Аналитическая геометрия и линейная алгебра. i семестр....
TRANSCRIPT
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ
ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Ñ.Ì. ÊÈÐÎÂÀ
À.À. ÊÈÐÑÀÍÎÂ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ
ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
I ñåìåñòð
(êóðñ ëåêöèé)
ÏÑÊÎÂ 2003
ÁÁÊ 22.151ÿ73 Ê 435
Ðåöåíçåíòû:Ìåäâåäåâà È.Í. êàíä. ôèç. ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àëãåáðûè ãåîìåòðèè Ïñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãîèíñòèòóòà èì. Ñ.Ì. Êèðîâà.Êîøìàê Â.Ê. êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåéìàòåìàòèêè Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà.
Êèðñàíîâ À.À.Ê 435 Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ëèíåéíàÿ àëãåáðà. I ñåìåñòð.
Êóðñ ëåêöèé. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2003.-236 ñ. - ISBN 5-87854-273-0
 ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëàãàåòñÿ îñíîâíîé ìàòåðèàë, âõîäÿùèé âîáúåäèí¸ííûé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû, âñîîòâåòñòâèè ñ äåéñòâóþùèì îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòîì.  I ñåìåñò-ðå èçó÷àþòñÿ ìàòðèöû, îïðåäåëèòåëè, ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,âåêòîðíàÿ àëãåáðà, ïðÿìûå è ïëîñêîñòè, ëèíèè è ïîâåðõíîñòè âòîðîãîïîðÿäêà.
Äëÿ ñòóäåíòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ.Òàáë. 1. Èë. 101. Áèáëèîãð. 21 íàçâ.
Ê 435
© Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûéïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò
èì. Ñ.Ì. Êèðîâà, 2003(ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2003
© Êèðñàíîâ À.À.,2003ISBN 5-87854-273-0
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèèè ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì. Êèðîâà
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
1. Ìàòðèöû1.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ìàòðèö ..................................................... 71.2. Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà ..................................................101.3. Ñëîæåíèå ìàòðèö. Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî. ................111.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòðèö ................................................131.5. Ñèìâîë Σ . Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà ....................171.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö ...................................................................201.7. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû. ....231.8. Âûðîæäåííûå è íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. ............................261.9. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. ...................................................................291.10. Ðàíã ìàòðèöû ..........................................................................321.11. Îñíîâíûå òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû .....................................35
2. Îïðåäåëèòåëè2.1. Îïðåäåëèòåëè II è III ïîðÿäêîâ ...............................................392.2. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà ....................................412.3. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé ..........................................................462.4. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëÿ ...54
3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé3.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé..................553.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ nm = ...................................593.4. Ïðàâèëî Êðàìåðà .....................................................................603.5. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ...................................................633.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé .....................................643.7. Ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ............................663.8. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé .......................71
4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè .754.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. ............................................794.3. Áàçèñ. .........................................................................................814.4. Ñèñòåìû êîîðäèíàò ..................................................................82
4.4.1. Äåêàðòîâà (àôôèííàÿ) ñèñòåìà êîîðäèíàò .......................824.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè. .............................844.4.3. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. ...............854.4.4. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. ...........................................854.4.5. Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. ......87
4.5. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò .....................................................884.5.1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÏÑÊ íà ïëîñêîñòè. .....................88
1*
4.5.2. Ïîâîðîò ÏÑÊ â ïëîñêîñòè. ............................................... 904.6. Ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ........................................................ 934.6.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. .................................. 934.6.2. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ. ................. 974.6.3. Îðèåíòàöèÿ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè è ïðîñòðàíñòâà ............. 984.6.4. Ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, îáú¸ìîðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ....................................... 1004.6.5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ......................... 101
4.7. Ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ .................................................. 1054.7.1. Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ...................... 1054.7.2. Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ......... 1054.7.3. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèåòð¸õ âåêòîðîâ ............................................................................ 108
5. Ïðÿìûå ëèíèè è ïëîñêîñòè5.1. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ..................................... 1125.2. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ................................ 1135.3. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè ................................................... 1145.4. Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé ........................... 1185.5. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé è ïðÿìûõíà ïëîñêîñòè .................................................................................. 1255.6. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå ........................................ 1295.7. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. Îñíîâíûå çàäà÷è ............................... 1325.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Îñíîâíûå çàäà÷è ....... 149
6. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà6.1. Ïàðàáîëà ................................................................................. 160
6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû............................ 1616.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå .................................................. 1626.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû ...................................... 163
6.2 Ýëëèïñ ...................................................................................... 1656.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà .......................................... 1676.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ............................... 1686.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó ..................................................... 1706.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ......................................... 171
6.3. Ãèïåðáîëà ................................................................................ 1736.3.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû ..................................... 1746.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû ......................... 1766.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå .............................. 1776.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû .................................... 178
6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë îòíåñ¸ííûåê âåðøèíå ....................................................................................... 1796.5. Óðàâíåíèÿ ýëëèïñîâ, ïàðàáîë è ãèïåðáîëâ ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ............................................................... 182
7. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáùàÿ òåîðèÿ7.1. Îáùåå ïîíÿòèå î ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ............................. 1857.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè çàìåíå ÏÑÊ .............. 187
7.2.1. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïàðàëëåëüíîìïåðåíîñå ÏÑÊ ............................................................................ 1877.2.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ ... 188
7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà. Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèèâòîðîãî ïîðÿäêà ............................................................................ 1907.4. Öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåîáðàçîâàíèå ê öåíòðó .. 1957.5.Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî .....ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ .............................................. 1977.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãîïîðÿäêà ........................................................................................... 1987.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà áåç ....................îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà ................................................................... 2037.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ............................... 210
8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ................................................ 2118.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà ........................................................ 2158.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû ........................ 219
αΑ, βΒ, γΓ, δ∆,àëüôà áåòà ãàììà äåëüòà
εΕ, ζΖ, ηΗ, ϑθΘ ,,ýïñèëîí äçåòà ýòà òåòà
ιΙ, κΚ, λΛ, µΜ,éîòà êàïïà ëÿìáäà ìþ
νΝ, ξΞ, οΟ, πΠ,íþ êñè îìèêðîí ïè
ρΡ, σΣ, τΤ, υΥ,ðî ñèãìà òàó èïñèëîí
ϕΦ, χΧ, ψΨ, ωΩ,ôè õè ïñè îìåãà
ÃÐÅ×ÅÑÊÈÉ ÀËÔÀÂÈÒ
7
1. Ìàòðèöû
1.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ìàòðèö
Îïðåäåëåíèå 1.1. Òàáëèöà ÷èñåë (âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ)
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
, (1.1)
ñîñòîÿùàÿ èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé
ìàòðèöåé ðàçìåðà nm× .
×èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû À, åñëè ýòî íåîáõîäèìî,
ìîæíî óêàçàòü òàê: nmA × .
Ýëåìåíòû inii aaa ,...,, 21 îáðàçóþò ñòðîêó ïîä íîìåðîì i , à
ýëåìåíòû mjjj aaa ,...,, 21 îáðàçóþò ñòîëáåö ïîä íîìåðîì j . Ýëå-
ìåíò ija ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè i -é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà ìàòðè-
öû A è ìû áóäåì âñåãäà èìåòü â âèäó, ÷òî ïåðâûé èíäåêñ îáîçíà-
÷àåò íîìåð ñòðîêè, à âòîðîé - íîìåð ñòîëáöà. íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìàòðèöó (1.1) áûâàåò óäîáíåå çàïèñàòü
â âèäå
=
mn
mm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
222
21
112
11
. (1.2)
 äàííîì ñëó÷àå èíäåêñ ñòîÿùèé ââåðõó îáîçíà÷àåò íîìåð
ñòðîêè, à âíèçó - íîìåð ñòîëáöà.Äâå ìàòðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè åñëè îíè èìåþò îäèíà-
êîâûå ðàçìåðû, à ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà îäèíàêîâûõ ìåñòàõ ðàâíû
8
äðóã äðóãó. Ìàòðèöû nmA × è nmB × ðàâíû åñëè
ijij ba = , mi ,...,2,1= ; nj ,...,2,1= .
Åñëè ÷èñëî ñòðîê ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ, ò.å. nm= ,òî òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n . Â
÷àñòíîñòè ïðè 1=n ìû èìååì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ñîñòîÿùóþèç îäíîé ñòðîêè è îäíîãî ñòîëáöà - ïðîñòî ÷èñëî è ìû ìîæåìðàññìàòðèâàòü âåùåñòâåííûå ÷èñëà êàê êâàäðàòíûå ìàòðèöû
ïîðÿäêà 1 . Ýëåìåíòû ija ( ija ) ó êîòîðûõ íîìåð ñòðîêè ðàâåí íî-
ìåðó ñòîëáöà ( nnaaa ,...,, 2211 ) èëè ( )nnaaa ,...,, 2
211 ñîñòàâëÿþò ãëàâíóþ
äèàãîíàëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû.Ìàòðèöó ðàçìåðîâ n×1 , ñîñòîÿùóþ èç îäíîé ñòðîêè è n
ñòîëáöîâ íàçîâ¸ì ñòðîêîé äëèíû n èëè ïðîñòî ñòðîêîé.
Ïðèìåð ñòðîêè äëèíîé 3: ( )205=A
Ìàòðèöó ðàçìåðîâ 1×m , ñîñòîÿùóþ èç m ñòðîê è îäíîãîñòîëáöà íàçîâ¸ì ñòîëáöîì âûñîòû m èëè ïðîñòî ñòîëáöîì.
Ïðèìåð ñòîëáöà âûñîòû 2:
=
0
1B .
×àñòî áûâàåò óäîáíî çàïèñàòü ìàòðèöó âèäà (1.2) â âèäåñòðîêè èëè ñòîëáöà. Òàê ïîëàãàÿ â (1.2)
=
ma
a
a
1
21
11
1...
a ,
=
ma
a
a
2
22
12
2...
a, ...,
=
mn
n
n
n
a
a
a
...
2
1
a
ìû ìîæåì çàïèñàòü ìàòðèöó (1.2) â âèäå ñòðîêè
( )nA aaa ...21= , (1.3)
èëè ïîëàãàÿ
9
( )112
11
1 ... naaa=a , ( )222
21
2 ... naaa=a , ...,
( )mn
mmm aaa ...21=aìû ìîæåì çàïèñàòü ìàòðèöó (1.2) â âèäå
=
m
A
a
a
a
...
2
1
. (1.4)
Îòìåòèì íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ ìàòðèö:
1. Ìàòðèöà ó êîòîðîé îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü ýëåìåíòû ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè: 0≠ija , åñëè ji = è 0=ija , åñëè ji ≠
=
nna
a
a
A
...00
............
0...0
0...0
22
11
íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n .
2. Ìàòðèöà, ó êîòîðîé ðàâíû íóëþ ýëåìåíòû ëåæàùèå íèæå
(âûøå) ãëàâíîé äèàãîíàëè
=
nn
n
n
a
aa
aaa
A
...00
............
...0
...
222
11211
,
=
nnnn aaa
aa
a
A
...
............
0...
0...0
21
2221
11
,
íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé (íèæíåé) òðåóãîëüíîé ìàò-
ðèöåé.
10
1.2. Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ðàçìåðîì nm×
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Ýòîé ìàòðèöå ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü ìàòðèöó B ñîñòîÿùóþèç n ñòðîê è m ñòîëáöîâ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Ýëåìåíòû êàæ-
äîé ñòðîêè ìàòðèöû A çàïèøåì â ñòîëáåö â òîì æå ïîðÿäêå:
=
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
B
...
............
...
...
21
22212
12111
.
Òàêèì îáðàçîì ìû ìàòðèöå nmA × ñîïîñòàâèëè ìàòðèöó mnB × ,
êîòîðóþ íàçîâ¸ì òðàíñïîíèðîâàííîé ê ìàòðèöå A è ââåä¸ì îáî-çíà÷åíèå:
TAB = .
Ïåðåõîä TAA → íàçîâ¸ì îïåðàöèåé òðàíñïîíèðîâàíèÿ.
Ïðèìåð.
=
05
20
31
A ,
=
023
501TA , ( )
=
05
20
31TTA .
Íà ïðèâåä¸ííîì ïðèìåðå ìû âèäèì, ÷òî ïîâòîðíàÿ îïåðà-
öèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ ïðèâîäèò íàñ ê èñõîäíîé ìàòðèöå, ò.å.
( ) AATT = .
11
1.3. Ñëîæåíèå ìàòðèö. Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî.
Ïóñòü ìàòðèöû A è B ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó ìàòðèö Mðàçìåðà nm× . Ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü èì òðåòüþ ìàòðèöó MC∈ ,ýëåìåíòû êîòîðîé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè:
ijijij bac += , mi ,...,1= , nj ,...,1= . (1.4)
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìàòðèöó C , îïðåäåëÿåìóþ ïî ìàòðèöàì A è B âñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.4) áóäåì íàçûâàòü èõ ñóììîé, ò.å.
BAC += .Êàê ìû âèäèì, îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö äà¸ò â ðåçóëüòàòå
ìàòðèöó èç òîãî æå ìíîæåñòâà M , ò.å. ðàçìåðû ìàòðèö ïðè ñëî-
æåíèè íå ìåíÿþòñÿ.Ïðèìåð.
=
37
10
52
A ,
=
10
82
31
B ,
=
++++++
=
+
=
47
92
83
1307
8120
3512
10
82
31
37
10
52
C .
Îïðåäåëåíèå 1.3. Ìàòðèöà C , ýëåìåíòû êîòîðîé ijc ðàâíû ïðî-
èçâåäåíèÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ija ìàòðèöû A íà ÷èñ-
ëî λ (âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå), íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì
ìàòðèöû A íà ÷èñëî λ è îáîçíà÷àåòñÿ êàê AC λ= :
ijij ac λ= , mi ,...,1= , nj ,...,1= . (1.5)
Êàê ìû âèäèì, îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî äà¸ò
â ðåçóëüòàòå ìàòðèöó èç òîãî æå ìíîæåñòâà M , ò.å. ðàçìåðû
ìàòðèö ïðè óìíîæåíèè èõ íà ÷èñëî íå ìåíÿþòñÿ.
12
Ïðèìåð.
=
37
10
52
A , 5=λ .
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅=λ=
1535
50
2510
3575
1505
5525
37
10
52
5AC .
Èç ñâîéñòâ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñëåäóåò: äëÿ ëþáûõ ìàò-ðèö BA, è C îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ nm× è ëþáûõ ÷èñåë λ èç
íåêîòîðîãî ïîëÿ K âûïîëíåíû ðàâåíñòâà:1. ABBA +=+ ;
2. ( ) ( )CBACBA ++=++ ;
3. ( ) BABA λ+λ=+⋅λ ;
4. ( ) AAA γ+λ=⋅γ+λ ;
5. ( ) ( )AA γλ=⋅λγ .
Ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, íàçûâàåòñÿíóëåâîé ìàòðèöåé:
=
000
000O , ( )0000=O ,
=
00
00O .
Åñëè O - íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîâ nm× , òî
AAA =+=+ OO .
Ìàòðèöó ( ) A⋅−1 áóäåì íàçûâàòü ïðîòèâîïîëîæíîé ìàòðè-
öå A è îáîçíà÷èì êàê A− . Î÷åâèäíî, ÷òî
( ) O=−+ AA .
Ñóììó ìàòðèö ( )BA −+ íàçîâ¸ì ðàçíîñòüþ è çàïèøåì êàê
BAC −= .Ïðèìåð.
=
37
10
52
A,
=
10
82
31
B.
−−=
−−−−−−
=−=27
72
21
1307
8120
3512
BAC .
13
1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòðèö
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M ïðÿìîóãîëüíûõ nm× ìàòðèö.Ñóììà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö èç M åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç
M . Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû èç M íà ïðîèçâîëü-íîå ÷èñëî èç ïîëÿ K åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç M .
Îïðåäåëåíèå 1.4. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà Míå âûâîäÿùèå íàñ èç äàííîãî ìíîæåñòâà (âíóòðåííÿÿ îïåðàöèÿ)
MMM →× è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà ìíîæåñòâà M íà ÷èñëî èç
ïîëÿ K äàþùèå ñíîâà ýëåìåíò èç M (âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ)
MMK →× íàçûâàþò ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè.Èñïîëüçóÿ ëèíåéíûå îïåðàöèè, ìû ìîæåì ñîñòàâëÿòü èç ýëå-
ìåíòîâ ìíîæåñòâà M ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà nm×
1A , 2A , ..., kA
è ÷èñåë èç ïîëÿ K
1α , 2α , ..., kαâûðàæåíèÿ âèäà
MAAA kk ∈α++α+α ...2211 , (1.6)
êîòîðûå â äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíûìè êîìáèíà-
öèÿìè ìàòðèö.Åñëè êàêàÿ-òî ìàòðèöà A ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáè-
íàöèÿ (1.6) äðóãèõ ìàòðèö, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äàííàÿ ìàòðè-
öà A ïî íèì ðàçëîæåíà.
Ïðèìåð. Ïóñòü 321 ,, ppp ñòîëáöû âûñîòû 4. Òîãäà ñòîëáåö q âû-ñîòû 4 ïî íèì ðàçëîæåí, åñëè ïðè íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòàõ
321 ,, ααα
332211 pppq α+α+α=èëè ïîäðîáíî
14
α+α+αα+α+αα+α+αα+α+α
=
α+
⋅α+
⋅α=
433
422
411
333
322
311
233
222
211
133
122
111
43
33
23
13
3
42
32
22
12
2
41
31
21
11
1
4
3
2
1
ppp
ppp
ppp
ppp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
q
q
q
q
.
Ýòî ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ ïîíÿ-òèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, â âèäå ñèñòåìû èç ÷åòûð¸õ ÷èñëîâûõ óðàâ-íåíèé:
133
122
111
1 pppq α+α+α= ,
233
222
211
2 pppq α+α+α= ,
333
322
311
3 pppq α+α+α= ,
433
422
411
4 pppq α+α+α= .
Ïðåäëîæåíèå 1.1. Êàêîâà áû íè áûëà ñèñòåìà ìàòðèö ôèêñèðîâàí-
íîãî ðàçìåðà nm× , íóëåâàÿ ìàòðèöà nmO × ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ýòèì
ìàòðèöàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè.Òàêóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíîé.
O=α++α+α kk AAA ...2211 (1.7)
ïðè 0...21 =α==α=α k .
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ñóùåñòâóåò âñåãäà. Âîï-ðîñ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëè îíà åäèíñòâåííî âîçìîæíîé?Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò
. Ñèñòåìó ìàòðèö 1A , 2A , ..., kA áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìîé, åñëè íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé îäíîçíà÷íî,ò.å. èç
O=α++α+α kk AAA ...2211
ñëåäóåò 0...21 =α==α=α k .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. åñëè (1.7) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè ýòîì
íå âñå 0=αi , ñèñòåìó ìàòðèö 1A , 2A , ..., kA áóäåì íàçûâàòü ëè-
íåéíî çàâèñèìîé.
15
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñòîëáöû
=
0
0
1
1e ,
=
0
1
0
2e ,
=
1
0
0
3e . (1.8)
Ýòè ñòîëáöû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ðàâåí-
ñòâî O=γ+β+α 321 eee âîçìîæíî ëèøü ïðè 0=γ=β=α .
=
γβα
=
γ+
β+
α=
⋅γ+
⋅β+
⋅α
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî 0=γ=β=α .
Ïî ñòîëáöàì òèïà 321 ,, eee ðàñêëàäûâàþòñÿ âñå ñòîëáöû âû-
ñîòû òðè.
Ïðèìåð. Ðàçëîæèòü ïî ñòîëáöàì 321 ,, eee ñòîëáåö ( )TA 295= .
Çäåñü ìû èñïîëüçóåì çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ ìàòðèöû äëÿ ýêî-íîìèè ìåñòà íà ëèñòå. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòîò ïðè¸ì ïîñòî-ÿííî.
=
γβα
=γ+β+α=2
9
5
321 eeeA . 5=α , 9=β , 2=γ
èëè
=
+
+
=
⋅+
⋅+
⋅=
2
9
5
2
0
0
0
9
0
0
0
5
1
0
0
2
0
1
0
9
0
0
1
5A.
Îïðåäåëåíèå 1.6. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n , ñîñòîÿùàÿ èçñòîëáöîâ òèïà (1.8)
16
nn
E
×
=
100
010
001
...
............
...
...
,
íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n .Ïðåäëîæåíèå 1.2. Ñòîëáöû (ñòðîêè) åäèíè÷íîé ìàòðèöû ëèíåé-íî íåçàâèñèìû è îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö(ñòðîêà) ñ òåì æå ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî íèì.Ïðåäëîæåíèå 1.3. Ñèñòåìà èç 1>k ìàòðèö ïîðÿäêà nm× ëèíåé-íî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèöýòîé ñèñòåìû åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äðóãèõ.
Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòåìà
O=α++α+α kk AAA ...2211 (1.7)
ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ iα îò-
ëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè 01 ≠α . Òîãäà èç (1.8)
ñëåäóåò:
kk
k AAAAαα−−
αα−
αα−= ...3
1
32
1
21 .
Ïðåäëîæåíèå 1.4. Åñëè íåêîòîðûå èç ìàòðèö 1A , 2A , ..., kA ñî-
ñòàâëÿþò ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, òî èâñÿ äàííàÿ ñèñòåìà ìàòðèö ëèíåéíî çàâèñèìà.
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ íóëåâàÿ êîìáèíà-öèÿ èç ïåðâûõ s ìàòðèö, ò.å.
O=α++α+α ss AAA ...2211 ïðè 01 ≠α , 02 ≠α , ..., 0≠αs .
Ìû ìîæåì ê ýòîé êîìáèíàöèè äîáàâèòü òðèâèàëüíóþ íóëå-âóþ êîìáèíàöèþ èç îñòàëüíûõ sk − ìàòðèö
O=α++α+α ++++ kkssss AAA ...2211 ïðè 0...21 =α==α=α ++ kss .
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè ëèíåéíóþ íóëåâóþ êîìáèíàöèþìàòðèö
17
O=α++α+α+α++α+α ++++ kkssssss AAAAAA ...... 22112211
ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè 01 ≠α , 02 ≠α , ..., 0≠αs ,
÷òî è äîêàçûâàåò íàøå ïðåäëîæåíèå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèäàííîé ñèñòåìû.
Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ñèñòåìó (1.7) âõîäèò
íóëåâàÿ ìàòðèöà ñèñòåìà áóäåò ëèíåéíî çàâèñèìîé.
Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåòÏðåäëîæåíèå 1.5. Ëþáûå ìàòðèöû, âõîäÿùèå â ëèíåéíî íåçàâè-ñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Îáðàòíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èëî áû ïðåäëîæåíèþ 1.4.Ïðåäëîæåíèå 1.6. Åñëè ìàòðèöà B ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíî íå-
çàâèñèìóþ êîìáèíàöèþ ìàòðèö 1A , 2A , ..., kA , òî êîýôôèöèåí-
òû ðàçëîæåíèÿ 1α , 2α , ..., kα îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿìàòðèöû B :
kk AAAB α++α+α= ...2211 è kk AAAB β++β+β= ...2211 .
Ñîñòàâèì ðàçíîñòü èç ýòèõ ðàçëîæåíèé:
( ) ( ) ( ) O=β−α++β−α+β−α=− kkk AAABB ...222111 .
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ 1A , 2A , ..., kA ëèíåéíî íåçàâèñèìû è
íàì îñòà¸òñÿ ïîëîæèòü
( ) ( ) ( ) O=β−α==β−α=β−α kk...2211 ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ii β=α , ki ,...,2,1= , ÷òî äîêàçûâàåò
åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.
1.5. Ñèìâîë Σ . Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà
 ìàòåìàòèêå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñóììû áîëüøîãî ÷èñ-ëà ñëàãàåìûõ, èìåþùèõ ñõîäíûé âèä è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêîèíäåêñàìè.
2 À.À. Êèðñàíîâ
18
Íàïðèìåð
nxxx +++ ...21 . (1.9)
Äëÿ òàêèõ ñóìì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë n
i 1=Σ , ïîñëå
êîòîðîãî ñòîèò íåêîòîðîå âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå èíäåêñ i .Âûðàæåíèå (1.9) â òàêîì ñëó÷àå çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
n
n
ii xxxx +++=∑
=...21
1.
Èíäåêñ i íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñóììèðîâàíèÿ. Î÷åâèäíî,÷òî â êà÷åñòâå èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü âçÿòà ëþáàÿáóêâà, íàïðèìåð
n
n
pp xxxx +++=∑
=...21
1,
âàæåí ëèøü äèàïàçîí èçìåíåíèÿ èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ. êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåä¸ì åù¸ îäíî âûðàæåíèå
332211
3
1
yxyxyxyxk
kk ++=∑=
.
Çàìåòèì, ÷òî íàñ íè÷òî íå îáÿçûâàåò ñòàâèòü èíäåêñ ñóììè-
ðîâàíèÿ âíèçó. Òîëüêî ÷òî ïðèâåä¸ííîå âûðàæåíèå ìû ìîæåì çà-ïèñàòü è òàê:
3322113
1
yxyxyxyxk
kk ++=∑=
,
èëè
33
22
11
3
1
yxyxyxyxk
kk ++=∑
=.
Ñóììèðîâàíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. ( ) ∑∑==
α=αn
kk
n
kk xx
11,
19
2. ( ) ∑∑∑===
+=+m
ll
m
ll
m
lll yxyx
111.
Åñëè èìååòñÿ âûðàæåíèå çàâèñÿùåå îò äâóõ èíäåêñîâ, ïðè-íèìàþùèõ çíà÷åíèÿ n,...,1 è m,...,1 , ìû ìîæåì ïðîñóììèðîâàòüâûðàæåíèå ñíà÷àëà ïî îäíîìó èíäåêñó, à çàòåì, ïî äðóãîìó:
∑∑∑ ∑∑ ∑= == == =
=
=
m
i
n
jij
m
j
n
iij
m
i
n
jij aaa
1 11 11 1. (1.10)
Åñëè ïîä ija ïîíèìàòü, íàïðèìåð, ýëåìåíòû ìàòðèöû (1.1),
òî âûðàæåíèå (1.10) åñòü ñóììà ýëåìåíòîâ äàííîé ìàòðèöû ïî-ëó÷åííàÿ ñëîæåíèåì ýëåìåíòîâ ïî ñòðîêàì, à çàòåì ïî ñòîëá-öàì èëè íàîáîðîò. Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäåòîäèíàêîâ.
Íà ïðàêòèêå ìû ìîæåì âñòðåòèòüñÿ ñ âûðàæåíèÿìè çàâèñÿ-
ùèìè îò òð¸õ kijb , ÷åòûð¸õ jkl
iw è âîîáùå îò ëþáîãî ÷èñëà èíäåê-
ñîâ, ïðèíèìàþùèõ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå çíà÷åíèÿ è ðàñïîëîæåí-íûõ â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê ïîêà-çûâàåò (1.10), íàì ïðèä¸òñÿ ïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùåå êîëè÷åñòâîçíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ Σ .
Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè âûðàæåíèé ñîäåðæàùèõ ñóììû, Ýé-íøòåéíîì áûëî ââåäåíî ïðàâèëî ñîêðàù¸ííîé çàïèñè òàêèõ âû-ðàæåíèé.
Åñëè èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ â ôîðìóëå ïîâòîðÿåòñÿ äâàæäû,
ïðè÷¸ì îäèí ðàç âíèçó è îäèí ðàç ââåðõó - çíàê Σ íå ïèøåòñÿ.
Ïðèìåð.
k
kk
kk yxyxyxyxyx =++=∑
=
11
22
11
3
1.
∑ ∑∑= ==
=m
i
m
ik
ki
n
kk
ki yxyx
1 11.
2*
20
1.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö
Äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèö A è B ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî èõïðîèçâåäåíèå AB. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðè-
öû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B , ò.å. åñëè íàì çàäàíû ìàòðè-
öû nmA × è rnB × . Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó
rnnmrm BAC ××× ⋅= . (1.11)
Ïóñòü A- ñòðîêà äëèíîé n , à B - ñòîëáåö âûñîòîé n , òîãäà â
ñîîòâåòñòâèè ñ (1.11) 1111 ××× ⋅= nn BAC åñòü ìàòðèöà ðàçìåðà 11× ,
ò.å. ïðîñòî ÷èñëî:
( ) ii
nn
n
n babababa
b
b
b
aaaBA =+++=
⋅=⋅ ......
... 22
11
2
1
21 . (1.12)
Ïðèìåð.
( )231=A , ( )TB 714= .
( ) 211434721341
7
1
4
231 =++=⋅+⋅+⋅=
⋅=⋅= BAC .
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
è
=
nrnn
r
r
bbb
bbb
bbb
B
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A âèäå m ñòðîê
( )inii aaa ...21 , mi ,...,1= ,
à ìàòðèöó B â âèäå r ñòîëáöîâ
21
nj
j
j
b
b
b
...2
1
, rj ,...,1= .
Ñîñòàâèì ïðîèçâåäåíèå i -é ñòðîêè íà j -é ñòîëáåö â ñîîò-
âåòñòâèè ñ (1.12), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ÷èñëî ijc :
∑=
=+++=n
kkjiknjinjijiij babababac
12211 ... . (1.13)
Ïîëó÷åííîå ÷èñëî ijc çàïèøåì íà ïåðåñå÷åíèè i -é ñòðîêè è
j -ãî ñòîëáöà â ìàòðèöå BAC ⋅= . Òàê êàê i ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ
îò 1 äî m , à j îò 1 äî r ìû ïîëó÷èì rm⋅ òàêèõ ÷èñåë, êîòîðûå èñîñòàâÿò ìàòðèöó
=⋅=
mrmm
r
r
ccc
ccc
ccc
BAC
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Òàêèì îáðàçîì ïðè ïåðåìíîæåíèè ìàòðèö nmA × è rnB × êàæ-
äàÿ ñòðîêà ìàòðèöû nmA × óìíîæàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íà êàæ-
äûé ñòîëáåö ìàòðèöû rnB × è ïîëó÷àþùèåñÿ ÷èñëà ijc â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ èíäåêñàìè çàïîëíÿþò ìàòðèöó C .
Ñëåäñòâèå 1.1. Èç (1.13) ñëåäóåò, ÷òî j -é ñòîëáåö ìàòðèöû AB
åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ êîýôôèöèåí-
òàìè, ðàâíûìè ýëåìåíòàì j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû B , à i -ÿ ñòðî-
êà ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòðîê ìàòðèöû B ñêîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè ýëåìåíòàì i -é ìàòðèöû A .
