126

Перькова Н.В.

ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ У СТУДЕНТОВ 1 КУРСАПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Модернизация российского среднего и высшего образования, в частности, внедрение ком-петентностного подхода в обучение, предполагает не полную замену существующего содержа-ния образования, а лишь смещение акцентов в оценке значимости тех или иных результатовмассового образования в связи с современными требованиями.

Компетентным является человек, который способен практически разрешать нестандарт-ные, значимые для себя ситуации, используя для этого знания, умения, способности, опыт и т.д.Главная ключевая компетентность – это умение решать проблемы. Как отмечают исследовате-ли, ключевая компетентность обладает интегративной природой, так как вбирает в себя рядоднородных или родственных умений и знаний, соответствующих относительно широкой сферекультуры и деятельности [1].

Так, школьник и студент должны обладать высоким уровнем сформированности органи-заторских умений, позволяющих им самостоятельно действовать в различных ситуациях. Разви-тие самостоятельности у обучаемых заключается в том, чтобы, с одной стороны, научить ихсамостоятельно овладевать теоретическими знаниями о предмете изучения, формировать своемировоззрение, а с другой, в том, чтобы научить их самостоятельно применять имеющиесязнания в учебных и практических (или близких к практическим) ситуациях. Это значит, что онидолжны владеть не только научными знаниями об объектах, с которыми они имеют дело, но изнаниями общих способов их изучения. Поэтому обучение математическим дисциплинам вшколе и в вузе в контексте компетентностного подхода должно быть преобразовано так, чтобысоздавались условия для превращения способов действия в средства действия.

Сравнение фундаментальных понятий математического анализа с точки зрения преем-ственности средней школы и вуза показало, что большинство понятий, сформированных в шко-ле на разном уровне строгости, в вузовском курсе трактуются с тех же позиций, только углубля-ются, и расширяется спектр их приложения. Но анкетный опрос студентов показывает, что вплотьдо 3 курса самым трудным предметом среди математических дисциплин в вузе является все-таки математический анализ.

Особенность усвоения математического анализа студентами 1 курса сопряжена с опреде-ленными трудностями. Идейное богатство содержания, новизна идей и методов предъявляютвысокие требования к общности рассуждений и безупречности логических построений. Причи-на трудности понимания этой дисциплины кроется в исследовательском характере, которыйдиктует аналитический вид деятельности. Уметь анализировать, как известно, значит обладатьвысоким уровнем математической культуры. А как показывает практика, первокурсники нерасполагают в достаточной мере “инструментами” для самостоятельного постижения фунда-ментальных основ математического анализа. Под “инструментом” понимаются те общие учеб-ные действия, с помощью которых студент сможет самостоятельно постигать математическийанализ.

Не случайно темы 1 семестра объединены названием “Введение в анализ” и включают всебя изучение основных понятий – действительные числа, функции, предел. Этот материал пер-вокурсникам поверхностно известен. Именно поверхностно, т.к. изучение опыта преподаванияначал анализа в школе показывает, что усвоение основных понятий математического анализапредставляет особую трудность. Поэтому появляется тенденция к поверхностному изучению,при котором основное внимание уделяется выработке простейшей техники вычислений в ущербих осмыслению.

Исходя из этого, цели изучения раздела “Введение в анализ” в вузе уточняются следую-щим образом:

127

1. Подготовить первичный аппарат математического анализа для успешного изучения диф-ференциального и интегрального исчисления функций одной переменной (1курс), а также пос-ледующих тем математического анализа.

2. Создать условия для формирования у студентов определенных учебных действий, необ-ходимых для изучения математического анализа.

3. Подготовить первокурсников к самостоятельной деятельности при изучении новых раз-делов математического анализа и постоянного совершенствования знаний.

Учитывая специфику математического анализа, были выделены общие учебные действия:•анализ (расчленение целого объекта (метода, идеи и т.п.) на части) внутренних существен-

ных свойств математических объектов в их закономерной взаимосвязи и т.п.;•синтез (обратный переход от абстрактных положений к мысленному восстановлению, т.е.

