Вычислительная математика: Методические указания к...

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания

к проведению практических занятий

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã2003

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ

ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

"Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèéãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ"

2

Составители: Л. А. Решетов, Е. А. Всемирнова, Г. Н. Дьякова,

Е. Р. Даниловцева

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. А. Гусман (кафедра выс-

шей математики Санкт-Петербургского государственного университе-

та аэрокосмического приборостроения)

Методические указания содержат материал к практическим заня-

тиям по дисциплине «Вычислительная математика» и предназначе-

ны для использования студентами всех специальностей.

Подготовлены кафедрой прикладной математики и рекомендова-

ны к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербург-

ского государственного университета аэрокосмического приборост-

роения.

СПбГУАП, 2003©

Подписано к печати 17.10.03. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л.1,62. Уч. -изд. л. 1,46. Тираж 300 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел

Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки

Отдел оперативной полиграфии

СПбГУАП

190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

1

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

“РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”

Для успешного выполнения контрольной работы студенты должны

владеть элементами линейной алгебры и основами численных методов.

Необходимо уметь выполнять действия над векторами и матрицами,

находить числовые характеристики векторов и матриц, а также знать

основные методы точного и приближенного (итеративного) решения

систем линейных алгебраических уравнений.

1.1. Основные теоретические сведения

Векторы и матрицы

Вектор х задается столбцом n – чисел (компонент). Транспонирован-

ный вектор хт задается строкой тех же компонент

1.

,..

n

x

x

=

x хТ = ( х1,..., хn ). (1.1)

Квадратную матрицу А задают в виде таблицы n х n чисел

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . ..

. . . . . .. . .

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

=

A (1.2)

Сложение и вычитание векторов и матриц производится поэлемент-

но. При умножении векторов и матриц на число нужно умножать на

это число все элементы. Норму вектора в n-мерном векторном про-

странстве вводят одним из двух способов [1]

1 1max ,i

i nx

≤ ≤=x (1.3)

1/ 2

22

1

.n

ii

x=

=

∑x (1.4)

2

Нормы матриц, соответствующие введенным векторным нормам,

определяются выражениями

Sup ,0x

=≠

AxA

x

при этом

1 1 1

max ,n

iji n j

a≤ ≤ =

= ∑A (1.5)

1/ 2

22

1 1

.n n

iji j

a= =

=

∑ ∑A (1.6)

Скалярным произведением двух векторов является число

1

, cos ,n

i ii

x y x y x y=

⟨ ⟩ = = ⋅ ϕ∑ (1.7)

где х =�х�2 длина вектора х; y =�y�2 – длина вектора y; ϕ ∈ [0, π] –

угол между векторами х и y.

При умножении матрицы на вектор получаем вектор, а при умноже-

нии двух матриц – матрицу:

Ах = у, АВ = С, (1.8)

где 1

n

i ik kk

y a x=

= ∑ ; 1

n

ij ik kjk

c a b=

= ∑ .

Матрица Е называется единичной, если на диагонали у нее – едини-

цы, а остальные элементы нули. Матрица А–1, обратная к матрице А,

определяется из соотношения

А–1 А = А А–1 = Е. (1.9)

Эти соотношения являются проверкой для обратной матрицы. Эле-

менты обратной матрицы (А–1)ij находятся по формулам

( ) ( )1 1,

det

i j

jiij

+− −

=A MA

1 ≤ i, j ≤ n, (1.10)

3

где Мji – минор, получаемый вычеркиванием j-й строки и i-го столбца у

матрицы А, а определитель матрицы А

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .det

. . . . . .. . .

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

= =A

( ) ( )1 1 1

1 1 ( 1) .n n n

i k i k k iik ik ki ki ki ki

k k k

a a a+ + +

= = == − = − = −∑ ∑ ∑M M M (1.11)

Величина

ν = �А�·�А–1� (1.12)

называется числом обусловленности матрицы А. Если ν велико, то мат-

рица А называется плохо обусловленной, а если невелико – хорошо обус-

ловленной. Отметим, что ν ≥ 1.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений

можно разделить на две группы: прямые и итерационные. Прямые алго-

ритмы основываются на точных методах, позволяющих получить ре-

шение за конечное число шагов (без учета ошибок округления). Итера-

ционные методы дают точное решение лишь при бесконечном числе

шагов, поэтому при их использовании нужно учитывать, что при ко-

нечном числе арифметических операций решение всегда получают с

некоторой ошибкой, даже если пренебречь ошибками округления при

вычислении.

Прямые методы решения систем. Метод Гаусса

Наиболее распространенным из прямых методов решения является

метод Гаусса, который основывается на последовательном исключе-

нии неизвестных (число необходимых арифметических операций про-

порционально n3).

Запишем систему n линейных алгебраических уравнений

Ax = b (1.13)

в виде

4

(0) (0) (0) (0)1 211 12 1 1

(0) (0) (0) (0)1 221 22 2 2

(0) (0) (0) (0)1 21 2

. . . ,

. . . ,

. . . . . . . . . . .

. . . .

nn

nn

nn n nn n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + = + + + =

(1.14)

Первый этап метода Гаусса (прямой ход) заключается в преобразова-

нии системы (1.14) к “верхнетреугольному” виду.

