СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ

Депонир Статья 2000

В практике проектирования часто встречаются задачи связанные с расчётом железобетонных плит на действующую совместно с равномерно распределённой произвольную сосредоточенную и полосовую нагрузку от самонесущих стен и перегородок Обычно проектировщики определяют армирование таких плит из расчёта на ЭВМ в линейно- упругой постановке что для железобетонных конструкций часто приводит к перерасходу материалов Другой недостаток традиционного метода заключается в том что с его помощью нельзя решить обратную задачу то есть проверить прочность плиты с заданным армированием при увеличении нагрузки на неё (например при реконструкции здания когда изменяется расположение перегородок)

Вопреки распространённому мнению что такой расчёт возможен только с использованием ЭВМ существует относительно простой аналитический способ разрешённый строительными нормами и основанный на рассмотрении предельного равновесия железобетонной плиты

Расчёт железобетонной плиты этим способом можно разбить на несколько этапов

Во-первых устанавливается предельная равномерно распределённая нагрузка для заданной параметрами α1 α2hellipαn схемы излома

q = f(α1 α2hellipαnL1 L2 m1 m2) (1) где L1 L2- характерные размеры плиты в плане m1 m2 ndash значения

погонных (кН м м) предельных моментов для различных направлений армирования

Во- вторых из условия q rarr min определяются значения параметров α1 α2hellipαn соответствующих действительной схеме излома плиты Это условие приводит к системе уравнений

0=partpart

i

qα

где i = 1 2hellip n

На третьем этапе задаются соотношения предельных моментов при двух рядах арматуры задаётся отношение m1 m2 ndash по опыту проектирования или по рекомендациям в справочной литературе (из экономических соображений) нагрузка qmin = qрасч (собственный вес плиты и полезная нагрузка на перекрытие с соответствующими

Рис 1 Фрагмент плана перекрытия

коэффициентами) и определяются значения m1 и m2 Если на плиту действует только равномерно распределённая нагрузка то по значениям m1 и m2 подбирают сечение арматуры Если кроме равномерно распределённой нагрузки действует неравномерная (сосредоточенная и полосовая) то схему излома плиты вообще говоря следует определять при совместном действии всех этих нагрузок Для новой схемы разрушения значения α1 α2hellipαn будут другими

Так как параметры α1 α2hellipαn входят в уравнение вида (1) не линейно (в отличие от нагрузок и предельных моментов) то принцип суперпозиции в точной постановке задачи не применим зная решение при действии одного типа нагрузки и при действии другого типа нельзя получить решение для совместного действия этих нагрузок путём сложения решений как для линейно упругих задач Тем не менее нормы [2] допускают замену полосовых и сосредоточенных нагрузок приведённой равномерно распределённой нагрузкой определяемой из условия равенства работ фактических и приведённой нагрузок на перемещениях которые соответствуют заданной схеме излома плиты (для кинематического способа) Но любой равномерно распределённой нагрузке соответствуют одни и те же значения α1 α2hellipαn следовательно нормы разрешают производить расчёт в предположении того что эти параметры остаются неизменными и для полосовых и сосредоточенных нагрузок А это означает что к предельным моментам m1 и m2 найденным на первой стадии расчёта можно прибавить моменты найденные для всех остальных видов нагрузки

Вопрос о точности такого подхода в нормах не решён Очевидно что ошибка этого метода тем больше чем меньше равномерная нагрузка по сравнению с неравномерной Если неравномерная нагрузка значительна и соответствующая ей схема разрушения резко отличается от схемы при равномерном нагружении то точность описанного здесь метода будет малой но надо полагать что в большинстве практических задач она всё же оказывается достаточной для инженерных целей

Рассмотрим численный пример На прямоугольную в плане монолитную железобетонную плиту перекрытия размером 38times53 м (рис1) действует равномерно распределённая нагрузка qрасч=45 кН и несимметричная нагрузка от кирпичных

Рис 2 Действующие нагрузки

Рис 3 Равновесие звеньев плиты

перегородок весом 3 кН м2 Высота перегородок 33-01=32 м размеры проёмовndash08times20 м Найти значения предельных погонных моментов для определения площади арматуры в пролёте и в надопорной зоне

