Оригами. Геометрия шестиугольника

= 2(c+d)-d(a+c

)2(a+b

)-b(a+c)

km = 2(c+d

)-c(b+d)

2(a+b)-a(

b+d)

pn

N-22 n

A1

y

x

O1

y1

O2

MK

M1

B

K1

O

B1

A

B'

B'' y2

y3

А. ЕрмаковА. Ермаков

Оригами. Геометрия шестиугольника

Россия 20151

А. Ермаков

Оригами. Геометрия шестиугольника

Оригами. Геометрия шестиугольникаА. Ермаков

Корректировка текста Е.Ермакова

Оформление и верстка А.Ермаков

© А.О.Ермаков, 2009-2015

2

Корректировка текста Я.Терехов

СПб, 2015.- 29с., ил.

Статья рассчитана на широкий круг читателей и может быть использована как новичками,делающими свои первые шаги в оригами, так и опытными мастерами, желающими углубитьсвои знания в области построения удобных координатных сеток на области складывания.

Никакая часть этой статьи не может воспроизводиться или распространяться в любой форме илилюбыми стредствами, электронными или механическими, включая фотокопирование и запись намагнитный носитель, без соответствующего разрещения автора.

❶ Введение

❷ Треугольная сетка и квадрат

❸ Треугольная сетка и шестиугольник

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

➜ Оптимизация построений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11➜ Частный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13➜ Графоаналитический метод поиска опорных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . 16➜ Получение опорных точек совмещением узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19➜ Общие черты агоритмов построения координатных сеток . . . . . . . . . . . . 21

➍ Бонус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

e-mail: [email protected]

1 2 3

606060

21

Рис.1 Треугольная сетка на разных областях складывания

Для описания структуры сеток можно отметить следующие отличительные черты, которые чётко

идентифицируют сетку как треугольную (рис.2) .

1. Расстояние между двумя любыми смежными параллельными линиями одинаково.

2. В каждой точке пересечения сходятся 3 линии под углами 60о, образуя, в качестве

элементарных ячеек, правильные треугольники.

Рис. 2 Структура треугольной сетки

Введение Введение

3

С каждым днём в современном оригами всё более востребованными становятся так

называемые треугольные сетки (ТС). Если не вдаваться в технические тонкости, то они

представляют собой удобную совокупность ориентиров (линий и точек их пересечения),

которые легко получить в пределах области складывания и которые можно достаточно

эффективно приспособить для переноса и сборки некоторых типов паттернов. Безусловно,

область их применения выходит далеко за пределы данного определения, однако в рамках

статьи этого будет предостаточно. Среди наиболее популярных направлений оригами, где вы

непременно столкнётесь с ТС, можно отметить бумажные мозаики, НР-гофры и hex-pleating

(методика проектирования плоских базовых форм). Треугольные сетки, перенесённые на лист,

выглядят примерно так (рис.1).

Введение Введение

4

Проще всего получить треугольную сетку поверх правильного шестиугольника. Для этого

достаточно несколько раз разделить надвое расстояние между сторонами, от чего размер сетки

(параметр ТС, характеризующий плотность складок) будет каждый раз увеличиваться вдвое

(рис.2).

Рис.3 Сборка треугольной сетки 2n-2n-2n

Но что делать, если треугольную сетку нужно получить в пределах не шестиугольника, а

квадрата, пятиугольника или разделить сторону не на 2n частей, а, скажем, на какое-нибудь

простое число больше 20-30…? Здесь -то и начинается самое интересное.

...

1 2 32-n2-n2n

8-8-84-4-42-2-2

Треугольная сетка и квадрат Треугольная сетка и квадрат

5

В отличие от стандартной прямоугольной сетки поверх квадрата, для которой вы найдёте в

интернете большое количество всевозможных построений, разделений квадрата линиями ТС

практически нет. И это неудивительно! Как правило, такая сетка внутри квадрата в 99% случаев

обозначает одно – проектирование модели в НР. Безусловно, hex-pleating достаточно известная

методика проектирования. Однако на данный момент своего исторического пути такой

популярности, как BP или 22,5, она и близко не получила. До сих пор HP – повседневный

инструмент весьма ограниченного числа оригамистов, и лишь единицы из них увлекаются

написанием тематических статей об оригами. Процесс получения треугольной сетки на

квадрате выглядит примерно так (рис.4).

Рис. 4 Нанесение треугольной сетки на квадрат

Он состоит из следующих этапов:

- разделение длины или ширины квадрата на нужное число равных участков (при помощи

способов, предложенных Хага, Фуджимото, Лэнгом и прочими);

- пошаговое восстановление остальных линий сетки (параллельных двум заранее полученным

складкам, повёрнутым на 60 градусов относительно границ квадрата).

Следует отметить, что «чисто» вписать треугольную сетку в квадрат подобным образом у вас

не получится (то есть добиться того, чтобы все вершины квадрата совпали с узлами сетки). Всё

потому, что «длина» и «ширина» фигуры должны будут одновременно содержать целое число и

сторон, и высот правильных треугольников (рис.5.1). Чего, естественно, не может быть, так как

n

2

6

сетка готова

12 3

4

5678№

4


6

отношение длины стороны правильного треугольника к его высоте есть иррациональное число

(рис. 5.2. n∈Z+⇒m∈Q).

Рис.5 Совмещение треугольной сетки и квадрата

Это было бы невероятно удобно для проектирования моделей, но, что есть – то есть. Хорошо

ещё, что существуют вполне приемлемые и близкие по значению сочетания, которые лишь

незначительно отклоняются от идеальных. Складывая такую сетку, скорее всего вы даже не

почувствуете погрешности. На рисунке 6 (δ(ᾶ) – относительное отклонение ближайшего узла ТС

от края листа) приведены примеры некоторых из них.