Предположим, что коэффициент неизвестной х1 в первом уравне-

нии системы (1.14) (0)11 0.a ≠ Тогда можно исключить переменную х1 из

(n–1) уравнений, начиная со второго. Для этого достаточно вычесть из каждого

уравнения первое уравнение, умноженное на а(0)21/ а

(0)11, а

(0)31/ а

(0)11, …,

а(0)n1/ а(0)

11 соответственно,

(0) (0) (0) (0)1 211 12 1 1

(1) (1) (1)222 2 2

(1) (1) (1)22

. . . ,

. . . ,

. . . . . . . . .

. . . .

nn

nn

nn n nn

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

+ + + =

+ + =

+ + = (1.15)

Далее, полагая, что коэффициент (1)22 0,a ≠ выполним аналогичную

процедуру исключения переменной х2 в системе уравнений

(1) (1) (1)222 2 2

(1) (1) (1)22

. . . ,

. . . . . . . . .

. . . .

nn

nn n nn

a x a x b

a x a x b

+ + =

+ + = (1.16)

После (n–1)-го шага исключения неизвестных система (1.14) приво-

дится к следующему виду:

(0) (0) (0) (0)1 211 12 1 1

(1) (1) (1)222 2 2

( 1) ( 1)

. . . ,

. . . ,. . . . . . . . .

.

nn

nn

n nnn n n

a x a x a x b

a x a x b

a x b− −

+ + + =+ + =

= (1.17)

Для вычисления значений неизвестных необходимо выполнить об-

ратный ход метода Гаусса в соответствии с выражениями

5

( 1) ( 1)/ ,n nn n nnx b a− −=

( 1 ( 1) ( 1)

1

/ ,n

i i ii ji ij ii

j i

x b a x a− − =

= +

= −

∑ 1, 2, ..., 1.i n n= − − (1.18)

Рассмотренный простейший вариант метода Гаусса имеет ряд недо-

статков [2]. Во-первых, предположения о том, что коэффициенты(0) (1)11 22, a a , … (ведущие элементы) не равны нулю, может оказаться не-

выполненным, даже если матрица А является невырожденной (det A ≠0), и система должна иметь единственное решение. Тогда приведенный

метод решения формально непригоден. Кроме того, ведущие элементы

могут оказаться достаточно малыми и после деления на них точность

решения системы резко снижается из-за ошибок округления.

Для того чтобы избавиться от указанных недостатков, применяют метод

исключения Гаусса с выбором ведущего элемента. Этот метод всегда дает

единственное решение, если определитель системы отличен от нуля. Кро-

ме того, он менее чувствителен к ошибкам округления. Уменьшение вы-

числительной погрешности в методе Гаусса с выбором ведущего элемента

производится путем перестановки строк и столбцов матрицы А так, чтобы

ведущий элемент на k-м шаге исключения был наибольшим по модулю из

коэффициентов, участвующих в дальнейшем исключении:

( 1) ( 1)

,max , 1 ,k k

ijkkk i j n

a a k n− −

≤ ≤= ≤ ≤ (1.19)

где (0)

.ijija a=Выбор ведущих элементов по формуле (1.19) называют методом ис-

ключения с полным упорядочением.

Полное упорядочение требует большой дополнительной вычисли-

тельной работы, поэтому часто останавливаются на методе исключения

с частичным упорядочением по строкам. Выбор ведущих элементов

производится согласно формуле

( 1) ( 1)max .k kkk ik

k i na a− −

≤ ≤= (1.20)

Например, для системы уравнений

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 5 12 1,3 2,

10 3

x x xx x xx x x

+ + = − + = + − =

6

перед первым шагом исключения требуется, согласно алгоритму с полным

упорядочением, поменять первый и третий столбцы системы уравнений:

3 1 2

3 1 2

3 1 2

12 4 5 1,3 2,

10 3.

x x xx x xx x x

+ + = + − = − + + =

Согласно алгоритму с частичным упорядочением, необходимо поме-

нять первую и третью строки системы уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

10 3,3 2,

4 5 12 1.

x x xx x xx x x

+ − = − + = + + =

Затем выполняется 1-й шаг исключения.

Итерационные методы решения

систем линейных алгебраических уравнений

Первым шагом в итерационном методе является преобразование ис-

ходной системы Ах = b к виду [2–3]

Сх = Вх +d, (1.21)

где матрицы С, В и вектор d определяется по матрице А и вектору b.

Причем системы (1.13) и (1.21) являются эквивалентными, т. е. их ре-

шения совпадают. Вторым шагом является расстановка индексов в (1.21)

и задание нулевого приближения, т. е.

Сх(k+1) = Вх(k) + d, k = 0, 1, 2, …, (1.22)

где х(0) – заданный вектор. Оценка погрешности k-го приближения оп-

ределяется соотношением

( ) ,k ∗− ≤ εx х (1.23)

где х* = А–1b – точное решение системы (1.13).

Оценка (1.23) при заданном e > 0 позволяет осуществлять остановку

итерационного процесса.

Различные итерационные методы отличаются выбором матриц С, Ви вектора d.