к конкретному) на основе анализа и т.п.;•сравнение (математических объектов, определений, формулировок теорем, идей доказа-

тельств, методов решения задач, алгоритмов решения класса задач и т.п.);•подведение под понятие и выведение следствий;•формулировка математических предложений на естественном языке;•действия поиска решения задач, идеи доказательства;•действия работы с теоремами разных видов и т.д.Для того, чтобы студенты 1 курса могли осуществлять выделенные действия, необходимо

запустить так называемый механизм опосредования, который осуществляется в 4 этапа.На первом этапе осуществляется действие по заданному образцу. Студенты получают

задачу и план ее решения. План выступает формой опосредования, а решение задачи по планутребует от студентов соответствующих знаний, как по содержанию, так и по действиям. Резуль-татом этого этапа будет общая ориентировка на формирование определенных учебных дей-ствий, осознание цели учебной деятельности, т.е. студент ставит вопросы: “Что нужно сделать,чтобы решить данную задачу?”, “Чему научился, решая задачи определенного типа?”, и т.д.

На втором этапе анализ предшествующей самостоятельной мыслительной деятельностипереходит во “внешнюю” речь и оформление решения задачи, ответы на вопросы к задаче.Механизм опосредования заключается в ориентации студентов на конструктивное мышление.Такая ориентация может осуществляться с помощью заданий типа: “Выдвини гипотезу и дока-жи…”, “Сконструируй пример, доказывающий…”, и.т.д.

На третьем этапе студенты делают выводы, как о содержании, так и о действиях.На четвертом этапе на основе полученных выводов о действиях студенты выполняют следу-

ющее (аналогичное, исследовательское или новое) задание, формулируют задачи самостоятельно.При такой поэтапной организации самостоятельной учебной деятельности действия при-

обретают характер исследовательский и конструктивный. Решая задачу, студент сначала долженвыступать в роли исследователя, т.е. анализировать, сравнивать, конкретизировать и т.д. матема-тические объекты, а затем построить новые объекты, обладающие наперед заданными свой-ствами. Так, например, первокурсники часто оказываются беспомощными в случае необходи-мости привести пример или контрпример функции, обладающей определенными свойствами.Они перебирают в памяти уже известные функции с известным аналитическим заданием, хотя вбольшинстве случаев проще задать функцию кусочно.

Рассмотрим некоторые примеры заданий по темам раздела “Введение в анализ”.На первых практических занятиях по теме “Действительные числа” целесообразна коллек-

тивная форма организации учебной деятельности студентов. В этом случае каждому студентупредоставляется возможность высказать свое мнение, защитить свое решение, сравнить объек-ты, выбрав свои критерии сравнения. Задания, предложенные ниже, являются подготовительны-ми для решения задач из сборников по математическому анализу по этой теме. Понятия студен-там знакомы, поэтому акцент делается на деятельностной стороне. Предлагаются задания новыепо форме, но объем школьных знаний позволяет найти ответы на вопросы.

128

Задание 1. Даны два множества:

}NnZmnmМ ∈∈

= , ,

=∈∈= 1),(,, nmНОДNnZm

nm

L .

Ответьте на вопросы:a) Что общего и что различного у этих множеств?б) Охарактеризуйте словесно каждое из множеств M и L.в) Какое из высказываний является истинным? LMML ⊂⊂г) Какое из этих множеств является множеством всех рациональных чисел? Приведите свои примеры конкретных множеств M , L.Задание 2. Для каждого из числовых множеств N, Z, Q:а) перечислите все операции, которые на них всегда выполняются;б) укажите виды всегда разрешимых алгебраических уравнений;в) укажите все арифметические действия, которые не являются всегда выполнимыми;г) назовите виды алгебраических уравнений, которые не являются всегда разрешимыми;д) сделайте вывод о расширении числовых множеств;е) какая операция не выполняется ни на одном из этих множеств?

Задание 3. Задано отображение { })(xMQϕ

→ , где { })(xM есть множество всех точеккоординатной прямой: каждому Qx ∈ соответствует единственная точка М(х) координатнойпрямой с координатой х.