Рис. 6 Отклонения при нанесении ТС на квадратный лист

При этом возможно использовать сетки с числом вертикальных разделений, кратным

данным значениям n Так, к примеру, может быть очень полезна сетка для n=30х2=60 и

прочие. Если же нужна ТС действительно большого разрешения (для совсем уж эпической

модели), то сетка n=112 создана специально для этого случая; отклонение при её нанесении

будет почти равно нулю.

.

12

a

a 32-

A

B

C

n

m 3

δ(ᾶ)~1% ᾶ

n=8

δ(ᾶ)~0,27% δ(ᾶ)~0,27%

n=30

δ(ᾶ)~0,07%

n=22 n=38


7

Что касается поворота треугольных сеток внутри квадрата, то здесь, как мне кажется, дело

уже выходит за рамки практического применения. По крайней мере, подобных паттернов

реальных моделей лично я ещё не встречал, хотя и не исключаю, что такие есть. Но, в любом

случае, их не должно быть много.

Для решения подобной задачи самым рациональным будет выделение вершин некоторого

шестиугольника, «удобная» сетка внутри которого будет служить основой для нанесения

оставшихся линий (рис. 7).

Рис. 7 Построение ТС на произвольном многоугольнике

Форма исходного листа при таком алгоритме построения не имеет никакого значения, но

задача в таком контексте выходит совсем уж гипотетическая и, как следствие, потребует

индивидуального подхода к каждому конкретному случаю.

Вполне можно вырезать произвольную фигуру и поверх треугольной сетки, сложенной из

шестиугольника, но это, так сказать, «не спортивно» (рис 8). Поэтому и останавливаться на

подобных «неортодоксальных» крайностях не будем.

Рис.8 Вырезание треугольной сетки произвольной формы

5

1 2 3 4

5678


8

Более интересен иной случай – когда известны только узлы, образующие шестиугольник с

нестандартным размером вписанной сетки. Здесь уже без дополнительных построений никак

не обойтись, да и с практической точки зрения данный случай интересен именно для

шестиугольника, а не для эфемерных многоугольников, из которых никто никогда складывать не

будет.

Треугольная сетка и шестиугольник Треугольная сетка и шестиугольник

9

К примеру, требуется получить внутри шестиугольника треугольную сетку размером 14-14-14.

Как осуществляется деление на два без геометрии, мы уже знаем (рис.3). Поэтому прежде, чем

приступить к геометрическим построениям, следует избавить параметры сетки от всего

лишнего (разложить на простые множители и отбросить двойки). Данный подход существенно

упрощает процесс построения. Так, искомая сетка 14-14-14 = 7х2 - 7х2 - 7х2 становится сеткой

7-7-7, а сетка 60-60-60 = 2х2х3х5 - 2х2х3х5 - 2х2х3х5 становится сеткой 15-15-15.

Итак, сетка 7-7-7. Начнём с самого простого способа получения ТС (рис.9).

Рис.9 Получение треугольной сетки 7-7-7

Давайте разберёмся подробнее, почему так получилось! Готовое решение — это, конечно,

хорошо, но мне кажется, знать общий принцип и при необходимости уметь получать ТС

произвольного размера гораздо полезнее.

Допустим, в некотором правильном шестиугольнике (рис. 10) нам требуется определить, в

каком отношении линия BB1 делит диагональ AA1.

Рис.10 Анализ пересечения линий внутри шестиугольника

1 2 3 4

567

3-7

3-7

8

7-7-77-7-7

A

A1

B

B1

ΔAOB ΔA1OB1

∠AOB=∠A1OB1 - вертикальные

AB = 1;A1B1=n/m;n,m ∈ Z+

0AOA1

= ? nmAB

A1B1=0A

OA1

⇓∠BAO=∠B1A1O - накрест лежащие∠ABO=∠A1B1O - накрест лежащие

⇓

O

⇓ =0AOA1


10

Приняв значение (рис.9) A1B1=3/4, получаем АО/А1О=4/3. Следовательно, разделив АО на 4

равные части, а А1О на 3 – всю диагональ мы разделим на 7 равных отрезков. И, заметьте, уже

одно это равенство даёт нам вполне универсальный алгоритм получения произвольной

треугольной сетки. Таким образом:

– выбираем произвольное число «х»>«y» такое, чтобы в сумме с «y» оно давало искомое

число участков. Способ деления на «x» частей должен быть известен, проще всего выбрать

«х», равное степени двойки (рис.3);

– делим сторону шестиугольника на «x» частей;

–на разделённой стороне отсчитываем «y» делений от точки А1 и получаем точку B1 (рис. 10);

– проводим прямую BB1 и получаем точку O (разделяет диагональ на отрезки: AO и OA1);

–так как способ разделения на «х» частей нам известен, достраиваем сетку с искомым

числом участков.

Рассмотрим этот алгоритм на примере сетки «11– 11» (рис.11):

1) Выбираем «x» (степень двойки) >«y». Так как 11=8+3, то «x»=8, «y»=3;

2) Делим сторону шестиугольника на «х» = 8 частей;

3) Отступаем «у» = 3 деления с правого края; (11.3)

4) Сгибаем BB1 – получаем точку О;

5) Относительно точки О достраиваем сетку.