Если С = Е, то метод построения последовательных приближений

(1.22) принято называть методом простых итераций. Известен следую-

7

щий результат о сходимости метода простых итераций [2]: если норма

матрицы �В� меньше единицы, то последовательные приближения

x(k+1) = Bx(k) + d (1.24)

сходятся к единственному решению х* системы (1.13) со скоростью гео-

метрической прогрессии при произвольном векторе нулевого прибли-

жения х(0).

Таким образом, процесс сходится, если выполняется одно из следую-

щих условий [4]:

�В�1< 1 или �В�2<1. (1.25)

Если �В�1< 1, то можно дать оценку погрешности метода простой

итерации [5]:

( ) * .1

kk − ≤

−B

x x dB (1.26)

Оценка (1.26) называется априорной оценкой погрешности итераци-

онного процесса.

1.2. Варианты заданий для выполнения контрольной работы

Для выполнения контрольной работы необходимо:

а) найти угол между а и b и их нормы;

б) найти угол между Аа и Аb и их нормы;

в) найти det А, А–1, число обусловленности матрицы А.

Вариант I:

12

,01

=

a

33

,10

= −

b

0 3 4 20 1 2 0

.3 1 1 03 2 1 0

− −=

A

Вариант II:

21

,30

−=

a

13

,11

−

= −

b

3 1 0 31 2 0 1

.2 1 1 24 3 0 0

−= −

A

8

Вариант III:

10

,02

−

=

a

21

,32

−

=

b

1 3 0 20 1 2 0

.3 1 2 10 4 0 0

− −= −

A

Вариант IV:

21

,01

− −=

a

03

,20

= −

b

1 2 0 01 3 1 1

.2 1 0 22 1 0 0

− − −= − −

A

Вариант V:

01

,23

−=

a

21

,12

−= − −

b

0 0 3 01 2 1 2

.0 2 1 10 4 1 1

−= − −

A

Вариант VI:

21

,20

−

= −

a

22

,33

− −=

b

3 3 1 02 0 3 1

.1 0 2 10 2 0 3

−

= − −

A

Вариант VII:

10

,03

= −

a

22

,33

− −=

b

3 3 1 02 0 3 1

.1 0 2 10 2 0 3

−

= − −

A

Вариант VIII:

12

,10

=

a

10

,21

−

=

b

2 1 0 11 3 1 0

.0 1 3 10 1 2 1

−= − −

A

9

Вариант IX:

31

,21

=

a

21

,10

−= −

b

3 2 1 11 5 2 2

.0 1 5 01 0 1 2

= − − −

A

Вариант Х:

01

,12

= − −

a

22

,11

−= −

b

3 1 1 01 4 1 1

.2 1 6 10 0 1 2

− −=

A

Решить систему линейных уравнений:

– методом Гаусса с частичным упорядочением по строкам;

– методом итераций с погрешностью, не превышающей ε = 0,01.

Одновременно необходимо привести априорную оценку погрешнос-

ти метода итераций.

Вариант I:

1 1 2 3 4

2 1 2 3

3 1 2 3

4 1 2 3 4

0,23 0,03 0,21 0,17 1,14,0,42 0,23 0,06 0,88,0,26 0,32 0,11 0,62,0,05 0,26 0,31 0,12 1,17.

x x x x xx x x xx x x xx x x x x

= − + − + = − + − = + − + = − + − −

Вариант II:

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3 4

0,22 0,11 0,34 0,16 0,63,0,31 0,08 0,17 0,18 1,42,0,37 0,17 0,02 0,21 2,23,0,12 0,23 0,07 0,25 0,83,

x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

= + − − − = − + − + = + − − + = − − + +

Вариант III:

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3 4

0,32 0,15 0,02 0,19 1,83,0,16 0,12 0,14 0,25 0,63,0,37 0,27 0,02 0,24 2,12,0,12 0,18 0,08 0,22 1,13.

x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

= − + + + = + − + − = + − − + = + − + −

10

Вариант IV:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3 4

4 1 2 3

0,41 0,22 0,03 0,44,0,11 0,25 0,32 1,42,0,12 0,08 1,14 0,24 0,81,0,15 0,32 0,18 1,3.

x x x xx x x xx x x x xx x x x

= − + + = − − + = + − − − = − − −

Вариант V:

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3

0,18 0,34 0,11 0,14 1,32,0,12 0,23 0,15 0,31 0,84,0,05 0,12 0,14 0,16 1,12,0,12 0,08 0,05 0,57.

x x x x xx x x x xx x x x xx x x x

= − − + − = + − + + = − + − − = + + +

Вариант VI:

1 1 2 3 4

2 1 2 3

3 1 2 3

4 1 2 3

0,13 0,22 0,44 0,05 2,11,0,23 0,31 0,15 0,17,0,06 0,15 0,22 1,42,0,72 0,08 0,03 2,35.

x x x x xx x x xx x x xx x x x

= + − − + = − + − = + − + = − − +

Вариант VII:

1 1 2 3 4

2 1 2 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3

0,17 0,32 0,18 0,22 1,72,0,19 0,32 0,2 0,62,

0,32 0,17 0,05 0,18 0,89,0,12 0,27 0,14 0,95.