Решение Нагрузку от перегородок учитываем по рекомендациям [2] 60 веса перегородок считаем распределённым по длине простенков 40 - прикладываем к плите в виде сосредоточенных сил для крайних простенков панелей с проёмами не более половины высоты этажа сосредоточенная сила прикладывается на расстоянии от его края равном 13 его длины Подсчитываем значения указанных полосовых и сосредоточенных нагрузок

Р1=[32middot07+(32 - 2) middot082] middot3middot04=326 кН Р2= [32middot38+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =1517 кН Р3= [32middot11+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =480 кН q1=(53middot32 - 2middot08) middot3middot0645 = 614 кНм q2 =(3middot32 - 2middot08) middot3middot0622 = 655 кНм

Точки приложения сил Р1 Р2 Р3 и линии полосовых нагрузок q1 q2 показаны на рис2 Для составления уравнений равновесия изображаем плиту ABCD состоящую из четырёх звеньев ABE DFC AEFD EBCF (рис3)Для каждого звена составляем одно уравнение равновесия приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно опорной линии Для звена ABEmB middotB - MAmiddotsinα ndash MBmiddot sinα ndash Mq

AB=0 Для звена DFCmB middotB ndash MDmiddotsinα ndash MCmiddot sinα - Mq

DC=0 Для звена AEFD

(mL+ moL) middotL + MAmiddotcosα +MDmiddotcosα +QEFmiddotmiddotB2 ndash MqAD = 0

Для звена EBCF (mL+ moL) middotL + MBmiddotcosα +MCmiddotcosα - QEFmiddotmiddotB2- ndash Mq

BC = 0 В этих уравнениях MA MB MC MD ndash моменты параллельных сил действующих в шарнирах AE BE CF DF относительно точек A B C D сответственно QEF- равнодействующая параллельных сил действующих в шарнире EF mBB (mL+moL)middotL- моменты создаваемые работой арматуры на растяжение и бетона на сжатие Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC- моменты от

внешней нагрузки действующей в пределах данных звеньев Выразим из первого уравнения МА из второго МС и подставим в

третье и четвёртое уравнения а затем сложим их Получим следующее выражение не содержащее MA MB MC MD

BCq

ADq

DCq

ABqB

oLL MMtg

MMtg

BmLmm +++

=++αα

2)(2

Обозначим LB=k moLmL=kommBmL=km и найдём mL

)(])1[(2

1 BCq

ADq

DCq

ABq

momL MM

tgMM

tgkkkBm ++

+++

=αα

(2)

При действии равномерно распределённой нагрузки

α23

24tgqBMM DC

qABq == )

32(

4

2 αBtgLqBMM BCq

ADq minus==

Подставляя в (2) находим

mom

L ktgkktgktgqBm

++minus=

ααα

)1()3(

24

2

Из условия qrarrmin (или mLrarrmin) находим

)1)1(31()1(

2

minus+++

= ommom

m kkk

kkk

tgα le 2k

Примем km=03 kom=1 k=5338=1395 Находим

792395125720)130

)11(395131()11(3951

30 2

=sdotle=minus+sdot++

=αtg

Угол α=29o46 Вычисляем mL от равномерной нагрузки qрасч=45 кН

952305720)11(3951)572039513(5720

248354 2

1 =++

minussdotsdot=Lm кН м м

Вычисляем значения MqAB Mq

DC MqAD Mq

BCпользуясь схемой на рис2

MqAB=614(02862 2 + 01722 2) = 034 кН

MqDC= 614(02862 2 + 01722 2) + 3260233 = 110 кН

MqAD=614(38 + 07 ndash 20286)05 + 151705 + 4800867 +

+ 65511(0511 + 05) = 3137 кНMq

BC=614(38 + 07 ndash 20172)03 + 151703 + 4800667 + + 65511(0511 + 03) + 32603 = 2251 кНПодставляя Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC в (2) находим дополнительный