22
Ïðèìåð.
=
76
45A ,
=
213
301B .
Òàê êàê ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàò-ðèöû B , ìû ìîæåì ñîñòàâèòü èõ ïðîèçâåäåíèå:
.32727
23417
273617063716
243514053415
213
301
76
45
=
=
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=
⋅
=⋅=
BAC
Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå AB ⋅ ñîñòàâèòü íåëüçÿ.Ïðèâåä¸ííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ìàòðèö íå âûïîë-
íÿåòñÿ êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ, ò.å. â îáùåì ñëó÷àå
ABBA ⋅≠⋅ .Åñëè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
ABBA ⋅=⋅ ,ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàòðèöû A è B êîììóòèðóþò èëè ïåðå-
ñòàíîâî÷íû. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ïåðåñòàíîâî÷íîñòè ìàòðèöÿâëÿåòñÿ èõ ïðèíàäëåæíîñòü ê ìíîæåñòâó êâàäðàòíûõ ìàòðèö,îäíàêî ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì.Ïðèìåð.
−
=31
21A ,
−−
=74
81B .
−−
==1311
229BAAB .
Èç ôîðìóëû (1.9) ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóþò ñëåäóþùèå ñâîé-ñòâà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:
1. Ñî÷åòàòåëüíîå
( ) ( )BCACAB = ;
2. Ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ ìàòðèö îòíîñè-òåëüíî ñëîæåíèÿ
( ) BCACCBA +=+ ,
23
( ) ACABCBA +=+ ;
3. Åñëè A- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n , à E è O ñîîò-âåòñòâåííî åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n , òî
AEAAE == ,
OOO == AA ;4. Åñëè AB èìååò ñìûñë, òî
( ) ( ) ( )BABAAB α=α=α ;
5. Åñëè îïðåäåëåíî AB, òî îïðåäåëåíî è TT AB , è ñïðàâåä-ëèâî ðàâåíñòâî
( ) TTTABAB = .
1.7. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû.
Îïðåäåëåíèå1.7. Ê ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñòðîê (ñòîëá-öîâ) ìàòðèöû îòíîñÿòñÿ:
1. Óìíîæåíèå ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ÷èñëî 0≠λ ;2. Ïðèáàâëåíèå îäíîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ê äðóãîé ñòðîêå
(ñòîëáöó).Ôàêòè÷åñêè ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè (ñòðîêàìè).Áîëåå ñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (ñîñòîÿò èç íàáîðîâ ýëåìåí-
òàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé):3. Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå (ñòîëáöó) äðóãîé ñòðîêè
(ñòîëáöà), óìíîæåííîé íà ÷èñëî 0≠λ ;4. Âû÷èòàíèå îäíîé ñòðîêè (ñòîëáöà) èç äðóãîé ñòðîêè (ñòîë-
áöà);5. Ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìåñòàìè.
Ïðèìåð. Ïîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéîïåðàöèþ ïåðåñòàíîâêè äâóõ ñòðîê.
→
−
→
−+
→
−−
+→
+→
a
b
a
b
a
ba
bab
ba
b
ba
b
a.
24
Âîçìîæíîñòü âû÷èòàòü îäíó ñòðîêó èç äðóãîé è îòëè÷èå îòíóëÿ ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ èìåþò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå: ýëå-
ìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïåðåéäÿ îòìàòðèöû A ê ìàòðèöå B ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõïðåîáðàçîâàíèé, ñ ïîìîùüþ äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåí-òàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû ñìîæåì âåðíóòüñÿ îò B ê A .Ïðåäëîæåíèå 1.7. Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîêìàòðèöû A ðàçìåðîâ nm× ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ ìàòðèöû
A ñëåâà íà íåêîòîðóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó S ïîðÿäêà m . Ïðè
ýòîì S íå çàâèñèò îò A , à ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òåì ïðåîáðà-çîâàíèåì, êîòîðîå îíà îñóùåñòâëÿåò.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óìíîæåíèÿ òðåòüåé ñòðîêè ìàòðèöû
=
lnm
fed
cba
A
íà ÷èñëî 0≠λ . Âîçüì¸ì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà è
óìíîæèì å¸ òðåòüþ ñòðîêó íà λ è ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó ïðèìåì
â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîé ìàòðèöû 1S . Óìíîæèì òåïåðü èñõîäíóþ
ìàòðèöó A ñëåâà íà 1S .
λλλ=
⋅
λ=
lnm
fed
cba
lnm
fed
cba
AS
00
010
001
1 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ïðèáàâëåíèÿ ïåðâîé ñòðîêè èñ-õîäíîé ìàòðèöû ê å¸ âòîðîé ñòðîêå.
Âîçüì¸ì ñíîâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñëî-
æèì ó íå¸ âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, îáîçíà÷èì å¸ ÷åðåç 2S è óìíî-
æèì èñõîäíóþ ìàòðèöó ñëåâà íà 2S .
25
=
100
011
001
2S .
+++=
⋅
=
lnm
fccbda
cba
lnm
fed
cba
AS
100
011
001
2 .
Òåïåðü ïîñìîòðèì êàêîå äåéñòâèå íà èñõîäíóþ ìàòðèöó îêà-
çûâàåò ïîñëåäîâàòåëüíîå óìíîæåíèå ñëåâà íà 12SS .
=
⋅
λ⋅
=
lnm
fed
cba
ASS
00
010
001
100
011
001
12
λλλ+++=
λλλ⋅
=
lnm
fcebda
cba
lnm
fed
cba
100
011
001
.
Îïðåäåëåíèå 1.8. Ìàòðèöû, óìíîæåíèå íà êîòîðûå îñóùåñòâëÿåòýëåìåíòàðíûå îïåðàöèè áóäåì íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûìè ìàòðè-öàìè.
Èç ïðèâåä¸ííîãî âûøå ïðèìåðà ìû âèäèì, ÷òî ýëåìåíòàð-
íûå ìàòðèöû ìîæíî ïîëó÷àòü èç åäèíè÷íîé ìàòðèöû íåîáõîäè-
ìîãî ïîðÿäêà åñëè îñóùåñòâèòü íàä íåé òðåáóåìóþ ýëåìåíòàð-
íóþ îïåðàöèþ. Ýòî î÷åâèäíî èç ðàâåíñòâà SSE= .
Ïðèâåä¸ííûé âûøå ïðèìåð ïîêàçûâàåò òàêæå, ÷òî ïîñëåäî-
âàòåëüíîå âûïîëíåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê îñó-
ùåñòâëÿåòñÿ óìíîæåíèåì èñõîäíîé ìàòðèöû ñëåâà íà ïðîèçâåäå-
íèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö, ïðè÷¸ì ìíîæèòåëü,
ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåîáðàçîâàíèþ, ñäåëàííîìó ïîçæå, ñòîèò ëå-
âåå: ASSSk 12... .
26
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ ïîëó÷àþòñÿ óìíîæå-
íèåì èñõîäíîé ìàòðèöû nmA × ñïðàâà íà ýëåìåíòàðíóþ ìàòðèöó
ïîðÿäêà n .
Ïðèìåð.
λλλ
=
λ⋅
=⋅
lnm
fed
cba
lnm
fed
cba
SA
00
010
001
1 .
1.8. Âûðîæäåííûå è íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû.
Îïðåäåëåíèå 1.9. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé,åñëè å¸ ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñèìû.
Âûðîæäåííîé áóäåò êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ó êîòîðîé åñòü íó-ëåâàÿ ñòðîêà èëè ìàòðèöà èìåþùàÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè.
Ïðèìåðîì íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ìîæåò ñëóæèòü åäèíè÷-íàÿ ìàòðèöà.Ïðåäëîæåíèå 1.8. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ïåðåâî-äÿò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâûðîæäåííóþ, à âûðîæäåííóþâ âûðîæäåííóþ.
Ïóñòü ñòðîêè naaa ,...,, 21 ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû,
ò.å. èõ òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
O=α++α+α nnaaa ...2211 ïðè 0...21 =α==α=α n .
Åñëè ìû, äîïóñòèì, ïðèáàâèëè êî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöûå¸ ïåðâóþ ñòðîêó, òîãäà
( ) ( ) O=α++α+α+α=α+++α+α nnnn aaaaaaa ...... 2212121211 .
Òàê êàê èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñòðîê naaa ,...,, 21 ëèíåéíî íåçàâè-
ñèìà ìû äîëæíû ïîëîæèòü 0...221 =α==α=α+α n , îòêóäà ñðà-
çó ñëåäóåò, ÷òî 021 =α+α , èëè 01 =α . Ìû âèäèì, ÷òî íîâàÿ ñèñ-
òåìà ñòðîê naaaa ,...,, 211 + òîæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.
27
Åñëè ìû, íàïðèìåð, óìíîæèì íà 0≠λ òðåòüþ ñòðîêó, òîãäà
O=α+λα+α+α nnaaaa ...332211 ,
à òàê êàê 03 =α , ðàâíî íóëþ è λα3 , è íîâàÿ ñèñòåìà ñòðîê ëèíåé-
íî íåçàâèñèìà.Âòîðóþ ÷àñòü ïðåäëîæåíèÿ ìîæíî äîêàçàòü èñïîëüçóÿ îá-
ðàòèìîñòü ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïóñòü A âûðîæäåí-íàÿ ìàòðèöà. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿïåðåâîäÿò å¸ â íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó, òî îáðàòíûå ýëåìåíòàð-íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâåäóò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâû-ðîæäåííóþ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ.Ñëåäñòâèå 1.2. Âñå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû íåâûðîæäåíû.Ïðåäëîæåíèå 1.9. Êàæäàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ïîìîùüþýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæåò áûòü ïðåâðàùåíà âåäèíè÷íóþ ìàòðèöó.
Ïóñòü íàì äàíà íåâûðîæäåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿä-
êà n è ïóñòü å¸ ñòðîêè naaa ,...,, 21 . Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à çàêëþ÷à-
åòñÿ â ïîëó÷åíèè åäèíèöû íà ìåñòå 11a . Åñëè â ïåðâîì ñòîëáöå
òàêàÿ åäèíèöà óæå ñîäåðæèòñÿ, íàïðèìåð â i ñòðîêå, ìû ýòó ñòðî-êó ìîæåì ïîìåíÿòü ìåñòàìè ñ ïåðâîé ñòðîêîé åäèíèöà îêàæåòñÿ
íà ìåñòå 11a . Åñëè åäèíèöû â ïåðâîì ñòîëáöå íåò, ìû ìîæåì âçÿòü
ëþáîé ýëåìåíò ïåðâîãî ñòîëáöà îòëè÷íûé îò íóëÿ (à îí îáÿçà-òåëüíî íàéä¸òñÿ â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû) è ïîäåëèâåãî íà ñàìîãî ñåáÿ ýòó åäèíèöó ïîëó÷èòü. Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ
ni ,...,2= áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè ïåðâóþ ñòðîêó, óìíî-
æåííóþ íà 1ia .  ðåçóëüòàòå ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì ïåðâûé
ñòîëáåö åäèíè÷íîé ìàòðèöû. Òåïåðü âî âòîðîì ñòîëáöå ìû ìî-
æåì ýëåìåíò 22a , åñëè îí íå ðàâåí íóëþ, ïîäåëèòü íà ñàìîãî ñåáÿ
è ïîëó÷èòü åäèíèöó íà ìåñòå 22a . Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ ni ,...,3=áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè âòîðóþ ñòðîêó óìíîæåííóþ íà
2ia .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íóëè âî âòîðîì ñòîëáöå íèæå ãëàâ-
íîé äèàãîíàëè. Ïîñòóïàÿ òàê è äàëüøå ìû ïîëó÷èì åäèíèöû íà
28
ãëàâíîé äèàãîíàëè è íóëè íèæå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Êîãäà áóäåò
ïîëó÷åíà åäèíèöà íà ìåñòå nna íåòðóäíî áóäåò ïîñòóïàÿ óæå èç-
âåñòíûì ñïîñîáîì ïîëó÷èòü íóëè âûøå ãëàâíîé äèàãîíàëè.Òàêîé ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì
Ãàóññà-Æîðäàíà ñ âûáîðîì âåäóùåãî ýëåìåíòà ïî ñòðîêå.Ïðîäåìîíñòðèðóåì ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà íà ñëåäóþùåì
ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ïðèâåñòè ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéäàííóþ ìàòðèöó ê åäèíè÷íîé.
~
780
3210
321
~
780
230
321
~
504
230
321
~
504
321
230
−−
=A
E=
100
010
001
~
100
010
321
~
100
3210
321
~
3500
3210
321
~ .
Çäåñü ìû ïîìåíÿëè âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, à äàëåå âñå âû-÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íû.
Ïðåäëîæåíèå 1.10. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ñ ïîìîùüþýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìàò-ðèöó, ó êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà íóëåâàÿ.
Åñëè â âûðîæäåííîé ìàòðèöå áîëåå äâóõ ñòðîê, òî îäíà èçå¸ ñòðîê ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Ïåðåñòàâèìýòó ñòðîêó íà ïîñëåäíåå ìåñòî è âû÷òåì èç íå¸ ëèíåéíóþ êîìáè-íàöèþ îñòàëüíûõ ñòðîê, êîòîðîé îíà ðàâíà.Ïðåäëîæåíèå 1.11. Êàæäóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàç-ëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö.
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.8 íàéäóòñÿ òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàò-
ðèöû mTTT ,...,, 21 , ÷òî
EATTTm =12... . (1.14)
29
Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéîáðàòèìû, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, äëÿ êî-òîðûõ
AESSS m =...21
èëè
ASSS m =...21 . (1.15)
Ïðåäëîæåíèå 1.12. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàç-ëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå
VSSS m...21 ,
ãäå mSSS ,...,, 21 - ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, à V - ìàòðèöà, ïîñëå-
äíÿÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç íóëåé.Äàííîå ïðåäëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäëîæåíèÿ 1.9.
Ëåêöèÿ ¹4.
1.9. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
Îïðåäåëåíèå 1.10. Ìàòðèöà X íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé äëÿ ìàòðè-öû A , åñëè
EAXXA == . (1.17)Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äâå ìàòðèöû ìîãóò áûòü ïåðåñòà-
íîâî÷íûìè, åñëè îíè îáå êâàäðàòíûå è îäíîãî ïîðÿäêà. Òàêèìîáðàçîì îáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæåò èìåòü òîëüêî êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà, õîòÿ ýòîãî è íåäîñòàòî÷íî.Ïðåäëîæåíèå 1.13. Ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö - íåâû-ðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö A è B -
AB. Íà îñíîâå ïðåäëîæåíèÿ 1.10 ðàçëîæèì ìàòðèöó A â ïðîèç-
âåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö: mSSSA ...21= . Òîãäà
BSSSAB m...21= ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ
íà ìàòðèöó B ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ìàòðèöàì mSSS ,...,, 21 . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.7 ýòîò
ðåçóëüòàò åñòü íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
30
Ñëåäñòâèå 1.3. Ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö íåâûðîæ-
äåíî.Ïðåäëîæåíèå 1.14. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö A èëè B âû-ðîæäåíà òî è AB - âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî B - âû-
ðîæäåííàÿ. Ïîëàãàÿ mSSSA ...21= çàïèøåì
BSSSAB m...21= .
 ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé ÷àñòüþ ïðåäëîæåíèÿ 1.7 ìû âû-íóæäåíû ïîëîæèòü B âûðîæäåííîé ìàòðèöåé, èíà÷å AB áûëîáû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Åñëè A- âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà,òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.11
VBSSSAB m...21= ,
ãäå ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû V íóëåâàÿ, íóëåâîé áóäåò è ïîñ-
ëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû VB . Òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà AB ïîëó-÷àåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðîæäåííîé ìàòðèöû
VB è ïîýòîìó ñàìà âûðîæäåíà.Ñëåäñòâèå 1.4. Âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà íå èìååò îáðàòíîé.Ïðåäëîæåíèå 1.15. Äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ñóùå-ñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (1.14)
EATTTm =12... , (1.14)
ïðåäëîæåíèÿ 1.11 è îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðå-îáðàçîâàíèé ÷åðåç X :
XTTTm =12... .
Òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîéêâàäðàòíîé ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà X , ÷òî
EXA= .Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü çàïèñè
EAX = .Òàê êàê ìàòðèöà X åñòü ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàò-
ðèö 12... TTTm , îíà è ñàìà íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, à çíà÷èò èìååò
îáðàòíóþ ìàòðèöó Y , ò.å.
31
EYX = .Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
( ) YXAY = .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
( ) AAYX = .
Òîãäà
( ) ( ) AYAYXXAY === .
Îáðàòíàÿ ê A ìàòðèöà X ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, òàê êàêåñëè ïîëîæèòü, ÷òî
EAX =1 è EAX =2 ,
òîãäà
( ) O=− AXX 21
èëè
21 XX = .
Îáðàòíóþ ê A ìàòðèöó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü êàê 1−A . Ñèì-âîë -1 ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Òîãäàäëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïîêàçàòåëü ñòåïåíè Zk ∈ ìû ìîæåìïîíèìàòü êàê
AAAAk ⋅⋅⋅= ... ,
ò.å. ìàòðèöà A óìíîæåíà ñàìà íà ñåáÿ k ðàç. Î÷åâèäíî, ÷òî
( ) kkAA −− =1 , EA =0 , nmnm AAA +=⋅ , ( ) AA =
−− 11 .
( ) 111 −−− = ABAB ,
òàê êàê
( ) ( ) ( ) EAAABBAABAB ===⋅ −−−−− 11111 .
( ) ( ) EAAAATTT
== −− 11 èëè ( ) ( ) 11 −− = TTAA .
Ïðèâåä¸ì ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè ýëå-ìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò ìàòðèöó A â E , òî îíè æå
ïåðåâîäÿò ìàòðèöó E â ìàòðèöó 1−A , òàê êàê
32
111 ...... −== ATTETT mm .
Ïðîäåìîíñòðèðóåì ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû íàñëåäóþùåì ïðèìåðå.Ïðèìåð. Íàéòè ìàòðèöó, îáðàòíóþ äàííîé.
=
311
211
001
A .
Ïðèïèøåì ê äàííîé ìàòðèöå ñïðàâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöóòàêîãî æå ïîðÿäêà. Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîêïåðåâåä¸ì äàííóþ ìàòðèöó â åäèíè÷íóþ, òîãäà åäèíè÷íàÿ ìàò-ðèöà ñïðàâà ýòèìè æå ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïåðåéä¸ò â îáðàòíóþ ê
A . Èòàê:
~
110100
011210
001001
~
100311
010211
001001
−−
−−−110100
231010
001001
~ .
−−−=−
110
231
0011A .
1.10. Ðàíã ìàòðèöû
Îïðåäåëåíèå 1.11. Ïóñòü â ìàòðèöå nmA × ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íå-
çàâèñèìàÿ ñèñòåìà èç r ñòðîê è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòå-ìû èç áîëüøåãî ÷èñëà ñòðîê. Òîãäà ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñòðî÷-
íûé ðàíã ìàòðèöû nmA × ðàâåí r .
33
Íóëåâàÿ ìàòðèöà íå ñîäåðæèò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è
å¸ ñòðî÷íûé ðàíã ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí íóëþ.
Ñòðî÷íûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû nE ðàâåí, î÷åâèäíî, n, òàê
êàê âñå ñòðîêè åäèíè÷íîé ìàòðèöû (ïðåäëîæåíèå 1.2) ëèíåéíî íå-
çàâèñèìû.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû nmA × .
Îí ðàâåí r , åñëè åñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîñòîÿùàÿ èç
r ñòîëáöîâ, è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç áîëüøåãî ÷èñëà
ñòîëáöîâ.
Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ñòîëáöîâûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû nE
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.2 òàê æå ðàâåí n è ìû âèäèì,÷òî ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ñîâïà-äàþò è ðàâíû ïîðÿäêó åäèíè÷íîé ìàòðèöû.
Ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ìàòðèöå nmA × èìååòñÿ r ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ñòðîê è ëþáàÿ ñèñòåìà èç 1+r ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñè-ìà, ìû ìîæåì îòûñêàòü â äàííîé ìàòðèöå íåâûðîæäåííóþ ïîä-
ìàòðèöó ïîðÿäêà r .Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-
öîâ, ò.å. nm < è mr < .Ïóñòü òàêæå r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ðàñïîëîæåíû â
ìàòðèöå nmA × â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå.
Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå 5 èç îïðåäåëåíèÿ 4.7 ïåðåäâèíåì(ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì íîìåðîâ ñòðîê) ýòè ñòðîêè ââåðõ,òàê ÷òîáû îíè ðàñïîëîæèëèñü â ïåðâûõ r ñòðîêàõ íàøåé ìàòðè-
öû. Èñõîäíàÿ ìàòðèöà nmA × ïðèìåò âèä:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
⇒ ( ) ( ) ( )
=+++
mnmm
nrrr
rnrr
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
............
...
21
12111
21
11211
.
3 À.À. Êèðñàíîâ
34
Òàê êàê ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïåðâûå rñòðîê, à ñòðîêè ñ íîìåðàìè 1+r , 2+r , ..., m åñòü èõ ëèíåéíûåêîìáèíàöèè, ìû ìîæåì ýòè ñòðîêè ñäåëàòü íóëåâûìè è ìàòðèöà
nmA × ïðèìåò âèä:
=
000
00021
11211
...
............
...
...
............
...
rnrr
n
aaa
aaa
A èëè
=
rnrr
n
aaa
aaa
A
...
............
...
21
11211
.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó
=
rnrr
n
aaa
aaa
A
...
............
...
21
11211
ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1.9. Åñëè áû ÷èñëî ñòðîê r áûëî áûðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ n , ìû èìåëè áû íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöóïîðÿäêà n , êîòîðóþ ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà ìîæíî áûëî áûïðèâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå.
Òàê êàê â íàøåé ñèòóàöèè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëá-öîâ, ò.å. nr < , òî ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà ê íàøåé ìàò-ðèöå nrA × ìû, î÷åâèäíî, ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó:
( )
( )
( )
′′
′′′′
=
+
+
+
rnrr
nr
nr
aa
aa
aa
A
......
.....................
......
......
1
212
111
100
010
001
. (1.15)
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè ìàòðèöó â êîòîðîé ñîäåðæèò-ñÿ íåâûðîæäåííàÿ (åäèíè÷íàÿ) ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r , ñòîëáöûêîòîðîé, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âñå îñ-òàëüíûå rn − ñòîëáöîâ ìàòðèöû ñ íîìåðàìè nrr ,...,, 21 ++ åñòüèõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.
35
Îïðåäåëåíèå 1.12. Ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòðîêè è ñòîëáöû ìàò-
ðèöû nmA × áóäåì íàçûâàòü áàçèñíûìè ñòðîêàìè è áàçèñíûìè ñòîë-
áöàìè, íåâûðîæäåííóþ ïîäìàòðèöó, ñòîÿùóþ íà ïåðåñå÷åíèèáàçèñíûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ íàçîâ¸ì áàçèñíîé ïîäìàòðèöåé èëèáàçèñíûì ìèíîðîì.
Îïðåäåëåíèå 1.13. Ðàíãîì ìàòðèöû nmA × (ìèíîðíûì ðàíãîì) íà-
çûâàåòñÿ ïîðÿäîê áàçèñíîé ïîäìàòðèöû (áàçèñíîãî ìèíîðà).Ðàíã íóëåâîé ìàòðèöû ïî îïðåäåëåíèþ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì
íóëþ.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû å¸ ðàíã íå ìå-
íÿåòñÿ, òàê êàê ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû (1.15) å¸ áàçèñ-íàÿ ïîäìàòðèöà ïåðåõîäèò ñàìà â ñåáÿ.
Î÷åâèäíî òàê æå, ÷òî ðàíã ëþáîé ïîäìàòðèöû A′ ìàòðèöû
A íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû A . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî áà-çèñíàÿ ïîäìàòðèöà ìàòðèöû A′ ñîäåðæèòñÿ è â ìàòðèöå A .
Îïðåäåëåíèå 1.14. Ìàòðèöó nmA × áóäåì íàçûâàòü óïðîù¸ííîé,
åñëè íåêîòîðûå r å¸ ñòîëáöîâ ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè r ñòîëáöàìèåäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà m è åñëè mr < å¸ ïîñëåäíèå rm −ñòðîê íóëåâûå.
Åñëè ìû îòáðîñèì íóëåâûå ñòðîêè, òî ìû è ïîëó÷èì ìàòðè-öó (1.15) â êà÷åñòâå óïðîù¸ííîé ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç èñõîä-íîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà.
1.11. Îñíîâíûå òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. Ó ëþáîé ìàòðèöû nmA × ñòðî÷íûé ðàíã ðàâåí ìè-
íîðíîìó ðàíãó è ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â ïóíêòå 1.10 è
çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè ìàòðèöû (1.15).Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî âñå òðè îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ìàò-
ðèöû îïðåäåëÿþò íà ñàìîì äåëå îäíî è òîæå ÷èñëî, êîòîðîå ìûáóäåì íàçâàòü ïðîñòî ðàíãîì ìàòðèöû è îáîçíà÷èì êàê
rRgA = .
3*
36
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2. Êàæäûé ñòîëáåö (ñòðîêà) ìàòðèöû ðàñêëàäûâà-åòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ å¸ áàçèñíûõ ñòîëáöîâ (ñòðîê).
Êàæäûé èç áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûìñòîëáöàì åñëè âçÿòü ñàì ýòîò ñòîëáåö ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà, àîñòàëüíûå ñòîëáöû ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð. Ïóñòü
áàçèñíûå ñòîëáöû îáîçíà÷åíû êàê reee ,...,, 21 , à îñòàëüíûå êàê
nrr aaa ,...,, 21 ++ , òîãäà äëÿ áàçèñíîãî ñòîëáöà 3e ìîæåì çàïèñàòü:
reeeeee ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅= 00100 43213 ... .
Äëÿ íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, íàïðèìåð, 2+ra ïî òåîðåìå 1.1 íàé-
äóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû λααα ,,...,, r21 , ÷òî
Oaeee =λ+α++α+α +22211 rrr... .
Çäåñü 0≠λ , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû ëèíåé-íóþ çàâèñèìîñòü áàçèñíûõ ñòîëáöîâ è ìû ìîæåì çàïèñàòü:
rr
r eeeaλα−−
λα−
λα−=+ ...2
21
12 .
Ïîäîáíîå ðàâåíñòâî, íî ñ äðóãèìè êîýôôèöèåíòàìè, ìûìîæåì çàïèñàòü è äëÿ ëþáîãî íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, ÷òî è çàâåð-øàåò äîêàçàòåëüñòâî íàøåé òåîðåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî âñ¸ ñêàçàí-íîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñòðîê ìàòðèöû.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.3. Ïðèïèñûâàíèå ê ìàòðèöå nmA × ñòîëáöà b âûñî-
òû m íå ìåíÿåò å¸ ðàíãà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò ñòîë-
áåö - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû nmA × .
Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ ìàòðèöà nmA × ðàíãà r . Ïðèïèñûâàÿ ê
íåé ñòîëáåö b ïîëó÷èì ìàòðèöó
=
mmnmm
n
n
b
baaa
baaa
baaa
A
...
...............
...
...
21
222221
111211
.
37
Åñëè rRgARgAb == , òîãäà áàçèñíûå ìèíîðû, ÷èñëà áàçèñ-
íûõ ñòîëáöîâ è áàçèñíûõ ñòðîê ó îáåèõ ìàòðèö îäèíàêîâûå è
ñòîëáåö b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûì ñòîëáöàì ìàòðèöû nmA × .
Îí, î÷åâèäíî, áóäåò è ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âñåõ ñòîëáöîâ ìàò-
ðèöû nmA × , òàê êàê ìû ýòî ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå:
nrrr aaeeeb ⋅++⋅+β++β+β= + 00 12211 ...... ,
ãäå ïî ïðåæíåìó reee ,...,, 21 - áàçèñíûå ñòîëáöû, à nrr aaa ,...,, 21 ++ -
îñòàëüíûå ñòîëáöû ìàòðèöû nmA × .
Îáðàòíî, åñëè b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû
nmA × , òî âû÷èòàÿ èç ñòîëáöà b åãî ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ìû
ïîëó÷èì âìåñòî ñòîëáöà b íóëåâîé ñòîëáåö, êîòîðûé íå ìîæåò
èçìåíèòü ðàçìåðà áàçèñíîé ïîäìàòðèöû ìàòðèöû nmA × , ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.4. Åñëè â ìàòðèöå nmA × åñòü r ñòîëáöîâ, ïî êîòî-
ðûì ðàñêëàäûâàþòñÿ âñå å¸ ñòîëáöû, å¸ ðàíã íå ïðåâûøàåò r
( rRgA ≤ ). Åñëè ýòè r ñòîëáöîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû - å¸ ðàíãðàâåí r .
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.5. Åñëè ìàòðèöà rmA × ñîñòîèò èç r ëèíåéíî íåçà-
âèñèìûõ ñòîëáöîâ âûñîòû n , òî å¸ ìîæíî äîïîëíèòü rn − ëè-íåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè âûñîòû n äî íåâûðîæäåííîéìàòðèöû ïîðÿäêà n .
Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäëîæå-íèÿ 1.2 è ïðåäëîæåíèÿ 9.ÒÅÎÐÅÌÀ 1.6. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèòðàíãîâ ñîìíîæèòåëåé.
Ïóñòü îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå AB . Ñîñòàâèì ðàñøèðåí-íóþ ìàòðèöó
( )ABAC = .
Òàê êàê AB - ïîäìàòðèöà ìàòðèöû Ñ , å¸ ðàíã íå ïðåâîñõî-
äèò ðàíãà ìàòðèöû C :
38
RgCRgAB ≤ .
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 ñòîëáöû ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûåêîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ìî-æåì çàïèñàòü:
RgARgC =èëè
RgARgAB ≤ .
Ñîñòàâèì òåïåðü ìàòðèöó C′ èç ñòðîê ìàòðèö B è AB :
=′
AB
BC .
Çäåñü òàê æå ìàòðèöà AB ÿâëÿåòñÿ ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû C′ è
å¸ ðàíã íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöûC′ :
CRgRgAB ′≤ .
 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1. ñòðîêè ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûåêîìáèíàöèè ñòðîê ìàòðèöû B è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ñíîâàìîæåì çàïèñàòü:
RgBCRg =′èëè
RgBRgAB ≤ .