Рис.11 Построение треугольной сетки 11-11-11

1 32 3B1

A1

A

5678

9 10 1211

11-11-11

4

B

4-10

4-10

11-


11

Повторив алгоритм шаг за шагом, можно без труда получить треугольную сетку любого заранее

выбранного размера. Прелесть данного метода состоит в том, что он годится не только для

правильного шестиугольника, но и для прямоугольников, восьмиугольников и прочих

правильных (и не только) 2n-угольников. Всё, что для этого требуется в чистом виде, это две

параллельных стороны одинаковой длины! Ну а далее пространство между ними точно так же

делится произвольным количеством параллельных линий.

Плюсов много: во-первых – алгоритм прост, во-вторых – универсален, не нужно отдельно

запоминать варианты для разных форм листов и размеров сеток, в-третьих – не требует

дополнительных вычислений.~||~

Однако, несмотря на то, что данный алгоритм является вполне универсальным инструментом

получения нужной ТС, с практической точки зрения у него есть один существенный недостаток –

положение первых складок определяется углом пересечения линий АА1 и ВВ1. Он всегда

находится в пределах (30о;60о), что для среднестатистического фолдера иногда представляет

проблему: чем меньше угол, тем выше погрешность при складывании. То есть получение сетки

65-65-65 может оказаться не только утомительным, но и крайне неточным. Вблизи точки

пересечения линии почти сольются воедино и выделить корректно место их встречи –

непростая задача. Рассмотрим подробнее, как от этой проблемы можно избавиться (или, по

крайней мере, свести её к минимуму), подобрав практически под каждый размер ТС вариант с

углом пересечения линий не меньше верхней границы предыдущего алгоритма (тех же 60

градусов).

Этот метод представлен на рис. 12. Здесь значения a, b, c, d являются длинами отрезков,

отложенных от вершин M и М1 исходного шестиугольника:

Рис.12 Расчёт параметров пересечения двух линий внутри шестиугольника

A

A1

B

B1

0BOB1

= ? M(0;0)

K1

C

C1

y

x

O

K

M1

a,b,c,d ∈ [0;1]

y1

MK = 1;MB = b;MA = a;

M1B1 = d;M1A1 = c;

0AOA1

= ?

∠СOB=∠С1OB1 - вертикальные∠BСO=∠B1C1O - накрест лежащие∠CBO=∠C1B1O - накрест лежащие

1) Координаты точек А и А1

A: (-ax;ay) = a2-( a 3

2-;- ( A1: (1+cx; cy) = 3- c2-( c 3

2-;1 (-3+

2) Уравнение прямой, проходящей через А и А1a 3

2-y1-c 3

2--3 a 32--

a2-x +

=

⇓

c2-1+ a

2-+y1= (2-c-a)3

(2+c+a) ( )a2-x + a 3

2-+

3) Абсциссы точек С и С1

y1=0; (2-c-a)3(2+c+a) ( )a

2-xc+ a 32-+ =0; ⇓ xc= -2a

2-c-a

y1= ; 3 ⇓ (2-c-a)3(2+c+a) ( )a

2-xc+ a 32-+ = ;3 ⇓ xc1

2+c-a2-c-a=

⇓

⇓

4) Длины отрезков BC и B1C1

BC=xb-xc BC=b- -2a2-c-a = 2(a+b)-b(a+c)

2-c-a

B1C1=xc1-xb1

ΔCOB ΔC1OB15) 6)

2+c-a2-c-a -(1-d)= 2(c+d)-d(a+c)

2-c-aB1C1=⇓

Итог

⇓ 0BOB1

= BCB1C1 = 2(a+b)-b(a+c)

2-c-a 2(c+d)-d(a+c)2-c-a.

= 2(c+d)-d(a+c)

⇓

2(a+b)-b(a+c)0BOB1

= 2(c+d)-c(b+d)2(a+b)-a(b+d)0A

OA1

симметричный

случай


12

Данные формулы могут описать весь спектр пересечения пары прямых, проходящих через

точки, расположенные на противоположных параллельных сторонах. Для разделения других

сторон достаточно просто повернуть шестиугольник либо зеркально отразить его.

Вероятно, общий вид расчёта больше полезен для анализа в целом, чем для построения

конкретной ТС. Но, поработав один раз над поиском комбинаций (как это реализовать, читайте

дальше – см. рис.18) и составив свою таблицу «на все случаи жизни», вы навсегда решите

проблемы поиска удобных сеток. И, что немаловажно, удобных именно для вас, так как для

одного и того же размера, в большинстве случаев, сеток может быть великое множество. Одна

из таких таблиц, которую использую я сам, показана ниже (рис.13).

Рис.13 Таблица параметров, удобных для построения треугольных сеток

N a b c d 0AOA1

0BOB1

3 0 1 1 0 2:1 1:2 605 872

1 3:2 2:3

7 75,50 1 1 21 4:3 2:5

9 5:4 4:543 72

11 21

21 765:66:5

13 6021

21 10:3

151 0

8:721 1 2

143 83

17 21 1 4

385 8:9 88

19 43

410 8

3 8:1111:8 8021 772

1 1 1 87 11:10 8:13

23 6885 12:11 11:12

10:7

1 1 21

43 1 1

43

43

21

85

21

25 1 41 0 8

7 11:14 18:7 6427 0 2

1 1 87 8:19 4:23 72

29 1 10:1917:12 8441 1 2

1

31 1 15:1623:8 8587 1 0

33 1 16:1717:16 631615 1 16

15

35 24:1119:16 7585 1 0 8

7

37 19:1818:19 7787

87

1613

1613

39 19:2017:22 7283

43

41 1


13

Здесь приведены некоторые сочетания параметров a, b, c, d, которые соответствуют

полученным формулам (рис.12). С их помощью разделение шестиугольника N-N-N сеткой