момент от сосредоточенных и полосовых нагрузок

242)512237315720

101340(]5720303951)11[(832

12 =+++

++sdotsdot=Lm кН м м

Окончательно находим mL= mL1+ mL2=295+224= 519 кН м мОстальные моменты находим по формулам

moL=kommL=1∙519= 519 кНmB=kmmL=03∙519= 156 кН

Для плит сложной формы например несимметричных усложняется только первая часть задачи ndash определение схемы излома при действии равномерно распределённой нагрузки Статический метод предельного равновесия позволяет путём простых операций найти зависимости вида (1) и (2) но объём вычислений при этом возрастает При увеличении числа n параметров определяющих схему разрушения усложняется также минимизация предельной нагрузки В связи с этим целесообразно использовать приближённые методы определения действительной схемы разрешения один из которых изложен в [3] для свободно-опертых равноармированных плит При расчёте свободно-опёртых плит необходимо учитывать возможность отрыва углов от опоры и предусматривать меры по их закреплению в соответствии с [1]

Таким образом достоинством использованного здесь статического метода предельного равновесия является его принципиальная простота и доступность

Список литературы

1 Вайнберг Д В Вайнберг Е Д Пластины диски балки-стенки (прочность устойчивость колебания)- Киев Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР 1959- 326 с

2 Пособие по проектированию жилых зданий ЦНИИЭП жилища Госкомархитектуры вып 3 Конструкции жилых зданий- М Стройиздат 1989- 304 с

3 Ржаницын А Р Строительная механика ndash М Высшая школа 1991- 439 с

Рис 1 Фрагмент плана перекрытия

коэффициентами) и определяются значения m1 и m2 Если на плиту действует только равномерно распределённая нагрузка то по значениям m1 и m2 подбирают сечение арматуры Если кроме равномерно распределённой нагрузки действует неравномерная (сосредоточенная и полосовая) то схему излома плиты вообще говоря следует определять при совместном действии всех этих нагрузок Для новой схемы разрушения значения α1 α2hellipαn будут другими

Так как параметры α1 α2hellipαn входят в уравнение вида (1) не линейно (в отличие от нагрузок и предельных моментов) то принцип суперпозиции в точной постановке задачи не применим зная решение при действии одного типа нагрузки и при действии другого типа нельзя получить решение для совместного действия этих нагрузок путём сложения решений как для линейно упругих задач Тем не менее нормы [2] допускают замену полосовых и сосредоточенных нагрузок приведённой равномерно распределённой нагрузкой определяемой из условия равенства работ фактических и приведённой нагрузок на перемещениях которые соответствуют заданной схеме излома плиты (для кинематического способа) Но любой равномерно распределённой нагрузке соответствуют одни и те же значения α1 α2hellipαn следовательно нормы разрешают производить расчёт в предположении того что эти параметры остаются неизменными и для полосовых и сосредоточенных нагрузок А это означает что к предельным моментам m1 и m2 найденным на первой стадии расчёта можно прибавить моменты найденные для всех остальных видов нагрузки

Вопрос о точности такого подхода в нормах не решён Очевидно что ошибка этого метода тем больше чем меньше равномерная нагрузка по сравнению с неравномерной Если неравномерная нагрузка значительна и соответствующая ей схема разрушения резко отличается от схемы при равномерном нагружении то точность описанного здесь метода будет малой но надо полагать что в большинстве практических задач она всё же оказывается достаточной для инженерных целей

Рассмотрим численный пример На прямоугольную в плане монолитную железобетонную плиту перекрытия размером 38times53 м (рис1) действует равномерно распределённая нагрузка qрасч=45 кН и несимметричная нагрузка от кирпичных

Рис 2 Действующие нагрузки

Рис 3 Равновесие звеньев плиты

перегородок весом 3 кН м2 Высота перегородок 33-01=32 м размеры проёмовndash08times20 м Найти значения предельных погонных моментов для определения площади арматуры в пролёте и в надопорной зоне

Решение Нагрузку от перегородок учитываем по рекомендациям [2] 60 веса перегородок считаем распределённым по длине простенков 40 - прикладываем к плите в виде сосредоточенных сил для крайних простенков панелей с проёмами не более половины высоты этажа сосредоточенная сила прикладывается на расстоянии от его края равном 13 его длины Подсчитываем значения указанных полосовых и сосредоточенных нагрузок