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.7. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îïðåäåëåíûïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö AB è CA , òî
RgBRgAB = è RgCRgCA = .
Òàê êàê A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, å¸ ìîæíî ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå AE
òîãî æå ïîðÿäêà è ðàíãà, ÷òî è ìàòðèöà A . Òîãäà:
RgBBRgERgAB A == ,
à
RgCRgCERgCA A == .
39
2. Îïðåäåëèòåëè
2.1. Îïðåäåëèòåëè II è III ïîðÿäêîâ
Ïðè èçó÷åíèè êâàäðàòíûõ ìàòðèö ìîæíî ââåñòè â ðàññìîò-ðåíèå íåêîòîðóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, ïîçâîëÿþùóþ äîâîëüíîëåãêî ñäåëàòü âûâîä î âûðîæäåííîñòè èëè íåâûðîæäåííîñòèäàííîé ìàòðèöû.Îïðåäåëåíèå 2.1. ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå âñåõ êâàäðàò-íûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì (äåòåðìèíàí-òîì)1 ïîðÿäêà n , à å¸ çíà÷åíèå íà ìàòðèöå A- îïðåäåëèòåëåì A ,åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
1. Êàêóþ áû ñòðîêó êâàäðàòíîé ìàòðèöû ìû íå âçÿëè, ôóí-êöèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì îò ýëåìåí-òîâ ýòîé ñòðîêè.
Äëÿ i -îé ñòðîêè ìàòðèöû A ýòî çíà÷èò, ÷òî
( ) innii ahahahAf +++= ...2211 , (2.1)
ãäå jh - êîýôôèöèåíòû íå çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ i -é ñòðîêè
inii aaa ,...,, 21 , íî çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ îñòàëüíûõ ñòðîê ìàòðèöû.
2. Çíà÷åíèå ôóíêöèè ( )Af íà ëþáîé âûðîæäåííîé ìàòðèöå
ðàâíî íóëþ.
3. Çíà÷åíèå ôóíêöèè ( )Af íà åäèíè÷íîé ìàòðèöå ðàâíî åäè-
íèöå.
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A îáîçíà÷àåòñÿ êàê Adet èëè A .
Ïðåæäå ÷åì èçó÷àòü ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé, ðàññìîòðèìîïðåäåëèòåëè ìàòðèö ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðâîãî ïîðÿäêà ( )11aA = èëè ïðî-
ñòî ÷èñëà åñòü, î÷åâèäíî, ñàìî ýòî ÷èñëî:
1111 aa = .
1 Â íåêîòîðîé ëèòåðàòóðå îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíàíòîììàòðèöû.
40
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó âòîðîãî ïîðÿäêà
=
2221
1211
aa
aaA .
Ïîä îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåì ïîíè-ìàòü ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ
( ) 21122211122111 aaaaahahAf −=+=èëè
21122211 aaaaA −= . (2.2)
Ïðèìåð. 264324143
21−=−=⋅−⋅==A .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà
=
43
21A - íåâûðîæäåíà.
Ïîä îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
áóäåì ïîíèìàòü ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ îò ýëåìåíòîâ i -é ñòðîêè çà-äàííóþ âûðàæåíèåì
( ) 332211 iii ahahahAf ++=èëè
332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= .
(2.3)
Èç (2.3) íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ jh , íàïðèìåð,
äëÿ ïåðâîé ñòðîêè èìååì:
( ) ( ) ( ) ( ) 133122322112312333211132233322 aaaaaaaaaaaaaaaAf −+−−−= .
Çäåñü:
( )322333221 aaaah −= , ( )312333212 aaaah −−= , ( )312232213 aaaah −= .
41
Ñôîðìóëèðóåì ïðîñòîå äëÿ çàïîìèíàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîåïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé òðåòüåãî ïîðÿäêà:
- ñî çíàêîì (+) áåðóòñÿ ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ ñîåäèí¸í-íûå ïðÿìîé ëèíèåé è òðåóãîëüíèêàìè
ooo
ooo
ooo
,
- à ñî çíàêîì (-) - ooo
ooo
ooo
.
Ïðèìåð.
3221341013420323420111
130
412
321
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
2.2. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà
Ïðåæäå ÷åì îáñóäèòü âîïðîñ îá îïðåäåëèòåëå ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà, ðàññìîòðèì åù¸ ðàç áîëåå âíèìàòåëüíî îïðåäåëèòå-ëè ìàòðèö âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
Èòàê, ìàòðèöà âòîðîãî ïîðÿäêà, 2=n :
211222112221
1211 aaaaaa
aa−= .
Îïðåäåëèòåëü ñîäåðæèò ñóììó èç äâóõ ñîìíîæèòåëåé â êàæ-äîì ñëàãàåìîì, ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæ-
äîãî ñòîëáöà. Îäíî ñëàãàåìîå âçÿòî ñî çíàêîì ( )+ , äðóãîå ñî
çíàêîì ( )− .
42
Ìàòðèöà òðåòüåãî ïîðÿäêà, 3=n :
.332112322311312213
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−
−++=
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà ñîäåðæèò ñóììó èç òð¸õ ñî-ìíîæèòåëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäî-
ãî ñòîëáöà, ïîëîâèíà ñëàãàåìûõ âçÿòà ñî çíàêîì ( )+ , à ïîëîâèíà
ñî çíàêîì ( )− .
Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé â ñóììàõ ñîâïà-äàåò ñ ïîðÿäêîì îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû.
Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî
!2212 =⋅= , à !33216 =⋅⋅= .Âåðîÿòíî, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n-ãî
ïîðÿäêà áóäåò ñîäåðæàòü !n ñëàãàåìûõ ñîñòîÿùèõ èç n ñîìíîæèòå-ëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà.
Ïîëîâèíà èõ áóäåò ñî çíàêîì ( )+ , à ïîëîâèíà ñî çíàêîì ( )− .
Ïîêàæåì ýòî. Ïóñòü p - íåêîòîðîå ïðîèçâåäåíèå, ñîñòîÿ-ùåå èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìóýëåìåíòó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãîñòîëáöà.
Ïóñòü ìíîæèòåëü âõîäÿùèé èç ïåðâîé ñòðîêè èìååò âèä α1a ,
ãäå α - íîìåð ñòîëáöà n≤α≤1 . Ìíîæèòåëü èç âòîðîé ñòðîêè
èìååò âèä β2a , ãäå β - íîìåð ñòîëáöà n≤β≤1 è ò.ä. Ìíîæèòåëü
èç ïîñëåäíåé n -é ñòðîêè áóäåò èìåòü âèä ωna , ãäå ω íîìåð ñòîë-
áöà n≤ω≤1 . Òàêèì îáðàçîì
ωβα ⋅⋅⋅= naaap ...21 . (2.4)
Òàê êàê âñå ñîìíîæèòåëè â (2.4) âçÿòû ïî îäíîìó èç êàæäîé
ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà, âñå èíäåêñû ωβα ,...,,
43
ðàçëè÷íû è, ñëåäîâàòåëüíî, îáðàçóþò ïåðåñòàíîâêó ( )ωαβ... èç
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ( )n...12 .
Ñ ïðîèçâåäåíèåì (2.4) òàêèì îáðàçîì ñâÿçàíà îïðåäåë¸ííàÿ
ïåðåñòàíîâêà ( )ωαβ... .
Íàîáîðîò, åñëè âçÿòü êàêóþ-íèáóäü ïåðåñòàíîâêó ( )ωαβ...
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n,...,2,1 è ïî íåé ñîñòàâèòü ïðîèçâåäåíèÿ (2.4),òî ýòè ïðîèçâåäåíèÿ, î÷åâèäíî, áóäóò èìåòü ìíîæèòåëè ïî îäíî-ìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà è ÷èñëî èõáóäåò !n .
Äàäèì òåïåðü ñëåäóþùåå ïðåäâàðèòåëüíîåÎïðåäåëåíèå 2.2. Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà íàçûâà-åòñÿ ñóììà âñåõ !n ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ýòîé ìàòðèöû, âçÿ-òûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà.Ïðè ýòîì êàæäîå ïðîèçâåäåíèå ñíàáæåíî çíàêîì (+) èëè (-) ïîíåêîòîðîìó ïðàâèëó.
Ñôîðìóëèðóåì ïðàâèëî äëÿ çíàêà. Âåðí¸ìñÿ ñíîâà ê îïðåäå-ëèòåëÿì âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ:
211222112221
1211 aaaaaa
aa−= .
Íîìåðà ñòðîê ìû çàðàíåå ðàçìåñòèëè â îäíîì è òîì æå ïî-ðÿäêå 2,1 . Ïîñìîòðèì êàê ðàñïîëîæåíû íîìåðà ñòîëáöîâ:
2211aa + - â äàííîì ïðîèçâåäåíèè ñòîëáöû îáðàçóþò ïåðå-
ñòàíîâêó ( )12 , ñîâïàäàþùóþ ñ íàòóðàëüíûì ðÿäîì.
2112aa − - çäåñü ñòîëáöû îáðàçóþò ïåðåñòàíîâêó ( )21 , â êîòî-
ðîé íàðóøåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îäèí ðàç,÷èñëî 2 ñòîèò ïåðåä ÷èñëîì 1.
Âûïèøåì òåïåðü ïîðÿäêè íîìåðîâ ñòîëáöîâ äëÿ îïðåäåëè-òåëÿ ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà (2.3) ó÷èòûâàÿ, ÷òî íîìåðà ñòðîê
ñíîâà ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ïîðÿäêå ( )123 :
44
+ ( )123 , ( )231 , ( )312 ;
- ( )321 , ( )132 , ( )213 .
Ìû âèäèì, ÷òî â ïÿòè ïåðåñòàíîâêàõ ðàñïîëîæåíèÿ íåêîòî-
ðûõ ïàð íîìåðîâ ïðîòèâîïîëîæíû èõ íàòóðàëüíîìó ðÿäó ( )123 .
Òàêîå ÿâëåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü íàðóøåíèåì ïîðÿäêà èëèèíâåðñèåé.
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ïóñòü èìååòñÿ ïåðåñòàíîâêà ( )ωαβ... íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë n,...,2,1 . Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâà ÷èñëà, âõîäÿùèõâ ýòó ïåðåñòàíîâêó, îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè áîëüøåå ÷èñëî èç íà-øåé ïàðû ïðåäøåñòâóåò ìåíüøåìó. ×èñëî ïàð, îáðàçóþùèõ èí-âåðñèþ, íàçîâ¸ì ÷èñëîì èíâåðñèé äàííîé ïåðåñòàíîâêè è îáîçíà-÷èì áóêâîé s .
 íàòóðàëüíîì ðÿäå ( )n ...21 èíâåðñèé íåò: 0=s .
 ðÿäå ( )121 ... −nn ñîäåðæèòñÿ î÷åâèäíî ( )
2
12 −== nnCs n
ïàð èíâåðñèé.
Ïðèìåð.  ïåðåñòàíîâêå ( )4 2 5 1 3 èìååòñÿ ÷åòûðå ïàðû èíâåðñèé:
( )1 3 , ( )2 3 , ( )2 5 , ( )4 5 .
Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ïîäñ÷¸òà ÷èñëà èíâåðñèé â ïåðåñòà-
íîâêå ( )ωαβ... ñëåäóåò ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî äëÿ êàæäîãî ÷èñëà
èìååòñÿ ñëåäóþùèõ çà íèì ìåíüøèõ åãî ÷èñåë è çàòåì ñëîæèòüâñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ.
Âåðí¸ìñÿ ê íàøåìó ïðèìåðó ( )4 2 5 1 3 .
×èñëî ïàð èíâåðñèé 400202 =++++=s .Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ÷¸òíîé, åñëè îíà ñî-äåðæèò ÷¸òíîå ÷èñëî ïàð èíâåðñèé, è íàçûâàåòñÿ íå÷¸òíîé â ïðî-òèâíîì ñëó÷àå.
Ïðàâèëî äëÿ çíàêà.Ïóñòü p - ôèêñèðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, âõîäÿùåå â ñîñòàâ
îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n . Âûïèøåì ñîìíîæèòåëè ïðî-èçâåäåíèÿ p â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñòðîê:
45
ωβα ⋅⋅⋅= naaap ...21 .
Î÷åâèäíî, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ äàäóò ïåðåñòàíîâêó ( )ωαβ... .
Ïðîèçâåäåíèå p áåð¸òñÿ ñî çíàêîì (+), åñëè ýòà ïåðåñòàíîâ-êà ÷¸òíàÿ, è ñî çíàêîì (-), åñëè îíà íå÷¸òíàÿ.
Åñëè ÷èñëî ïàð èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå ( )ωαβ... ðàâíî s ,
ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ïðîèçâåäåíèå p âõîäèò â îïðåäåëèòåëü ìàò-
ðèöû ñî çíàêîì ( )s1− .
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñ êàêèìè çíàêàìè âõîäÿò ñëàãàå-ìûå â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà òðè:
332211 aaa + ( )321 0=s ;
3123aa12a + ( )1 3 2 2011 =++=s ;
322113 aaa + ( )2 1 3 2002 =++=s ;
312213 aaa − ( )1 2 3 3012 =++=s ;
322311 aaa − ( )2 3 1 1010 =++=s ;
332112 aaa − ( )3 1 2 1001 =++=s .
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìîæíî çàïèñàòü òàê:
( ) ( )
( )∑
ωαβωβα
ωαβ−=...
21...
21
22221
11211
...1
...
............
...
...
ns
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
. (2.5)
(2.5) åñòü ôîðìóëà ïîëíîãî ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà.Çàìå÷àíèå 2.1. Åñëè ìàòðèöà èìååò íóëåâóþ ñòðîêó èëè íóëåâîé
ñòîëáåö, òî â ïðîèçâåäåíèÿ ωβα ⋅⋅⋅= naaap ...21 îáÿçàòåëüíî áóäóò
âõîäèòü ýòè íóëåâûå ýëåìåíòû, è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëèòåëüäàííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí íóëþ.
46
Äëÿ äèàãîíàëüíîé, âåðõíåé è íèæíåé òðåóãîëüíûõ ìàòðèöîïðåäåëèòåëü áóäåò îäèí è òîò æå è áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ:
nnaaaA ...2211= .
2.3. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé
Ñâîéñòâî 1. Ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû å¸ îïðåäåëèòåëü íåìåíÿåòñÿ.
TAA = . (2.6)
Ñâîéñòâî 1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îïðå-äåëèòåëåé ñòðîêè è ñòîëáöû çàíèìàþò ðàâíîïðàâíîå ïîëîæåíèåè åñëè íàì áóäåò èçâåñòíî íåêîòîðîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ îò-íîñÿùååñÿ ê ñòðîêàì (ñòîëáöàì), òî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî òàêîåæå ñâîéñòâî èìåþò è ñòîëáöû (ñòðîêè).Ïðèìåð.
=
43
21A , 2
43
21−==A ;
=
42
31TA , 242
31−==TA .
Ñâîéñòâî 2. Åñëè äâå ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû ïîìåíÿòü ìåñòà-ìè, å¸ îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ÷èñëî (-1).Ïðèìåð. Ïîìåíÿåì ìåñòàìè ñòðîêè ó ìàòðèöû A ïðåäûäóùåãîïðèìåðà, òîãäà:
=
21
43B , 2
21
43==B .
Ñâîéñòâî 3. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò äâå îäèíàêîâûå ñòðî-êè (ñòîëáöà), å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.
Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñâîéñòâà 2.
47
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü íàì äàíà ìàòðèöà ïîðÿäêà n
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
.
Âû÷åðêíåì â íåé ñòðîêó ïîä íîìåðîì i è ñòîëáåö ïîä íî-
ìåðîì k , è ñäâèíåì, íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà, îñòàëüíûå ýëåìåíòû.
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó ïîðÿäêà ( )1−n , ÿâëÿþùóþñÿ
ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû A , êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì êàê ikD è íà-
çîâ¸ì äîïîëíèòåëüíîé ïîäìàòðèöåé. Äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì
(ìèíîðîì) ýëåìåíòà ika íàçîâ¸ì ÷èñëî
ikik Dd = . (2.7)
Ïðèìåð. Äàíà ìàòðèöà
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A.
Íàéòè äîïîëíèòåëüíóþ ïîäìàòðèöó äëÿ ýëåìåíòà 23a .
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 2.5 âû÷åðêíåì â èñõîäíîéìàòðèöå ñòðîêó ïîä íîìåðîì 2 è ñòîëáåö ïîä íîìåðîì 3
=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
è ñäâèíåì íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà îñòàâøèåñÿ ýëåìåíòû. Â ðåçóëü-
òàòå ÷åãî ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíóþ ïîäìàòðèöó 23D :
48
=
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
D ,
äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà 23a åñòü
444241
343231
141211
2323
aaa
aaa
aaa
Dd == .
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìû ìîæåì ñîñòàâèòü2n äîïîëíèòåëüíûõ ìèíîðîâ, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà.
Ëåììà 2.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n
ðàâíû íóëþ, êðîìå 11a , òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
ýëåìåíòà 11a íà åãî äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð 11d .
 áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè ýòî âûãëÿäèò òàê:
=
nnnn
n
aaa
aaa
a
A
...
............
...
...
21
22221
11 00
,
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
...
............
...
...
32
33332
22322
11 , 1111 Dd = ,
1111daA = . (2.8)
Ðàâåíñòâî (2.8) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.1 è óðàâíå-íèÿ (2.1)
( ) innii ahahahAf +++= ...2211 , (2.1)
ãäå 111 dh = , à 032 ==== nhhh ... .
( ) 1111111 daahAfA === .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó ïîðÿäêà n ó êîòîðîé â i -é ñòðî-
êå âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, êðîìå ýëåìåíòà ika .
49
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
=
+−
++++−++
−+−−−−−
+−
nnknnkknn
nikikikii
ik
nikikikii
nkkk
aaaaa
aaaaa
a
aaaaa
aaaaa
A
......
.....................
......
......
......
.....................
......
111
11111111
11111111
11111111
0000
.
Ðàñïðîñòðàíèì ëåììó 2.1 íà ýòîò áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Áó-äåì ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåäâèãàòü i -þ ñòðîêó ââåðõ, ìåíÿÿ å¸ìåñòàìè ñ âûøåëåæàùèìè ñòðîêàìè íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà èõ ñëå-äîâàíèÿ. Íàì ïðèä¸òñÿ ñäåëàòü 1−i ïåðåñòàíîâêó ñòðîê è ïðèêàæäîé òàêîé çàìåíå îïðåäåëèòåëü, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì2, áóäåò ìåíÿòü çíàê.
 êîíå÷íîì èòîãå ìû ïîëó÷èì:
( )
−= −
nnnkn
k
ik
i
aaa
naaa
a
A
......
...............
......
......
1
11111
00
1.
Ñòðîêà ñ íóëÿìè òåïåðü íàõîäèòñÿ ââåðõó. Ïåðåñòàâëÿÿ k -é
ñòîëáåö âëåâî 1−k ðàç ñäâèíåì åãî íà ìåñòî ïåðâîãî ñòîëáöà, âðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì:
( ) ( )
nnnnk
nk
ik
ki
aaa
aaa
a
A
...
............
...
...
1
111111
00
11 −− −−=.
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 2.1 îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì:
4 À.À. Êèðñàíîâ
50
( ) ikki
ik daA +−= 1 , (2.9)
ãäå ikd - äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà ika .
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) kikikikiki ++−+−+−− −=−
−=−−=−=−− 11
1111111
2
2211
.
Îïðåäåëåíèå 2.6. Äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ikd ýëåìåíòà ika ìàò-
ðèöû ïîðÿäêà n âçÿòûé ñî çíàêîì ( ) ki+−1 , íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè-
÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà ika .
Îáîçíà÷àÿ àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà ika ÷åðåç
ikA çàïèøåì:
( ) ikki
ik dA +−= 1 . (2.10)
Ïðèìåð.
Äàíà ìàòðèöà
=
107
654
321
A . Íàéòè àëãåáðàè÷åñêîå äîïîë-
íåíèå 23A äëÿ ýëåìåíòà 23a .
Íàéä¸ì ñíà÷àëà äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð 23d :
1407
2123 −==d .
Òîãäà ( ) ( ) ( ) 141411 523
3223 =−⋅−=−= + dA .
Ñëåäñòâèå 2.1. Äëÿ ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ãëàâíîé äèàãî-íàëè, àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ äîïîëíèòåëüíûììèíîðîì, ò.å. äëÿ ki =
( ) iiiii
ii ddA =−= 21 . (2.11)
51
Ëåììà 2.2. Åñëè âñå ýëåìåíòû i -é ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n ,
êðîìå ika ðàâíû íóëþ, òî å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò ðàâåí ïðîèçâå-
äåíèþ ýëåìåíòà ika íà åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå.
ikik AaA = . (2.12)
Ëåììà 2.2. åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 2.1 è îïðåäåëåíèÿ
2.1, åñëè â ôîðìóëå (2.1) ïîëîæèòü kik hA = , ò.å.
( ) ( ) ( ) inkiikikkii aaAaaaAfA ⋅++⋅++⋅++⋅== +− 0000 111 ...... .
Ñâîéñòâî 4. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ðàâåí ñóììå ïðî-èçâåäåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ êàêîé-íèáóäü îäíîé ôèêñèðîâàííîéñòðîêè (ñòîëáöà) íà å¸ (åãî) àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ, ò.å.äëÿ ñòðîê ñ ni ,...,,21=
∑=
=+++=n
sisisininiiii AaAaAaAaA
12211 ... ; (2.13)
äëÿ ñòîëáöîâ ñ nk ,...,,21=
∑=
=+++=n
ssksknknkkkkk AaAaAaAaA
12211 ... . (2.14)
äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñâîéñòâà 4 äîñòà-òî÷íî ñðàâíèòü ôîðìóëû (2.13) è (2.14) ñ (2.1), ïîëîæèâ
11 hAi = ,..., nin hA =èëè
11 hA k = ,..., nnk hA = .
Ñâîéñòâî 5. Ñóììà ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ îäíîé ñòðîêè (ñòîë-áöà) ìàòðèöû ïîðÿäêà n íà àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîîò-âåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ðàâíà íóëþ, ò.å.äëÿ ñòîê:
02211 =+++ injnijij AaAaAa ... , åñëè ji ≠ ; (2.15)
äëÿ ñòîëáöîâ:
02211 =+++ nknlklkl AaaaAa ... , åñëè kl ≠ . (2.16)
4*
52
Ðàññìîòðèì îïðåäåëèòåëü, â êîòîðîì j -ÿ ñòðîêà çàìåíåíà
íà i -þ ñòðîêó è ji ≠ :
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaaj
aaai
aaa
A
...
............
...
............
...
............
...
21
21
21
11211
=.
Òàê êàê â îïðåäåëèòåëå ñîäåðæàòñÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè,òî ïî ñâîéñòâó 3 îí ðàâåí íóëþ.
Ðàçëîæèì íàø îïðåäåëèòåëü ïî j -é ñòðîêå:
01
== ∑=
n
sjsis AaA . (2.17)
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî (2.17) áóäåò ñïðàâåäëèâî è â òîì
ñëó÷àå, êîãäà ýëåìåíòû j -é ñòðîêè íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè i -é
ñòðîêè, òàê êàê àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû jsA îò ýëåìåíòîâ j -é
ñòðîêè â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè 2.5 è 2.6 íå çàâèñÿò.Ðàâåíñòâà (2.13) - (2.17) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå îáùåì âèäå:
≠=
=∑= . ,
, ,
ji
jiAAa
n
sjsis
01(2.18)
Ñâîéñòâî 6. Åñëè âñå ýëåìåíòû êàêîé-íèáóäü ñòðîêè (ñòîëáöà)óìíîæèòü íà ÷èñëî 0≠λ , òî è îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ýòîæå ÷èñëî.
Ìíîæèòåëü, îáùèé äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ñòðîêè (ñòîëáöà)ìîæåò áûòü âûíåñåí çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ.
53
Ïðèìåð.
693
42==A èëè 6
31
2132
93
42=⋅⋅==A .
Èç ñâîéñòâ 6 è 3 ñëåäóåò
Ñâîéñòâî 7. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò äâå ïðîïîðöèîíàëü-íûå ñòðîêè (ñòîëáöà), òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.
Ñâîéñòâî 8. Åñëè âñå ýëåìåíòû i -é ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà nïðåäñòàâëåíû â âèäå
ikikik cba += , nk ,...,1= ,
òî å¸ îïðåäåëèòåëü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïðå-äåëèòåëåé, ó êîòîðûõ â ñòðîêå ïîä íîìåðîì i áóäóò ñòîÿòü ýëå-
ìåíòû ikb è ikc :
nnn
ini
n
nnn
ini
n
nnnn
ininiiii
n
aa
cc
aa
aa
bb
aa
aaa
cbcbcb
aaa
A
...
.........
...
.........
...
...
.........
...
.........
...
...
............
...
............
...
1
1
111
1
1
111
21
2211
11211
+=+++=.
(2.19)
Ñâîéñòâî 9. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n íå èçìåíèòñÿ, åñëèê îäíîé å¸ ñòðîêå (ñòîëáöó) ïðèáàâèòü äðóãóþ ñòðîêó (ñòîëáåö)óìíîæåííóþ íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî λ .
Ñâîéñòâî 10. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìàòðèö ïîðÿäêà n
BABA ⋅=⋅ . (2.20)
54
2.4. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþîïðåäåëèòåëÿ
Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ïðåäëîæåíèå 1.15), ÷òî ëþáàÿ íåâû-ðîæäåííàÿ ìàòðèöà èìååò åäèíñòâåííóþ îáðàòíóþ ìàòðèöó. Èñ-ïîëüçóÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïðåä-ëîæåíèå îá îáðàòíîé ìàòðèöå, ïîäîáíîå ïðåäëîæåíèþ 1.15.Ïðåäëîæåíèå 2.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöà A èìåëà îáðàòíóþìàòðèöó, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¸ îïðåäåëèòåëü áûëîòëè÷åí îò íóëÿ.
Ïóñòü B - ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A . Òîãäà EBAAB ==
è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 10
1==⋅= EBAAB ,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî 0≠A .
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó A ïîðÿäêà n ó êîòîðîé 0≠A . Ïîêà-
æåì, ÷òî ìàòðèöà B âèäà
⋅=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AB
...
............
...
...
21
22212
12111
1(2.21)
ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ìàòðèöå A .Íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâåäåíèÿ AB è BA , â ñîîò-
âåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè îïðåäåëèòåëåé 4 è 5 óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàò-ðèöà B îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A .
55
3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
3.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäà
,...
.,........................................
,...
,...
mnmn
mm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
22
11
22222
121
11212
111
(3.1)
ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâå-
ñòíûìè nxxx ,...,, 21 .
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà ñèñòåìó óðàâ-íåíèé (3.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
ikik bxa = , mi ,...,,21= , nk ,...,,21= . (3.2)
Êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ óðàâíåíèé (3.1) ìû ìîæåìçàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû
=
mn
mm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
222
21
112
11
,
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé ñèñòåìû. ×èñëà ñòîÿùèåâ ïðàâûõ ÷àñòÿõ (3.1), îáðàçóþò ñòîëáåö
=
mb
b
b
...
2
1
b,
íàçûâàåìûé ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
56
Åñëè íåèçâåñòíûå nxxx ,...,, 21 , òàê æå çàïèñàòü â âèäå ñòîëáöà
=
nx
x
x
...
2
1
x,
òîãäà (3.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ìàòðè÷íîé çàïèñè:
=
⋅
mnmn
mm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...2
1
2
1
21
222
21
112
11
èëè
bx =A . (3.3)Ìàòðèöà ñèñòåìû A äîïîëíåííàÿ ñïðàâà ñòîëáöîì ñâîáîä-
íûõ ÷ëåíîâ b , íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1) èîáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé B .
=
mmn
mm
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...............
...
...
21
2222
21
1112
11
èëè ( )bAB = . (3.4)
Åñëè ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû (3.1) ðàâíû íóëþ, òî òàêàÿñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - íåîäíîðîäíîé.
Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò âèä:
,...
.,........................................
,...
,...
0
0
0
22
11
2222
121
1212
111
=+++
=+++
=+++
nmn
mm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(3.5)
57
èëè
0=kik xa , mi ,...,,21= , nk ,...,,21= .
Îïðåäåëåíèå 3.2. Ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë nααα ,...,, 21 íàçûâàåòñÿ ðå-
øåíèåì ñèñòåìû (3.1) åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îáðàùàåò-ñÿ â ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî ÷èñåë
nααα ,...,, 21 âìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ nxxx ,...,, 21 .
Ïîëüçóÿñü ïîíÿòèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé ñî ñòîëáöàìè ï1.4ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (3.1) êàê
=
⋅++
⋅+
⋅
mmn
n
n
n
mm b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x......
.........
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
, (3.6)
èëè â áîëåå ñæàòîì âèäå
baaa =+++ nnxxx ...2
21
1 , (3.7)
ãäå naaa ,...,, 21 - ñòîëáöû ìàòðèöû ñèñòåìû, à b - ñòîëáåö ñâîáîä-
íûõ ÷ëåíîâ.Îòñþäà ñðàçó âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1).Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - ýòî ñî-
âîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ nxxx ,...,, 21 , ñ êîòîðûìè ñòîëáåö ñâî-
áîäíûõ ÷ëåíîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A ñèñòåìû.Íàøà öåëü ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû (3.1),
ïðè÷¸ì ìû çàðàíåå íå äåëàåì íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëü-
íî êîýôôèöèåíòîâ jia è ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ jb ñèñòåìû (3.1). ×èñëî
óðàâíåíèé m , òàê æå ñ÷èòàåòñÿ íåèçâåñòíûì.Ïðè òàêîì ïîäõîäå ìû ìîæåì îæèäàòü ñëåäóþùèå âîçìîæ-
íîñòè:1. Ñèñòåìà ìîæåò âîîáùå íå èìåòü ðåøåíèé.2. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.3. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
58
Ñèñòåìû (3.1) èìåþùèå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ñîâìåñò-íûìè. Ïðè ýòîì åñëè ðåøåíèå åäèíñòâåííîå - ñèñòåìó áóäåì íà-
çûâàòü îïðåäåë¸ííîé, åñëè ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî - íåîïðå-äåë¸ííîé. Ñèñòåìû íå èìåþùèå ðåøåíèé áóäåì íàçûâàòü íåñîâ-ìåñòíûìè.