x x x x xx x x xx x x x xx x x x

= + − + − = − + − + = − + − + = + − +

Вариант VIII:

1 1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3 4

0,13 0,27 0,22 0,18 1,21,0,21 0,45 0,18 0,33,

0,12 0,07 0,29 0,12 0,48,0,33 0,05 0,06 0,28 0,17.

x x x x xx x x xx x x x xx x x x x

= + − − + = − − + − = + + + − = − + − −

Вариант IX:

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2

0,19 0,07 0,38 0,21 0,81,0,23 0,03 0,11 0,32 0,64,

0,51 0,07 0,09 0,11 1,72,0,33 0,41 1,21.

x x x x xx x x x xx x x x xx x x

= − + − − = − + + − − = − + − +

= − −

11

Вариант X:

1 1 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

0,22 0,12 0,31 2,2,0,38 0,05 0,22 1,5,0,11 0,23 0,31 1,2,0,17 0,21 0,31 0,17.

x x x xx x x xx x x xx x x x

= − + + = − + − = + − + = − + −

1.3. Пример выполнения задания

Дано:

2

1,

0

1

=

a

1

0,

2

3

=

b

2 1 1 0

1 3 1 1.

1 0 4 0

0 2 1 0

− =

A

Найти решение системы уравнений

{ 1 1 2

2 1 2

0,72 0,1 1,2,0,3 0,02 0,5.

x x xx x x

= − += + −

Найдем угол между a и b и их нормы

{ }1max 2,1,0,1 2,= =a

{ }1max 1,0,2,3, 3,= =b

2 2 2 22

1

2 1 1 6,n

ii

a=

= = + + =∑a

2 2 2 22

1

1 2 3 14.n

ii

b=

= = + + =∑b

Скалярное произведение векторов а и b

1

2 1 1 0 0 2 1 3 5.n

i ii

a b=

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑a,b

Так как 26= =a a и 2

14= =b b , то

12

5cos 0,545,6 14

ϕ = = =⋅ ⋅

a,b

a b

ϕ = arccos(0,545) = 57o.

Найдем угол между Аа и Аb и их нормы

2 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 0 1 51 3 1 1 1 1 2 3 1 1 0 1 1 6

,1 0 4 0 0 1 2 0 1 4 0 0 1 30 2 1 0 1 0 2 2 1 1 0 0 1 2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅= = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Aa

2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 0 3 41 3 1 1 0 1 1 3 0 1 2 1 3 2

,1 0 4 0 2 1 1 0 0 4 2 0 3 70 2 1 0 3 0 1 2 0 1 2 0 3 2

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅= = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

Ab

{ }{ }

1

1

max 5,6,3,2 6,

max 4,2,7,2 7,

= =

= =

Aa

Ab

2 2 2 22

5 6 3 2 74 8,6,= + + + = =Aa

2 2 2 22

4 2 7 2 73 8,54,= + + + = =Ab ,

5 4 6 2 3 7 2 2 57,= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =Aa, Ab ,

57cos 0,775,74 73

ϕ = = =⋅ ⋅

Aa, Ab

Aa Ab .

ϕ = arccos 0,775 = 39o..

Найдем det A,A–1, число обусловленности ν.

Определитель матрицы det А разложим по элементам четвертого столбца

( )2 42 1 1

det 1 1 0 4 15.0 2 1

+= − = −A

13

Миноры элементов матрицы А

11

3 1 10 4 0 8,2 1 0

−= = −M 12

1 1 11 4 0 1,0 1 0

−= =M 13

1 3 11 0 0 2,0 2 0

= =M

14

1 3 11 0 4 13,0 2 1

−= = −M 21

1 1 00 4 0 0,2 1 0

= =M 22

2 1 01 4 0 0,0 1 0

= =M

23

2 1 01 0 0 0,2 2 0

= =M 24

2 1 11 0 4 15,0 2 1

= = −M 31

1 1 03 1 1 1,2 1 0

= =M

32

2 1 01 1 1 2,0 1 0

= − = −M 33

2 1 01 3 1 4,0 2 0

= =M 34

2 1 11 3 1 11,0 2 1

= − =M

41

1 1 03 1 1 4,0 4 0

= − = −M 42

2 1 01 1 1 7,1 4 0

= − = −M 43

2 1 01 3 1 1,1 0 0

= =M

44

2 1 11 3 1 16.1 0 4

= − =M

Обратная матрица

1

8 0 1 41 0 2 71 .2 0 4 115

13 15 11 16

−

− − −= − −− − −

A

Проверка

1

8 0 1 4 2 1 1 0 1 0 0 01 0 2 7 1 3 1 1 0 1 0 01 .2 0 4 1 1 0 4 0 0 0 1 015

13 15 11 16 0 2 1 0 0 0 0 1

−

− − − −= − ⋅ = − − − −

A A

14

Нормы матриц А и А–1

{ }1 1 1

max max 4,6,5,3 6,n

iji n

j

a≤ ≤ =

= = =∑A

12

22

,

6,32,n

iji j

a = = ∑A

{ }1

1

13 10 7 55max , , , 3,66,15 15 15 15

− = =A

1

22,03.− =A

Число обусловленности

11 1 1

21,9,−ν = ⋅ =A A

12 2 2

12,8.−ν = ⋅ =A A

Для решения системы линейных уравнений методом исключения Га-

усса приведем ее к стандартному виду Ах = b. С этой целью перенесем

неизвестные из правой части уравнения в левую

1 2

1 2

0,28 0,1 1,2,

0,3 0,98 0,5.