Р1=[32middot07+(32 - 2) middot082] middot3middot04=326 кН Р2= [32middot38+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =1517 кН Р3= [32middot11+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =480 кН q1=(53middot32 - 2middot08) middot3middot0645 = 614 кНм q2 =(3middot32 - 2middot08) middot3middot0622 = 655 кНм

Точки приложения сил Р1 Р2 Р3 и линии полосовых нагрузок q1 q2 показаны на рис2 Для составления уравнений равновесия изображаем плиту ABCD состоящую из четырёх звеньев ABE DFC AEFD EBCF (рис3)Для каждого звена составляем одно уравнение равновесия приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно опорной линии Для звена ABEmB middotB - MAmiddotsinα ndash MBmiddot sinα ndash Mq

AB=0 Для звена DFCmB middotB ndash MDmiddotsinα ndash MCmiddot sinα - Mq

DC=0 Для звена AEFD

(mL+ moL) middotL + MAmiddotcosα +MDmiddotcosα +QEFmiddotmiddotB2 ndash MqAD = 0

Для звена EBCF (mL+ moL) middotL + MBmiddotcosα +MCmiddotcosα - QEFmiddotmiddotB2- ndash Mq

BC = 0 В этих уравнениях MA MB MC MD ndash моменты параллельных сил действующих в шарнирах AE BE CF DF относительно точек A B C D сответственно QEF- равнодействующая параллельных сил действующих в шарнире EF mBB (mL+moL)middotL- моменты создаваемые работой арматуры на растяжение и бетона на сжатие Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC- моменты от

внешней нагрузки действующей в пределах данных звеньев Выразим из первого уравнения МА из второго МС и подставим в

третье и четвёртое уравнения а затем сложим их Получим следующее выражение не содержащее MA MB MC MD

BCq

ADq

DCq

ABqB

oLL MMtg

MMtg

BmLmm +++

=++αα

2)(2

Обозначим LB=k moLmL=kommBmL=km и найдём mL

)(])1[(2

1 BCq

ADq

DCq

ABq

momL MM

tgMM

tgkkkBm ++

+++

=αα

(2)

При действии равномерно распределённой нагрузки

α23

24tgqBMM DC

qABq == )

32(

4

2 αBtgLqBMM BCq

ADq minus==

Подставляя в (2) находим

mom

L ktgkktgktgqBm

++minus=

ααα

)1()3(

24

2

Из условия qrarrmin (или mLrarrmin) находим

)1)1(31()1(

2

minus+++

= ommom

m kkk

kkk

tgα le 2k

Примем km=03 kom=1 k=5338=1395 Находим

792395125720)130

)11(395131()11(3951

30 2

=sdotle=minus+sdot++

=αtg

Угол α=29o46 Вычисляем mL от равномерной нагрузки qрасч=45 кН

952305720)11(3951)572039513(5720

248354 2

1 =++

minussdotsdot=Lm кН м м

Вычисляем значения MqAB Mq

DC MqAD Mq

BCпользуясь схемой на рис2

MqAB=614(02862 2 + 01722 2) = 034 кН

MqDC= 614(02862 2 + 01722 2) + 3260233 = 110 кН

MqAD=614(38 + 07 ndash 20286)05 + 151705 + 4800867 +

+ 65511(0511 + 05) = 3137 кНMq

BC=614(38 + 07 ndash 20172)03 + 151703 + 4800667 + + 65511(0511 + 03) + 32603 = 2251 кНПодставляя Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC в (2) находим дополнительный

момент от сосредоточенных и полосовых нагрузок

242)512237315720

101340(]5720303951)11[(832

12 =+++

++sdotsdot=Lm кН м м

Окончательно находим mL= mL1+ mL2=295+224= 519 кН м мОстальные моменты находим по формулам

moL=kommL=1∙519= 519 кНmB=kmmL=03∙519= 156 кН

Для плит сложной формы например несимметричных усложняется только первая часть задачи ndash определение схемы излома при действии равномерно распределённой нагрузки Статический метод предельного равновесия позволяет путём простых операций найти зависимости вида (1) и (2) но объём вычислений при этом возрастает При увеличении числа n параметров определяющих схему разрушения усложняется также минимизация предельной нагрузки В связи с этим целесообразно использовать приближённые методы определения действительной схемы разрешения один из которых изложен в [3] для свободно-опертых равноармированных плит При расчёте свободно-опёртых плит необходимо учитывать возможность отрыва углов от опоры и предусматривать меры по их закреплению в соответствии с [1]