Ответьте на вопросы:а) Каждое ли число Qx ∈ имеет в отображении ϕ своим образом точку координатной

прямой?б) Каждая ли точка координатной прямой имеет в отображении ϕ прообраз в Q?в) Приведите пример точки координатной прямой, координата которой не является рацио-

нальным числом.г) Является ли отображение ϕ обратимым? Объясните почему..д) Какой вид имеет образ множества Q в отображении ϕ ?В заданиях 1-3 студенты обобщают школьный материал (то, что они знали для конкретных

чисел, теперь перенесено на множества), анализируют и сравнивают множества, делают выво-ды относительно расширения понятия числа. В этих заданиях дается образец, – какие существен-ные вопросы надо задать и найти ответ, чтобы понять, в результате чего произошло расширение.

На вопрос задания 2 е) первокурсники отвечают – операция извлечения квадратногокорня не выполняется на всех перечисленных множествах. Это связано с тем, что введениючисел, отличных от рациональных, в школе предшествует доказательство того факта, что средирациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Между тем, новая операция,выполняющаяся для фундаментальных последовательностей, всегда выполнимая на множествеR и не всегда на множестве Q, есть операция предельного перехода. R – полное метрическоепространство, Q – нет. Но в начале 1 курса студенты не могут самостоятельно увидеть этогофакта и оценить важность взаимосвязи понятий действительного числа и предела, поэтому воп-росы задания нацелены на формулирование такого вывода. После чего изучение теории преде-лов будет происходить с другой мотивацией.

При выполнении задания 3 устанавливается, что геометрический образ множества Q несовпадает с координатной прямой. Геометрические соображения приводят к необходимостипополнения множества Q такими числами, образы которых заполняли бы всю координатнуюпрямую.

Задание 4. Найти ошибку в рассуждениях: “Пусть NqNpNnq ∈∈∈≠ ,,,1

129

qp

– несократимая дробь ( Qqp

∈ ). Доказать, что .Qn ∉

Доказательство: обозначим ,qpn = тогда 2

2

qpn = , что невозможно, т.к. Nnq ∈≠ ,1 не

может равняться несократимой дроби 2

2

qp

, значит, n есть число иррациональное для любогоо

натурального n.” Ошибка заключается в следующем: не рассмотрен вариант Nkkn ∈= ,В задании 4 студентам нужно проследить логическую последовательность доказательства

с проверкой правомочности выполнения каждого шага. Задания такого типа учат самоконтро-лю. Задания 1- 4 соответствуют 1 этапу механизма опосредования.

Задание 5. Придумайте задачу, у которой было бы изложенное выше доказательство.

Примерный вариант условия задачи: “Доказать, что если −∉ n то,n N иррацио-нальное число”.

Задание 5 соответствует 2 этапу.

Задание 6 . Задано отображение { })(xMRf

→ , где { })(xM есть множество всех точек пря-

мой: каждому Rx ∈ соответствует единственная точка М(х) координатной прямой.а) Запишите вопросы, аналогичные для Q (задание 3), и ответы к ним.б) Сравните образы множества Q и множества R.

в) Укажите область определения и множество значений в отображении 1−f .г) Укажите 2-3 способа получения иррационального числа из данного рационального.В задании 6 студентам надо применить знания относительно учебных действий, получен-

ные из предыдущих заданий, и установить внутренние связи между множествами. Это соответ-ствует 3 этапу.

На примере заданий 1, 3, 6 студентами составляется правило-ориентир действия сравненияв виде алгоритма, что соответствует 4 этапу.

Правило-ориентир.1. Определить цель сравнения.2. Выделить признаки сравниваемых объектов.3. Определить возможные линии сравнения в соответствии с поставленной целью и обна-

руженными признаками.4. Установить общие признаки.5. Установить отличие в сравниваемых объектах6. Сформулировать вывод о сходстве и различии данных объектов в соответствии с постав-

ленной целью.При изучении темы “Действительные числа” студенты повторяют понятие модуля числа и

методы решения уравнений и неравенств с модулем. Но если поставить цель – обучить студентованализу условий, то ее постановка должна облегчить процесс “разложения” задачи на подзадачи.