становится очень удобным и вполне эффективным. Взгляните на крайний правый столбец –

острый угол пересечения прямых АА1 и ВВ1. Ни один из них не меньше 60 градусов, а в

большинстве случаев угол находится в диапазоне 70-80о. А это значит, что для N: 5, 9, 17, 19 и

т.д. углы пересечения вдвое, а то и втрое, превышают значения, получаемые при первом

алгоритме (рис.10). Согласитесь, в нем такая точность получения первой опорной точки

недостижима (случайные попадания и индивидуальные особенности некоторых сортов бумаги

не в счёт). Конечно, решать вам… Но, как по мне, жертвовать качеством ради простоты не

следует. Процесс получения сетки сам по себе буквально пропитан погрешностями, чтобы

игнорировать ещё и самый важный ориентир. Если есть возможность сделать построение

чуточку точнее – этим нужно пользоваться. Пусть труднее запоминается, немного сложнее по

восприятию, но, если уж хотите дополнительно подстраховать себя от впустую потраченного

времени и листа бумаги, то задуматься всё-таки следует. Да и сложность тоже понятие

относительное. Например, из данных формул вытекает целая серия вполне доступных для

запоминания способов получения ТС. Как правило, вводятся некоторые ограничения на

параметры a, b, c, d (рис.13) и исходя из этого осуществляется упрощённый поиск доступных

для использования N.

~||~

Приведу один особо приглянувшийся мне пример, который легко запомнить и который

значительно эффективнее первого алгоритма (рис. 14).

Рис.14 Алгоритм получения первой опорной точки ТС

Если в общих чертах, то мы рассматриваем случай, где введены ограничения (a=d; b=c). Ну и,

как следствие, очень симпатичные равенства.

0BOB1

= ?

a,b ∈ [0;1]

MK = 1;

MB=M1A1 = b;MA=M1B1= a;

0AOA1

= ?

= 2(a+b)-a(a+b)2(a+b)-b(a+b)0B

OB1

= 2(a+b)-b(a+b)2(a+b)-a(a+b)0A

OA1

= 2-a2-b0B

OB1

= 2-b2-a0A

OA1

из общей формулы

A

A1

B

B1

⇓O

M

M1

K

..


14

«И что с того?» – справедливо скажете вы, – «Можно получить и более красивые итоговые

формулы, подставив единицы и нули в равенство». Однако, вся красота такого способа

получения опорных точек скрыта от поверхностного анализа. Взгляните на следующий график

(рис.15).

Рис.15 Зависимости углов пересечения прямых от размера итоговой ТС

Белым цветом обозначены углы, используемые в первом методе (рис. 10) в своём

«законном» диапазоне 30-60 градусов, зелёным – значения данного алгоритма. В чистом виде

они непостоянны, и я бы даже сказал, «капризны». То есть, посмотрите на N=5, 17, 21… –

красота, практически прямой угол. А значения N=15, –«тихий ужас», о точности вообще

можно забыть. Угол настолько острый, что вы запросто получите отклонение, скажем, в

сантиметр, на листе среднего размера, и едва ли после этого треугольная сетка при сборке

будет иметь привычные очертания. Однако обратите внимание на красные точки. Даже чисто

внешне они кардинально меняют весь расклад. График медленно, но верно приближается к 70-

90о, а сами точки буквально вытаскивают значения углов пересечения из пропасти. Откуда же

они взялись?

Всё просто! Ещё раз обратите внимание на рисунок 14. При таких ограничениях,

накладываемых на построение, итоговая структура будет симметрична относительно средней

линии (на рисунке она обозначена синим пунктиром). Она-то и является нашим «спасательным

кругом». Чем меньше значение угла пересечения, тем ближе точки линий АА1 и ВВ1 к

вершинам, и тем больше угол пересечения между осью симметрии и одной из них.

Ну а получить среднюю линию куда проще, чем АА1 или ВВ1. Для этого достаточно

совместить противолежащие углы шестиугольника. Рассмотрим алгоритм на конкретном

примере (рис.16): a=0,25; b=0; => (7/8; 8/7).

1 ...3

N

90

5 19 21

30

60

3 7 9 1311 15 17 23 25 27 29 31


15

Рис.16 Получение треугольной сетки 15-15-15

На втором шаге в месте, где угол пересечения линий приблизительно равен 13 градусам,

заменяем одну из линий (в данном случае линию АВ) на среднюю линию. Как результат, угол

пересечения складок получается больше 80 градусов. Интересно, не правда ли? Всегда есть

альтернатива и третья линия, которая в трудной ситуации может подстраховать от грубого

промаха. Своего рода геометрический симбиоз, где линии лишь дополняют друг друга.

Что же касается запоминания конкретных значений «a» и «b» – будьте уверены, немного

практики и данный алгоритм покажется е сложнее варианта с рисунка 10. Взгляните на

следующую таблицу (рис.17). А точнее на то, как ведут себя «a» и «b» в окрестностях N, между

последовательными степенями двойки: 2, 4, 8, 16…

Рис.17 Таблица параметров, удобных для построения треугольных сеток

Если систематизировать данный алгоритм, его можно описать следующим образом (по-

прежнему работа будет вестись с упрощёнными размерами, из которых изъяты деления на

два, т.е. не 30-30-30, а 15-15-15…).