Таким образом достоинством использованного здесь статического метода предельного равновесия является его принципиальная простота и доступность

Список литературы

1 Вайнберг Д В Вайнберг Е Д Пластины диски балки-стенки (прочность устойчивость колебания)- Киев Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР 1959- 326 с

2 Пособие по проектированию жилых зданий ЦНИИЭП жилища Госкомархитектуры вып 3 Конструкции жилых зданий- М Стройиздат 1989- 304 с

3 Ржаницын А Р Строительная механика ndash М Высшая школа 1991- 439 с

Рис 2 Действующие нагрузки

Рис 3 Равновесие звеньев плиты

перегородок весом 3 кН м2 Высота перегородок 33-01=32 м размеры проёмовndash08times20 м Найти значения предельных погонных моментов для определения площади арматуры в пролёте и в надопорной зоне

Решение Нагрузку от перегородок учитываем по рекомендациям [2] 60 веса перегородок считаем распределённым по длине простенков 40 - прикладываем к плите в виде сосредоточенных сил для крайних простенков панелей с проёмами не более половины высоты этажа сосредоточенная сила прикладывается на расстоянии от его края равном 13 его длины Подсчитываем значения указанных полосовых и сосредоточенных нагрузок

Р1=[32middot07+(32 - 2) middot082] middot3middot04=326 кН Р2= [32middot38+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =1517 кН Р3= [32middot11+(32 ndash 2) middot082] middot3middot04 =480 кН q1=(53middot32 - 2middot08) middot3middot0645 = 614 кНм q2 =(3middot32 - 2middot08) middot3middot0622 = 655 кНм

Точки приложения сил Р1 Р2 Р3 и линии полосовых нагрузок q1 q2 показаны на рис2 Для составления уравнений равновесия изображаем плиту ABCD состоящую из четырёх звеньев ABE DFC AEFD EBCF (рис3)Для каждого звена составляем одно уравнение равновесия приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно опорной линии Для звена ABEmB middotB - MAmiddotsinα ndash MBmiddot sinα ndash Mq

AB=0 Для звена DFCmB middotB ndash MDmiddotsinα ndash MCmiddot sinα - Mq

DC=0 Для звена AEFD

(mL+ moL) middotL + MAmiddotcosα +MDmiddotcosα +QEFmiddotmiddotB2 ndash MqAD = 0

Для звена EBCF (mL+ moL) middotL + MBmiddotcosα +MCmiddotcosα - QEFmiddotmiddotB2- ndash Mq

BC = 0 В этих уравнениях MA MB MC MD ndash моменты параллельных сил действующих в шарнирах AE BE CF DF относительно точек A B C D сответственно QEF- равнодействующая параллельных сил действующих в шарнире EF mBB (mL+moL)middotL- моменты создаваемые работой арматуры на растяжение и бетона на сжатие Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC- моменты от

внешней нагрузки действующей в пределах данных звеньев Выразим из первого уравнения МА из второго МС и подставим в

третье и четвёртое уравнения а затем сложим их Получим следующее выражение не содержащее MA MB MC MD

BCq

ADq

DCq

ABqB

oLL MMtg

MMtg

BmLmm +++

=++αα

2)(2

Обозначим LB=k moLmL=kommBmL=km и найдём mL

)(])1[(2

1 BCq

ADq

DCq

ABq

momL MM

tgMM

tgkkkBm ++

+++

=αα

(2)

При действии равномерно распределённой нагрузки

α23

24tgqBMM DC

qABq == )