Задание 7. Решить уравнение 1222 +=−+ xxx (*)Решение этого уравнения по алгоритму не составит труда, если не считать, что корни этого

уравнения иррациональные. Но механическое воспроизведение алгоритма не всегда ведет кпониманию вопросов “Почему именно так надо делать?” Поэтому изменим условие следую-щим образом:

130

Запишите, не используя знака модуля, аналитическое выражение для функции122)( 2 −−−+= xxxxf . Сделайте чертеж.

Вопросы.1.Запишите свое условие задачи, подметив связь между уравнением (*) и функцией f(x).

Решите уравнение известным вам методом.2.Решите геометрически уравнение f(x) = 0, записав его в удобной форме. Укажите количе-

ство корней.3. Справедлива ли равносильность уравнения и совокупности систем?

011)22(

01122

122 2

2

2

≥++=−+−

≥++=−+

⇔+=−+

xxxx

xxxx

xxx

Объясните почему?3. Решите уравнение (*), используя совокупность систем, рассмотренную выше. Сравните

это решение с тем, которое предложили вы.

4. Запишите уравнение 1222 +=−+ xxx и решите его известным вам методом.

5. Запишите в общем виде алгоритм решения уравнения )()( xgxf = .Решению уравнений и неравенств с модулем в школе уделяется мало внимания, и студенты

испытывают трудности, даже решая уравнение по алгоритму. Но чаще теоретические обоснова-ния шагов алгоритма остаются непонятыми. При решении рассмотренных выше заданий сту-денты овладевают действиями:

– переноса аналитических рассуждений в план геометрических представлений;– переформулирования задач;– сравнения способов решения;– установления внутренних связей внутри одного понятия и т.д.В рамках темы “Функции” студенты повторяют известный материал из школы, касающей-

ся основных видов функций, их свойств и графиков. Следующие задания необычны по содержа-нию, но объем школьных знаний позволяет их решить, и в результате решения приобрести полез-ные учебные действия: подведение понятия под определение, выделение существенных и несу-щественных свойств понятия, конструирование обратного утверждения, и др.

Задание 8. Пусть О – множество отрезков плоскости Р, П – множество прямых плоскости

Р. Задано соответствие ПOq

→ : каждому отрезку плоскости Р ставится в соответствие прямаяэтой плоскости, являющаяся серединным перпендикуляром данного отрезка.

а) Является ли соответствие q функцией? Почему?б) Укажите область определения и множество значений для q.

в) Составьте обратное соответствие 1−q .г) Является ли обратное соответствие функциональным?Задание 9 . Пусть R – множество ромбов на плоскости Р, Н – множество окружностей

плоскости Р. Задано соответствие HRf

→ , каждому ромбу ставится в соответствие окружностьописанная около ромба.

а) Является ли соответствие f функциональным или нет?б) Придумайте свой вариант соответствия f, но чтобы оно было функциональным.

131

в) Составьте обратное соответствие 1−f .

г) Является ли 1−f функцией?Задание 10. Составьте задачу, аналогичную задаче 8, в которой использовались бы:а) множество квадратов и множество точек плоскости;б) множество равнобедренных треугольников и множество прямых плоскости;в) множество углов и множество лучей плоскости.

Задание 11. Соответствие F(x) задано формулой: ])0;1[],1;0[(1)( 2 −∈∈−−= yxxxF .1. Постройте график соответствия F(x).2. Дополните график соответствия F(x) таким образом, чтобы график полученного соот-

ветствия был:• симметричным относительно прямой х=1 (f);•симметричным относительно прямой у =-1 (g);•центрально-симметричным относительно точки (1;0) (q).3. Для каждого соответствия f, q, g укажите область определения и множество значений.4. Какие из соответствий f, q, g являются функциональными? Докажите.5. Функциональные соответствия задайте формулами.6. Для каждого соответствия f, g, q постройте график обратного соответствия.