не

1 32

5678

4

4-63-7

3-7

15-15-15

A

B

N

0AOA1

0BOB1

ab

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

01 1

21

21

0 431 4

3

42

4142

41

01

87

87

86

8586

21

32

43

85

84

83

82

81

84

83

82

81 0

54

65

76

87

98

109

1110

1211

1312

1413

1514

1615

109

1110

1211

1312

1413

1514

1615

21

32

43

54

65

76

87

98


16

– Начнём с «а»: ищем ближайшую к N степень двойки и рассматриваем её положение на

числовой оси. N=2n-1 соответствует значению «а»=1/2(n-2), каждый последующий (к нулю) член

также увеличивается на 1/2(n-2). До тех пор, пока «а» не будет равно единице. То есть, «а» равна

единице для каждого N = 2n+1.

Если вам трудно представить результат без расчётов, используйте общую формулу:

где [x] – целая часть числа «x» ([2,75]=2, [0,2]=0),

n – наибольшее целое число, для которого 2n<N

– Поиск «b» очень похож на поиск «а», с той лишь разницей, что всем N = 2n-1 соответствуют

«b» = 0, и увеличиваться они будут не до единицы, а до (2n-2-1) / 2(n-2). Или же:

К примеру, рассмотрим разделение 71-71-71:

1) 71=64+7=26+7; => a=29/32, так как:

- из (1) следует, что «а» = 1- 2(1-6)[ (71 - 26) / 2 ] = 1-2-5[3,5]=1- 3/32 = 29/32;

2) b=7/8, так как:

- из (2) следует, что «b»= 1- 2(1-6)[ (71 + 2 - 26) / 2 ] = 1-2-5[4,5]=1- 4/32 = 28/32 = 7/8;

3) OA / OA1 = (2-a) / (2-b) = 35/36 (см.рис. 14)

Вот и всё! Немного расчётов и мы получили такую пару (a; b), которая обеспечивает

эффективное построение первичной опорной точки с углом пересечения не меньше 60о.

~||~

Естественно, это не единственный способ построения удобных опорных линий, полученный

из общей формулы (рис.12), как видно хотя бы из моей таблицы «на все случаи жизни» (рис.13).

Там прямо напрашивается ещё парочка интересных случаев. Но это уже остается на ваше

усмотрение! Главное – понять сам принцип поиска эффективных решений, а остальное – дело

техники и накопленного опыта.

Возникает другой вопрос: как подбирать значения a, b, c, d для конкретного N? Так-то всё

замечательно: подставил произвольные значения в общую формулу и получил невесть что.

Решение будет однозначно – только вот для какого N?!

a = 1-2(1-n) N-2

2

n(1)

b = 1-2(1-n) (N+2)-2

2

n

(2)


17

Путей решения поставленной задачи множество, от банального перебора до написания

программ, где несколько десятков строчек кода выдадут вам полный спектр возможных

сочетаний искомых параметров. Однако остановлюсь на графо-аналитически методе, который

часто использую сам. Для него потребуется: либо по старинке - циркуль, карандаш, линейка;

либо какой-нибудь мало-мальски современный графический редактор, наподобие Inkscape,

Corel, Adobe Illustrator и т.д. Я использую первый благодаря его простоте и доступности (можно

бесплатно скачать на официальном сайте - inkscape.org). Кроме того, в Inkscape доступна

функция работы с треугольной сеткой. Добавить её поверх «холста» можно в меню создания

сеток: «Свойства документа -> Сетки -> Создать -> Аксонометрическая сетка». По умолчанию

активирована прямоугольная сетка, так что её предварительно следует отключить, иначе обе

сетки будут активированы одновременно.

Вначале нужно приготовить небольшой шаблон, который в дальнейшем будет многократно

использован на сетках разного размера:

1) каждую из сторон, участвующую в формировании прямых пересечения, разделить на

произвольное число равных участков: лучше 2n, поскольку такие опоры легче всего

нанести на стороны листа;

2) построить все возможные линии, которые соответствуют данным ограничениям.

Желательно линии, расположенные на разных парах ориентиров, обозначить разным

цветом для более удобного поиска пересечений;

3) наложить шаблон на сетку произвольного размера и найти точки пересечения с узлами

сетки;

4) проследить, какие линии образуют ту или иную точку и снять значения (a; b; c; d);

5) проверить, удовлетворяют ли данные значения общей формуле (рис.14).

Последнее, возможно, вызовет недоумение. Действительно, какой смысл дополнительно

анализировать значения, если даже в увеличенном масштабе графического редактора

отклонения не заметны? Приведу пример, который буквально «пропитан моей кровью» . В

двух словах, работая над очередным алгоритмом, я получил очень стройную систему, из

которой напрочь выпадала группа значений и сводила на нет все аналитические потуги.

Пришлось оставить наборы в покое, но, как ни прискорбно, те же самые трудности возникли на

следующем алгоритме… Как сейчас помню, это был набор (1/8; 1/2; 1; 3/8), который просто

идеально определял разделение 14/23, для OA/ОА1 (рис.14). Пометавшись какое-то время, я

решил анализировать каждый конкретный случай «в лоб». Тогда-то всё и встало на свои места!

Оказалось, что OA/OA1 равно не 14/23, как утверждали собственные глаза, а 73/120 – как

утверждала математика. И ведь ничего не поделаешь – имей я хоть трижды соколиное зрение,

ни в жизнь не почувствовал бы отклонение в 3 десятитысячных. Безусловно, для частного, чисто


18

практического случая любые расчёты будут лишними, но, если нужно систематизировать

результаты, без расчётов никак. Выглядит это следующим образом (рис.18).