32(

4

2 αBtgLqBMM BCq

ADq minus==

Подставляя в (2) находим

mom

L ktgkktgktgqBm

++minus=

ααα

)1()3(

24

2

Из условия qrarrmin (или mLrarrmin) находим

)1)1(31()1(

2

minus+++

= ommom

m kkk

kkk

tgα le 2k

Примем km=03 kom=1 k=5338=1395 Находим

792395125720)130

)11(395131()11(3951

30 2

=sdotle=minus+sdot++

=αtg

Угол α=29o46 Вычисляем mL от равномерной нагрузки qрасч=45 кН

952305720)11(3951)572039513(5720

248354 2

1 =++

minussdotsdot=Lm кН м м

Вычисляем значения MqAB Mq

DC MqAD Mq

BCпользуясь схемой на рис2

MqAB=614(02862 2 + 01722 2) = 034 кН

MqDC= 614(02862 2 + 01722 2) + 3260233 = 110 кН

MqAD=614(38 + 07 ndash 20286)05 + 151705 + 4800867 +

+ 65511(0511 + 05) = 3137 кНMq

BC=614(38 + 07 ndash 20172)03 + 151703 + 4800667 + + 65511(0511 + 03) + 32603 = 2251 кНПодставляя Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC в (2) находим дополнительный

момент от сосредоточенных и полосовых нагрузок

242)512237315720

101340(]5720303951)11[(832

12 =+++

++sdotsdot=Lm кН м м

Окончательно находим mL= mL1+ mL2=295+224= 519 кН м мОстальные моменты находим по формулам

moL=kommL=1∙519= 519 кНmB=kmmL=03∙519= 156 кН

Для плит сложной формы например несимметричных усложняется только первая часть задачи ndash определение схемы излома при действии равномерно распределённой нагрузки Статический метод предельного равновесия позволяет путём простых операций найти зависимости вида (1) и (2) но объём вычислений при этом возрастает При увеличении числа n параметров определяющих схему разрушения усложняется также минимизация предельной нагрузки В связи с этим целесообразно использовать приближённые методы определения действительной схемы разрешения один из которых изложен в [3] для свободно-опертых равноармированных плит При расчёте свободно-опёртых плит необходимо учитывать возможность отрыва углов от опоры и предусматривать меры по их закреплению в соответствии с [1]

Таким образом достоинством использованного здесь статического метода предельного равновесия является его принципиальная простота и доступность

Список литературы

1 Вайнберг Д В Вайнберг Е Д Пластины диски балки-стенки (прочность устойчивость колебания)- Киев Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР 1959- 326 с

2 Пособие по проектированию жилых зданий ЦНИИЭП жилища Госкомархитектуры вып 3 Конструкции жилых зданий- М Стройиздат 1989- 304 с

3 Ржаницын А Р Строительная механика ndash М Высшая школа 1991- 439 с

(mL+ moL) middotL + MAmiddotcosα +MDmiddotcosα +QEFmiddotmiddotB2 ndash MqAD = 0

Для звена EBCF (mL+ moL) middotL + MBmiddotcosα +MCmiddotcosα - QEFmiddotmiddotB2- ndash Mq

BC = 0 В этих уравнениях MA MB MC MD ndash моменты параллельных сил действующих в шарнирах AE BE CF DF относительно точек A B C D сответственно QEF- равнодействующая параллельных сил действующих в шарнире EF mBB (mL+moL)middotL- моменты создаваемые работой арматуры на растяжение и бетона на сжатие Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC- моменты от

внешней нагрузки действующей в пределах данных звеньев Выразим из первого уравнения МА из второго МС и подставим в

третье и четвёртое уравнения а затем сложим их Получим следующее выражение не содержащее MA MB MC MD

BCq

ADq

DCq

ABqB

oLL MMtg

MMtg

BmLmm +++

=++αα

2)(2

Обозначим LB=k moLmL=kommBmL=km и найдём mL

)(])1[(2

1 BCq

ADq

DCq

ABq

momL MM

tgMM

tgkkkBm ++

+++

=αα

(2)

При действии равномерно распределённой нагрузки

α23

24tgqBMM DC

qABq == )