7. Какое из соответствий 1−f , 1−g , 1−q является функциональным? Докажите.Функциональные соответствия задайте формулами.Задание 12. Соответствие G задано формулой )),0[],0,(()( 2 ∞∈−∞∈= yxxxG .1. Постройте график соответствия G(x).2. Достройте график соответствия G(x) таким образом, чтобы график полученного соот-

ветствия был:а) графиком нечетной функции (f);б) графиком четной функции (g);в) нефункциональным соответствием (q).3. Задание, аналогичное заданию 11 (2).4. Задание, аналогичное заданию 11 (5).5. Все соответствия f, g, q задайте формулами, включая и обратные.Задание 13. Построить график функции

cos x sin x4 4f (x) .

sin x cos x4 4

π π + − + =π π + + +

Вопросы:1. Почему можно заменить )(xf на tgx− ?2. На каких промежутках эти функции тождественно равны?3. Как надо изменить функцию )(xf , чтобы tgxxf =)( ?

Задание 14. Построить график функции xxtgxxtgxf cos)1(sin)( 222 −+−= .Задание 14 является аналогичным заданию 13, только вопросы из задания 13 студенты

задают себе сами. Они должны найти ответы на них и построить график функции

Zkkxxy ∈+≠−= ,2

,cos ππ

.

132

В задачах 8-14 используются учебные действия, как общего, так и частного характера:– перевод с языка аналитического на геометрический;– конструирование задач с заданными условиями;– конструирование прямых и обратных задач;– умение заменить функцию тождественно равной и т.д.Таким образом, каждое учебное задание может быть рассмотрено как действие, являюще-

еся составной частью более широкой деятельности, например, в усвоении темы “Дифференци-альное и интегральное исчисления функции одной переменной”. И вполне можно говорить омотивации выполнения конкретного задания и изучения какого-то раздела в целом. Осознаниенеобходимости, полезности, успешности выполнения отдельных действий для понимания от-дельных разделов и всего курса математического анализа усиливает мотивацию этих действий.

Литература1. Стефанова Н.Л. Компетентность современного учителя математики и пути ее формирования в

процессе методической подготовки в вузе / Проблемы теории и практики обучения математике: Сборникнаучных работ, представленных на международную научную конференцию “56 Герценовские чтения” /Под ред. В.В. Орлова. – СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003.– С.16.

Хмылко О.Н.

ФОРМИРОВАНИЕ БАЗОВОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИВ УСЛОВИЯХ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА

НА ПРИМЕРЕ ОБУЧЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКЕМАГИСТРОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Одно из определений компетентности: «Обладание знаниями, позволяющими судить очем-либо. Обладание компетенцией; где компетенция – это область деятельности, значимая дляэффективной работы организации в целом, в которой индивид должен проявить определенныезнания, умения, поведенческие навыки, гибкие способности и профессионально-важные каче-ства личности» [1].

Компетенция - это область ответственности и определенная область полномочий [2].Под профессиональной компетентностью понимается интегральная характеристика, опре-

деляющая способность специалиста решать профессиональные проблемы и типичные професси-ональные задачи, возникающие в реальных ситуациях профессиональной деятельности, с исполь-зованием знаний, профессионального и жизненного опыта, ценностей и наклонностей [3].

Исходя из определения компетентности, компетентность не имеет верхней границы своегоразвития, индивид имеет возможность повышать уровень своей компетентности практическибесконечно, ограничиваясь только свойствами личности.

Основной задачей при исследовании вопросов компетентности является необходимостьвыявить минимальный уровень требований к компетентности тех или иных специалистов в тойили иной предметной области. Этот уровень и будет считаться базовым.

Базовый уровень при формировании компетенций для разных специальностей может бытьразличным, однако, в любом случае, формирование базовой компетентности происходит сту-пенчато и непрерывно. Этапы формирования базовой компетентности представлены на Рис.1.

На примере формирования базовой компетентности в области компьютерной графики(КГ) представленные этапы имеют следующие значение:

«Распознавание». На данном этапе происходит формирование навыка отличать изобра-