Êàê ñëåäñòâèå ïðåäëîæåíèé 3.1 è 1.6 ìû ìîæåì ñôîðìóëè-ðîâàòüÏðåäëîæåíèå 3.2. Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû ëèíåéíîíåçàâèñèìû, òî ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü äâóõ ðàçëè÷íûõ ðåøå-íèé: îíà èëè íåñîâìåñòíà èëè ñîâìåñòíàÿ è îïðåäåë¸ííàÿ.
Îñíîâíûì ñðåäñòâîì èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (3.1) äëÿ íàñ áóäåò ìåòîä ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèéìàòðèöû B . Ïðè÷èíà ýòîãî ëåæèò â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè.
Ïðåäëîæåíèå 3.3. Ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñòðîê ðàñøè-ðåííîé ìàòðèöû B ñèñòåìû (3.1) ñîîòâåòñòâóþò ïðåîáðàçîâàíèÿäàííîé ñèñòåìû, íå ìåíÿþùèå ìíîæåñòâà å¸ ðåøåíèé.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè i -ÿ ñòðîêà ìàòðèöû B óìíîæåíà íà
÷èñëî 0≠λ , òî ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåí-
íîé ìàòðèöåé äëÿ ñèñòåìû, ïîëó÷åííîé èç (3.1) óìíîæåíèåì i -
ãî óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî 0≠λ . Åñëè â ìàòðèöå B i -ÿ ñòðîêà ïðè-
áàâëÿåòñÿ ê j -é ñòðîêå, òî â ñèñòåìå (3.1) i -å óðàâíåíèå ïðèáàâ-
ëÿåòñÿ ê j -ìó.  ëþáîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåò-ñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîé ñèñòåìû (3.1). Ìû çíàåì, ÷òî ýëåìåíòàð-
íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû, à çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ñèñòåìà ìî-
æåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðåîáðàçîâàííîé è ÿâëÿåòñÿ å¸ ñëåäñòâèåì.Ïîýòîìó ìíîæåñòâà ðåøåíèé îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò.
Ïðèìåð.
.
,
1
321
21
−=−
=+
xx
xx~
−−
=111
311B
59
.
,
420
321
21
−=−⋅
=+
xx
xx~~
−− 420
311
.
,
20
321
21
=+⋅
=+
xx
xx~~
210
311
.
,
20
1021
21
=+⋅
=⋅+
xx
xx.~
210
101
.
,
2
12
1
=
=
x
x
=
⋅+
⋅
2
1
1
02
0
11 .
3.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ nm =
 ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà:
,...
.,........................................
,...
,...
nnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
22
11
22222
121
11212
111
(3.8)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (3.8) íåÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ.  ýòîì ñëó÷àå êâàä-ðàòíàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A áóäåò íåâûðîæäåííîé, ò.å. å¸ñòîëáöû áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû è å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò îò-
ëè÷åí îò íóëÿ.ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñ-òíûìè áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé åñëè îïðåäåëèòåëü ìàò-ðèöû å¸ êîýôôèöèåíòîâ A îòëè÷åí îò íóëÿ.
60
Çàïèøåì (3.8) â âèäå
bx =A .Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ -
îíà èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó 1−A è òîãäà èç
bx =A
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
bx 1−= A .
Ïîêàæåì, ÷òî bx 1−= A óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (3.8).
Äåéñòâèòåëüíî
( ) ( ) bbbbx ==⋅== −− EAAAAA 11 .
Ðåøåíèå åäèíñòâåííî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3.2, òàê êàê ñòîë-áöû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èñïîëü-çóÿ ïðåäëîæåíèå 3.2 ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó 3.1 êàê:Ïðåäëîæåíèå 3.4. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n
( 0≠A ), òîãäà ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî
ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî.Òàê êàê ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ, å¸ ñòîëáöû, â ñîîòâåò-
ñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.12, ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûìè ñòîëáöàìè è âñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.2 ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëà-äûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî.Ñëåäñòâèå 3.1. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n
( 0≠A ), òîãäà ëþáàÿ ñòðîêà äëèíû n îäíîçíà÷íî ðàñêëàäûâà-
åòñÿ ïî ñòðîêàì ìàòðèöû A .
3.4. Ïðàâèëî Êðàìåðà
Ïðàâèëî Êðàìåðà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåøåíèå ñèñòåìû ëè-
íåéíûõ óðàâíåíèé ïðè nm = , ò.å. ñèñòåìû (3.8) åñëè 0≠A . Òà-
êèì îáðàçîì, äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Êðàìåðà íàäî ñíà÷àëàâû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3.8), åñëè îí íå ðàâåí íóëþ,ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü âû÷èñëåíèå íåèçâåñòíûõ.
61
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ íåèçâåñòíóþ, íàïðèìåð, jx è â ìàò-
ðèöå A çàìåíèì ñòîëáåö ja ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b . Îï-
ðåäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ìàòðèöû áóäåò èìåòü âèä:
nn
nj
nnj
n
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
......
.....................
......
......
111
221
221
21
111
111
11
+−
+−
+−
=∆(3.9)
èëè â êðàòêîé çàïèñè (ñì. (1.2)):
njjj aabaa ...... 111 +−=∆ .
Åñëè çíà÷åíèÿ nxxx ,...,, 21 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.8),
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1 è ôîðìóëîé (3.7)
nnxxx aaab +++= ...2
21
1 . (3.7)
Ïîäñòàâëÿÿ (3.7) â (3.9) ïîëó÷èì:
njnn
jj
xx aaaaaa ......... 111
11 +− ++=∆ .
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 8, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòüòàê:
..........
............
.........
njnn
j
njjj
j
njjj
x
x
x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
111
111
111
11
+−
+−
+−
+
++
+=∆
Âñå ñëàãàåìûå, êðîìå j -ãî èìåþò ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîë-
áöû è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 7 èõ îïðåäåëèòåëè ðàâíû íóëþè ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðèìåò âèä:
.......
......
Axx
x
jnjjj
j
njjj
jj
⋅=⋅=
==∆
+−
+−
aaaaa
aaaaa
111
111
62
Îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ôîðìóëû Êðàìåðà:
Ax
jj ∆= , nj ,...,,21= . (3.10)
Ïðèìåð. Íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîìÊðàìåðà.
.
,
,
22
132
0
=−+−=+−
=−+
zyx
zyx
zyx
Íàéä¸ì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ:
3
121
132
111
−=−
−−
=A .
Òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèç-âåñòíûõ è îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì äëÿíàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Êðàìåðà.
3
122
131
110
−=−
−−−
=∆x
, 13
3 =−−=∆=
Ax
x
.
6
121
112
101
−=−
−−
=∆y
, 23
6 =−−=∆=
Ay
y
.
9
221
132
011
−=−−=∆z
, 33
9 =−−=∆=
Az
z
.
63
3.5. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè
Ðàññìîòðèì ñíîâà ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1)
,...
.,........................................
,...
,...
mnmn
mm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
22
11
22222
121
11212
111
(3.1)
êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
bx =A . (3.3)Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé çàäàíà ñâîé ðàñøèðåí-
íîé ìàòðèöåé
( )bAB = . (3.4)
Ïðîñòîå è ýôôåêòèâíîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷-íîå äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (3.1) äà¸òÒÅÎÐÅÌÀ 3.2. (Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè).
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîã-äà, êîãäà ðàíã ìàòðèöû A ñèñòåìû ðàâåí ðàíãó ðàñøèðåííîéìàòðèöû B :
rRgBRgA == . (3.11)Ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1,ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ
êîýôôèöèåíòàìè nxxx ,...,, 21 , à òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1.3 ðàíã ðàñ-
øèðåííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû ñèñòåìû.
Ïðè ýòîì âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:1. nr = , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé è
0≠A .
Ñèñòåìà áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòüåäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, ñ ïîìî-ùüþ ôîðìóë Êðàìåðà.
64
2. nr < , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé.Ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò â ýòîì ñëó÷àå ñîâìåñòíîé íî íåî-
ïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.
Åñëè RgARgB > - ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåñîâìåñòíîé. ýòîì ñëó÷àå ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîéêîìáèíàöèåé áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A .
3.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé
Ïóñòü rRgARgB == , ò.å. ñèñòåìà (1.3) ñîâìåñòíàÿ. Ðàññìîò-ðèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó (3.4)
=
mmn
mm
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...............
...
...
21
2222
21
1112
11
. (3.4)
Òàê êàê ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû B ðàâåí ðàíãó ìàòðè-öû A ñèñòåìû, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíûé ìèíîð ìàòðèöû
A ÿâëÿåòñÿ è áàçèñíûì ìèíîðîì ìàòðèöû B .Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìàòðèöû
B ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó (1.15):
′′′
′′′′′′
=
+
+
+
rrn
rr
nr
nr
baa
baa
baa
B
......
........................
......
......
1
2221
1111
100
010
001
. (3.12)
Ïîëó÷åííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòüýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà óðàâíåíèé:
65
,...
.....,........................................
,...
,...
rrn
nrr
rr
nn
rr
nn
rr
baxaxx
baxaxx
baxaxx
′=′+++
′=′++′+
′=′++′+
++
++
++
11
2221
12
1111
11
êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
....
.....,........................................
,...
,...
221
1
221
122
111
111
nn
rrrr
nn
rr
nn
rr
axaxbx
axaxbx
axaxbx
′−−′−′=
′−−′−′=
′−−′−′=
++
++
++
(3.13)
 ëåâîé ÷àñòè (3.13) ñòîÿò íåèçâåñòíûå ñîîòâåòñòâóþùèåñòîëáöàì âûáðàííîãî íàìè áàçèñíîãî ìèíîðà (áàçèñíûõ ñòîëá-öîâ) - òàê íàçûâàåìûå áàçèñíûå íåèçâåñòíûå. Îñòàëüíûå íåèçâåñ-
òíûå nrr xxx ,...,, 21 ++ , ïåðåíåñ¸ííûå â ïðàâóþ ÷àñòü (3.13) ìû áó-
äåì íàçûâàòü ïàðàìåòðè÷åñêèìè. Ïàðàìåòðè÷åñêèì íåèçâåñòíûììû ìîæåì ïðèäàâàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àÿ ïðè ýòîììíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû (3.1).
Ïðèìåð. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
.
,
,
,
6233
1542
83
7
54321
541
5321
54321
=−+++
=++
=+−−
=++++
xxxxx
xxx
xxxx
xxxxx
Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó B è ñ ïîìîùüþ ýëåìåí-òàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê óïðîñòèì å¸:
5 À.À. Êèðñàíîâ
66
~~
−−−−−−−−
−
−−=
121220
121220
121220
711111
612331
1541002
830111
711111
B
~~~
−−
−−−
21121110
711111
000000
000000
121220
711111
.~
−− 21121110
215221001
Óïðîù¸ííàÿ ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìåóðàâíåíèé
.
,
5432
541
2
1
2
1
22
1
2
15
xxxx
xxx
+−−−=
−−=
Çäåñü 1x è 2x - áàçèñíûå ïåðåìåííûå, à 43 xx , è 5x - ëþáûå
÷èñëà.
3.7. Ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Îïðåäåëåíèå 3.3. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Ox =A , (3.14)ïîëó÷åííàÿ èç íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.1)
bx =A (3.3)ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, íàçûâàåòñÿ ïðèâåä¸í-íîé ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
67
Ïðåäëîæåíèå 3.5. Ïóñòü 0x - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ò.å. bx =0A .
Ñòîëáåö x òàêæå áóäåò å¸ ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíàéä¸òñÿ òàêîå ðåøåíèå y ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14), ÷òî
yxx += 0 . (3.15)
Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), ò.å. bx =A . Ðàññìîòðèìðàçíîñòü
0xxy −= .
Äëÿ íå¸
( ) Obbxxxxy =−=−=−= 00 AAAA .
Îáðàòíî, ïóñòü y - ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14) è
yxx += 0 ,
òîãäà
( ) bObyxyxx =+=+=+= AAAA 00 .
Ýòî ïðåäëîæåíèå ñâîäèò çàäà÷ó îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ðåøå-
íèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1) êîïèñàíèþ ìíîæåñòâà ðåøåíèé å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14).
Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà âñåãäà.Ÿ ðåøåíèåì áóäåò, íàïðèìåð, íóëåâîé ñòîëáåö âûñîòû n . Òàêîåðåøåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíûì.
Ïóñòü ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû (3.1) ëèíåéíî íåçàâè-ñèìû, ò.å.
nRgA = .Òîãäà ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà (3.14) èìååò â ñèëó òåîðåìû 3.2
ï.1 åäèíñòâåííîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå è íåòðèâèàëüíûõ ðåøå-íèé íå èìååò.
Ïðåäëîæåíèå 3.6. Åñëè 1x è 2x - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿòîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14).
Ïóñòü 1x è 2x - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (3.14), ò.å.
5*
68
Ox =1A è Ox =2A .
Òîãäà, î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α è β
( ) ( ) ( ) Oxxxxxx =β+α=β+α=β+α 212121 AAAAA .
Åñëè ñèñòåìà (3.14) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, òî èç âñå-ãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé ìû ìîæåì âûáðàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå
ðåøåíèÿ, òàêèå, ÷òî âñ¸ ðåøåíèÿ áóäóò ÿâëÿòüñÿ èõ ëèíåéíûìè
êîìáèíàöèÿìè.Îïðåäåëåíèå 3.4. Ìàòðèöà F , ñîñòîÿùàÿ èç ñòîëáöîâ âûñîòû n ,íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòå-ìû (3.14) ñ ìàòðèöåé A ðàçìåðîâ nm × , åñëè:
1. O=⋅ FA .2. Ñòîëáöû ìàòðèöû F ëèíåéíî íåçàâèñèìû.3. Ðàíã ìàòðèöû F ìàêñèìàëåí ñðåäè ðàíãîâ ìàòðèö, óäîâ-
ëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 1.Åñëè ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà F ñóùåñòâóåò, òî êàæäûé
å¸ ñòîëáåö â ñèëó óñëîâèÿ 1 åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû (3.14).Ñòîëáöû ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû F íàçûâàþòñÿ ôóíäà-
ìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé. Åñëè ñèñòåìà (3.14) íå èìååò íå-
òðèâèàëüíûõ ðåøåíèé, òî ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû íåò, åñëè
åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñóùå-
ñòâóåò.Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.1 ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû
(3.14) ñîñòîèò èç êîýôôèöèåíòîâ ðàâíîé íóëþ ëèíåéíîé êîìáè-íàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñèñòåìû.  äàííîé ñèòóàöèè ðàñøè-ðåííàÿ ìàòðèöà B ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé A ñèñòåìû, òàê êàêñâîáîäíûå ÷ëåíû âñå ðàâíû íóëþ. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðà-çîâàíèé ñòðîê ìàòðèöà A ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó:
′′
′′′′
==
+
+
+
rn
rr
nr
nr
aa
aa
aa
AB
......
.....................
......
......
1
221
111
100
010
001
. (3.16)
69
Êàæäûé íåáàçèñíûé ñòîëáåö nrr aaa ′′′ ++ ,...,, 21 ðàñêëàäûâàåò-
ñÿ ïî r áàçèñíûì ñòîëáöàì (ñòîëáöàì åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïî-ðÿäêà r ):
rrjjjj eeea α++α+α=′ ...2
21
1 , (3.17)
ãäå ie - ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà r .
Ïåðåïèøåì (3.17) â âèäå:
Oaaaaa
eee
=′⋅++′⋅+′+′⋅++′⋅+
+α−−α−α−
+−+ njjjr
rrjjj
0000 111
22
11
......
....
Êîýôôèöèåíòû ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îáðàçóþò ñòîëáåö
( )Trjjj 0010021 ........ α−α−α− (3.18)
ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14). (Åäèíèöà ñòîèò íà j -ììåñòå.)
Ìû ìîæåì ñîñòàâèòü, î÷åâèäíî, ñòîëüêî òàêèõ ðåøåíèé -
ñêîëüêî ó íàñ åñòü íåáàçèñíûõ ñòîëáöîâ, ò.å. rn − .
Ïîêàæåì, ÷òî âñå rn − ñòîëáöîâ (3.18) ëèíåéíî íåçàâèñè-ìû, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó
α−α−α−
α−α−α−
=++
++
100
010
00121
112
11
...
............
...
...
...
............
...
rn
rr
rr
nrr
F
. (3.19)
Òàê êàê â ïîëó÷åííîé ìàòðèöå ñîäåðæèòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàò-ðèöà ïîðÿäêà rn − ðàíã ìàòðèöû F ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ, àçíà÷èò îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
70
Ïðåäëîæåíèå 3.7. Åñëè ðàíã ìàòðèöû îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëè-íåéíûõ óðàâíåíèé r ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ n , òî ñèñòåìàèìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó èç rn − ñòîëáöîâ.
Òàê êàê ñòîëáöû ìàòðèöû (3.19) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè îäíî-ðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14) è ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíîíåçàâèñèìûìè, îíè, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 è 2îïðåäåëåíèÿ 3.4. Ïîêàæåì, ÷òî óäîâëåòâîðåíî è óñëîâèå 3.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüì¸ì ìàòðèöó (3.16) è äîïîëíèì å¸íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1.5 rn − ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòðîêà-ìè äî êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû D ïîðÿäêà n .
′′
′′′′
= +
+
+
10000
01000
100
010
001
1
221
111
......
.....................
......
......
.....................
......
......
rn
rr
nr
nr
aa
aa
aa
D
.
Ïóñòü òåïåðü F - ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿþùàÿóñëîâèþ 1, ò.å. O=AF , òîãäà ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû DF áó-
äóò íóëåâûìè ñòðîêàìè, òàê êàê ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû D ÿâ-ëÿþòñÿ ñòðîêàìè ìàòðèöû A è ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ñòðîêè ìàò-ðèöû A íà F - åñòü íóëåâàÿ ñòðîêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
rnRgDF −≤ ,
à òàê êàê DF - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî â ñèëó òåîðåìû 1.7
rnRgDF −= .Ýòèì ñàìûì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìàòðèöà (3.19) íåîáîñíîâàí-
íî îáîçíà÷åííàÿ íàìè êàê F íà ñàìîì äåëå è åñòü ôóíäàìåíòàëü-íàÿ ìàòðèöà.
Ñèñòåìó ñòîëáöîâ ìàòðèöû (3.19) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëü-íîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.
71
Âûáèðàÿ äðóãèå áàçèñíûå ñòîëáöû ìû áóäåì ïîëó÷àòü èäðóãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ, îäíàêî ÷èñëî èõ âñåãäà áóäåò
rn − .
Ïóñòü F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû Ox =A . Ðàñ-ñìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñòîëáåö c âûñîòû rn − . Ñîñòàâèì ïðî-èçâåäåíèå cF :
( ) ( ) 11 ××−−× =⋅ nrnrnnF xc .
Åñëè ïîëîæèòü
Oc =AF ,
òîãäà xc =F åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû Ox =A , òàê êàê cF åñòü íå÷òî èíîå êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû F ñ êîýô-ôèöèåíòàìè èç c .
Ïðåäëîæåíèå 3.8. Ñòîëáåö x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Ox =A
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ñòîëáåö c , ÷òî
cx F= .
Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû, ò.å. Ox =A . Ñîñòàâèì ðàñøè-
ðåííóþ ìàòðèöó ( )xFF =′ . Òàê êàê êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû
F ′ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû, ìû ìîæåì çàïèñàòü O=′FA . Ýòî
çíà÷èò, ÷òî rnFRg −=′ . Òîãäà ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè
äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ñòîëáåö c , äëÿ êîòîðîãî xc =F .
3.8. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3. Åñëè 0x - íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû
(3.1), à F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû(3.14), òî ñòîëáåö
cxx F+= 0 (3.20)
ïðè ëþáîì c ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.1).Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.20) íàçûâà-
þò îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
72
Åñëè ( )rnF −= fff ...21 , à ( )Trnccc −= ...21c , òî (3.20)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
rnrnccc −
−++++= fffxx ...22
11
0 . (3.21)
73
4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà
4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèèíàä âåêòîðàìè
Ïàðó òî÷åê A è B áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííîé, åñëè èçâå-ñòíî êàêàÿ èç íèõ ïåðâàÿ, à êàêàÿ - âòîðàÿ.Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî óïîðÿäî÷åíû, íàçûâà-åòñÿ íàïðàâëåííûì îòðåçêîì èëè âåêòîðîì. Ïåðâûé èç åãî êîí-öîâ íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì âåêòîðà, âòîðîé - êîíöîì âåêòîðà.
Íà ÷åðòåæå âåêòîð èçîáðàæàåòñÿ ñòðåëî÷êîé (ðèñ. 4.1).Èç îïðåäåëåíèÿ 4.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð-
íûå âåëè÷èíû äàþò íàì íîâûé ìàòåìàòè÷åñ-êèé îáúåêò, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëî-âîé ìåðîé (ñêàëÿðîì) è íàïðàâëåíèåì.  âåê-òîðíîé àëãåáðå ñêàëÿðû è âåêòîðû áóäåì ðàñ-ñìàòðèâàòü êàê îñîáîãî ðîäà àëãåáðàè÷åñêèåâåëè÷èíû, íàä êîòîðûìè ìû ìîæåì ïðîèçâî-
äèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè.Ýòè îïåðàöèè îòðàæàþò õàðàêòåðíûå çàâèñèìîñòè, ñóùå-
ñòâóþùèå ìåæäó ñêàëÿðíûìè è âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè â ãåî-ìåòðèè è ôèçèêå. Èçó÷åíèå ýòèõ îïåðàöèé è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåòâåêòîðíîé àëãåáðû.
Óñëîâèìñÿ â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðû áóêâàìè èöèôðàìè:
... 1.75; ; ; âácba ;;;Âåêòîðû, â îòëè÷èå îò ñêàëÿðîâ, áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè
ïîëóæèðíîãî øðèôòà èëè ïèñàòü ñòðåëî÷êó íàä áóêîé:
... AB;; ; ; ;;;;; kjifrrrrr
ωRbaÎïðåäåëåíèå 4.2. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ñîâïàäàþò, áóäåì íà-
çûâàòü íóëåâûì âåêòîðîì è îáîçíà÷àòü êàê O . Íàïðàâëåíèå íó-ëåâîãî âåêòîðà áóäåì ñ÷èòàòü íåîïðåäåë¸ííûì.
 âåêòîðíîé àëãåáðå âûáèðàåòñÿ îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èç-ìåðåíèÿ äëèí âñåõ âåêòîðîâ íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèé. Ïî-
ar
A
B
Ðèñ. 4.1.
74
ýòîìó äëèíà êàæäîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà âûðàæàåòñÿ âïîëíåîïðåäåëåííûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå ìû áóäåì íàçû-âàòü äëèíîé âåêòîðà èëè åãî ìîäóëåì.Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìîäóëåì âåêòîðà íàçûâàåòñÿ åãî äëèíà ïðè óñ-ëîâèè, ÷òî âûáðàíà îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèí.
Ìîäóëü âåêòîðà îáîçíà÷àåòñÿ òîé æå áóêâîé, ïîñòàâëåííîéìåæäó äâóìÿ äâîéíûìè âåðòèêàëüíûìè ÷¸ðòî÷êàìè èëè òîé æåáóêâîé ïðîñòîãî øðèôòà:
ABAB = ; a=a .
Âåêòîðû AB è BA èìåþò îäèí è òîò æå ìîäóëü, êîòîðûéìû è îáîçíà÷àåì êàê ñîîòâåòñòâóþùèé íåíàïðàâëåííûé îòðåçîê
AB èëè BA.
Îïðåäåëåíèå 4.4. Äâà âåêòîðà ar
è br
ðàâíû, åñëè îíè ïàðàëëåëü-íû íåêîòîðîé ïðÿìîé (êîëëèíåàðíû), îäèíàêîâî íàïðàâëåíû è
bar
r
= .
Íàä âåêòîðàìè, êàê àëãåáðàè÷åñêèìè îáúåêòàìè, ìîæíî óñ-òàíîâèòü ëèíåéíûå îïåðàöèè. Ïîä ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè íàä âåê-òîðàìè áóäåì ïîíèìàòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæå-íèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.
Îïðåäåëåíèå 4.5. Ïóñòü íàì äàíû äâà âåêòîðà ar
è br
. Ïîñòðîèì
ðàâíûå èì âåêòîðû AB è BC . Òîãäà âåêòîð AC (ðèñ.4.2) áóäåòèõ ñóììîé, ò.å.
ACBCAB =+ èëè cbar
rr =+ . (4.1)
Ðèñ. 4.2.
ar
br
A
B
C
75
Îïðåäåëåíèå 4.6. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà ar íà âåùåñòâåííîå ÷èñ-
ëî R∈λ , íàçûâàåòñÿ âåêòîð br
, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèìóñëîâèÿì:
à) abr
r
⋅λ= ;
á) âåêòîðû ar
è br
êîëëèíåàðíû (ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîéïðÿìîé);
â) ar è b
r
íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, åñëè 0>λ , ïðîòèâîïîëîæ-
íî, åñëè 0<λ è åñëè 0=λ , òî O=br
.
Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè.
Ïðåäëîæåíèå 4.1. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ ar , b
r
è cr èç íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà L è ëþáûõ ÷èñåë α è β èç ïîëÿ Ko1 . abba
rrr
r +=+ .
o2 . ( ) ( )cbacbar
rrr
rr ++=++ .
o3 . aarr
=+ O .
o4 . Âåêòîð ( )ar1− - ïðîòèâîïîëîæåí âåêòîðó ar
è îáîçíà÷à-
åòñÿ êàê ar− (ðèñ. 4.3).
( ) O=−=⋅−+ aaaarrrr
1 .
o5 . ( ) ( )aarr βα=αβ .
o6 . ( ) aaarrr β+α=β+α .
o7 . ( ) babar
rr
r α+α=+α .
o8 . aarr
=⋅1 .
Îïðåäåëåíèå 4.7. Ðàçíîñòüþ äâóõ âåêòîðîâ ar
è br
íàçûâàåòñÿ
(ðèñ.4.4) ñóììà âåêòîðîâ ( )bar
r −+ .
Åñëè axbrr
r
=+ , òî baxr
rr −= .
ar
ar
−
Ðèñ. 4.3.
ar
br
baxr
rr −=
Ðèñ. 4.4.
76
Ïðåäëîæåíèå 4.2. Åñëè O≠ar
, òî ëþáîé âåêòîð br
êîëëèíåàðíûé
âåêòîðó ar
, ïðåäñòàâèì â âèäå:
aa
bb
r
r
r
r
±= . (4.2)
çíàê (+) áåð¸òñÿ åñëè âåêòîðû ar
è br
íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à
çíàê (-) - åñëè âåêòîðû ar
è br
íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî.Îáîçíà÷èâ
λ=a
br
r
,
(4.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
abr
r
λ±= . (4.3)
Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ îïåðàöèé ìîæíî ñîñòàâèòü ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ âåêòîðîâ ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó L :
kkaaarrr α++α+α ...2211 ,
ãäå K∈ααα k,...,, 21 êîýôôèöèåíòû.
Ïðåäëîæåíèå 4.1 äà¸ò íàì ïîëíûé íàáîð ñâîéñòâ ïîçâîëÿþ-ùèõ ïðîèçâîäèòü ëþáûå âû÷èñëåíèÿ â ëèíåéíûõ êîìáèíàöèÿõâåêòîðîâ.
Ïðåäëîæåíèå 4.3. Åñëè âñå âåêòîðû kaaarrr
,...,, 21 êîëëèíåàðíû (ïà-
ðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíà-
öèÿ èì êîëëèíåàðíà, à åñëè âåêòîðû kaaarrr
,...,, 21 êîìïëàíàðíû (ëå-
æàò â îäíîé ïëîñêîñòè), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ èìêîìïëàíàðíà.Îïðåäåëåíèå 4.8. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ áóäåì ñ÷èòàòü çàìêíóòûìîòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îïåðàöèè, åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâýòîãî ìíîæåñòâà ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ äàííîé îïåðàöèè ñíîâà
ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó, ò.å., åñëè L∈bar
r
, , òî è L∈+ bar
r .
77
Îïðåäåëåíèå 4.9. Ìíîæåñòâî L , çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ëèíåé-
íûõ îïåðàöèé, ñ ó÷¸òîì àêñèîì oo 81 ÷ , íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûìïðîñòðàíñòâîì.
Åñëè îäíî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîìäðóãîãî, òî îíî íàçûâàåòñÿ åãî ïîäïðîñòðàíñòâîì.Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîëëèíåàðíûõ äàííîé ïðÿìîé (îä-
íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî 1L ) è ìíîæåñòâî âåêòîðîâ êîìïëàíàðíûõ
äàííîé ïëîñêîñòè (äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî 2L ) ÿâëÿþòñÿ ïðè-
ìåðàìè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîäïðîñòðàíñòâà-
ìè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà 3L . Ââåä¸ì â ðàññìîòðåíèå íóëü-
ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî 0L , ñîñòîÿùåå èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòîðà
O , òîãäà
3210 LLLL ⊂⊂⊂ .
4.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð br
ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ
êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ kaaarrr
,...,, 21 , åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
kkaaabrrr
r
α++α+α= ...2211 . (4.3)
Íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ î÷åâèäíî ïî ëþáîé ñèñòåìåâåêòîðîâ. Ìû ïîëó÷èì íóëåâîé âåêòîð O , åñëè â (4.3) ïîëîæèì
âñå 0=αi . Òàêàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé.
Îïðåäåëåíèå 4.10. Ñèñòåìó âåêòîðîâ kaaarrr
,...,, 21 áóäåì íàçûâàòü
ëèíåéíî íåçàâèñèìîé åñëè íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåéåäèíñòâåííûì ñïîñîáîì - òðèâèàëüíûì, ò.å.
O=α++α+α kkaaarrr
...2211 (4.4)
ïðè
0...21 =α==α=α k .
78
Ñèñòåìà âåêòîðîâ kaaarrr
,...,, 21 ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè (4.4) ïî-ëó÷àåòñÿ èç íå¸ íå åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, ò.å. åñëè õîòÿ áû îäèí
èç iα îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ èëè 0... 222
21 ≠α++α+α k .
Ñâîéñòâà ëèíåéíî-çàâèñèìûõ è ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ.1. Åñëè ñðåäè âåêòîðîâ kaaa
rrr
,...,, 21 åñòü íóëåâîé âåêòîð, òîâñÿ ýòà ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà.
2. Ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ îäèí âåêòîð ëèíåéíî çàâèñèìà, åñëèýòî âåêòîð íóëåâîé.
3. Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà, òî ëèíåéíî çà-âèñèìà è ëþáàÿ å¸ ÷àñòü.
4. Ëþáàÿ ÷àñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû âåêòîðîâ -ëèíåéíî íåçàâèñèìà.
Ïðåäëîæåíèå 4.4. Ïóñòü kaaarrr
,...,, 21 ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà
âåêòîðîâ. Åñëè kkaaaxrrrr α++α+α= ...2211 , òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèí-
ñòâåííî.
Ïóñòü kkaaaxrrrr β++β+β= ...2211 äðóãîå ðàçëîæåíèå, òîãäà
( ) ( ) ( ) O=β−α++β−α+β−α=− kkk aaaxxrrrrr
...222111 .
Òàê êàê ñèñòåìà âåêòîðîâ kaaarrr
,...,, 21 ëèíåéíî íåçàâèñèìà ïî
îïðåäåëåíèþ, ìû äîëæíû ïîëîæèòü
0...2211 =β−α==β−α=β−α kk èëè ii β=α ,
÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.Ïðåäëîæåíèå 4.5. Ñèñòåìà èç 1>k âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìàòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç âåêòîðîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîîñòàëüíûì âåêòîðàì.
Ïóñòü kaaarrr
,...,, 21 ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òîãäà
O=α++α+α kkaaarrr
...2211
è îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü ýòî áóäåò, íà-
ïðèìåð, 1α , òîãäà
kk aaa1
21
21 ...
αα−−
αα−=
rr
.
79
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1.1. Ñèñòåìà èç îäíîãî âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè îí íó-
ëåâîé.2. Ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè ýòè âåê-
òîðû êîëëèíåàðíû.3. Ñèñòåìà èç òð¸õ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà ýòè âåêòîðû êîìïëàíàðíû.
4.3. Áàçèñ.
Îïðåäåëåíèå 4.11. Áàçèñîì â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåò-ñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òàêàÿ, ÷òîëþáîé âåêòîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïî íåé ðàñêëàäûâàåòñÿ.
Èç òåîðåìû 4.1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî:1. Â íóëåâîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñà íåò.2. Â îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïðÿìàÿ ëèíèÿ) áàçèñ ñîñòî-
èò èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà.3. Â äâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïëîñêîñòü) áàçèñ ñîñòîèò èç
äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ.4.  òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñ ñîñòîèò èç òð¸õ óïîðÿ-
äî÷åííûõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ.Ñìûñë óïîðÿäî÷åííîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, íàïðèìåð,
bar
r
, è abr
r
, ðàçíûå áàçèñû.
Òàê êàê âåêòîðû áàçèñà ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî êîýôôèöè-åíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4.4 îä-íîçíà÷íû. Ýòè êîýôôèöèåíòû íàçûâàþò êîìïîíåíòàìè èëè êî-îðäèíàòàìè âåêòîðà â äàííîì áàçèñå.
Ïðèìåð. Ïóñòü 321 ,, eeerrr
- áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå 3L . Òîãäà âåêòîð
3L∈ar
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ
âåêòîðîâ:
80
332211 eeearrrr
α+α+α= .
×èñëà 321 ,, ααα è åñòü êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà
ar
ïî áàçèñó 321 ,, eeerrr
, è ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî. Òåïåðü âåê-
òîð ar ïðè çàäàííîì áàçèñå 321 ,, eee
rrr
ìîæíî çàïèñàòü êàê
( )321 ,, αααar
. Èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ar ïî äàí-
íîìó áàçèñó ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ñòðîêó ( )321 ααα èëè ñòîëáåö
( )T321 ααα . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì óñòàíîâèòü âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðàìè è ìàòðèöàìè ñîñòî-ÿùèìè èç ñòðîê (ñòîëáöîâ) ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû è ëèíåéíûåêîìáèíàöèè âåêòîðîâ ìû òåïåðü ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ëè-íåéíûå êîìáèíàöèè ñòðîê (ñòîëáöîâ) èçó÷åííûå íàìè ðàíåå.
Ïðåäëîæåíèå 4.6. Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ÷èñëî, âñå åãîêîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòî ÷èñëî, à ïðè ñëîæåíèè âåêòîðîâñêëàäûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû.
Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðîâ ââèäå ñòðîê (ñòîëáöîâ) ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû.
4.4. Ñèñòåìû êîîðäèíàò
4.4.1. Äåêàðòîâà (àôôèííàÿ) ñèñòåìà êîîðäèíàò
Çàôèêñèðóåì â ïðîñòðàíñòâå 3L òî÷êó O è ðàññìîòðèì ïðî-
èçâîëüíóþ òî÷êó M.
Îïðåäåëåíèå 4.12. Ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êè M ïî îòíîøåíèþ ê òî÷-
êå O íàçûâàåòñÿ âåêòîð OMr =r
.
Åñëè â ïðîñòðàíñòâå 3L âûáðàí áàçèñ 321 ,, eeerrr
, òî òî÷êå M
ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåíà óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà ÷èñåë 321 ,, ααα
- êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà OMr =r .
81
Îïðåäåëåíèå 4.13. Äåêàðòîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò âïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷êè O è áàçèñà
321 ,, eeerrr
.Òî÷êà O íîñèò íàçâàíèå íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðÿìûå, ïðî-
õîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â íàïðàâëåíèè áàçèñíûõ âåêòî-ðîâ íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò. Îñü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áàçèñ-
íîìó âåêòîðó 1er
íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, 2er
- îñüþ îðäèíàò, 3er
-
îñüþ àïïëèêàò. Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñè êîîðäèíàò,íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè.Îïðåäåëåíèå 4.14. Ïóñòü äàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò
321 ,,, eeerrr
O . Êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà
OMr =r
òî÷êè M íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòà-
ìè òî÷êè M â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò(ðèñ.4.5) è îáîçíà÷àþòñÿ êàê zyx ,, :
321 ezeyexrOMrrrr ++== .
Çäåñü x- àáñöèññà, y - îðäèíàòà, à z-
àïïëèêàòà. Êîîðäèíàòû òî÷êè M ìû áó-
äåì îáîçíà÷àòü êàê ( )zyxM ,, .
Ðàññìîòðèì (ðèñ.4.6) äâå òî÷êè
( )1111 ,, zyxM è ( )2222 ,, zyxM â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò 321 ,,, eeerrr
O , è íàéä¸ì
êîìïîíåíòû âåêòîðà 21MM .
2211 OMMMOM =+èëè
1221 OMOMMM −= .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 4.6ìû ìîæåì çàïèñàòü:
( )12121221 ,, zzyyxxMM −−− . (4.5)
M
O1er
2er
3er
x y
z
1M
rr
Ðèñ. 4.5.
Ðèñ. 4.6.
1M
2M
1er 2e
r
3er
O
1rr
2rr
12 rrrr
−
6 À.À. Êèðñàíîâ
82
Ïðåäëîæåíèå 4.7. ×òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà íàäî èç êî-îðäèíàò åãî êîíöà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.
4.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè.
Íàéä¸ì êîîðäèíàòû òî÷êè M êîòîðàÿ (ðèñ.4.7) äåëèò îòðå-
çîê AB â îòíîøåíèè µλ , ò.å.
µλ=
MB
AM, 0>λ , 0>µ . (4.6)
Òàê êàê 0>λ è 0>µ , âåêòîðû AM è MB íàïðàâëåíû â îäíó
ñòîðîíó è ìû ìîæåì (4.6) ïåðåïèñàòü òàê:
MBAM λ=µ . (4.7)
Ïóñòü ( )111 ,, zyxA è ( )222 ,, zyxB êîîðäèíàòû êîíöîâ îòðåçêà
AB, à ( )zyxM ,, êîîðäèíàòû òî÷êè M
â áàçèñå 321 ,,, eeeOrrr
. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó
(4.5) ðàçëîæèì ðàâåíñòâî (4.7) ïî áàçè-
ñó 321 ,,, eeeOrrr
:
( ) ( )xxxx −λ=−µ 21 ,
( ) ( )yyyy −λ=−µ 21 , (4.8)
( ) ( )zzzz −λ=−µ 21 .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0≠µ+λ ïðèâåä¸ìñèñòåìó óðàâíåíèé (4.8) ê âèäó:
µ+λλ+µ= 21 xx
x , µ+λλ+µ= 21 yy
y , µ+λλ+µ= 21 zz
z . (4.9)
Åñëè îäíî èç ÷èñåë λ èëè µ ìåíüøå íóëÿ, òîãäà òî÷êà
M áóäåò íàõîäèòñÿ âíå îòðåçêà AB äåëÿ åãî â îòíîøåíèè µλ .
Ðèñ. 4.7.1er 2e
r
3er
O
A
B
Mλ
µ
83
4.4.3. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò.
Ñðåäè ìíîæåñòâà äåêàðòîâûõ (àô-ôèííûõ) ñèñòåì êîîðäèíàò ìîæíî âûá-ðàòü òàêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ. 4.8)ó êîòîðîé âñå áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíîïåðïåíäèêóëÿðíû è èõ ìîäóëè ðàâíû åäè-íèöå, ò.å.
1321 === eeerrr
; 321 eeerrr ⊥⊥ .
Òàêîé áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, à ñèñòåìà êî-îðäèíàò - äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).
 ýòîì ñëó÷àå äëÿ îðòîâ ïðèíÿòî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå:
ierr
=1 , jerr
=2 , ker
r =3 , (4.10)
à áàçèñ 321 ,,, eeeOrrr
çàïèøåòñÿ êàê kjiOrrr
,,, .
Ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ( )zyxM ,, â 3L òåïåðü
ìîæíî çàïèñàòü òàê:
kzjyixrrrrr ++= . (4.11)
Äåêàðòîâû (àôôèííûå) ñèñòåìû êîîðäèíàò íå ÿâëÿþòñÿåäèíñòâåííûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò.  çàâèñèìîñòè îò õàðàê-òåðà çàäà÷è ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû è äðóãèå ñèñòåìû êîîðäèíàò.Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò.
4.4.4. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò.
Âûäåëèì íà ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ òî÷êó O è íàçîâ¸ì å¸ ïî-
ëþñîì, èñõîäÿùèé èç òî÷êè O ëó÷ OA íàçîâ¸ì ïîëÿðíîé îñüþ.Âûáåðåì ìàñøòàá äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû. Ïîâîðîò, ñîâåðøà-
åìûé îêîëî òî÷êè O ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè áóäåì ñ÷èòàòü ïî-ëîæèòåëüíûì è áóäåì èçìåðÿòü åãî â ðàäèàíàõ.
Ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M íà ïëîñêîñòè (ðèñ.4.9)ìîæíî òåïåðü çàôèêñèðîâàòü äâóìÿ ÷èñëàìè: ðàäèóñ-âåêòîðîì
Ðèñ. 4.8.
Oir
jr
kr
x
y
z
6*
84
OMr =r è óãëîì ϕ ìåæäó ïîëÿðíîé
îñüþ è âåêòîðîì OMr =r
. Óãîë ϕ áó-äåì íàçûâàòü ïîëÿðíûì óãëîì.
Ó ïîëþñà O=rr
, à óãîë ϕ íå îï-ðåäåë¸í. Îñòàëüíûå òî÷êè ïëîñêîñòèõàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèåì 0>r
r è
óãëîì ϕ îïðåäåë¸ííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî êðàòíîãî π2 .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïàðû ÷èñåë ( )ϕ,rr
è ( )π+ϕ kr 2,r
, ãäå k - ïðîèç-
âîëüíîå öåëîå ÷èñëî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëÿðíûå êîîðäèíà-òû îäíîé è òîé æå òî÷êè. Îãðàíè÷èì çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà âïðåäåëàõ π≤ϕ<π− .
Âûáåðåì íà ïëîñêîñòè ÏÑÊ, ïîìåñòèâ å¸ íà÷àëî â ïîëþñO , îñü àáñöèññ ñîâìåñòèì ñ ïî-ëÿðíîé îñüþ è óñòàíîâèì ñîîò-íîøåíèÿ ñâÿçûâàþùèå ïîëÿð-íûå êîîðäèíàòû ñ äåêàðòîâû-ìè. Êàê ëåãêî âèäåòü èçðèñ.4.10, äåêàðòîâû ïðÿìîó-ãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè
( )yxM , âûðàæàþòñÿ ÷åðåç å¸ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ôîðìó-ëàìè:
ϕ= cosrx ,
ϕ= sinry . (4.12)Çäåñü
22 yxr += , (4.13)
22sin
yx
y
+=ϕ , 22
cosyx
x
+=ϕ ,
x
y=ϕtg . (4.14)
Ðèñ. 4.9.
M
Oϕ
1r
l
rr
Ðèñ. 4.10.O i
r xx
y
y
ϕjr
rr
M
85
4.4.5. Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò.
 ïðîñòðàíñòâå îáîáùåíèåì ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèå (ðèñ. 4.11) è ñôåðè÷åñêèå (ðèñ. 4.13) ñè-ñòåìû êîîðäèíàò. È äëÿ òåõ, è äëÿ äðóãèõ ôèãóðà, îòíîñèòåëüíîêîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåòî÷êè, ñîñòîèò èç ïîëþñà O , ëó÷à
OA, èñõîäÿùåãî èç O , è åäèíè÷-íîãî âåêòîðà n
r ïåðïåíäèêóëÿðíî-
ãî ê ëó÷ó nr
. ×åðåç òî÷êó O ïðîâå-ä¸ì ïëîñêîñòü p , ïåðïåíäèêóëÿð-
íóþ âåêòîðó nr
. Ëó÷ OA áóäåò ëå-æàòü â ýòîé ïëîñêîñòè.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M . Îïóñòèì èç ýòîé òî÷-
êè ïåðïåíäèêóëÿð MM ′ íà ïëîñêîñòü p . Öèëèíäðè÷åñêèå êîîð-
äèíàòû òî÷êè M - òðè ÷èñëà hr ,,ϕ . ×èñëà ϕ,r - ïîëÿðíûå êîîð-
äèíàòû òî÷êè M ′ ïî îòíîøåíèþ ê ïîëþñó O è ïîëÿðíîé îñè
OA, à h - êîìïîíåíòà âåêòîðà MM ′ ïîâåêòîðó n
r . Îíà îïðåäåëåíà â ñèëó êîë-ëèíåàðíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ (ðèñ. 4.11).
Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâà-þùèå öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñÏÑÊ. Äëÿ ýòîãî ñîâìåñòèì (ðèñ. 4.12)íà÷àëî ÏÑÊ ñ ïîëþñîì O , îñü OX ñî-
âìåñòèì ñ ëó÷îì OA, ïëîñêîñòü XOYñîâìåñòèòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ p . Èç ðèñ.
4.12 âèäíî, ÷òî òî÷êà ( )hrM ,,ϕ áóäåò èìåòü â ÏÑÊ êîîðäèíàòû:
ϕ= cosrx ,
ϕ= sinry , (4.15)
hz = .
Ðèñ. 4.11.
O
l
ϕ
M
M′rr
hnr
ð
Ðèñ. 4.12.
À
86
Çàìå÷àíèå. Òàê êàê ïåðâûå äâå öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r è
ϕ ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè ïðîåêöèè M ′ òî÷êè Míà ïëîñêîñòü p , òî ê ýòèì äâóì êîîðäèíàòàì îòíîñÿòñÿ çàìå÷à-íèÿ è âûâîäû ñäåëàííûå â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.
Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè -
òðè ÷èñëà ( )θϕ,,r . Îíè îïðåäåëÿþòñÿ
(ðèñ. 4.13) òàê: OMr = . Êàê è äëÿ öè-
ëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò, ϕ - óãîë âåê-
òîðà MO ′ ñ ëó÷îì OA (äîëãîòà), à θ -
óãîë âåêòîðà OM (øèðîòà) ñ ïëîñêî-
ñòüþ p .
Êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ( )θϕ,,rM â ÏÑÊ áóäóò
âûãëÿäåòü òàê:
ϕθ= coscosrx ,
ϕθ= sincosry , (4.16)
θ= sinrz .
4.5. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò
4.5.1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÏÑÊ íà ïëîñêîñòè.
Äî ñèõ ïîð ìû ïîëüçîâàëèñü êîíêðåòíî âûáðàííûì áàçè-ñîì. Îäíàêî, íè÷òî íå ìåøàåò íàì âûáðàòü äðóãîé áàçèñ è â ñâÿ-çè ñ ýòèì íàñ çàèíòåðåñóåò âîïðîñ î ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà êäðóãîìó.
Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà íàèáîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé ïàðàëëåëü-
íîãî ïåðåíîñà (ðèñ.4.14) íà÷àëà ÏÑÊ â íåêîòîðóþ òî÷êó ( )βα′ ,O .
Ïóñòü ( )yxM , - êîîðäèíàòû òî÷êè M â ÏÑÊ yxO ,, , à
( )yxM ′′, - êîîðäèíàòû ýòîé æå òî÷êè â ÏÑÊ yxO ′′′ ,, . Èç ðèñ.4.14
ñðàçó âèäíî, ÷òî
ϕ
θ
Ðèñ. 4.13.À
87
MOOOOM ′+′=èëè
α+′= xx ,
β+′= yy . (4.17)
Ðàâåíñòâà (4.17) ïîçâîëÿþòíàì âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû òî÷êè
â ÏÑÊ yxO ,, , åñëè èçâåñòíû å¸ êî-
îðäèíàòû â ÏÑÊ yxO ′′′ ,, .
Ïîïðîáóåì çàïèñàòü ñèñòåìó(4.17) â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî íàäî ïîñìîòðåòü íà (4.17)
êàê íà ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èìåÿ â âèäó, ÷òî α è β -
êîýôôèöèåíòû ïðè åäèíèöå. Èòàê:
101 ⋅α+′⋅+′⋅= yxx ,
110 ⋅β+′⋅+′⋅= yxy ,
11001 ⋅+′⋅+′⋅= yx .
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå åñòü ïðîñòî ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî 11= ,êîòîðîå íàì íóæíî ëèøü äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèöû A ïåðåõîäà
îò yxO ,, ê yxO ′′′ ,, . Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó èç òð¸õ óðàâíåíèé ìû
òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
′′
⋅
βα
=
1100
10
01
1
y
x
y
x
, (4.18)
ãäå
βα
=100
10
01
A - ìàòðèöà ïåðåõîäà îò yxO ,, ê yxO ′′′ ,, .
Îáðàòíûå ôîðìóëû î÷åâèäíû:
α−=′ xx ,
β−=′ yy . (4.19)
Ðèñ. 4.14.O
O′
x
x′
yy′
α
β
M
88
Ôîðìóëû (4.17) è (4.19) ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé òð¸õ-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ îòðåçîê 21MM ïðè ïåðå-
õîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé. Ïóñòü ( )111 , yxM è ( )222 , yxM - êîîð-
äèíàòû êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà â ÏÑÊ yxO ,, , à ( )111 , yxM ′′′ è
( )222 , yxM ′′′ - êîîðäèíàòû òîãî æå îòðåçêà â íîâîé ÏÑÊ yxO ′′′ ,, .
Òàê êàê îòðåçîê 21MM â îáîèõ ÏÑÊ îäèí è òîò æå ìû ìîæåì
çàïèñàòü:
2121 MMMM ′′=èëè â êîîðäèíàòàõ
( ) ( ) 121212 xxxxxx ′−′=α+′−α+′=− ,
( ) ( ) 121212 yyyyyy ′−′=β+′−β+′=− .
Ìû âèäèì, ÷òî ðàçíîñòü êîîðäèíàò âåêòîðà 21MM ïðè ïà-
ðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ íå ìåíÿþòñÿ. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òîâåêòîð ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, ò.å. âåëè÷èíîé íå çàâèñÿ-ùåé îò âûáîðà ÑÊ, ÷òî ñîáñòâåííî è ïîçâîëÿåò íàì åãî èçó÷àòü.
4.5.2. Ïîâîðîò ÏÑÊ â ïëîñêîñòè.
Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ yxO ,, âîêðóã òî÷êè O (ðèñ. 4.15)
íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ñòàðàÿ
ÏÑÊ ïåðåéä¸ò â íîâóþ ÏÑÊ yxO ′′,, . Âûÿñíèì ñíà÷àëà êàê áó-
äóò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ îðòû. Èç ðèñ. 4.15 ÿñíî:
jiirrr
ϕ+ϕ=′ sincos ,
jijrrr
ϕ+ϕ−=′ cossin .
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
⋅
ϕϕ−ϕϕ
=
′′
j
i
j
ir
r
r
r
cossin
sincos(4.20)
89
èëè
ee ⋅=′ A , (4.21)ãäå
′′
=′j
ir
r
e ,
=
j
ir
r
e
ñòîëáöû ñîñòàâëåííûå èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ, à
ϕϕ−ϕϕ
=cossin
sincosA (4.22)
ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íàóãîë ϕ .
Èç (4.21) ñðàçó ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå ñòàðûõ áàçèñ-íûõ âåêòîðîâ ÷åðåç íîâûå:
ee ′= −1A (4.23)
èëè
′′
⋅
ϕϕϕ−ϕ
=
j
i
j
ir
r
r
r
cossin
sincos. (4.24)
Çàìå÷àíèå. Ñðàâíèâàÿ (4.20) è (4.24) ìû âèäèì, ÷òî TAA =−1 .Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè. Èõ èçó÷åíèåì ìûçàéì¸ìñÿ ïîçæå.
Ðèñ. 4.15
90
Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ ðàäèóñ-âåêòîð OMr =r
ïðèïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ (ðèñ. 4.16). Â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè âåêòî-ðà èìååì:
( ) ( )( ) ( ) .cossinsincos
cossinsincos
jyxiyx
jiyjixjyixiyixrrr
rrrrrrrrr
ϕ′+ϕ′+ϕ′−ϕ′=
=ϕ+ϕ−′+ϕ+ϕ′=′′+′′=+=
Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ âåêòîðàõ ïîëó÷èì:
ϕ′−ϕ′= sincos yxx ,
ϕ′+ϕ′= cossin yxy . (4.25)
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòè ðàâåíñòâà çàïèøóòñÿ òàê:
′′
⋅
ϕϕϕ−ϕ
=
y
x
y
x
cossin
sincos
èëè
rAr T ′⋅= . (4.26)
Çäåñü
=
y
xr è
′′
=′y
xr êîîðäèíàòû ðàäèóñ-âåêòîðà OMr =
r
äî
è ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ .Îáúåäèíÿÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ìû ìîæåì èç
ôîðìóë (4.17) è (4.26) ñîñòàâèòü îáùóþ ôîðìóëó:
α+ϕ′−ϕ′= sincos yxx ,
β+ϕ′+ϕ′= cossin yxy . (4.27)
x
x′
y
y′
M
Ðèñ. 4.16.
91
Óðàâíåíèÿ (4.27) ñ ó÷¸òîì (4.18) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàò-ðè÷íîé ôîðìå:
′′
⋅
βϕϕαϕ−ϕ
=
11001
y
x
y
x
cossin
sincos
. (4.28)
4.6. Ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ
Îïåðàöèÿ ïåðåìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû,äîëæíà ïîä÷èíÿòüñÿ â îñíîâíîì òåì æå çàêîíàì, ÷òî è îïåðàöèÿóìíîæåíèÿ ÷èñåë, ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà äîëæíà îáîáùàòü ðàñ-ïðîñòðàí¸ííûå â ãåîìåòðèè è ôèçèêå êîíêðåòíûå îïåðàöèè. Îêà-çûâàåòñÿ, ÷òî è ñòîé è ñ äðóãîé òî÷åê çðåíèÿ äîëæíû ñóùåñòâî-âàòü äâå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ. Îäíà äà¸ò â ðåçóëü-òàòå ÷èñëî - ñêàëÿð è ïîýòîìó íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì óìíîæåíè-åì. Äðóãàÿ äà¸ò â ðåçóëüòàòå âåêòîð è ïîòîìó íàçûâàåòñÿ âåêòîð-íûì óìíîæåíèåì äâóõ âåêòîðîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ìû ìîæåìðàññìîòðåòü ïîíÿòèå ðàáîòû êàê ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðíûõ
âåëè÷èí - ñèëû Fr
è ïåðåìåùåíèÿ sr , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ
ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà - ðàáîòà A .  ôèçèêå èçâåñòíà è äðóãàÿ ôè-
çè÷åñêàÿ âåëè÷èíà - ìîìåíò ñèëû Lr
, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîìè ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðíûõ âåëè÷èí:
ñèëû Fr
è ïëå÷à ñèëû Rr
.
4.6.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.
Ïîä óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè ar è b
r
áóäåì ïîíèìàòü óãîë
ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè ïðèâåä¸ííûìè â îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 4.17).
Åñëè óãîë ïðÿìîé áóäåì ñ÷èòàòü âåêòîðû ar è b
r
ïåðïåíäèêóëÿð-
íûìè (îðòîãîíàëüíûìè) äðóã ê äðóãó è îáîçíà÷àòü ýòî êàê bar
r
⊥ .
92
Òàê êàê
( )ϕ−π=ϕ 2coscos ,
ìû ìîæåì ñîñòàâèòü âûðàæåíèå
( ) ϕ= cos, abbar
r , (4.29)
ãäå aar
= , à bbr
= , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùåå íåêîòîðîå ÷èñ-
ëî ( )bar
r
, .
Îïðåäåëåíèå 4.15. ×èñëî ( )bar
r
, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (4.29) íà-
çûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ar è b
r
.
 ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå ìîæíî âñòðåòèòü òàêèå îáîçíà÷å-íèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
bar
r , bar
r ⋅ , ( )bar
r
, .
Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ òðåòüåãî âàðèàíòà.
Ðàâåíñòâî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ.
Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåíñòâî
( ) 0, =bar
r
ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó
0cos =ϕab .
À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî 0=a , ëèáî 0=b , ëèáî 0cos =ϕ ,
ò.å. ëèáî O=ar
, ëèáî O=br
, ëèáî bar
r
⊥ .Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íóëåâîé âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí ëþáîìó
íåíóëåâîìó âåêòîðó, ðàâåíñòâî íóëþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Ïðåäëîæåíèå 4.8. Óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ âåêòîðîâ a
r è
br
ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
( ) 0, =bar
r. (4.30)
Ðèñ. 4.17.
93
Ìû âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â àë-ãåáðàè÷åñêîì îòíîøåíèè ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäå-íèÿ äâóõ ÷èñåë: èç ðàâåíñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ óæå íåâûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ îäíîãî èç ñîìíîæèòåëåé. Òåì íå ìåíååàëãåáðàè÷åñêèå çàêîíû óìíîæåíèÿ ÷èñåë ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿò-ñÿ íà ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðîâ.
Çàêîíû ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (4.29) ñëåäóåò, ÷òî:
1. ( ) ( )abbar
rrr
,, = - çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíîñòè (êîììóòàòèâíîñòè);
2. ( )( ) ( ) ( )cabacbarr
rrr
rr
,,, +=+ - ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí;
3. ( ) ( ) ( )bababar
rr
rr
r λ=λ=λ ,,, - çàêîí ñî÷åòàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî
ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé;
4. ( ) 20cos, aaaaa
rrro == äëÿ ëþáûõ a
r ;
5. ( ) 0, >aarr
, åñëè O≠ar .
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èìååò ñìûñë, åñëè âûáðàíà åäèíèöàèçìåðåíèÿ äëèí âåêòîðîâ.
Âåêòîðû îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà kjirrr
,, óäîâëåòâîðÿþò
ðàâåíñòâàì:
( ) ( ) ( ) 1,,, === kkjjiirrrrrr
,
( ) ( ) ( ) 0,,, === kjkijirrrrrr
.
Ïðåäëîæåíèå 9. Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû,òî êîìïîíåíòû ëþáîãî âåêòîðà íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå:
332211 eeearrrr
α+α+α= , (4.31)
ãäå
( )2
1
11
,
e
ear
rr
=α , ( )
22
22
,
e
ear
rr
=α , ( )
23
33
,
e
ear
rr
=α . (4.32)
94
 ÷àñòíîñòè, åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî:
( )iaxrr
,= , ( )jayrr
,= , ( )kazr
r
,= ;
( ) ( ) ( )kkajjaiiaarr
rrrrrrrr
,,, ++= (4.33)
èëè
kzjyixarrrr ++= . (4.34)
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2. Åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé, òî äëÿ ëþáûõ
âåêòîðîâ ( )111 ,, zyxar
è ( )222 ,, zyxbr
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:
( ) 212121, zzyyxxba ++=r
r. (4.35)
Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â (4.35) âìåñòî âåêòîðîâ ar è b
r
èõ ðàçëîæåíèÿ (4.34), ïîëó÷èì:
( ) ( ) 212121222111 ,, zzyyxxkzjyixkzjyixba ++=++++=rrrrrrr
r.
Òåîðåìà 4.2 ïîçâîëÿåò íàïèñàòü âûðàæåíèå äëèíû âåêòîðà÷åðåç åãî êîìïîíåíòû â ÏÑÊ:
( ) 222, zyxaa ++=rr
èëè
222 zyxa ++=r
, (4.36)
à òàêæå âûðàæåíèå äëÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè
( )22
22
22
21
21
21
212121,cos
zyxzyx
zzyyxx
ba
ba
++⋅++
++=⋅
=ϕ rr
rr
. (4.37)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.36) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ( )1111 ,, zyxM è
( )2222 ,, zyxM :
( ) ( ) ( )212
212
21221 zzyyxxMM −+−+−= . (4.38)
95
4.6.2. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ïðî-
åêöèè âåêòîðà. Ïóñòü íàì çàäàí âåêòîð AB è íåêîòîðàÿ ïðÿ-
ìàÿ l . Îïóñòèì èç òî÷åê A è Bïåðïåíäèêóëÿðû íà ïðÿìóþ è
îáîçíà÷èì èõ îñíîâàíèÿ A′ è
B′ (ðèñ. 4.18). Âåêòîð BA ′′ áó-äåì íàçûâàòü âåêòîðíîé ïðîåê-
öèåé âåêòîðà AB íà ïðÿìóþ lè áóäåì îáîçíà÷àòü êàê:
ABBA lÏð=′′ .
Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêöèè ðàâíûõ âåêòî-ðîâ íà ïàðàëëåëüíûå ïðÿìû ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Çàäàäèì íà l íåíóëåâîé âåêòîð er , òîãäà
eBABAr
α=′′=′′ . (4.39)
Ïðåäñòàâèì âåêòîð AB êàê beBBBAABr
r
+α=′′+′′= , ãäå
âåêòîð eBBbr
r
⊥′′= . Òîãäà
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2,,,,, eeeebeeebeeAB
rrrrr
rrrr
rr α=α=+α=+α=èëè
( )2
,
e
eABr
r
=α .
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå α â (4.39), ïîëó÷èì
( )e
e
eABABl
r
r
r
2
,=Ïð . (4.40)
Ïðèâåä¸ì áåç äîêàçàòåëüñòâ íåñêîëüêî ñâîéñòâ âåêòîðíûõïðîåêöèé:
à) ïðîåêöèÿ âåêòîðà ar íà ïðÿìóþ l ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
Ðèñ. 4.18.
B ′′
96
ìîäóëÿ âåêòîðà ar êîñèíóñ óãëà ϕ ìåæäó âåêòîðîì è ïðÿìîé, ò.å.
ϕ= cosaalr
Ïð ; (4.41)
á) ðàâíûå âåêòîðû èìåþò ðàâíûå ïðîåêöèè íà îäíó è òóæåïðÿìóþ;
â) ïðîåêöèè äâóõ âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûõ âåêòîðîâ íàîäíó è òó æå ïðÿìóþ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì:
( ) ( )aa ll
rr
ÏðÏð −=− ;
ã) ïðîåêöèÿ ñóììû âåêòîðîâ íà êàêóþ-ëèáî ïðÿìóþ ðàâíàñóììå ïðîåêöèé ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ íà ýòó ïðÿìóþ;
ä) ïðîåêöèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðà íà âåêòîð ðàâíà ïðîèçâå-äåíèþ ýòîãî ñêàëÿðà íà ïðîåêöèþ âåêòîðà íà òó æå ïðÿìóþ;
å) ïðîåêöèÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ðàâíà òîé æåëèíåéíîé êîìáèíàöèè èõ ïðîåêöèé.
Ïðèìåð. Íàéòè ïðîåêöèþ âåêòîðà jiarrr
23 += íà âåêòîð jibrrr
2−= .
( ) ( )( ) bbb
b
baa
b
rrr
r
rr
rr
51
21
2213,222 −=
−+−⋅+⋅==Ïð
.
4.6.3. Îðèåíòàöèÿ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè è ïðîñòðàíñòâà
Âûáåðåì (ðèñ. 4.19) íà ïðÿìîé l íåíóëåâîé âåêòîð 1er
, êîòî-
ðûé ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâåáàçèñíîãî âåêòîðà. Ïðÿìóþ ëèíèþ
l â ýòîì ñëó÷àå áóäåì ñ÷èòàòü íà-ïðàâëåííîé ïðÿìîé (îñüþ). Âñå áàçè-ñû íà ïðÿìîé, î÷åâèäíî, ðàçäåëÿò-
ñÿ íà äâà êëàññà: áàçèñíûå âåêòîðû èçîäíîãî êëàññà íàïðàâëåíû (ðèñ. 4.20)îäèíàêîâî, à èç äðóãîãî - ïðîòèâîïî-ëîæíî.
Åñëè èç äâóõ êëàññîâ áàçèñîâ âûá-ðàí îäèí, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ l îðè-
O
er
Ðèñ. 4.19.
O
O
er
er
Ðèñ. 4.20.
97
åíòèðîâàíà. Áàçèñû âûáðàííîãî êëàñ-ñà íàçîâ¸ì ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðî-âàííûìè èëè ïîëîæèòåëüíûìè.
Äâà áàçèñà íà ïëîñêîñòè îäèíàêîâîîðèåíòèðîâàíû, åñëè â îáåèõ áàçèñàõ (ðèñ.
4.21) êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò 1er
ê 2er
ïðî-
èçâîäèòñÿ â îäíó ñòîðîíó: 21 eerr
, è 21 eerr ′′, -
(ðèñ. 4.21) îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî,
à 21 eerr
, è 21 eerr ′′, - (ðèñ. 4.22) îðèåíòèðîâà-
íû ïðîòèâîïîëîæíî.Ïëîñêîñòü áóäåò îðèåíòèðîâàíà,
åñëè èç äâóõ êëàññîâ áàçèñîâ âûáðàí îäèí.Îðèåíòàöèþ áàçèñà íà ïëîñêîñòè
ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíîé, åñëè
êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò 1er
ê 2er
ïðîèç-
âîäèòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 4.21).
Áàçèñ 321 eeerrr
,, â ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 4.23) áóäåì íàçûâàòü ïðà-
âûì åñëè ñ êîíöà âåêòîðà 3er
êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò 1er
ê 2er
ñî-
âåðøàåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ðèñ. 4.24)
áàçèñ 321 eeerrr
,, áóäåì íàçûâàòü ëåâûì.
7 À.À. Êèðñàíîâ
98
Ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè èç äâóõêëàññîâ áàçèñîâ âûáðàí îäèí. Áàçèñû âûáðàííîãî êëàññà íàçû-âàþòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûìè. Ìû áóäåì âñåãäà ïðè-äåðæèâàòüñÿ ïðàâîé îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà, ñ÷èòàÿ ïîëîæè-òåëüíûìè ïðàâûå áàçèñû è áóäåì âñåãäà ïîìíèòü î òîì, ÷òî íè÷-òî íå ìåøàåò íàì âûáðàòü ëåâûé áàçèñ è åãî îðèåíòàöèþ ñ÷èòàòüïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé - âñ¸ ýòî îòíîñèòåëüíî.
Åñëè ïðîñòðàíñòâî îðèåíòèðî-âàíî, òî îðèåíòàöèþ ëþáîé ïëîñêî-ñòè (ðèñ. 4.25) â í¸ì ìîæíî çàäàòü,óêàçàâ îðèåíòàöèþ ïðÿìîé. Ïðè ýòîì
ïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì bar
r
, íà
ïëîñêîñòè áóäåì ñ÷èòàòü òàêîé, êîòî-ðûé âìåñòå ñ ïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì
nr íà ïðÿìîé ñîñòàâëÿåò ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà
nbar
rr
,, .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî îðèåíòàöèÿ ïëîñêîñòè îïðåäå-
ëåíà íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr .
 îðèåíòèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâåàíàëîãè÷íî ìîæíî çàäàòü îðèåíòàöèþïðÿìîé ëèíèè. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàäàòüîðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿð-íîé ê ýòîé ïðÿìîé. Òîãäà ïîëîæèòåëüíûìáàçèñîì a
r íà ïðÿìîé (ðèñ. 4.26) áóäåò òà-êîé áàçèñ, êîòîðûé âìåñòå ñ áàçèñíûìè
âåêòîðàìè nbr
r
, ïëîñêîñòè ñîñòàâëÿåò ïî-
ëîæèòåëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà.
4.6.4. Ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, îáú¸ìîðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
Ïóñòü íà ïðÿìîé ëèíèè âûáðàí áàçèñíûé âåêòîð, ò.å. ïðÿ-ìàÿ îðèåíòèðîâàíà. Òîãäà äëèíå ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà íàäàííîé ïðÿìîé ìîæåò áûòü ïðèïèñàí çíàê (+), åñëè íàïðàâëåíèå
99
âåêòîðà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì áàçèñíîãî âåêòîðà è çíàê (-) âïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Ðàññìîòðèì ïàðàë-ëåëîãðàìì íà ïëîñêîñòè(ðèñ. 4.27) îáðàçîâàí-íûé óïîðÿäî÷åííîé ïà-
ðîé âåêòîðîâ 1er
, 2er
ïðè-
âåä¸ííûõ ê îáùåìó íà-÷àëó. Åñëè âåêòîðû îá-ðàçóþò ïðàâûé áàçèñ íà ïëîñêîñòè ìû áóäåì ïðèïèñûâàòü ïëî-ùàäè ïàðàëëåëîãðàììà çíàê (+), åñëè íåò - (-).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïàðàëëåëåïèïåä (ðèñ. 4.28) ïîñòðîåííûé
íà óïîðÿäî÷åííûõ âåêòîðàõ 1er
, 2er
, 3er
ïðèâåä¸ííûõ ê îáùåìó íà-
÷àëó. Åñëè îðèåíòàöèÿ âåêòîðîâ 1er
, 2er
, 3er
, îáðàçóþùèõ ïàðàëëå-
ëåïèïåä, îáðàçóåò ïðàâûé áàçèñ - ïðèïèøåì îáúåìó ïàðàëëåëå-ïèïåäà çíàê (+), åñëè íåò - (-).
4.6.5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ
Êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âîçíèêàåò èç ïîíÿòèÿ ðàáîòû,òàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ âîçíèêàåò èç ïîíÿòèÿ,íàïðèìåð, ìîìåíòà ñèëû.Îïðåäåëåíèå 4.16. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ a
r è
br
íàçûâàåòñÿ âåêòîð Nr
, êîòîðûé:
7*
100
à) èìååò ìîäóëü Nr
÷èñëåííî ðàâíûé ïëîùàäè îðèåíòèðî-
âàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ ar è b
r
;
á) íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïåðåìíîæàåìûì âåêòîðàìâ òó ñòîðîíó, îòêóäà íàèìåíüøèé ñîâìåùàþùèé èõ ïîâîðîò îòïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó âèäåí ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñî-âîé ñòðåëêè.
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ar è b
r
îáîçíà÷àåòñÿ
îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ:
bar
r× , [ ]bar
r, [ ]ba
rr
, . (4.42)
Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ òðå-òüåãî âàðèàíòà.
Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî (ðèñ. 4.29),÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ÷èñ-ëåííî ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äâóõ åãîíåïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëàìåæäó íèìè. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñî-ñòàâèòü ôîðìóëó äëÿ ìîäóëÿ âåêòîðíî-ãî ïðîèçâåäåíèÿ:
ϕ⋅= sinbaNrr
. (4.43)
Óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Ðàâåíñòâî íóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å.
[ ] O=bar
r
, ,
ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ åãî ìîäóëÿ:
0=ϕsinab .
Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ëèáî oa = , ëèáî 0=b , ëèáî
0=ϕsin , ò.å. ëèáî O=ar , ëèáî O=b
r
, ëèáî îíè ïàðàëëåëüíû bar
r
.
Èìåÿ â âèäó, ÷òî íóëåâîé âåêòîð O êîëëèíåàðåí ëþáîìó âåêòî-
101
ðó, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ âåêòîð-íîãî ïðîèçâåäåíèÿ òàê:Îïðåäåëåíèå 4.17. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíîíóëþ åñëè ýòè âåêòîðû êîëëèíåàðíû.Çàìå÷àíèå. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà ñàìîãî íà ñåáÿ âñå-ãäà ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó:
[ ] O=aarr
, .
Çàêîíû âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ.
Èç îïðåäåëåíèÿ 4.16 âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó ñëåäó-åò, ÷òî
1. [ ] [ ]abbar
rrr
,, −= ,
ò.å. âåêòîðíîå óìíîæåíèå àíòèêîììóòàòèâíî.
2. ( )[ ] [ ] [ ]bacacbar
rrrrr
r
,,, +=+ - ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí.
3. [ ] [ ]babar
rr
r
,, λ=λ - ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿð-
íûõ ìíîæèòåëåé.
Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ â ÏÑÊ.
Èç ñâîéñòâ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî:
[ ] O=iirr
, , [ ] O=jjrr
, , [ ] O=kkrr
, . (4.44)
Ïðè ðàññìîòðåíèè âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé ðàçíîèì¸ííûõîðòîâ ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ îðèåíòà-öèÿ áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå. Ïðåäïîëî-æèì, ÷òî íàì çàäàíà ïðàâàÿ (ðèñ. 4.30)ÏÑÊ.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî áàçèñíûå âåêòîðû
kjirrr
,, íîðìèðîâàíû (èõ ìîäóëè ðàâíû
åäèíèöå), ïîëó÷èì (ðèñ. 4.31):
kr
jr
ir
Ðèñ. 4.30.
102
[ ] kjirrr
=, , [ ] kijrrr
−=, ,
[ ] ikjrrr
=, , [ ] ijkrrr
−=, , (4.45)
[ ] jikrrr
=, , [ ] jkirrr
−=, .
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â êîîðäèíàòíîé ôîðìå.
Ïóñòü äâà âåêòîðà â ÏÑÊ èìåþò âèä:
kajaiaa zyx
rrrr ++= , kbjbibb zyx
rrrr
++= .
Ñîñòàâèì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå [ ]bar
r
, â êîîðäèíàòíîé
ôîðìå:
[ ] [ ]=++++= kbjbibkajaiaba zyxzyx
rrrrrrrr
,,
[ ] [ ] [ ]+++= kibajibaiiba zxyxxx
rrrrrr
,,,
[ ] [ ] [ ]++++ kjbajjbaijba zyyyxy
rrrrrr
,,,
[ ] [ ] [ ]=+++ kkbajkbaikba zzyzxz
rrrrrr
,,,
ibajbaibakbajbakba yzxzzyxyzxyx
rrrrrr
−++−−=èëè
[ ] ( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzy babakbabajbabaiba −+−−−=rrrr
r
, .
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè îðòàõ åñòü îïðå-äåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà:
[ ]yx
yx
zx
zx
zy
zy
bb
aak
bb
aaj
bb
aaiba ⋅+⋅−⋅=
rrrrr
, .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ òðåòüå-ãî ïîðÿäêà ïî ïåðâîé ñòðîêå, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îðòû
kjirrr
,, ò.å.:
Ðèñ. 4.31.
kr
jr
ir
103
[ ]zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
rrr
rr
=,. (4.46)
4.7. Ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ
4.7.1. Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ
Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ cbar
rr
,, ïîëó÷àåòñÿåñëè óìíîæèòü äâà âåêòîðà ñêàëÿðíî è ðåçóëüòàò óìíîæèòü íàòðåòèé âåêòîð, ò.å.
( ) ccbarr
rr λ=⋅, ,
ãäå ( )bar
r
,=λ .
ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì âåêòîð, êîëëèíåàðíûé ñ
âåêòîðîì cr
.ßñíî, òàê æå, ÷òî
( ) ( )cbacbar
rrr
rr
,, ⋅≠⋅åñëè âåêòîðû a
r
è cr
íå êîëëèíåàðíû.
4.7.2. Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ
Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ïîëó÷àåò-ñÿ âåêòîðíûì óìíîæåíèåì âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòî-
ðîâ [ ]bar
r
, íà òðåòèé âåêòîð cr , ïðè ýòîì ìû, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì
ñíîâà âåêòîð, êîòîðûé îáîçíà÷èì êàê Rr
:
[ ][ ]cbaRr
rrr
,,= .
Òàê êàê âåêòîð Rr
åñòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
[ ]baNr
rr
,= è âåêòîðà cr , îí áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí (ðèñ. 4.32) êàê
âåêòîðó [ ]baNr
rr
,= , òàê è âåêòîðó cr
.
104
Èç ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðà Rr
ê âåêòîðíîìó ïðîèçâå-
äåíèþ [ ]baNr
rr
,= ñëåäóåò, ÷òî îí ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ ar è
br
, è ðàçëàãàåòñÿ ïî íàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âèäà:
baRr
rr
µ+λ= . (4.47)
Òàê êàê cRr
r
⊥ - èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ:
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0=µ+λ=µ+λ= cbcacbacRr
rrrr
rrrr
,,,,
èëè
( ) ( )cbcar
rrr
,,
λ−=µ.
Îáîçíà÷èâ ýòè ðàâíûå îòíîøåíèÿ ÷åðåç σ , ïîëó÷èì:
( ) ( ) σ=λ−=µcbcar
rrr
,,
èëè
( )carr
,σ=µ , ( )cbr
r
,σ−=λ .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (4.47), ïîëó÷èì:
( ) ( ) cbacabRr
rrrr
rr
,, −σ= . (4.48)
Îïðåäåëèì ÷èñëî σ . Äëÿ ýòîãî ââåä¸ì ÏÑÊ, ñîâìåñòèâ îñü
OX ñ âåêòîðîì ar . Îñü OY ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè OX è ëåæèò â
Ðèñ. 4.32.
cr
br
ar
[ ]baNr
rr
,=
[ ][ ]cbaRr
rrr
,,=
105
ïëîñêîñòè âåêòîðîâ ar è b
r
(ðèñ. 4.32). Ðàçëîæèì âåêòîðû ar , b
r
è
cr ïî îðòàì âûáðàííîé íàìè ÏÑÊ:
iaa x
rr = ,
jbibb yx
rrr
+= , (4.49)
kcjcicc zyx
rrrr ++= .
Âû÷èñëèì òåïåðü [ ][ ] [ ]cNcbaRrrr
rrr
,, == .
Òàê êàê
[ ] kba
bb
a
kji
baN yx
yx
x
r
rrr
rrr
===0
00,,
òî
[ ] [ ] [ ]
.
, ,,
jcbaicba
ccc
ba
kji
kcjcickbackbacNR
xyxyyx
zyx
yxzyxyxyx
rr
rrr
rrrrr
rrrr
+−=
==++=== 00
(4.50)
Âû÷èñëèì òåïåðü Rr
ïî ôîðìóëå (4.48). Çäåñü, â ñîîòâåòñòâèèñ (4.49) èìååì:
( ) xxcaca =rr
, , ( ) yyxx cbcbcb +=rr
, .
Òîãäà
( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅−⋅+σ=−σ= yyxxxxxyx cbcbiacajbibcbacabRrrrrr
rrrr
rr
,,
=−−+σ= icbaicbajcbaicba yyxxxxxyxxxx
rrrr
jcbaicba xyxyyx
rr
+−σ= . (4.51)
Ñðàâíèâàÿ (4.50) è (4.51) ïîëó÷èì:
1=σ .
106
Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå (4.48) çàïèøåòñÿ òàê:
( ) ( )cbacabRr
rrrr
rr
,, −=èëè
[ ][ ] ( ) ( )cbacabcbar
rrrr
rr
rr
,,, −= . (4.52
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâåäåíèå
[ ][ ]cbar
rr
,, .
Èç ñâîéñòâ âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî:
[ ][ ] [ ][ ]acbcbarr
rr
rr
,,, −=èëè ñ ó÷¸òîì (*)
[ ][ ] ( ) ( ) acbabccbarr
rr
rrr
rr
,,,, ⋅−⋅−=èëè
[ ][ ] ( ) ( )baccabcbar
rrrrr
rr
r
,,,, ⋅−⋅= . (4.53)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå õîðîøî çàïîìèíàåòñÿ êàêàáö=áàö-öàá.
Çàìåòèì, ÷òî
[ ][ ] [ ][ ]cbacbar
rrr
rr
,,, ≠ . (4.54)
4.7.3. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèå òð¸õâåêòîðîâ
Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòî-ðîâ åñòü ïðîèçâåäåíèå âèäà
[ ]( )cbar
rr
,, ,
êîòîðîå ìû áóäåì â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü êàê
( )cbar
rr
,, .
Î÷åâèäíî, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé ñêàëÿð.
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Äëÿ ýòîãî (ðèñ. 4.33) ïîñòðîèì íà äàííûõ âåêòîðàõ ar , b
r
è cr ïà-
ðàëëåëåïèïåä.
107
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òîïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãîïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ ar è b
r
åñòü:
[ ] ψ== sin, abbaSr
r
.
Òîãäà îáú¸ì îðèåíòèðî-âàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà,ïîñòðîåííîãî íà äàííûõ âåê-òîðàõ åñòü:
( )cSScShVr
r
,cos =ϕ==
èëè
( )cbaVr
rr
,,= . (4.55)
Îïðåäåëåíèå 4.18. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòî-ðîâ, îáðàçóþùèõ ïðàâóþ ñèñòåìó, ðàâíî îáú¸ìó ïàðàëëåëåïèïå-äà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ.
Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ.
1. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ íå çàâèñèò îò ãðóï-ïèðîâêè ìíîæèòåëåé:
[ ]( ) [ ]( )cbacbar
rrr
rr
,,,, = - ñâîéñòâî ñî÷åòàòåëüíîñòè.
2. Ïðè ïåðåñòàíîâêå ìíîæèòåëåé, íå íàðóøàþùåé ïîðÿäêà èõñëåäîâàíèÿ (ðèñ. 4.34), ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ. Åñëèïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ìíîæèòåëåé íàðóøàåòñÿ - ñìåøàííîå ïðîèç-âåäåíèå ìåíÿåò ñâîé çíàê.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cbabacacbbacacbcbar
rr
rrrrr
rrrrrr
rr
rr
,,,,,,,,,,,, −=−=−=== - ñâîé-
ñòâî êðóãîâîé ïåðåìåñòèòåëüíîñòè.3. Ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ñìåøàí-
íîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
Ðèñ. 4.33.
[ ]baSr
rr
,=
hcr
br
ar
108
( ) ( )cbacbar
rrr
rr
,,,, λ=λ - ñâîéñòâî ñî÷å-
òàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíûõìíîæèòåëåé.
Ðàâåíñòâî íóëþ ñìåøàííîãî ïðîèçâå-äåíèÿ.
Èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñ-ëà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî
ñðàçó ñêàçàòü, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ðàâíîíóëþ, åñëè ðàâåí íóëþ îáú¸ì ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ ïà-ðàëëåëåïèïåäà. Ýòî âîçìîæíî åñëè âåêòîðû êîìïëàíàðíû èëè èìå-
þòñÿ äâà îäèíàêîâûõ âåêòîðà, ò.å. ( ) 0=baar
rr
,, .
Îïðåäåëåíèå 4.19. Óñëîâèåì êîìïëàíàðíîñòè òð¸õ âåêòîðîâ ÿâ-ëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ â ÏÑÊ.
Ðàññìîòðèì âåêòîðû ar , b
r
è cr â ÏÑÊ:
kajaiaa zyx
rrrr ++= ,
kbjbibb zyx
rrrr
++= , (4.56)
kcjcicc zyx
rrrr ++= .
Âû÷èñëèì ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå [ ]( )cbar
rr
,, ñ ó÷¸òîì (455):
[ ]yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx cc
bbk
cc
bbj
cc
bbi
ccc
bbb
kji
cb ⋅+⋅−⋅==rrr
rrr
rr
,,
Ðèñ. 4.34.
cr b
r
ar
109
[ ]( )
+−=
yx
yxz
zx
zxy
zy
zyx cc
bba
cc
bba
cc
bbacba
rrr
,, .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðàçëîæåíèå îïðå-äåëèòåëÿ
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
ïî ïåðâîé ñòðîêå, ò.î. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â ÏÑÊ èìååò âèä:
( )zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba =rrr
,, . (4.57)
Èç óðàâíåíèÿ (4.57) ñðàçó ìîæåì íàïèñàòü óñëîâèå êîìïëà-íàðíîñòè òð¸õ âåêòîðîâ â ÏÑÊ:
0=
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
. (4.58)
110
5. Ïðÿìûå ëèíèè è ïëîñêîñòè
5.1. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ l íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå
îïðåäåëåíà, åñëè çàäàíà òî÷êà 0M è çàäàí íåíóëåâîé âåêòîð ar ,
ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé.
Òî÷êó 0M áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðÿìîé, à âåê-
òîð ar - íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé.
Ïóñòü 0rr
- ðàäèóñ âåêòîð
òî÷êè 0M è ar - íàïðàâëÿþ-
ùèé âåêòîð. Ðàññìîòðèì(ðèñ. 5.1.) ïðîèçâîëüíóþ òî÷-êó lM ∈ ñ ðàäèóñ âåêòîðîì
rr . Âåêòîð
00 rrMMrr −= ïà-
ðàëëåëåí ïðÿìîé l (âåêòîðó
ar ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîã-
äà òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé l . Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëî-
æåíèåì 4.2, íàéä¸òñÿ òàêîå ÷èñëî t , ÷òî atMMr=0
èëè
atrrrrr
=− 0 . (5.1)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
atrrrr
+= 0 .
Íàîáîðîò, êàêîå áû ÷èñëî t ìû íè ïîñòàâèëè â (5.1), âåêòîð
rr áóäåò îïðåäåëÿòü íåêîòîðóþ òî÷êó M ëåæàùóþ íà ïðÿìîé l .
Óðàâíåíèå (5.1) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâ-íåíèåì ïðÿìîé, à âåëè÷èíà Rt∈ íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì.
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âûãëÿäèòîäèíàêîâî è â ïëàíèìåòðèè è â ñòåðåîìåòðèè.  ðàçëîæåíèè ïîñîîòâåòñòâóþùåìó áàçèñó (îïðåäåëåíèå 4.14) îíî áóäåò èìåòü äâàèëè òðè óðàâíåíèÿ:
0M
M
l
ar
0rrr
r −
0rr
rr
3er
2er
1erÎ Ðèñ. 5.1.
111
1. Â áàçèñå 321 eeeOrrr
(òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî)
,
,
,
ntzz
mtyy
ltxx
+=+=+=
0
0
0
(5.2)
ãäå 321 enemelarrrr ++= .
 áàçèñå 21eeOrr
(ïëîñêîñòü)
,
,
mtyy
ltxx
+=+=
0
0(5.3)
ãäå 21 emelarrr += .
Óðàâíåíèÿ (5.2) è (5.3) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâ-
íåíèÿìè ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè.
5.2. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ïîëó÷èì òåïåðü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè π âïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 5.2).
Ïóñòü pr
è qr
äâà å¸ íåêîëëèíåàðíûõ íàïðàâëÿþùèõ âåêòî-
ðà âûõîäÿùèõ èç òî÷êè 0M ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, 0rr
- ðàäèóñ
âåêòîð òî÷êè 0M , à rr - ðàäèóñ âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M .
Âåêòîð 00 rrMMrr −= , íà÷àëî êîòîðîãî ëåæèò â ïëîñêîñòè π , ïà-
ðàëëåëåí åé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà M ëåæèò íà ïëîñ-
êîñòè. Â ñèëó íåêîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ pr
è qr
âåêòîð
00 rrMMrr −= ìîæåò áûòü (òåîðåìà 4.1 ï.2) ïî íèì ðàçëîæåí, ò.å.
íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà 1t è 2t , ÷òî
qtptrrrrrr
210 +=− (5.4)
èëè
qtptrrrrrr
210 ++= .
112
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâ-
íåíèåì ïëîñêîñòè.
Ïóñòü ( )000 zyx ,, è ( )zyx ,, êîîðäèíàòû òî÷åê 0M è M â
321 eeeOrrr
, epepepprrrr
32211 ++= , 332211 eqeqeqqrrr ++= , òîãäà (5.4)
ìîæíî çàïèñàòü êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé
,
,
,
32310
22210
12110
qtptzz
qtptyy
qtptxx
++=++=++=
(5.5)
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé ïëîñêîñòè.
5.3. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè
Âîçüì¸ì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.3) íà ïëîñ-êîñòè è èñêëþ÷èì èç íåãî ïàðàìåòð t :
m
yy
l
xxt 00 −=−= .
Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
( ) ( )00 yylxxm −=−èëè
Ðèñ. 5.2.Î
qr
pr
π
0M
M0rrr
r
−
0rr
rr
3er
2er
1er
113
( ) ( ) 000 =−−− yylxxm .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðàçâ¸ðíóòàÿ çà-ïèñü îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å.
000 =−−ml
yyxx. (5.6)
Ïðåäëîæåíèå 5.1.  ïðîèçâîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êî-îðäèíàò íà ïëîñêîñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ñ íà÷àëüíîé òî÷-
êîé ( )000 yxM , è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ( )mla ,r
ìîæåò áûòü çà-
ïèñàíî â âèäå (5.6).Óðàâíåíèå (5.6) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óñëîâèå êîëëè-
íåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ.Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (5.6):
( ) ( ) ( ) 0000000 =−+−=−−−=
−−mxlylymxyylxxm
ml
yyxx.
Ïîëàãàÿ
mA = ; lB −= ; 00 mxlyC −=ïîëó÷èì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè:
0=++ CByAx . (5.7)
Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû A è B íå ðàâíû íóëþîäíîâðåìåííî, ò.å.
022 ≠+ BA .
Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé â (5.7) ìîæíî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî÷èñëà
220BA
ACx
+−= è 220
BA
BCy
+−= (5.8)
ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó ( )000 yxM , ïðÿìîé (5.7).
Ïðåäëîæåíèå 5.2. Âåêòîð ( )ABa ,−r
ìîæíî ïðèíÿòü çà íàïðàâ-
ëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé (5.7), à òî÷êó (5.8) çà å¸ íà÷àëüíóþ òî÷êó.Åñëè â êà÷åñòâå ñèñòåìû êîîðäèíàò âûáðàòü îðòîíîðìèðî-
8 À.À. Êèðñàíîâ
114
âàííóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, òîãäà âåêòîðó ( )ABa ,−r
ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê íåìó âåêòîð ( )BAn ,r
,
êîòîðûé ìû áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì âåêòîðîì.
Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü âåêòîðîâ ( )ABa ,−r
è ( )BAn ,r
ëåãêî ïðî-
âåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
( ) 0=+−= ABBAnarr
, .
Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.7) ïðè:1. 0=A , 0≠B , 0≠C ,
òîãäà (5.7) ïðèìåò âèä
0=+ CBy èëè B
Cy −= - ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ;
2. 0≠A , 0=B , 0≠C ,òîãäà èìååì
0=+ CAx èëè A
Cx −= - ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè îðäèíàò;
3. 0≠A , 0≠B , 0=C ,èìååì ïðÿìóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò
0=+ ByAx .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â óðàâíåíèè (5.7) êîýôôèöèåíò 0≠B , ò.å.ïðÿìàÿ íå ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò. Ïîäåëèâ âñå ñëàãàåìûå óðàâ-íåíèÿ (5.7) íà 0≠B , ïîëó÷èì:
0=++B
Cyx
B
A
èëè ïîëàãàÿ
kB
A =− è bB
C =−
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
bkxy += . (5.9)Çàìåòèì, ÷òî
115
l
m
B
Ak =−= .
Îïðåäåëåíèå 5.2. Îòíîøåíèå êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåê-
òîðà ( )mla ,r
íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé (5.9), à
ñàìî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôè-
öèåíòîì (ïðèâåä¸ííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé).Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k ïðÿìîé
(5.9) â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìåêîîðäèíàò ðàâåí òàíãåíñó óãëà, êîòî-ðûé ïðÿìàÿ îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ.Óãîë îòñ÷èòûâàåòñÿ îò îñè àáñöèññ âíàïðàâëåíèè êðàò÷àéøåãî ïîâîðîòà
îò ir
ê jr
(ðèñ. 5.3).
