параметров (8) и (9). Как видим, практически на каждой частоте ординаты

кривой Пирсона УП типа лучше представляют действительное

распределение. Оценки (8) являются строгими в математическом отношении,

так как получены с учетом действительного закона плотности вероятности.

Расхождение оценок VIIg и g составило 0,5 мкГал, т.е. 12,5 % стандартной

ошибки окончательного результата, расхождение оценок стандартных

ошибок одного броска – 1,5 мкГал (47 % ошибки ).

Таким образом, составляющая ошибки среднего, обусловленная

недостаточной строгостью математической обработки наблюдений на ГАБЛ,

вряд ли будет превышать величину

ng

2

125,0 , (10)

где – стандартная ошибка одного броска; n – число измерений в серии.

Например, при 120n бросков 5,1 мкГал.

Ошибку среднего квадратического отклонения одного броска, обусловленную недостаточной строгостью

математической обработки, можно приближенно оценить по формуле

n2

47,0

, (11)

При 120n имеем 4 мкГал.

При подборе кривой суммарного распределения мы пренебрегли

ассиметрией 1 , считая ее незначимой, но 01 .

Асимметрия закона плотности, являясь, как правило, результатом воздействия систематических (долгопериодных)

погрешностей приводит к «раздвоению» среднего и вероятнейшего значений измеряемой величины. Расхождение этих

значений является функцией от 1 и 2 и может быть оценено по формуле [4]

9652

3

12

21

1

c (12)

Значения 1c для каждого распределения приведены в табл. 1. Для

суммарного распределения 81,3,0046,0 21 и 7,11 c мкГал, что составляет

42,5 % стандартной ошибки среднего.

С целью изучения влияния систематических расхождений между

сериями на показатели суммарного закона плотности, нами была построена

гистограмма для уклонений:

jijij ggg '' , (13)

где ijg ' вычислены по формуле (3),

jn

i

ij

j

jg

ng

1

'1

; 120n – число бросков в

серии.

Моментные отношения 1 и 2 для отклонений (13) получились следующими:

10,0;028,0

;88,3';0008,0' 21

(14)

а для значений ijg '

10,0;028,0

;81,3;0046,0 21

(15)

Сравнивая (14) и (15), можно сделать вывод, что основной причиной

«раздвоения» среднего и вероятнейшего значения гравитационного

ускорения являются систематические смещения центра распределения от

серии к серии. Исключая эти смещения мы устраняем наиболее

нежелательное свойство распределения – асимметрию, при этом эксцесс

распределения несколько увеличивается.

На основании анализа эмпирических распределений результатов

измерений гравиметром ГАБЛ (Ледово. 25-28.10.83) можно сделать

следующие выводы.

1. Закон распределения измерений ijg в течение ночи близок к

Гауссовому, но не является им, а принадлежит семействам Пирсона УП типа

(IV типа, при наличии слабой асимметрии) с эксцессом 2,0E .

2. Суммарное распределение результатов измерений за период 25-

28.10.83 г. на этом же пункте существенно уклоняется от закона Гаусса и

удовлетворительно может быть представлено распределением Пирсона УП

типа с 37,167,6 и 1,08,0 E . (для закона Гаусса 0, E ).

Вероятность отклонений 3g для распределения Пирсона с указанными

параметрами 0,0076, для распределения Гаусса – 0,0027, т.е. фактическое

число уклонений, превышающих 3 , в 2,7 раза больше, чем это следует из

закона Гаусса.

3. Так как распределения результатов баллистических измерений не

обязательно следуют закону Гаусса, то при оценке точности результатов и

при построении доверительных интервалов к ним, нужно учитывать ошибки,

обусловленные недостаточной строгостью математической обработки

данных.

Для наблюдений на ГАБЛ в Ледово смещение g оценки абсолютного

ускорения g , обусловленное неучетом эксцесса, можно приближенно

оценить по формуле (10).

Влияние асимметрии можно оценить по формуле (12). Составляющая

ошибки среднего квадратического отклонения одного броска, обусловленная

неучетом эксцесса распределения может быть приближенно оценена по

формуле (11).

Рис. 2. Гистограмма абсолютных значений ускорения силы тяжести, полученных по

каждому броску на гравиметре ГАБЛ (Ледово, 25-28.10.1983 г., Международий

гравиметрический лункт № 5035, 2160) измерений).

4. Наиболее нежелательное свойство распределений – их асимметрия – вызывается при баллистических измерениях

систематическими расхождениями центра группирования от серии к серии. Поэтому изучение величины, характера, частотной

структуры и причин эти:: изменений является в настоящее время главной задачей анализа ошибок гравиметра ГАБЛ.

5. Суммарный закон распределения результатов баллистических измерений является наиболее полным

«метрологическим портретом» гравиметра. Поэтому представляется важным установление действительной формы закона

плотности результатов наблюдений для гравиметра ГАБЛ на других пунктах наблюдений и для других баллистических

гравиметров, действующих в различных странах.

6. Существующая практика ночных измерений гравиметром ГАБЛ обусловлена стремлением обеспечить наиболее

благоприятную метрологическую ситуацию и близость распределений результатов измерений к закону Гаусса. Однако

постоянство условий измерений не удается обеспечить во всех необходимых случаях и на всех пунктах измерений, что

неизбежно будет приводить к неоднородности рядов измерений. В таких случаях предложенный нами строгий метод

математической обработки, основанный на учете типа закона распределения, может существенно расширить возможности

баллистической гравиметрии, поскольку позволяет производить эффективное оценивание даже при существенной

неоднородности измерений. Во всяком случае, при обработке баллистических измерений и оценке их точности целесообразно,

кроме средней квадратической погрешности, вычислять и моментные отношения 1 и 2 , которые могут служить критерием

законности обычных правил обработки и вычисления предельной ошибки. В заключение авторы выражают глубокую благодарность члену-корреспонденту АН СССР Ю.Д.Буланже за научное и

практическое содействие в постановке эксперимента и подготовке настоящего исследования.

Список литературы

1. Большев Л. Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.

Изд. третье. – М.: Наука, 1983. 2. Идельсон Н. И. Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений. – М.: Геодезиздат,

1947.

3. Кемниц Ю.В. О функции распределения ошибок измерений. Геодезия и картография, 1957. – № 10. – С. 21-29.

4. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. – М.:

Наука, 1971. – 576 с.

5. Справочник по специальным функциям. – M.: Наука, 1979. – 830 с.

6. Точность производства в машиностроении и приборостроении. – М.: Машиностроение, 1973. – 567

с.

7. Харин А.С., Яцкив Я.С. Изучение ошибок наблюдений Голосеевского каталога звезд широтных программ: I

– Астрометрия и астрофизика. – Киев, 1970. – № 10. – С. 34-44.

8. Jeffereys H. Theory of Probability. Sec. ed., Oxford, 1940.