x x

x x

+ = − =

Так как коэффициент при неизвестной х1 во втором уравнении боль-

ше чем в первом, произведем перестановку строк

1 2

1 2

0,3 0,98 0,5,

0,28 0,1 1,2.

x x

x x

− = + =

Решением системы уравнений являются следующие значения неиз-

вестных

х*=(4,027; 0,723)Т.

Для исходной системы уравнений

0,72 0,1,

0,3 0,02− =

B 1,2

.0,5

= − d

15

Нормы матрицы �В�1 = 0,82 и �В�2 = 0,79. Следовательно, выполне-

ны условия сходимости алгоритма простой итерации (1.25). В дальней-

шем, для определенности, будем использовать норму �В�1. Полагая в

качестве нулевого приближения вектор х(0) = (0,0)Т, выполним несколь-

ко последовательных шагов итерационного процесса в соответствии с

выражением (1.24). Результаты расчетов приведены в таблице.

k 2 4 6 8 10 14 18

2,114 3,157 3,632 3,848 3,946 4,011 4,024

-0,15 0,324 0,541 0,64 0,685 0,715 0,721

1,913 0,87 0,395 0,179 0,081 0,016 0,003

∆(k) 4,483 3,014 2,027 1,363 0,916 0,414 0,187

Кроме того, построим зависимости нормы вектора х(k) – х* и оценки

погрешности метода простой итерации ( )

1

kk∆ =

−B d

B от номера

итерации k. Данные таблицы показывают, что требуемая точность вы-

числений ε = 0,01 достигается при k = 16.

( )1

kx

( )2kx

( )xx x∗−

16

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮКОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ “ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ”

При изучении зависимостей между величинами важной задачей яв-

ляется приближенное представление (аппроксимация) этих зависимос-

тей с помощью известных функций или их комбинаций, подобранных

надлежащим образом. В данной контрольной работе необходимо пост-

роить функцию, которая была бы “достаточно близка” к приближаемой

функции в среднеквадратическом.

Для выполнения контрольной работы студенты должны изучить тео-

рию приближения функций, знать общие правила интегрирования и

уметь решать системы линейных уравнений.


Пусть имеется система линейно-независимых функций 1 2, , ..., mϕ ϕ ϕ .

Напомним, что система функций является линейно-независимой, если

из равенства

1 1 2 2 ... 0m mα ϕ + α ϕ + + α ϕ =

следует, что все коэффициенты 1 2, , ..., mα α α равны нулю.

Для приближаемой функции f(x) многочлен

1

( ) ( )m

m k kk

x c x=

Φ = ϕ∑ (2.1)

называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближе-

ния, если квадрат расстояния от него до функции f(x) является наи-

меньшим среди многочленов вида (2.1)

( ) ( )1 2

2 * 2

, , ...,, ( ) min , ( ) .

mm m

c c cf x f x ρ Φ = ρ Φ

Здесь ( ) ( )22 , ( ) ( ) d .b

a

f f x x xρ Φ = − Φ∫Можно показать [6], что коэффициенты с1, с2, …, сm, минимизирую-

щие квадрат расстояния 2( , )fρ Φ , должны удовлетворять системе ли-

нейных уравнений

17

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,

... ,. . . . . . .

... .

m m

m m

m m mm m m

a c a c a c ba c a c a c b

a c a c a c b

+ + + = + + + = + + + =

(2.2)

( ) ( )d ,b

ij i j

a

a x x x= ϕ ϕ∫ ( ) ( )d ,b

i i

a

b x f x x= ϕ∫ 1 ≤ i, j ≤ m.

Систему уравнений (2.2) называют нормальной системой. Благодаря

предположению о линейной независимости функций 1 2, ,..., mϕ ϕ ϕ ре-

шение системы (2.2) всегда существует и единственно. Заметим, что

степенные функции 1, х, …, хm–1 линейно-независимы при любом m на

любом конечном отрезке [a, b].

2.2. Варианты заданий для выполнения контрольной работы

Приближаемая функция f(x) задается в виде

F(x) = 0,1β + 0,3βx + sin x. (2.3)

Для х ∈ [0, π/2]. Величина в совпадает с номером варианта задания.