Рис. 18 Графоаналитический метод определения первичных опорных точек

Следуя данному алгоритму, решения выбора значений превращаются в своего рода

собирательство, где предстоит двигаться по испещренной разноцветными линиями плоскости

(уже увеличенного масштаба) и искать возможные решения. Сотни, тысячи комбинаций,

которые должны по идее перебраться вручную, будут проанализированы автоматически.

Останется лишь выбрать нужное и сохранить для дальнейшего использования.

Не могу не заметить, что подобным образом можно подойти к решению практически любой

графической задачи в оригами, и необязательно она должна быть связана именно с

построением сеток, или, к примеру, работой с целыми числами… Вовсе нет! Например,

проделав ту же операцию с вписанным в квадрат восьмиугольником, можно раз и навсегда

решить проблему поиска опорных линий в угловых и секторных методиках «22,5о» (рис.19),

вывести такие же удобные частные случаи, составить таблицы значений и прочее, прочее,

прочее…

2n

= 2(1+0,75)-0,75(0,75+1)2(0,75+1)-1(0,75+1)0B

OB1

= 2(1+0,75)-1(0,75+1)2(0,75+1)-0,75(1+0,75)0A

OA1

= 540B

OB1

= 450A

OA1

⇓

12


19

Рис.19 Пересечение линий внутри правильного восьмиугольника

Но, это уже, как говорится, «совершенно другая история!».

~||~

Поиск опорных точек используется не только для проведения линий через две точки. Особой

сложности в получении уравнений линий нет – проводите вы линии через две точки или

образуете складку, совмещением сторон, либо же совмещая две точки… Всё достаточно

тривиально и не потребует знаний, выходящих за рамки программы обычной средней школы.

Обратите внимание на следующий рисунок (рис.20).

Рис.20 Получение опорных точек совмещением узлов

Рассмотрение одного этого случая, где строится линия посредством совмещения опор, уже

само по себе даёт возможность получить целый ряд полезных разделений сторон и диагонали.

Что уж говорить о пересечении двух таких срединных перпендикуляров или же срединных

перпендикуляров и простых линий, проходящих через две точки и т.д.

0BOB1

= ?

y

xK

a,b,c,d ∈ [0;1]MK = 2-1;

MB = b;MA = a;

M1B1 = d;M1A1 = c;

0AOA1

= ?

M(0;0)

A

B

A1

B1

O

= 2(c+d)-d 2(a+c)2(a+b)-b 2(a+c)0B

OB1

= 2(c+d)-c 2(b+d)2(a+b)-a 2(b+d)0A

OA1

1) Координаты точек А и А1A: (-ax;ay) = ( a 2

2-;- (A1: ( 1+cx; 1-cy) = ( c 2

2-; 11 (-+

2) Уравнение прямой, проходящей через А и А1y -c 2

2--1 a 22--

x +=

⇓

a 22-

2- 2- c 22-

M1

MM1=1

⇓a 22- a 2

2-1+2- c 2

2-+a 22-

2y-a 22-c 2-a 2 =

2x+a 222-2 +c 2+a 2

C

C1

y1

3) Абсциссы точек С и С1y1=0; y1= ; . . . . . . . . 1

4) . . . . . . . . . . . . . .

⇓

. . . . . . . . . . . . . . . .5) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

6) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

AA1

B+

KB-K1B-= ?

M

C+

y

xOa,b ∈ [0;1]

y

LL1=KK1=1;

O1A1 = b;OA = a;

0B0O1B0

= ? B-

B0O1

C-K

L

K1

L1

LB+L1B+

= ?

1) Координаты точек А и А1A: (ax;ay) = ( a 3

2-; (a2- A1: (1-bx;by) = ( b 3

2-; (b2-2-;

2) Уравнение срединного перпендикуляра к AA1

AM=A1M (x- )2+(y- a2- a 3

2-)2= (x+ -2)2+(y- b2- b 3

2-)23(a-b)y = x(4-a-b) + (a2-b2+2b-4)⇓

3) Абсциссы точек B-, B0, B+B-: y=- 32- ⇓ x = 2(4-a-b)

2b2-3a-b-2a2+8

B0: y=0 ⇓ x = (4-a-b)b2-2b-a2+4

B-: y= 32- ⇓ x = 2(4-a-b)

2b2+3a-7b-2a2+8

4) Длины сторон KB-, K1B-, OB0, O1B0, L1B+, LB+

KB-= ⇓2(4-a-b)2b2-3a-b-2a2+8 - 1

2 KB-= (4-a-b)b2-a(a+1)+2

K1B-= ⇓2(4-a-b)2b2-3a-b-2a2+8-3

2 K1B-= (4-a-b)a2-b(b+1)+2

L1B+= ⇓2(4-a-b)2b2+3a-7b-2a2+8-3

2 L1B+= (4-a-b)a(a-3)-b(b-2)+2

LB+= ⇓2(4-a-b) - 12 LB+= (4-a-b)

b(b-3)-a(a-2)+22b2+3a-7b-2a2+8

OB0=XBo ⇓ OB0= (4-a-b)b(b-2)-a2+4

O1B0=2- ⇓ (4-a-b)a(a-2)-b2+4

(4-a-b)b2-2b-a2+4 O1B0=⇓

4) Итог b2-a(a+1)+2KB-K1B-= a2-b(b+1)+2

0B0O1B0

= b(b-2)-a2+4a(a-2)-b2+4

LB+L1B+

= b(b-3)-a(a-2)+2a(a-3)-b(b-2)+2


20

Можем только догадываться, какое ещё здесь непаханое поле всевозможных красивых

алгоритмов и сочетаний, которые находятся в тени и только ждут, когда их заметят и подарят

человечеству. Ниже приведён конкретный случай для N=10 (рис.21), который соответствует

полученным равенствам.