32(

4

2 αBtgLqBMM BCq

ADq minus==

Подставляя в (2) находим

mom

L ktgkktgktgqBm

++minus=

ααα

)1()3(

24

2

Из условия qrarrmin (или mLrarrmin) находим

)1)1(31()1(

2

minus+++

= ommom

m kkk

kkk

tgα le 2k

Примем km=03 kom=1 k=5338=1395 Находим

792395125720)130

)11(395131()11(3951

30 2

=sdotle=minus+sdot++

=αtg

Угол α=29o46 Вычисляем mL от равномерной нагрузки qрасч=45 кН

952305720)11(3951)572039513(5720

248354 2

1 =++

minussdotsdot=Lm кН м м

Вычисляем значения MqAB Mq

DC MqAD Mq

BCпользуясь схемой на рис2

MqAB=614(02862 2 + 01722 2) = 034 кН

MqDC= 614(02862 2 + 01722 2) + 3260233 = 110 кН

MqAD=614(38 + 07 ndash 20286)05 + 151705 + 4800867 +

+ 65511(0511 + 05) = 3137 кНMq

BC=614(38 + 07 ndash 20172)03 + 151703 + 4800667 + + 65511(0511 + 03) + 32603 = 2251 кНПодставляя Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC в (2) находим дополнительный

момент от сосредоточенных и полосовых нагрузок

242)512237315720

101340(]5720303951)11[(832

12 =+++

++sdotsdot=Lm кН м м

Окончательно находим mL= mL1+ mL2=295+224= 519 кН м мОстальные моменты находим по формулам

moL=kommL=1∙519= 519 кНmB=kmmL=03∙519= 156 кН

Для плит сложной формы например несимметричных усложняется только первая часть задачи ndash определение схемы излома при действии равномерно распределённой нагрузки Статический метод предельного равновесия позволяет путём простых операций найти зависимости вида (1) и (2) но объём вычислений при этом возрастает При увеличении числа n параметров определяющих схему разрушения усложняется также минимизация предельной нагрузки В связи с этим целесообразно использовать приближённые методы определения действительной схемы разрешения один из которых изложен в [3] для свободно-опертых равноармированных плит При расчёте свободно-опёртых плит необходимо учитывать возможность отрыва углов от опоры и предусматривать меры по их закреплению в соответствии с [1]

Таким образом достоинством использованного здесь статического метода предельного равновесия является его принципиальная простота и доступность

Список литературы

1 Вайнберг Д В Вайнберг Е Д Пластины диски балки-стенки (прочность устойчивость колебания)- Киев Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР 1959- 326 с

2 Пособие по проектированию жилых зданий ЦНИИЭП жилища Госкомархитектуры вып 3 Конструкции жилых зданий- М Стройиздат 1989- 304 с

3 Ржаницын А Р Строительная механика ndash М Высшая школа 1991- 439 с

MqAD=614(38 + 07 ndash 20286)05 + 151705 + 4800867 +

+ 65511(0511 + 05) = 3137 кНMq

BC=614(38 + 07 ndash 20172)03 + 151703 + 4800667 + + 65511(0511 + 03) + 32603 = 2251 кНПодставляя Mq

AB MqDC Mq

AD MqBC в (2) находим дополнительный

момент от сосредоточенных и полосовых нагрузок

242)512237315720

101340(]5720303951)11[(832

12 =+++

++sdotsdot=Lm кН м м

Окончательно находим mL= mL1+ mL2=295+224= 519 кН м мОстальные моменты находим по формулам

moL=kommL=1∙519= 519 кНmB=kmmL=03∙519= 156 кН

Для плит сложной формы например несимметричных усложняется только первая часть задачи ndash определение схемы излома при действии равномерно распределённой нагрузки Статический метод предельного равновесия позволяет путём простых операций найти зависимости вида (1) и (2) но объём вычислений при этом возрастает При увеличении числа n параметров определяющих схему разрушения усложняется также минимизация предельной нагрузки В связи с этим целесообразно использовать приближённые методы определения действительной схемы разрешения один из которых изложен в [3] для свободно-опертых равноармированных плит При расчёте свободно-опёртых плит необходимо учитывать возможность отрыва углов от опоры и предусматривать меры по их закреплению в соответствии с [1]

Таким образом достоинством использованного здесь статического метода предельного равновесия является его принципиальная простота и доступность

Список литературы

1 Вайнберг Д В Вайнберг Е Д Пластины диски балки-стенки (прочность устойчивость колебания)- Киев Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре УССР 1959- 326 с

2 Пособие по проектированию жилых зданий ЦНИИЭП жилища Госкомархитектуры вып 3 Конструкции жилых зданий- М Стройиздат 1989- 304 с

3 Ржаницын А Р Строительная механика ndash М Высшая школа 1991- 439 с