При выполнении контрольной работы № 2 необходимо:

а) найти элементы вектора с = (с1, с2, …, сm)T наилучшего средне-

квадратического приближения

1

( ) ( )m

m k kk

x c x=

Φ = ϕ∑по системе степенных функций

11 2( ) 1, ( ) , ..., ( ) m

mx x x x x −ϕ = ϕ = ϕ = для

двух значений m, равных 2 и 3;

б) вычислить значение квадрата расстояния от Фm(х) до приближае-

мой функции f(x), т. е.22ρ при m = 2 и 2

3ρ при m = 3;

в) определить величину относительного уменьшения ошибки ап-

проксимации 3 2/ .δ =ρ ρ


Найдем многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения

для функции f(x) = sinx. Для расчета коэффициента нормальной систе-

мы уравнений необходимо воспользоваться справочниками, содержа-

18

щими таблицы интегралов от степенных и тригонометрических функ-

ций [7]. Напомним, что

2

0

sin d 1,x x

π

=∫

2

0

sin d 1,x x x

π

=∫

22

0

sin d 2,x x x

π

= π −∫

22

0

sin d .4

x x

ππ=∫

1) m = 2. В наших обозначениях 1 1,ϕ = 2 .xϕ =Коэффициенты нормальной системы уравнений

11 ,2

a π= 2

12 21 ,8

a a π= = 3

22 .24

a π=

Получаем систему уравнений относительно неизвестных с1 и с2:

2

1 2

2 3

1 2

1,2 8

1.8 24

c c

c c

π π+ =

π π + =

Решая систему, получим

1 28 24 0,11,c π −= ≈

π 2 396 24 0,66.c − π= ≈

πМногочлен наилучшего приближения

Ф2(х) = 0,11 + 0,66х.

2) m = 3.

Нормальная система уравнений

2 3

1 2 3

2 3 4

1 2 3

3 4 6

1 2 3

1,2 8 24

1,8 24 64

2.24 64 160

c c c

c c c

c c c

π π π+ + = π π π+ + =

π π π + + = π −

Решение системы

с1 = 0, с2 = 1,1, с3 = –0,277.

19

Многочлен наилучшего приближения

Ф3 (х) = 1,1х – 0,277х2.

Следует заметить, что вычисления коэффициентов многочлена не-

обходимо проводить с точностью до третьего знака после запятой.

Вычислим квадрат расстояния от приближаемой функции f(x) = sinx

до многочлена наилучшего приближения

( )2

222

0

sin 0,11 0,66 d 0,108,x x x

π

ρ = − − ≈∫

( )2 22 2

3

0

sin 1,1 0,277 d 0,01.x x x x

π

ρ = − + ≈∫Относительное уменьшение ошибки аппроксимации

3 2/ 0,307.δ =ρ ρ =

Видно, что ошибка аппроксимации функции sinx многочленом Ф3(х)

почти в три раза меньше, чем при аппроксимации многочленом Ф2(х).

20

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

“РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”

Пусть некоторая функция y = f(x) при a x b≤ ≤ определена и непре-

рывна. Предположим, что имеются два числа x1 и x2 такие, что

1 2a x x b≤ < ≤ . Если f(x1) и f(x2) имеют противоположные знаки, то меж-

ду x1 и x2 существует хотя бы один корень функции f(x).


Нелинейное уравнение f(x) = 0 можно эквивалентным преобразова-

нием многими способами привести к виду g(x) = h(x). Построение схо-

дящейся числовой последовательности ( ){ }0

m

mx

∞

= по правилу

( ) ( )( 1) ( )m mg x h x+ = при заданном ( )0ix называется итерационным ме-

тодом вычисления корня xN.

Вследствие предполагаемой непрерывности предельное значение

такой последовательности является корнем, потому что из основных

соотношений ( )lim m

mx a

→∞= и

( )1lim m

mx a+

→∞= в силу непрерывности g и

h имеем g(a) = h(a), т. е. a = xN.

Достаточные условия сходимости: g’(x) и h’(x) непрерывны в некото-

рой окрестности xN, x(0) лежит в этой окрестности, и в этой окрестнос-

ти ( ) ( )g x h x′ ′> .

Выбором функций g(x) и h(x) можно получить ряд хорошо сходящих-

ся методов.

Метод Ньютона

( ) ( ) ( )( ), .

f xg x x h x x

f x= = − ′ (3.1)

Сходимость имеет место тогда, когда ( ) 2

1f f

h xf

′′′ = <′

в окрестнос-

ти xN. Если xN является простым корнем, то выполняются соотношения

21

( ) 0Nf x′ ≠ и ( ) 0Nh x′ ≠ . Следовательно, для начального значения x(0)

должно выполняться неравенство

( )( ) ( )( ) ( )( ) 20 0 0 .f x f x f x′′ ′< (3.2)

Итерационная формула имеет вид

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )1 , 0.

m

m m m

m

f xx x f x

f x

+ ′= − ≠′ (3.3)

Метод секущих

(правило ложного положения, метод хорд)

( ) ( )( )( )

( )1 1, 2, ... ,

m

m m

m

f xx x m

s+ = − = (3.4)

( )( ) ( )( )( ) ( )

1

1.

m m

m m m

f x f xs

x x

−

−

−=

−

Здесь x(0) и x(1) – два заданных числа таких, что ( ) ( )(0) (1) 0f x f x < .

Простая итерация

Если g(x) = x, то ( ) ( )1 ( )m mx h x+ = ; условие сходимости ( ) 1h x′ < .