Рис.21 Построение треугольной сетки 10-10-10 совмещением опорных точек

Аналогичным способом можно составить таблицу значений, вывести общие формулы выбора

параметров, составить шаблоны для графоаналитического поиска решений и всё остальное из

вышеописанного. Ничего нового здесь нет. Те же уравнения линий, тот же поиск точек их

пересечений. При желании вы легко это сделаете и самостоятельно. Более того, можете

углубить исследования, рассмотрев совмещение не только данного расположения опорных

точек на границе листа, но, скажем, на смежных сторонах или противоположных (рис. 22.1). Да

и вообще, удобных не только для обычного расположения сетки, а скажем – диагонального

(рис.22.2). А что, есть и модели, где это реализовано (например, очевидно,

Жуазеля ). Такое расположение ТС для некоторых

видов мозаик может вполне послужить достойной альтернативой стандартному варианту, ну

или, скажем, основой для HP моделей.

черепаху Эрика

1 32

567

4a=1

b=0,5710

910

920

1

8

9 10

3-9

3-9

11

10-10-10

реально реконструировать на диагональной ТС


21

Рис.22 Шестиугольники, простой и с диагональной ТС

~||~

Обратите внимание, что различные способы получения треугольных и обычных прямоугольных

сеток местами имеют ряд схожих принципов, несмотря на кардинальные различия в форме

исходного листа. Так, например, некоторые из описанных выше приёмов можно вполне

сопоставить со способами Нома, Лэнга и прочих для прямоугольных сеток. То есть и там, и там

используются складки, проходящие через точки, расположенные на противоположных сторонах,

или же складки, полученные совмещением точек и т.д. Но тут уж ничего не поделаешь, способов

сделать складку не так уж и много, хоть поверх квадрата, хоть поверх десятиугольника. Однако

для нас во всём этом есть одно очень полезное следствие. А именно: как только обнаружена

новая идея получения какой-нибудь из сеток, следует попробовать найти аналогичные в другой.

Вероятность того, что это сработает, как мы уже убедились, действительно высока. Скорее всего

будут различные формулы получения параметров для построения опорных точек, или же их

значения – но сам принцип, скорее всего, будет жизнеспособен.

Давайте рассмотрим, к примеру, произвольно взятый набор ориентиров и относительно них

проведём проверку жизнеспособности принципа поиска опорных точек для шестиугольника и

прямоугольника отдельно. Для эксперимента возьмём, к примеру, диагональ и произвольную

точку, расположенную не на границе листа, как в большинстве аналогичных построений, а где-

нибудь внутри (рис. 23). Так, чтобы с одной стороны – не ставить на границе лишних засечек,

только необходимые, а с другой – осуществить построение относительно удобного для работы

параметра.

1 2


22

Рис.23 Построение опорной точки внутри квадрата

Аналогично можете рассмотреть вариант для двух смежных сторон (рис.23 – y3), где

сначала подставляем в уравнение y3=b + (k-b)(0-a) / (k-a) = k(b-a)/(k-a),

-у3) и далее их отношение.

В «блуждающей» точке О(рис.23) надобности мало – слишком большая гибкость редко когда

хороша для анализа и решения прикладных задач. Вполне могут потребоваться нетривиальные

построения для поиска самой точки, и, как следствие, существенно снизится точность

получения опорной линии. Куда удобнее использовать более основательные ориентиры,

скажем, средние линии или диагонали. Их и поставить легко, и систематизировать процесс

будет удобнее. Так что используем точку на второй диагонали (у=1-х) и рассмотрим сборку

какой-нибудь простой прямоугольной сетки (рис.24 – сетка 10-10).

Рис.24 Построение прямоугольной сетки 10-10

x=0.

В этом случае расчёт будет вестись не относительно абсцисс, а относительно ординат. То есть,

расстояние до края квадрата (1

затем находим

y1

1) Уравнение прямой, проходящей через О и О1by1- =

⇓

y1= (k-b)(k-a) ( )x- b+

2) Абсциссы точек A и By1=0; =0; ⇓

xA

= k(a-b)k-b

⇓ ⇓

xB

k(1-b)-a(1-k)k-b=

⇓

3) Длины отрезков BK и AK1

4) Итог = k(1-a)-b(1-k)k(a-b)

M1AAK1

= (a-b)(1-k)k(1-b)-a(1-k)

MBBKx

KM(0;0)

y

O

O1

B

AM1 K1(1;1) bk -

ax -ak - a

y1=1;

(k-b)(k-a) ( )x- b+a

=1; (k-b)(k-a) ( )x- b+a

AK1=1-XA

⇓ = k(1-a)-b(1-k)k-b

k(a-b)k-b

AK1=1-⇓

BK=1-XB BK=1-k(1-b)-a(1-k)

k-b = (a-b)(1-k)k-b

MBBK = ?

a,b,k ∈ [0;1]

MK = 1;O(a;b)O1(k;k)

M1AAK1

= ?

O'

y2

O( ; )8-1 8-7

O1( ; )4-1 4-1

10-3

10-1

№ 4

1 2 3 4

510-210-8

10-10

64-6

78

симметри

чный

случай

y3

O'O

x=0

y=0


23

Так или иначе, ниже приведён пример построения сетки размера 10-10-10 (рис. 26) данным

способом, и для её формирования использованы параметры (а=0, b=3/4). Как следствие,

OO1/OO2 = 2/3; M1A1/A1K1=0; MB1/B1K=3/2. Очень удобные для реализации сетки 5-5-5, а

после совмещения сторон и 10-10-10.