Если x(m) достаточно близко к xN, то для погрешности ( ) ( )m mNr x x= −

справедливо следующее соотношение:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 0 .mm m

N N Nr h x r h x x x−′ ′≈ ≈ − (3.5)

3.2. Варианты заданий для контрольной работы

Задание 1Отделить корни уравнения f(x) = 0 графически и уточнить один из

них методом итераций [7] с точностью не хуже 410−ε = Предваритель-

22

но определить минимально необходимое для этого количество итера-

ций. Оценить фактическую точность полученного решения.

1. ln(x)+(x+1)3=0. 16. x = (x+1)3.

2. x2x=1. 17. x2 = sin(x).

3.11 .xx

+ = 18. x3 = sin(x).

4. x – cos(x) = 0 19. ( )log 2 .x x= +5. 3x + cos(x)+1 = 0 20. x2 = ln(x+1).

6. x+ln(x)=0,5. 21. 2x+log(x) = –0,5.

7. 2 – x = ln(x). 22. 2x + cos(x) = 0,5.

8. (x – 1)2 = 0,5 ex. 23. sin(0,5x) + 1 = x2.

9. (2 – x)ex = 1. 24. 0,5x + log(x – 1)0,5.

10. 2,2x – 2x = 0. 25. sin(0,5 + x) = 2x – 0,5.

11. 2x – ln(x) = 7. 26. log(2+x)+2x = 3.

12. x2+4sin(x) = 0. 27. log(1+2x) = 2 – x.

13. 5x – 8 ln(x) = 8. 28. 2sin(x – 0,6) = 1,5 – x.

14. 3x – ex =0. 29. x + log(1 + x) = 1,5.

15. x(x+1)2 = 1. 30. x + cos(x) = 1.

Задание 2Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них мето-

дом Ньютона [7]. Вести вычисления с пятью десятичными цифрами.

Определить точность полученного решения.

1. x – sin(x) = 0,25. 16. tg(0,3x + 0,4) x2.

2. tg(0,58x + 1) = x2. 17. x2 – 2sin(x) = 0.

3. ( )cos 0,387 0.x x− = 18. ( ) 1ctg 0.3

x x− =

4. tg(0,4x + 0,4) = x2. 19. tg(0,47x + 0,2) = x2.

5. ( ) 7log 0.2 6

xx

− =+ 20. x2 + 4sin(x) = 0.

6. tg(0,5x + 0,2) = x2. 21. ( )ctg 0.2xx − =

7. 3x – cos(x) – 1 = 0. 22. 2x – log(x) – 7 = 0.

8. x + log(x) = 0,5. 23. tg(0,44x + 0,3) = x2.

9. tg(0,5x + 0,1) = x2. 24. 3x – cos(x) – 1 = 0.

23

10. x2 + 4sin(x) = 0. 25. ( )ctg 0.10xx − =

11. ctg(1,05x) – x2 = 0. 26. x2 +4cos(x) = 0.

12. tg(0,4x + 0,3) = x2. 27. tg(0,36x + 0,4) = x2.

13. xlog(x) – 1,2 = 0. 28. x + log(x) = 0,5.

14. 1,8 x2 – sin(10x) = 0. 29. ( )ctg 0.5xx − =

15. ( )ctg 0.4xx − = 30. ( )2log 1 0.

2xx − + =


Задание 1

2x + log(2x + 3) = 1.

Найдем приближенные значения

корней графически. Для этого уравне-

ние удобно представить в виде

log(2x + 3) = 1 – 2x

(см. рис.1). Из графика видно, что

уравнение имеет один корень, лежа-

щий в промежутке [0; 0,5]. Для уточ-

нения его методом итераций приведем

уравнение к виду x = ϕ(x). Функцию

ϕ(x) будем искать из соотношения

( ) ( )x x f x kϕ = − , где 2k M≥ и

принято обозначение

( )[0; 0,5]

;maxx

M f x∈

′=

число k имеет тот же знак, что и f '(x) в промежутке [0; 0,5]. (Итерацион-

ный метод, получаемый при этом, обычно называют методом релаксации).

Находим ( ) ( )2 log 2 3 1f x x x= + + − , ( ) 0,43432 22 3

f xx

′ = ++ (используя

равенство log 0,4343lna a= , a > 0).

4

–1 1 2

–4

–2

2

y = log2x+3

y=1–2 · x

Рис.1

24

( )[0; 0,5]

0,86862 2,2895,max

2 0 3xM f x

∈′= = + ≈

⋅ +

f '(x) > 0 при [ ]0; 0,5x ∈ .

Примем k = 2, тогда

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 log 2 3 log 2 3 .2 2 2 2

x x f x x x x xϕ = − = − − + + = − + .

За начальное приближение возьмем x0 = 0 (естественно, начальное

приближение выбирается из данного промежутка), все остальные при-

ближения будем определять из равенства

( ) ( )11 1 log 2 3 ,2 2n nx x x+ = ϕ = − + n = 0, 1, 2, … .

Минимальное число итераций nmin, необходимое для получения за-

данной точности решения ε, определим по формуле

( )( )0 1min

ln 11 ,

ln

q x xn

q

− ε −= +

где [α] – целая часть числа α. Число q удовлетворяет неравенству

( )max 1.x q′ϕ ≤ <

Находим ( )0 0,5 0 0,5

1 0,8686 0,1448.max max2 2 3x x

xx≤ ≤ ≤ ≤

′ϕ = ⋅ ≈+

Выберем q = 0,15, тогда ( )1 01 1

log3 0,262 2

x x= ϕ = − ≈ .

Для заданного ε = 10–4 получаем

( )( ) [ ]4

min

ln 1 0,15 10 0 0,261 1 4,23 5.

ln0,15n

− − ⋅ − = + = + =

Таким образом, для достижения точности ε = 10–4 необходимо сде-

лать не менее пяти итераций. Проведем все вычисления с пятью деся-

тичными цифрами и определим 6 0,230410x x∗ ≈ = . Фактическую точ-

ность полученного решения можно оценить по формуле

25

1 .1n n n

qx x x x

q∗

−− < −−

Для n = 6 получаем

5 66

0,15 10 2 10 .1 0,15

x x∗ − −− < ≈ ⋅−

Столь высокая точность результата объясняется малостью числа q =

0,15 по сравнению с единицей.

Ответ: 0,230410 0,000002x∗ = ± .

Задание 2

tg(0,55x + 0,1) = x2.

Отделим корень графически.

Построим графики функций

y1(x) = tg(0,55x + 0,1), y2(x) = x2

(см. рис. 2). Положительный ко-

рень уравнения заключен в про-

межутке [0,6;0,8].

Уточним корень методом

Ньютона. Перепишем уравнение

в виде f(x) = 0, где

( ) 2tg(0,55 0,1)f x x x= + − . Дифференцируя, получаем выражения для

производных

( )( )2

0,552 ,

cos 0,55 0,1f x x

x′ = −

+

( )( )

2

3

0,55 sin(0,55 0,1)2.

2cos 0,55 0,1

xf x

x

+′′ = − −+

В методе Ньютона за начальное приближение выбирают такое число

из промежутка, для которого верно неравенство

( ) ( ) 0.f x f x′′ >

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

y = tg 0,55x+0,1

y = x2

x*

Рис. 2

26

Так как ( )0,6 0,1 0f ≈ > , ( )0,8 0,04 0f ≈ − < и ( ) 0f x′′ < при

[ ]0,6; 0,8x ∈ , то за начальное приближение примем x0 = 0,8. Уточне-

ние производим по формуле ( )( )1 , 1, 2, ...n

n nn

f xx x n

f x+ = − =′.

В результате получаем: x1 = 0,75240, x2 = 0,75019, x3 = 0,75019. Та-

ким образом, 2 0,75019x x∗ ≈ = . Оценим точность полученного резуль-

тата, воспользовавшись формулой

( )221

1

,2n n nM

x x x xm

∗−− < − 1, 2, 3, ...,n =

где числа m1, M2 удовлетворяют неравенствам

[ ]( )1

0,6; 0,80 ,min

xm f x

∈′< ≤

[ ]( )2

0,6; 0,8.max

xM f x

∈′′≥

После вычислений получаем

[ ]( )

0,6; 0,80,54,min

xf x

∈′ ≈

[ ]( )

0,6; 0,82,1.max

xf x

∈′′ ≈

Выберем m1 = 0,5, M2 = 2,2, тогда

( )2 522 2 1

1

1,1 10 .2

Mx x x x

m∗ −− < − ≈ ⋅

Ответ: 0,75019 0,000011x∗ = ± .

27

Библиографический список

1. Фарафонов В. Г. Вычислительная математика и программирова-

ние: Метод указ. по алгоритмизации задач линейной алгебры /ЛИАП.

Л., 1984. 36 с.

2. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование.

М.: Высш. шк., 1990. 544 с.

3. Турчак Л. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 387 с.

4. Алимов А. Л., Понырко С. А., Потоцкий В. К. Вычислительная

математика и программирование: Метод указ. к выполнению курсовой

работы / ЛИАП. Л., 1982. 53 с.

5. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по вычислительной

математике. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

6. Стрепетов А. В., Табанов М. Б., Щадилов А. Е. Вычислительная

математика. Методы приближения функций: Метод. указ. / ЛИАП. Л.,

1989. 33 с.

7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.

М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. 608 с.

28

Оглавление

1. Методические указания к выполнению контрольной работы

“Решение систем линейных уравнений” ......................................... 1

1.1. Основные теоретические сведения .......................................... 1

Векторы и матрицы ................................................................... 1

Методы решения систем линейных алгебраических

уравнений .................................................................................... 3

Прямые методы решения систем. Метод Гаусса ..................... 3

Итерационные методы решения систем линейных

алгебраических уравнений ........................................................ 6

1.2. Варианты заданий для выполнения контрольной работы ..... 7

1.3. Пример выполнения задания..................................................... 11


“Приближение функций” .................................................................. 16


2.2. Варианты заданий для выполнения контрольной работы ..... 17



“Решение нелинейных уравнений” .................................................. 20


Метод секущих (правило ложного положения, метод хорд) .. 21

Простая итерация ........................................................................ 21

3.2. Варианты заданий для контрольной работы ........................... 21


Библиографический список ................................................................... 27

Вычислительная математика: Методические указания к...

Documents