Небольшая смена ориентиров и мы получили вполне себе удобную и самобытную методику

поиска опорных точек на квадрате. Не сказать, что она лучше или хуже других – главное, она

работает и может быть использована в повседневной оригами-жизни.

Теперь проделаем аналогичные манипуляции поверх шестиугольника (рис.25).

Рис.25 Построение опорной точки внутри шестиугольника

По сути, мало что изменилось и, по правде сказать, особой надобности в уравнениях не было –

всё можно было получить проще, используя подобие соответствующих треугольников. Но в

контексте статьи единый путь получения итоговых формул, как мне кажется, смотрится

гармоничнее. К тому же это дало нам возможность задействовать и третью диагональ

шестиугольника. Она вполне может подарить несколько отличных опорных точек, да и полезна

при построении диагональной ТС.

Рис.26 Построение треугольной сетки 10-10-10

8

A1

MB1B1K = ?

y

xO1

a,b ∈ [0;1]

y1

MK=1;

MB = b;M1A = a;

OO1OO2

= ? O2

M K

M1

M1A1A1K1

= ?

1) Координаты точек А и B A: ( 3

2-; (a2- B:;

⇓3) Абсциссы точек 0, B1, A1

B1: y=- 32-⇓ x = 2-a-ba(1-b)

O: y=0 ⇓ x = 2(2-a-b)a-2ab+b

A1: y= 32- ⇓ x =

4) Длины сторон OO1, OO2, A1K1, KB1

OO2= ⇓

OO1= ⇓+12 OO1= 2-a-b

1-ab

A1K1= ⇓- ⇓

1-abOO1OO2 = 3-2a-2b+ab

MB1B1K = b(1-a)

(1-b)(2-a)

M1A1A1K1

= a(1-b)(1-a)(2-b)

B

K1

O

B1

A

B'

B'' y2

y3

(1-a) ( 32-; (b

2- ;(b-1)

2) Уравнение прямой, проходящей через A и B

⇓

2-a-bb(1-a)

-32 OO2= 2-a-b

3-2a-2b+ab

1 A1K1= 2-a-b(1-a)(2-b)

B1K= ⇓-1 B1K= 2-a-b(1-b)(2-a)

XO

XO

XA1

XB1

1 32 4a=0

b=0,75

3

2

8

567

2

4-6

4-6

10-10-10

x b-a-2b-a

a-2ab+b2(b-a)+ = y

3


24

Как видите, случайно выбранный принцип получения опорных точек при построении

прямоугольной сетки внутри квадрата вполне сгодился и для построения треугольной внутри

шестиугольника. Возможно, так же будет полезна для практического использования и следующая

схема (рис.27). Она полностью соответствует этому же принципу получения сеток и позволяет уже

как-то систематизировать результат, изменяя разделения диагонали.

Рис.27 Ориентиры для получение опорных точек

Но, я думаю, в статье и без того немало достойных примеров, которые вероятно заслуживают

внимание в большей степени, чем данный, выбранный в качестве эксперимента. Многие

варианты взаимозаменяемые или формируют идентичные параметры для построения, как

например общий случай на рисунке 28 и одно из следствий вышеизложенного способа.

Рис.28 Нанесение сетки 7-7-7

1

a=0

b=1

c=1d=0,5 2

4

3

3 4

4

3-4

5

2-5

2-5

67

6/10

1/2

3/5

4/122/6

1/4

3/4

0

1

0

8/5

1/7 8/78/6

2/14

7/9

5/11

3/13

1/15

8/98/10

8/11

8/12

8/138/148/15

2

0

4/16

8/24

2/30

7/10

6/12

2/20

7/25

12/2

0

1/31

3/18

1/22

5/14

3/29

4/28

5/27

6/26

9/23

10/2

2

11/2

1

13/1

9

14/1

8

15/1

711 0 1

0

d(1-a)1-d

1-2a+ad1-a

0(1-d)(2-a)

1-a

a(1-d)1-a

a

d

7-7-7


25

Просто помните, что структура шестиугольника, да и любой другой фигуры, содержит

бесчисленное множество ещё неисследованных алгоритмов. Смело выбирайте новые

ориентиры, линии, узлы, пишите уравнения, определяющие складки, стройте графические

сочетания, и вы непременно наткнетесь на один или несколько таких методов, которые будут

просто незаменимы в какой-нибудь непростой ситуации!!!

~||~

Напоследок, один небольшой совет:

Если размер сетки близок к степени двойки, скажем 63-63-63 или 127-127-127, смело

складывайте 64-64-64 и 128-128-128, отрезайте по 1 полоске с трёх разных направлений и не

забивайте себе голову ненужными расчётами и геометрическими построениями.

2015, г. Санкт-Петербург

А.Ермаков

..

Бонус Бонус

26

Чертополох

Cложность: ********_ _

Для листа: 20 смБумага: 40-50 гр/м2

Андрей Ермаков (Россия)

Сторона модели: 10 см

Паттерн


27

1 2

34

5 6

вдвое увеличить шаг сетки


28

7CP гот

ов

оставш

иеся скл

адки сов

падают

с линиям

и коорди

натной

сетки

8

для сборки используйтеСР на первой странице

диаграммы

К�нец

29 Россия 2015

Оригами. Геометрия шестиугольника

Documents