Èòàê
l
mtgk =ϕ= . (5.10)
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (5.6)
( ) ( ) 00000 =−−−=
−−yylxxm
ml
yyxx.
Åãî, î÷åâèäíî, ìîæíî çàïèñàòü êàê
( ) ( )00 yylxxm −=−èëè
( )00 xxl
myy −=− .
Ñ ó÷¸òîì (5.10) ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òî÷êó ( )000 yxM , ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k :
( )00 xxkyy −=− . (5.11)
ϕ
22 += xyy
x
jr
ir
1=ϕ= tgk
Ðèñ. 5.3.
Î
8*
116
5.4. Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.4) óò-âåðæäàåò, ÷òî òî÷êà M (ðèñ. 5.4) ëåæèò íà ïëîñêîñòè π òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà 0rrrr
− êîìïëàíàðåí íàïðàâëÿþùèì âåêòîðàì
pr
è qr
. Ýòó êîìïëàíàðíîñòü ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñìåøàííîåïðîèçâåäåíèå óêàçàííûõ âûøå âåêòîðîâ:
( ) 00 =− qprrrrrr
,, . (5.12)
Çäåñü [ ]qpnrrr
,= íåíóëåâîé âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê ïëîñ-
êîñòè π , à ñëåäîâàòåëüíî è âåêòîðó π∈− 0rrrr
. Óñëîâèå ïåðïåíäè-
êóëÿðíîñòè âåêòîðîâ 0rrrr
− è nr åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿð-
íîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å.
( ) 00 =− nrrrrr
, . (5.13)
Óðàâíåíèÿ (5.12) è (5.13) áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíûìè óðàâ-íåíèÿìè ïëîñêîñòè.
Óðàâíåíèå (5.13), èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ñêà-ëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
( ) ( ) ( ) 000 =−=− nrnrnrrrrrrrrr
,,, .
Ïîëàãàÿ ( ) Dnr =− r
,0 , ïîëó÷èì åù¸ îäíî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ðèñ. 5.4.
[ ]qpnrrr
,= qr
pr
π
0M
M0rrrr
−
0rr
rr
3er
2er
1erÎ
117
( ) 0=+ Dnrrr
, . (5.14)
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.1) ãîâîðèòî òîì, ÷òî òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
âåêòîð 0rrrr
− ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó ar . Â ýòîì ñëó-
÷àå íîðìàëüíûé âåêòîð ( )BAn ,r
ïåðïåíäèêóëÿðåí êàê íàïðàâëÿ-
þùåìó âåêòîðó ar , òàê è âåêòîðó 0rr
rr
− . Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿð-
íîñòè âåêòîðîâ 0rrrr
− è nr åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å.
( ) 00 =− nrrrrr
, . (5.15)
Óðàâíåíèå (5.15) íàçîâ¸ì âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íàïëîñêîñòè.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü ïðèâåä¸ííûìâûøå ñïîñîáîì:
( ) ( ) ( ) 000 =−=− nrnrnrrrrrrrrr
,,, .
Ïîëàãàÿ ( ) Cnr =− r
,0 , ïîëó÷èì íîâîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà
ïëîñêîñòè:
( ) 0=+ Cnrrr
, . (5.16)
Ïðåäëîæåíèå 5.3. Åñëè zyx ,, - êîìïîíåíòû ðàäèóñ âåêòîðà
rr â îðòîíîðìèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òîãäàâåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
( ) 00 =− nrrrrr
,
ïðè O≠nr ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ëèíåéíîãî ìíîãî÷ëåíà
0=+++ DCzByAx ,
ãäå 0222 ≠++ CBA .
Ïóñòü kzjyixrrrr
r ++= , òîãäà
118
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .,,,,
,,,,,
00
000
=−++=
=−++=−=−
nrnkznjynix
nrnkzjyixnrnrnrrrrr
r
r
r
r
r
rrr
rrr
rrrrrrr
Ïîëàãàÿ
( )niAr
r
,= , ( )njBr
r
,= , ( )nkCr
r
,= , ( )nrDrr
,0−= (5.17)
âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ìû ìîæåì çàïèñàòü êàê
0=+++ DCzByAx , (5.18)êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.
Êîýôôèöèåíòû A , B è C îäíîâðåìåííî íóëþ íå ðàâíû,
òàê êàê îòëè÷íûé îò íóëåâîãî íîðìàëüíûé âåêòîð nr íå ìîæåò
áûòü îäíîâðåìåííî ïåðïåíäèêóëÿðåí âñåì òð¸ì áàçèñíûì âåê-òîðàì.
Òàê êàê ( )nrDrr
,0−= ìû ìîæåì ïîëîæèòü nr
rr
λ=0 , òîãäà
( )nnDrr
,λ−= , ( ) 2n
D
nn
Dr
rr−=−=λ
,
è, òàêèì îáðàçîì,
nn
Dr
r
r
r
⋅−=20 . (5.19)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íà÷àëüíóþ òî÷-
êó ïëîñêîñòè åñëè îíà çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåì (5.18).Ïðåäëîæåíèå 5.4. Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò îðòîíîðìèðîâàí-
íàÿ, âåêòîð nr ñ êîîðäèíàòàìè CBA ,, ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì âåê-
òîðîì äëÿ ïëîñêîñòè çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì
0=+++ DCzByAx .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî ïðåäëîæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿïðåäëîæåíèåì 4.9 è ôîðìóëàìè (4.31), (4.32) è (5.17).
Èòàê, åñëè
kCjBiAnrrr
r ++= ,
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.32) èìååì
119
( ) ( )ini
inA
r
r
r
r
r
,, ==
2 , ( ) ( )jn
j
jnB
r
r
r
r
r
,, ==
2 , ( ) ( )kn
k
knC
r
r
r
r
r
,, ==
2 ,
÷òî ñ ó÷¸òîì êîììóòàòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïà-äàåò ñ (5.17).
Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îáùåãî óðàâíåíèÿïëîñêîñòè èç âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
( ) 00 =− qprrrrrr
,, . (5.12)
Ïóñòü êîîðäèíàòû âåêòîðîâ â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìåêîîðäèíàò åñòü:
( ) ( ) ( )kzzjyyixxrrrrr
rr
0000 −+−+−=− ,
kpjpipp zyx
rrr
r ++= , kqjqiqq zyx
rrr
r ++= .
Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.57) ìû ìîæåì çàïèñàòü
( ) 0000
0 =−−−
=−
zyx
zyx
qqq
ppp
zzyyxx
qprrrrrr
,,
èëè, ïîñëå ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîé ñòðîêå è ïåðåìå-
íå ìåñòàìè ñòîëáöîâ âî âòîðîì ñëàãàåìîì
( ) ( ) ( ) . 0000
000
=−⋅+−⋅+−⋅=
=−−−
zzqq
ppyy
ppxx
pp
qqq
ppp
zzyyxx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
zyx
zyx
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ:
zy
zy
ppA = ,
xz
xz
ppB = ,
yx
yx
ppC = .
120
Òîãäà, ñ ó÷¸òîì ââåä¸ííûõ îáîçíà÷åíèé,
( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA (5.20)
èëè
0=+++ DCzByAx . (5.18)
Çäåñü ìû ïîëîæèëè 000 CzByAxD −−−= .
Ðàâåíñòâî (5.20) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå âåêòîðà kCjBiAnrrr
r ++= è ïåðïåíäèêóëÿðíîãî åìó
âåêòîðà ( ) ( ) ( )kzzjyyixxrrrrr
rr
0000 −+−+−=− . Òàê êàê âåêòîð
0rrrr
− ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè, òî âåêòîð nr åñòü íîðìàëüíûé ê
äàííîé ïëîñêîñòè âåêòîð.
Ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìûå íåïîëíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè,ïîëó÷àåìûå èç óðàâíåíèÿ
0=+++ DCzByAx (5.18)ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ êîýôôèöèåíòîâ:
1. 0=D . ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
0=++ CzByAx ,
êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè 0=== zyx , ò.å. äàííàÿïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
2. 0=A . ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
0=++ DCzBy
ïàðàëëåëüíîé îñè Ox , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð äàííîé ïëîñ-
êîñòè ( )CBn ,,0r
ïåðïåíäèêóëÿðåí îñè Ox , êîòîðàÿ çàäà¸òñÿ íà-
ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ( )001 ,,ir
. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïëîñêîñòü ïå-
ðåñåêàåò ïëîñêîñòü Oyz ïî ïðÿìîé, óðàâíåíèå êîòîðîé â ýòîéïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ñàìèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè
0=++ DCzBy .
121
Ðàññìàòðèâàÿ àíàëîãè÷íûå ñëó÷àè 0=B è 0=C ìû ïîëó-÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
0=++ DCzAx è 0=++ DByAx
ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî îñÿì Oy è Oz .Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò êðàòêî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
åñëè â îáùåì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè îòñóòñòâóåò ÷ëåí, ñîäåðæà-
ùèé îäíó èç êîîðäèíàò, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà ñîîòâåòñòâó-
þùåé îñè êîîðäèíàò.3. 0== BA . ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
0=+ DCz
ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð ïîëó-
÷åííîé ïëîñêîñòè ( )Cn ,,00r
ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó
îñè Oz - ( )100 ,,kr
.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
0=+ DCz
â âèäå
C
Dz −= ,
òî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî íàøà ïëîñêîñòü îòñåêàåò íà îñè Oz
îòðåçîê, ðàâíûé C
D− .
Ïîëàãàÿ 0== CA è 0== CB ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííîóðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
0=+ DBy è 0=+ DAx ,
ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêîñòÿì Oxz è Oyz .Èòàê, åñëè íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ñîäåðæèò òîëüêî
îäíó ïåðåìåííóþ, òî äàííàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà òîé êîîðäè-
íàòíîé ïëîñêîñòè, ïåðåìåííûå êîòîðîé íå âõîäÿò â ðàññìàòðèâà-
åìîå íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.4. 0=== DBA .
122
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
0=Cz ,
êîòîðîå è åñòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Oxy , ò.ê. ïîëó÷åííîå óðàâ-
íåíèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè 0=z , à ïåðåìåííûå x è y
ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, íîðìàëüíûé âåê-
òîð ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè ( )Cn ,,00r
, êàê è â ïðåäûäóùåì
ñëó÷àå, ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó îñè Oz .
Ïîëàãàÿ 0=== DCA è 0=== DCB ìû ïîëó÷èì ñîîòâåò-ñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé
0=By è 0=Ax ,
ñîâïàäàþùèå ñîîòâåòñòâåííî ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè Oxz
è Oyz . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïóíêòà 3 ïðè
0=D .
Âîçüì¸ì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð knjmilarrr
r ++= è ñîñòàâèì
ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nknnjmnilnknjmilnar
r
r
r
r
r
r
rrr
rr
,,,,, ++=++= .
Ñ ó÷¸òîì (5.17) ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü êàê
( ) CnBmAlna ++=rr
, .
Ïðåäëîæåíèå 5.5. Âåêòîð ar ñ êîìïîíåíòàìè nml ,, â îðòî-
íîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè
0=+++ DCzByAx òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
0=++ CnBmAl . (5.21)Çàìåòèì, ÷òî ëþáûå äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà, óäîâëåòâî-
ðÿþùèå óñëîâèþ (5.21) ìîãóò áûòü ïðèíÿòû â êà÷åñòâå íàïðàâëÿ-
þùèõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè.
Âñ¸ ñêàçàííîå âûøå î ïëîñêîñòè, ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî è êïðÿìîé íà ïëîñêîñòè.  ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî
Ïðåäëîæåíèå 5.6. Âåêòîð ar ñ êîîðäèíàòàìè ml, â îðòîíîð-
ìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïðÿìîé
123
0=++ cByAx òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
0=+ BmAl . (5.22)
Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå jBiAnrr
r += , óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñ-
òè âåêòîðà nr è íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà jmila
rr
r += è åñòü (5.22).
Ó÷èòûâàÿ êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ 0rrrr
− è ar ìû ìîæåì
çàïèñàòü âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî íóëþ
èõ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
[ ] O=− arrrrr
,0 . (5.23)
5.5. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé è ïðÿìûõíà ïëîñêîñòè
Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêîñòè 1π è 2π çàäàííûå ñâîèìè îáùè-
ìè óðàâíåíèÿìè:
01111 =+++ DzCyBxA è 02222 =+++ DzCyBxA .
Ïðåäëîæåíèå 5.7. Äâå ïëîñêîñòè 01111 =+++ DzCyBxA è
02222 =+++ DzCyBxA ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
λ===2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A(5.24)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸
λ=2
1
D
D. (5.25)
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé 1π è 2π ýêâèâàëåíòíî
óñëîâèþ êîëëèíåàðíîñòè èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ ( )1111 CBAn ,,r
è ( )2222 CBAn ,,r
, ò.å. 21 nnrr λ= , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.24).
Ðàâåíñòâà (5.24) ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëü-çóÿ, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà (5.17):
124
( ) ( ) ( ) 22211 AnininiA λ=λ=λ== r
r
r
r
r
r
,,, è ò.ä.
Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.24) è (5.25), òîã-äà óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê 0≠λ (êîýôôè-öèåíòû ïðÿìûõ îäíîâðåìåííî íå ìîãóò áûòü ðàâíûìè íóëþ).
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé 1π è 2π ìîæíî ïî-
ëó÷èòü èç ðàâåíñòâà íóëåâîìó âåêòîðó (îïðåäåëåíèå 4.17) âåêòîð-íîãî ïðîèçâåäåíèÿ èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ:
[ ] O=21 nnrr
,
èëè
O=++= kBA
BAj
AC
ACi
CB
CB
CBA
CBA
kjirrr
rrr
22
11
22
11
22
11
222
111 ,
èëè
022
11
22
11
22
11 === BA
BA
AC
AC
CB
CB. (5.26)
Ðàâåíñòâà (5.26) åñòü óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé.
Ïðåäëîæåíèå 5.8. Äâå ïðÿìûå 1l è 2l íà ïëîñêîñòè çàäàííûå
îáùèìè óðàâíåíèÿìè 0111 =++ CyBxA è 0222 =++ CyBxA ïà-
ðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
λ==2
1
2
1
B
B
A
A(5.27)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸
λ=2
1
C
C. (5.28)
Åñëè ïðÿìûå 1l è 2l ïàðàëëåëüíû, òî ïàðàëëåëüíû è èõ íà-
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû ( )111 ABa ,−r
è ( )222 ABa ,−r
, ò.å. 21 aarr λ= , îò-
125
êóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.27). Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëî-âèÿ (5.27) è (5.28), òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0≠λ , ìû èìååì ýêâèâàëåíò-
íûå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ 1l è 2l .
Âîïðîñ î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ 1l è 2l (íàïðàâëÿþ-
ùèõ âåêòîðîâ ( )111 ABa ,−r
è ( )222 ABa ,−r
), ìîæíî ðàññìîòðåòü åù¸
èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (5.7). Åñëè âûïîëíåíû ðàâåíñòâà (5.27), òî
022
22
22
22
22
11 =−−
λ=−
λλ−=
−−
AB
AB
AB
AB
AB
AB.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ ìîæíîçàïèñàòü â âèäå
022
11 =BA
BA. (5.29)
Çàäà÷à î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ èëè äâóõ ïëîñêîñòåéìîæåò áûòü ðåøåíà è ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõóðàâíåíèé.
Ðàññìîòðèì äâå ïðÿìûå 0111 =++ CyBxA è
0222 =++ CyBxA . Ñîñòàâèì èç íèõ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé:
111 CyBxA −=+ ,
222 CyBxA −=+ .
Åñëè
022
11 ≠BA
BA,
òî ïî òåîðåìå 3.1 íàøà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (ïðÿ-
ìûå ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ 1C è
2C .
Åñëè æå
126
022
11 =BA
BA,
÷òî âîçìîæíî, íàïðèìåð, ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñòðîê îïðå-
äåëèòåëÿ, ò.å. åñëè 21 AA λ= è 21 BB λ= , òîãäà ïîëàãàÿ 21 AA λ= è
21 BB λ= ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó íàøåé ñèñòåìû:
+λ−
−λλ
−−λλ
−−
12
122
222
122
222
111
00 CC
CBA
CBA
CBA
CBA
CBA~~ .
 ýòîì ñëó÷àå ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ áóäåò ìåíüøåäâóõ, òîãäà nr < è ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà áóäåò
ñîâìåñòíîé è íåîïðåäåë¸ííîé (ïðÿìûå ñîâïàäàþò) åñëè 21 CC λ= è
áóäåò íåñîâìåñòíîé (ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû), åñëè 21 CC λ≠ .
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïëîñêîñòè 01111 =+++ DzCyBxA è
02222 =+++ DzCyBxA . Ïîëîæèì 21 AA λ= , 21 BB λ= , 21 CC λ=è ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé
1111 DzCyBxA −=++ ,
2222 DzCyBxA −=++ .
Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû ïðè ñäåëàííûõ âûøåïðåäïîëîæåíèÿõ ëåãêî ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó
+λ−
−λλλ
12
1222
000 DD
DCBA,
àíàëèç êîòîðîé ëåãêî äà¸ò ïðèâåä¸ííûå âûøå óñëîâèÿ ïàðàëëåëü-íîñòè è ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.
127
5.6. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå
 ïðåäëîæåíèè 5.7 ìû óñòàíîâèëè óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòèèëè ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé
022
11
22
11
22
11 === BA
BA
AC
AC
CB
CB. (5.26)
Åñëè óñëîâèå (5.26) íå âûïîëíåíî, ò.å. õîòÿ áû îäèí èç îïðå-äåëèòåëåé îòëè÷åí îò íóëÿ, ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè
022
11
22
11
22
11 ≠++ 222
BA
BA
AC
AC
CB
CB, (5.30)
òî ïëîñêîñòè çàäàííûå óðàâíåíèÿìè
01111 =+++ DzCyBxA ,
02222 =+++ DzCyBxA (5.31)
îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ, êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.31) ìû ìîæåì ðàññìàò-
ðèâàòü êàê óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå ïðè âûïîëíå-íèè óñëîâèÿ (5.29).
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû(5.31) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.30).  ýòîì ñëó÷àå ðàíã ñèñòå-ìû ðàâåí 2 è îáùåå ðåøåíèå áóäåò ñîñòîÿòü èç ÷àñòíîãî ðåøåíèÿñèñòåìû è ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû.
×àñòíîå ðåøåíèå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ïîëîæèâ â (5.31) 0=z ,òîãäà (5.31) ïðèìåò âèä
0111 =++ DyBxA ,
0222 =++ DyBxA .
 ñèëó (5.30) îïðåäåëèòåëü
022
11 ≠ BA
BA
è ïî ïðàâèëó Êðàìåðà ìû ìîæåì íàéòè åäèíñòâåííîå ðåøåíèåíîâîé ñèñòåìû
128
22
11
22
11
0
BA
BA
BD
BD
x−−
= è
22
11
22
11
0
BA
BA
DA
DA
y−−
=. (5.32)
Òî÷êó ( )0000 ,, yxM ìû ìîæåì ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó
ïðÿìîé (5.31). Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìûïðè 1=z ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðàïðÿìîé.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïëîñêîñòè (5.31) èìåþò íîðìàëüíûå âåê-
òîðû ( )1111 CBAn ,,r
è ( )2222 CBAn ,,r
, êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû êàê
ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîñêîñòÿì, òàê è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñ-êîñòåé. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ åñòü âåê-òîð ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé (5.31) è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.46) ìû ìî-æåì íàïèñàòü:
[ ]22
11
22
11
22
11
222
11121BA
BAk
CA
CAj
CB
CBi
CBA
CBA
kji
nna ⋅+⋅−⋅===rrr
rrr
rrr
,.
Ïîìåíÿâ âî âòîðîì îïðåäåëèòåëè ìåñòàìè ñòîëáöû çàïèøåìêîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé â âèäå:
22
11
CB
CB,
22
11
AC
AC,
22
11
BA
BA. (5.33)
Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.2)
.
,
,
ntzz
mtyy
ltxx
+=+=+=
0
0
0
(5.2)
Åñëè íè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ( )nmla ,,r
íå ðàâíà íóëþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (5.2) â âèäå
129
l
xxt 0−= ,
m
yyt 0−= ,
n
zzt 0−=
èëè
n
zz
l
xx 00 −=−,
n
zz
m
yy 00 −=−. (5.34)
Óðàâíåíèÿ (5.34) îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ êàê ëèíèþ ïåðåñå÷å-íèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ïàðàëëåëüíà îñè îðäè-íàò (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ y ), âòîðàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñ-öèññ (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ x ).
Óðàâíåíèÿ (5.34) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ñèììåòðè÷íîìâèäå,
n
zz
m
yy
l
xx 000 −=−=−. (5.35)
Åñëè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ðàâíà
íóëþ, íàïðèìåð, 0=l , òîãäà íàäî ïîëîæèòü 0xx = è óðàâíåíèå
ïðÿìîé ïðèìåò âèä
0xx = , n
zz
m
yy 00 −=−. (5.36)
Äàííàÿ ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè 0xx = , ò.å. ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè 0=x . Àíàëîãè÷íî çàïèøóòñÿ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.36),åñëè íóëþ áóäåò ðàâíà äðóãàÿ êîìïîíåíòà íàïðàâëÿþùåãî âåê-òîðà, ò.å. åñëè 0=m èëè 0=n .
Åñëè íóëþ ðàâíû îäíîâðåìåííî äâå êîìïîíåíòû íàïðàâëÿ-þùåãî âåêòîðà, íàïðèìåð, 0== ml , òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðè-ìåò âèä
0xx = , 0yy = . (5.37)
Ýòà ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àïïëèêàò - îñè Oz . Îñòàëüíûå
âàðèàíòû ( 0== nl è 0== mn ) çàïèøóòñÿ àíàëîãè÷íî.
9 À.À. Êèðñàíîâ
130
5.7. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. Îñíîâíûå çàäà÷è
Çàäà÷à 1. Ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ñîâïàäåíèÿ
äâóõ ïðÿìûõ
1. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû óðàâíåíèÿìè â îáùåì âèäå (5.7)
0111 =++ CyBxA è 0222 =++ CyBxA
ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì 5.8, â êîòîðîì ãîâî-ðèòñÿ, ÷òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè
2
1
2
1
B
B
A
A = (5.38)
è ñîâïàäàþò, åñëè
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A == . (5.39)
2. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû ïðèâåä¸ííûìè óðàâíåíèÿìè (5.9)
11 bxky += è 22 bxky += ,
òî óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ñâîäèòüñÿ ê ðàâåíñòâó óãëî-âûõ êîýôôèöèåíòîâ, ò.å.
21 kk = , (5.40)
à óñëîâèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ðàâåíñòâàì
21 kk = è 21 bb = . (5.41)
3. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû âåêòîðíûìè óðàâíåíèÿìè (5.15) èëè(5.16)
( ) 011 =− nrrrrr
, è ( ) 022 =− nrrrrr
,
èëè
( ) 011 =+ Cnrrr
, è ( ) 022 =+ Cnrrr
, ,
òî óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ñâîäèòñÿ ê ïàðàëëåëüíîñòèèõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ (ïðåäëîæåíèå 4.2), ò.å.
21 nnrr λ= , (5.42)
à óñëîâèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ðàâåíñòâàì
131
21 nnrr
λ= , 21 rrrr
= èëè 21 nnrr
λ= , 21 CC = . (5.43)
Çàäà÷à 2. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ
 êàêîì áû âèäå íå áûëè çàäàíû óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ ìû âñå-
ãäà ñìîæåì ïðèâåñòè ýòè óðàâíåíèÿ ê îáùåìó âèäó (5.7), ïîýòî-ìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ è çàäàíû â âèäå (5.7)
0111 =++ CyBxA ,
0222 =++ CyBxA .
Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé
022
11 ≠=∆BA
BA,
ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì Êðàìåðà (ñì. (3.10)):
22
11
BC
BCx −
−=∆ ,
22
11
CA
CAy −
−=∆ . (5.44)
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóäåò èìåòü êîîðäèíàòû
∆∆= xx0 è
∆∆
= yy0 . (5.45)
Çàäà÷à 3. Íàéòè óãîë ìåæäó äâóìÿ äàííûìè ïðÿìûìè
Ïîä óãëîì ϕ ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè 1l è 2l , ðàññìàòðèâàå-
ìûìè èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå, áóäåì ïîíèìàòü óãîë, íà êîòîðûé
íàäî ïîâåðíóòü ïðÿìóþ 1l ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî å¸ ñîâïàäå-
íèÿ ñ ïðÿìîé 2l (ðèñ. 5.5).
Ïóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíû äâå ïðÿìûå 1l è 2l
0111 =++ CyBxA ,
0222 =++ CyBxA .
1. ×òîáû íàéòè óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè íà ïëîñêîñòè,
9*
132
ìû ìîæåì âçÿòü èõ íàïðàâëÿþùèå âåê-
òîðû ( )111 ABa ,−r
, ( )222 ABa ,−r
è âû÷èñ-
ëèòü êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, èñïîëü-çóÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (4.29)
( ) ϕ⋅⋅= cos, 2121 aaaarrrr
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.36) è (4.37)ïîëó÷èì
22
22
21
21
2121
BABA
BBAA
+⋅+
+=ϕcos . (5.46)
Åñëè 2π=ϕ , òî 0=ϕcos , òîãäà
02121 =+ BBAA , (5.47)
÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ
ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.
2. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè 1l è 2l ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (5.10) è ðèñ. 5.6
B
Atgk −=ϕ= . (5.10)
Ïóñòü 1ϕ è 2ϕ - óãëû íàêëîíà
ïðÿìûõ 1l è 2l ê îñè Ox , òîãäà, êàê
ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.6,
12 ϕ−ϕ=ϕè
( )21
1212 1 ϕ⋅ϕ+
ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=ϕtgtg
tgtgtgtg . (5.48)
Ïîäñòàâëÿÿ
Ðèñ. 5.5.
y
x
ϕ
2l
1l
Î
Ðèñ. 5.6.
2ϕ1ϕ
y
x
ϕ
2l1l
Î
133
1
11
B
Atg −=ϕ è
2
22
B
Atg −=ϕ
â (5.48) ïîëó÷èì
2121
1221
2
2
1
1
2
2
1
1
1 BBAA
BABA
B
A
B
A
B
A
B
A
tg+−=
⋅+
+−=ϕ
èëè
2121
1221
BBAA
BABAtg
+−=ϕ . (5.49)
Åñëè ïðÿìûå çàäàíû â ïðèâåä¸ííîì âèäå
11 bxky += è 22 bxky += ,
òîãäà ïîäñòàâëÿÿ
11 ϕ= tgk è 22 ϕ= tgk
â (5.48) ïîëó÷èì
21
12
1 kk
kktg
⋅+−=ϕ . (5.50)
Åñëè 2π=ϕ , òî ϕtg íå ñóùåñòâóåò è íàì ñëåäóåò ïîëîæèòü
01 21 =+ kk ,
îòêóäà
12
1k
k −= (5.51)
åñòü óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìûõ çàäàííûõ â ïðèâåä¸ííîì âèäå.
Çàäà÷à 4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îòðåçêàõ
Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè
0=++ CByAx .
134
Âûïîëíèì î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ:
CByAx −=+ ,
A
xAx
1=
, B
yBy
1=
,
C
B
y
A
x −=+11
èëè 1=−−=−+− C
C
B
C
y
A
C
x.
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ:
aA
C =− , bB
C =−
è ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, òîãäà ïîëó÷èì
1=+b
y
a
x(5.52)
òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå ïðÿìîé â îòðåçêàõ.Âåëè÷èíû a è b , êàê ýòî ñëåäóåò èç
ðèñ.5.7, åñòü îòðåçêè îòñåêàåìûå ïðÿìîé íà êî-îðäèíàòíûõ îñÿõ.
Çàäà÷à 5. Ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè íà äâå ïîëóïëîñêîñòè
Ïóñòü íàì äàíà ïðÿìàÿ l è îïðåäå-
ë¸ííûé å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð nr . Ïîëó-
ïëîñêîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé ïðÿìîé l è å¸
íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçûâàòü
ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.8) M òàêèõ, ÷òî
äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè 0M íà ïðÿìîé âåê-
òîð MM0 ñîñòàâëÿåò ñ n
r óãîë, íå ïðåâûøàþùèé 2π
.
Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M , à 0r
r
- òî÷êè 0M , òî îïðåäå-
Ðèñ. 5.7.
b
a
l
y
xÎ
0M
Mnr
ϕ
Ðèñ. 5.8.
l
135
ëåíèå ïîëóïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
( ) 00 ≥− nrrrrr
, (5.53)
èëè
0≥++ CByAx . (5.54)îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ ïî-
ëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè.Ïðÿìàÿ l è íîðìàëüíûé âåêòîð n
r− çàäàþò äðóãóþ ïîëó-ïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì
( ) 00 ≤− nrrrrr
, èëè 0≤++ CByAx . (5.55)
Ýòó ïîëóïëîñêîñòü ìû íàçîâ¸ì îòðèöàòåëüíîé ïîëóïëîñ-
êîñòüþ. Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî òàêîå ðàçáèåíèå óñëîâíî - îíî îï-ðåäåëåíî íàïðàâëåíèåìíîðìàëüíîãî âåêòîðà n
r .Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿýòîãî âåêòîðà ðàâíîñèëüíîóìíîæåíèþ óðàâíåíèÿ ïðÿ-ìîé íà (-1). Ïðè ýòîì ïî-ëîæèòåëüíàÿ ïîëóïëîñ-êîñòü ñòàíîâèòñÿ îòðèöà-òåëüíîé, è íàîáîðîò.
Ìû âèäèì, ÷òî âûáîð îäíîãî èç óðàâíåíèé ïðÿìîé âûäåëÿ-åò îäíó, ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è òåì ñàìûì îïðåäå-ëÿåò îðèåíòàöèþ ïðÿìîé.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà ( )0000 zyxM ,, ëåæèò íà ïðÿìîé
0=++ CByAx ,
òî òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè ( )ByAx ++ 00 , ëåæèò â ïîëîæèòåëü-
íîé ïîëóïëîñêîñòè, òàê êàê ïîäñòàâèâ ýòè êîîðäèíàòû â óðàâ-íåíèå ïðÿìîé ïîëó÷èì
( ) ( ) ( ) 0220000 >++++=++++ BACByAxCByBAxA .
Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî íîðìàëüíûé âåêòîð ( )BAn ,r
íàïðàâ-
ëåí â ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿ-
þùèì âåêòîðîì ( )ABa ,−r
ïðàâóþ ïàðó âåêòîðîâ (ñì. ðèñ. 5.9).
Ðèñ. 5.9.
0<++ CByAx
0>++ CByAx 0=++
CBy
Axnr
ar
136
Çàäà÷à 6. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé
Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé
0=++ CByAx , (5.7)
ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì ( )BAn ,r
. Åñëè âåêòîð nr íîðìèðîâàí, òî
122 =+= BAnr
.
 ýòîì ñëó÷àå èç ðèñ. 5.10 ìû âè-äèì, ÷òî
α= cosA , α= sinB , (5.56)
ãäå α - óãîë íàêëîíà âåêòîðà nr ê îñè
Ox .Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé
(5.7) ñ ó÷¸òîì (5.56)
0=−α+α pyx sincos , (5.57)ãäå
0>−= Cp . (5.58)Óðàâíåíèå ïðÿìîé âèäà (5.57) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì
óðàâíåíèåì ïðÿìîé. âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä:
( ) 0=− prnrr
, èëè ( ) prn =rr
, , (5.59)
òàê êàê
jBiAnrr
r += , jyixrrr
r +=è ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â (5.59) è ó÷èòûâàÿ (5.58) ïîëó÷èì
( ) ( ) 0=++=−++=− CByAxpjyixjBiAprnrrrr
rr
,, .
Åñëè 1≠nr
, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé
(5.7) ê íîðìàëüíîìó âèäó íàäî óìíîæèòü åãî íà íîðìèðóþùèé
ìíîæèòåëü
nr
αl
y
xÎÐèñ. 5.10.
137
22
1
BA +±=λ . (5.60)
äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì òàê âûáèðàòü çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì,÷òîáû ïðîèçâåäåíèå Cλ áûëî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, ò.å.
áóäåì áðàòü çíàê ( )+ åñëè 0<C è ( )− åñëè 0>C .
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû p â íîðìàëüíîìóðàâíåíèè ïðÿìîé (5.57).  ýòîì ñëó÷àå
íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü ( )αα sin,cosnr
. Ïå-
ðåíåñ¸ì ýòîò âåêòîð â íà÷àëî êîîðäèíàò(ðèñ. 5.11), òîãäà, ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèéîòíîñèòåëüíî âûáîðà çíàêà ó p âåêòîð n
r
áóäåò îáðàù¸í â ñòîðîíó ïðÿìîé è
OKp = åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïó-
ùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ïðÿìóþ.
Ïóñòü ( )yxM , ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà,
ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé l , òîãäà OK åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà OM
íà íîðìàëüíûé âåêòîð nr . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð n
r íîðìèðîâàí,
ò.å. 1=nr
, íà îñíîâàíèè (4.40) çàïèøåì
( ) ( ) α+α==⋅== sincos,,
ÏÐ yxnOMnn
nOMOMOK n
rr
r
r
r
2 . (5.61)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî
jyixOMrr
+= , à jinrr
r ⋅α+⋅α= sincos .
Ñðàâíèâàÿ (5.61) ñ (5.57) ïîëó÷èì
pyxOK =α+α= sincos . (5.62)
Èòàê, p åñòü ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé.
Ðèñ. 5.11.
M
Knr
l
y
xÎ
138
Çàäà÷à 7. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé
Íàì òðåáóåòñÿ îïðåäå-ëèòü (ðèñ. 5.12) ðàññòîÿíèå îò
íåêîòîðîé òî÷êè ( ) lYXM ∉,
äî ïðÿìîé l , çàäàííîé îäíèìèç èçâåñòíûõ íàì óðàâíåíèé.
1. Êàê âèäíî èç ðèñ. 5.12ðàññòîÿíèå h îò òî÷êè M äî
ïðÿìîé l åñòü ìîäóëü ïðîåê-
öèè âåêòîðà 00 rRMMr
r
−= íà
íîðìàëüíûé âåêòîð ïðÿìîé nr .
Èñïîëüçóÿ (4.40) ìû ìîæåì çà-
ïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîåêöèè âåêòîðà ( )0rRr
r
− íà íîðìàëüíûé
âåêòîð ïðÿìîé nr
( ) ( )n
n
nrRrRn
r
r
rr
r
r
r
r ⋅−=−20
0,
Ïð . (5.63)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
0nn
n r
r
r
= è 10 =nr
(5.64)
íàïèøåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè M äîïðÿìîé l
( ) ( )n
nrRrRh n r
r
r
r
r
r
,Ïð
0
0
−=−= . (5.65)
Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå ( )nrRrr
r
,0− ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðíî-
ãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé
( ) 00 =− nrrrrr
, (5.15)
åñëè â íåãî âìåñòî òåêóùåãî ðàäèóñ-âåêòîðà rr ïîäñòàâèòü ðàäè-
Ðèñ. 5.12.
NK ′
K
0rr
Rr
nr
0M
M
ar
l
y
x
h
Î
139
óñ-âåêòîð Rr
äàííîé òî÷êè ( )YXM , .
 ýòîì ñëó÷àå áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå (5.53)
( ) 00 >− nrRrr
r
, ,
åñëè òî÷êà ( )YXM , è íîðìàëüíûé âåêòîð nr ëåæàò â îäíîé ïîëó-
ïëîñêîñòè, è óñëîâèå (5.55)
( ) 00 <− nrRrr
r
, ,
åñëè òî÷êà ( )YXM , è íîðìàëüíûé nr âåêòîð ëåæàò â ðàçíûõ ïî-
ëóïëîñêîñòÿõ.
Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ( )YXM ,
äî ïðÿìîé l çàäàííîé âåêòîðíûì óðàâíåíèåì (5.15), íàäî â ëåâóþ
÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ âìåñòî òåêóùåãî ðàäèóñ-âåêòîðà rr
ïîä-
ñòàâèòü ðàäèóñ-âåêòîð Rr
äàííîé òî÷êè ( )YXM , è ïîëó÷åííûé
ìîäóëü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäåëèòü íà ìîäóëü íîðìàëüíîãî
âåêòîðà nr
ïðÿìîé l .2. Åñëè ïðÿìàÿ çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì
[ ] O=− arrrrr
,0 , (5.23)
òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ( )YXM , äî ïðÿìîé l ìîæíî îïðåäåëèòü
(ñì. ðèñ. 5.12) èç ñîîòíîøåíèÿ
[ ]a
arR
a
Sh
r
r
r
r
,0−== . (5.66)
Çäåñü [ ]arRSrr
r
,0−= - ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ 00 rRMM −=
r
è ar .
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàñ-
ñòîÿíèå îò òî÷êè ( )YXM , äî ïðÿìîé l çàäàííîé âåêòîðíûì óðàâ-
íåíèåì (5.23), íàäî â äàííîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âìåñòî òåêóùåãî
ðàäèóñ-âåêòîðà rr
ïîäñòàâèòü äàííûé ðàäèóñ âåêòîð Rr
òî÷êè
140
( )YXM , è ïîëó÷åííûé ìîäóëü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäåëèòü
íà ìîäóëü íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ar
ïðÿìîé l .3. Ïóñòü ïðÿìàÿ çàäàíà íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì
0=−α+α pyx sincos . (5.57)Èç ðèñ. 5.13 ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåêòîðà
Rr
íà íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé âåêòîð nr åñòü
( )phYXn
n
nRRn +=α+α=⋅= sincos
,ÏÐ
r
r
r
r
r
r
2 ,
îòêóäà
pYXh −α+α= sincos . (5.67)
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
jYiXRrrr
+= , jinrr
r ⋅α+⋅α= sincos ,
1=nr
.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè
ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ( )YXM , äî ïðÿ-
ìîé l , çàäàííîé â íîðìàëüíîì âèäå
(5.57), íàäî â ýòî óðàâíåíèå ïîäñòà-
âèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìî-
äóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå.4. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà â îáùåì âèäå
0=++ CByAx . (5.7)Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì ïðèâåñòè äàí-
íîå óðàâíåíèå ê íîðìàëüíîìó âèäó, óìíîæèâ åãî íà íîðìèðóþ-ùèé ìíîæèòåëü
22
1
BA +±=λ (5.60)
è ïîäñòàâèâ âìåñòî òåêóùèõ êîîðäèíàò yx, êîîðäèíàòû äàííîé
òî÷êè ( )YXM , . Âûïîëíèâ óêàçàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì
Ðèñ. 5.13.
l
Rr
N
K
h
pnr
( )YXM ,
O
y
x
141
22 BA
CBYAXh
+
++= . (5.68)
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ( )YXM ,
äî ïðÿìîé l , çàäàííîé â îáùåì âèäå (5.7), íàäî â ýòî óðàâíåíèå ïîä-
ñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû
ðàçäåëèòü íà ìîäóëü íîðìàëüíîãî âåêòîðà äàííîé ïðÿìîé.
Çàìå÷àíèå. Åñëè ïðè îïðåäåëåíèè ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿ-ìîé íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ î òîì â êàêîé ïîëóïëîñêîñòèðàñïîëîæåíà äàííàÿ òî÷êà, ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé,ìû äîëæíû â ôîðìóëàõ (5.65), (5.66), (5.67) è (5.68) óáðàòü çíàêìîäóëÿ. Òîãäà ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå h áóäåò ãîâîðèòü î òîì,÷òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè, îò-ðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå h ãîâîðèò î òîì, ÷òî òî÷êà M íàõîäèòñÿâ îòðèöàòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè.
Çàäà÷à 8. Îòíîøåíèå, â êîòîðîì äàííàÿ ïðÿìàÿ äåëèò îòðåçîê,
ñîåäèíÿþùèé äâå äàííûå òî÷êè
Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì êîãäà ïðÿìàÿ l äàíà â îáùåì âèäå
0=++ CByAx , (5.7),òàê êàê ìû ìîæåì ëþáîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèâåñòè ê îáùåìóâèäó.
Ïóñòü òî÷êè ( )111 yxM , è ( )222 yxM , - êîíöû äàííîãî îòðåçêà
21MM è ( )yxM , - òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà 21MM ñ äàííîé ïðÿ-
ìîé (ðèñ. 5.14).
 ñîîòâåòñòâèè ñ (4.6), ïîëîæèâ k=µλ , ìû ìîæåì çàïèñàòü
kMM
MM =2
1. (5.69)
142
Çàìåòèì, ÷òî 0>k , åñëè òî÷êà
M ëåæèò âíóòðè îòðåçêà 21MM è
0<k , åñëè òî÷êà M ëåæèò âíå îò-
ðåçêà 21MM .
Èç ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ
11NMM è 22NMM ñðàçó ñëåäóåò,
÷òî
2
1
h
hk −= . (5.70)
Çíàê (-) ïåðåä äðîáüþ âçÿò ïîòîìó, ÷òî åñëè òî÷êè 1M è 2M
ëåæàò â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ, âåëè÷èíû 1h è 2h áóäóò ðàçíûõ
çíàêîâ, òîãäà êàê k â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Åñëè
æå òî÷êè 1M è 2M áóäóò ëåæàòü â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè, çíàêè ó
1h è 2h áóäóò ñîâïàäàòü, íî òîãäà k áóäåò èìåòü îòðèöàòåëüíîå
çíà÷åíèå.
Ïîäñòàâëÿÿ â (5.70) âìåñòî 1h è 2h èõ çíà÷åíèÿ âûðàæåííûå
â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.68) ìû ìîæåì îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü
CByAx
CByAxk
++++−=
22
11. (5.71)
Çàäà÷à 9. Ïó÷îê ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè
Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïó÷êîì ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè áóäåì íàçûâàòüìíîæåñòâî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó
( )000 yxM , íàçûâàåìóþ öåíòðîì ïó÷êà.
Ïðÿìûå
0111 =++ CyBxA ,
0222 =++ CyBxA (5.72)
ïðèíàäëåæàò ïó÷êó, ò.å. èìåþò òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, åñëè
Ðèñ. 5.14.
M
2h
1h
2M
1M
l
O
y
x
143
022
11 ≠BA
BA. (5.73)
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå
( ) ( ) 0222111 =++β+++α CyBxACyBxA (5.74)
ïðè 022 ≠β+α , ïðèíàäëåæèò ïó÷êó è ìîæåò áûòü âçÿòî â êà÷å-
ñòâå óðàâíåíèÿ ïó÷êà ïðÿìûõ.Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.74) â âèäå
( ) ( ) ( ) 0212121 =β+α+β+α+β+α CCyBBxAA . (5.75)
Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
021 =β+α AA ,
021 =β+α BB ,
òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå
022
11 =BA
BA,
ò.å. äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, à òàê êàê â ñèëó óñëîâèÿ (5.73)
01221 ≠− BABA ,
òî äîëæíî áûòü 0=β=α , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïó÷êàïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5.75) îïðåäåëÿåò ïðÿìóþëèíèþ.
Òàê êàê òî÷êà ( )000 yxM , ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ïó÷êà, å¸ êîîð-
äèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (5.72)
010101 =++ CyBxA , 020202 =++ CyBxA ,
à ïîòîìó êîîðäèíàòû òî÷êè ( )000 yxM , óäîâëåòâîðÿþò è óðàâíå-
íèþ (5.75), è ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïó÷êà.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ( )yxM ′′, , îòëè÷íóþ
îò òî÷êè ( )000 yxM , ïðîõîäèò ïðÿìàÿ âèäà (5.75). Ïîäñòàâèì êî-
îðäèíàòû òî÷êè ( )yxM ′′, â óðàâíåíèÿ (5.72)
144
uCyBxA =+′+′ 111 , vCyBxA =+′+′ 222 .Òàê êàê ïðÿìûå (5.72) íå ìîãóò èìåòü äâóõ òî÷åê ïåðåñå÷å-
íèÿ, ÷èñëà u è v íå ìîãóò îäíîâðåìåííî áûòü ðàâíûìè íóëþ,
ò.å. 022 ≠+ vu . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ïîëîæèòü v−=α , u=β . Ïðè
òàêèõ çíà÷åíèÿõ α è β êîîðäèíàòû òî÷êè ( )yxM ′′, óäîâëåòâîðÿ-þò óðàâíåíèþ ïó÷êà (5.75).
Åñëè íàì èçâåñòíû êîîðäèíàòû öåíòðà ïó÷êà ( )000 yxM , , òî
óðàâíåíèå ïó÷êà (5.75) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
( ) ( ) 000 =−β+−α yyxx . (5.76)
Çàäà÷à 10. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè (óñëî-
âèå êîëëèíåàðíîñòè òð¸õ òî÷åê)
Ïóñòü íàì äàíû äâå òî÷êè
( )111 yxM , è ( )222 yxM , .  âåêòîðíîìïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïðÿìîé(5.1)
atrrrrr
=− 0 (5.1)ìû, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.15, ìî-æåì ïîëîæèòü
10 rrrr
= , 1221 rrMMarrr
−== ,
òîãäà, èñêîìàÿ ïðÿìàÿ áóäåò çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèì âåêòîðíûìóðàâíåíèåì
( )trrrr 121rrrr
−=− (5.77)èëè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå
( )txxxx 121 −=− ,
( )tyyyy 121 −=− . (5.78)Èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð t èç óðàâíåíèé (5.78), ïîëó÷èì óðàâíå-
íèå èñêîìîé ïðÿìîé â âèäå
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−−=
−−
. (5.79)
Ðèñ. 5.15.
rr
M
2rr
1rr
2M1M
l
O
y
x
145
Äëÿ ïðèäàíèÿ óðàâíåíèþ (5.79) áîëåå ñèììåòðè÷íîãî âèäàïåðåïèøåì åãî òàê:
( )( ) ( )( )121121 xxyyyyxx −−=−−èëè
01212
11 =−−−−
yyxx
yyxx. (5.80)
Ïðîñòûì âû÷èñëåíèåì ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèþ(5.80) ìîæíî ïðèäàòü è åù¸ áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä:
0
1
1
1
22
11 =yx
yx
yx
. (5.81)
Çàäà÷à 11. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïà-
ðàëëåëüíî äàííîé ïðÿìîé
 äàííîé çàäà÷å óäîáíî ïðèâåñòè óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîéê âèäó (5.9)
bkxy += . (5.9)Òîãäà óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
( )000 yxM , , áóäåò ñîäåðæàòü òîò æå êîýôôèöèåíò k , â ñèëó ïàðàë-ëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Èñïîëüçóÿ (5.11) îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâ-íåíèå èñêîìîé ïðÿìîé â âèäå
( )00 xxkyy −=− . (5.11)
Çàäà÷à 12. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó
ïîä çàäàííûì óãëîì ê çàäàííîé ïðÿìîé
Ïóñòü íàì çàäàíû (ðèñ. 5.16) ïðÿìàÿ bxky += 1 , òî÷êà
( )000 yxM , è óãîë ϕ , òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.50) ìû ìîæåì äëÿ
óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà 2k èñêîìîé ïðÿìîé íàïèñàòü
10 À.À. Êèðñàíîâ
146
21
12
1 kk
kktgk
+−=ϕ= (5.50)
èëè
ϕ−ϕ+=
tgk
tgkk
1
12 1 . (5.82)
Óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîéçàïèøåòñÿ êàê
( )01
10 1
xxtgk
tgkyy −
ϕ−ϕ+=− . (5.83)
Çàìå÷àíèå. Åñëè èñêîìóþ ïðÿìóþ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ÷åðåçäàííóþ òî÷êó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê äàííîé ïðÿìîé, òîãäà â ñîîò-âåòñòâèè ñ (5.51) ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü
( )01
01
xxk
yy −−=− . (5.84)
Çàäà÷à 13. Óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå
Ïóñòü íàì äàíû òðè óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïðèâåä¸ííûõ ê îá-ùåìó âèäó
0111 =++ CyBxA ,
0222 =++ CyBxA ,
0333 =++ CyBxA .
Åñëè äâå ïåðâûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå,òî îíè ïðèíàäëåæàò ïó÷êó (5.74)
( ) ( ) 0222111 =++β+++α CyBxACyBxA . (5.74)
Åñëè òðåòüÿ äàííàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷å-íèÿ ïåðâûõ äâóõ ïðÿìûõ, òî îíà òîæå ïðèíàäëåæèò ïó÷êó ïðÿ-ìûõ (5.74) è ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ïîäáîðå êîýôôèöèåíòîâ α è βóðàâíåíèå (5.74) ïðåäñòàâëÿåò ýòó ïðÿìóþ, ò.å.
( ) ( ) ( )333222111 CyBxAkCyBxACyBxA ++=++β+++α .
Ðèñ. 5.16.
0M
11 bxky +=ϕ
2l
1l
O
y
x
147
Ïîëàãàÿ γ−=k ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå
( ) ( ) ( ) 0333222111 =++γ+++β+++α CyBxACyBxACyBxA , (5.85)ãäå
0222 ≠γ+β+α . (5.86)
Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå, ïåðåïèøåì ïîñëåäíååóðàâíåíèå â âèäå
( ) ( ) ( ) 0321321321 =γ+β+α+γ+β+α+γ+β+α CCCyBBBxAAA .Ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâàì
0321 =γ+β+α AAA ,
0321 =γ+β+α BBB , (5.87)
0321 =γ+β+α CCC . ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.2 (Êðîíåêåðà-Êàïåëëè) ñèñòå-
ìà (5.87) áóäåò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå, åñëè
0
321
321
321
=CCC
BBB
AAA
, (5.88)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õäàííûõ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå.
5.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå.Îñíîâíûå çàäà÷è
Çàäà÷à 14. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè
Íàì òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè ( )1111 zyxM ,, , ( )2222 zyxM ,, , ( )3333 zyxM ,, íåëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
1. Ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì âîñïîëüçî-âàòüñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.4)
10*
148
qtptrrrrrr
210 ++= , (5.4)ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.17 èðèñ. 5.2 íàäî ïîëîæèòü:
10 rrrr
= ;
1221 rrMMprrr
−== ;
1331 rrMMqrrr
−== .
Âûïîëíèâ óêàçàííóþ ïîä-ñòàíîâêó ïîëó÷èì èñêîìîå óðàâ-íåíèå ïëîñêîñòè
( ) ( )1321211 rrtrrtrrrrrrrr
−+−+= . (5.89)
2. Ãîðàçäî ïðîùå ðåøèòü ýòó çàäà÷ó èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñìå-
øàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ MM1 , 21MM è 31MM (ñì.
ï. 4.7.3). Òàê êàê âñå ýòè âåêòîðû ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, èõñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å.
( ) 031211 =MMMMMM ,, .
Èñïîëüçóÿ (4.58) çàïèøåì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ââèäå
0
131313
121212
111
=−−−−−−−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
. (5.90)
Óðàâíåíèþ (5.90) ìîæíî ïðèäàòü áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä(ñì. çàäà÷ó 10):
0
1
1
1
1
333
222
111 =
zyx
zyx
zyx
zyx
. (5.91)
Ðèñ. 5.17.O
z
y
x
3rr
2rr
1rr
rr
3M
2M
1M M
149
Çàäà÷à 15. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ
Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.18)
0=+++ DCzByAx . (5.18)
Ïîëàãàÿ 0≠D ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 4 âûïîëíèì î÷åâèä-íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ:
DCzByAx −=++ ,
A
xAx
1=
, B
yBy
1=
, C
zCz
1=
,
D
C
z
B
y
A
x −=++111 èëè
1=−−=
−+
−+
− D
D
C
D
z
B
D
y
A
D
x
.
Ïîëàãàÿ
aA
D =− , bB
D =− , cC
D =−
ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå
1=++c
z
b
y
a
x. (5.92)
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â
îòðåçêàõ.
Çàäà÷à 16. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè
1. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâ-íåíèåì (5.1)
tarrrrr
+= 0 , (5.1)à ïëîñêîñòü π çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.13)
( ) 00 =− nrrrrr
, èëè ( ) 00 =− qprrrrrr
,, . (5.13) ýòîì ñëó÷àå íàì èçâåñòåí íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé
( )nmla ,,r
è íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè ( )CBAn ,,r
, [ ]qpnrrr
,= .Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè åñëè å¸ íàïðàâëÿþùèé âåê-
150
òîð ar ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè n
r , ò.å.,åñëè
( ) 0=narr
,
èëè
0=++ CnBmAl . (5.93)
Åñëè ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð ïðÿìîé 0rr
áóäó÷è ïîä-ñòàâëåííûì â óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ïðåâðàùàåò åãî â òîæ-äåñòâî, òîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â äàííîé ïëîñêîñòèè ïðÿìàÿ òîæå ëåæèò â ïëîñêîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè π åñëè îäíî-âðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
0=++ CnBmAl è 0000 =+++ DCzByAx . (5.94)ßñíî, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (5.93), ò.å.
0≠++ CnBmAl , (5.95)åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.
Ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè π åñëè íàïðàâëÿþ-
ùèé âåêòîð ïðÿìîé ar ïàðàëëåëåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêî-
ñòè nr , ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè
[ ] θ=narr
, , (5.96)èëè
θ=CBA
nml
kjirrr
. (5.97)
2. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà â âèäå
01111 =+++ DzCyBxA ,
02222 =+++ DzCyBxA ,
à ïëîñêîñòü π çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì
0=+++ DCzByAx ,
òîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.33) èìå-åò êîîðäèíàòû
151
22
11
22
11
22
11
BA
BA
AC
AC
CB
CBa , ,r
,
íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè åñòü ( )CBAn ,,r
, è óñëîâèå ïàðàë-ëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè åñòü
( ) 0=narr
,
èëè
022
11
22
11
22
11 =++BA
BAC
AC
ACB
CB
CBA .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå êàê
0
222
111 =CBA
CBA
CBA
. (5.98)
Åñëè
0
222
111 ≠=CBA
CBA
CBA
I ,
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìàóðàâíåíèé
0=+++ DCzByAx ,
01111 =+++ DzCyBxA ,
02222 =+++ DzCyBxA
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöè-åíòîâ ðàâåí 3 è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ òîæå 3 ( 3=RgI , 3=n ) è òðèïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Çàäà÷à 17. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòåí íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñ-
êîñòè ( )CBAn ,,r
è íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé ( )nmla ,,r
, òîãäà,
152
êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.18, óãîë ìåæäó
íîðìàëüíûì âåêòîðîì ( )CBAn ,,r
è íà-
ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ( )nmla ,,r
ìîæåòáûòü ïîëó÷åí èç ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäå-íèÿ äàííûõ âåêòîðîâ:
222222 nmlCBA
CnBmAl
++⋅++
++=ψcos .
Òàê êàê
ϕ−π=ψ2
,
òîãäà, ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
ψ=ϕ cossin
áóäåò
222222 nmlCBA
CnBmAl
++⋅++
++=ϕsin . (5.99)
Çàäà÷à 18. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè â ïðîñòðàíñòâå
Åñëè èçâåñòíû íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ ( )1111 nmla ,,r
è
( )2222 nmla ,,r
, òî óãîë ϕ ìåæäó ïðÿìûìè åñòü óãîë ìåæäó èõ íà-ïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè è ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî
22
22
22
21
21
21
212121
nmlnml
nnmmll
++⋅++
++=ϕcos . (5.100)
Çàäà÷à 19. Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà àíàëîãè÷-íî ðàçáèåíèþ ïëîñêîñòè (çàäà÷à 5) íà äâå ïîëóïëîñêîñòè.
Ïóñòü íàì äàíà ïëîñêîñòü π ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr .
Ïîëóïðîñòðàíñòâîì, îïðåäåëÿåìûì ïëîñêîñòüþ π è å¸ íîðìàëü-
Ðèñ. 5.18.
π
l
ψ ϕ
ar
nr
153
íûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçû-
âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19)M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé
òî÷êè π∈0M âåêòîð MM0 ñî-
ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì nr óãîë, íå
ïðåâûøàþùèé 2
π.
Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷-
êè M , à 0rr
- ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
π∈0M , òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó-ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íå-ðàâåíñòâó
( ) 00 ≥− nrrrrr
, (5.101)èëè
0≥+++ DCzByAx . (5.102)Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíå-
íèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà.Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð n
r
− çàäà-þò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì
( ) 00 ≤− nrrrrr
, èëè 0≤+++ DCzByAx . (5.103)Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì
ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ.Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî ïîëî-æèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåê-òîð ïëîñêîñòè n
r íàïðàâëåí â ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàí-
ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè pr
è qr
ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.
Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåê-
òîðà ( )CBAn ,,r
ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ( )zyxM ,, , äëÿ êîòîðûõ
Ðèñ. 5.19.( ) 00 <− nrr
rrr
,nr
−
( ) 00 >− nrrrrr
,nr
() 0
0
=
−n
rr
r
r
r
,
M
ϕ
π
qr
pr
0M
154
( ) 00 =nMMr
, , (5.104)
ãäå ( )0000 zyxM ,, - íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, ÿâëÿåòñÿ óðàâ-
íåíèåì ïëîñêîñòè, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è òàê
( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzCyyBxxA . (5.105)
Î âåêòîðå ( )CBAn ,,r
áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îí îðòîãîíàëåí äàí-íîé ïëîñêîñòè.
Åñëè âåêòîð ( )CBAn ,,r
íîðìèðîâàí, òîãäà
1222 =++ CBA
è åñëè ïðè ýòîì 0≤D , òî óðàâíåíèå (5.104) åñòü íîðìàëüíîå óðàâ-
íåíèå ïëîñêîñòè.
Åñëè 1=nr
, òî
kjinrrr
r
⋅γ+⋅β+⋅α= coscoscos , (5.106)
ãäå γβα ,, - óãëû, îáðàçîâàííûå âåêòîðîì nr ñ îñÿìè êîîðäèíàò.
Ïîäñòàâëÿÿ (5.106) â (5.105) ïîëó÷èì0=−γ+β+α pzyx coscoscos , (5.107)
ãäå Dp =− . âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò
âèä
( ) 0=− prnrr
, èëè ( ) prn =rr
, . (5.108)
Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì
0=+++ DczByAx , (5.109)
òî äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê âèäó (5.107) íàäî íîðìèðîâàòü âåêòîð nr ,
ò.å. íàäî óðàâíåíèå (5.109) óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæè-òåëü
222
1
CBA ++±=µ . (5.110)
Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì âûáèðàòü çíàê (+) åñëè 0<D èçíàê (-) åñëè 0<D .
Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 6 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî p â óðàâíå-
155
íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîð-äèíàò äî ïëîñêîñòè.
Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåí-íîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðå-çóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3.
Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíàíîðìàëüíûì óðàâíåíèåì(5.108).
Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òîìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåê-
òîðà Rr
òî÷êè ( )ZYXM ,, íàíîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé
âåêòîð nr åñòü
( )hpZYXn
n
nRRn +=γ+β+α=⋅= coscoscos
,Ïð
r
r
r
r
r
r
2 ,
îòêóäà
pzYXh −γ+β+α= coscoscos èëè ( ) pRnh −=r
r
, (5.111)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷-
êè ( )ZYXM ,, äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
(5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åí-
íîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå.Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà
222 CBA
DCZBYAXh
++
+++= . (5.112)
Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè
Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå
èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå 1l è 2l . Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî,
Rr
N
K
h
p
M
nr
O
z
y
x Ðèñ. 5.20.
156
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò
äâå ïëîñêîñòè 1π è 2π , òàêèå,÷òî:
11 π∈l , 22 π∈l è 1π ïàðàë-
ëåëüíà 2π .
Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ 1l
è 2l åñòü:
tarr 11rrr
=− è tarr 22rrr
=− ,
òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè 1π ïîëîæèì
(ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó 1rr
è
íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû 1ar
è 2ar
,
à äëÿ ïëîñêîñòè 2π â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì 2rr
è íà-
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû 1ar
è 2ar
.Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìû-
ìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè 1π è 2π .Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåí-
íîãî íà âåêòîðàõ 12 rrrr
− , 1ar
è 2ar
åñòü
( )2112 aarrVrrrr
,,−= ,
à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü
[ ]21 aaSrr
,= .
Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùè-âàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü
( )[ ]21
2112
aa
aarr
S
Vh
rr
rrrr
,
,,−== . (5.113)
Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòèè 0=h , òîãäà
( ) 02112 =− aarrrrrr
,, è [ ] 021 ≠aarr
, .
Ðèñ. 5.21.
2l
1l
2ar
1ar
2rr
1rr
h
O
z
y
x
2M
1M
157
Çàäà÷à 23. Ïó÷îê è ñâÿçêà ïëîñêîñòåé
Ïó÷êîì ïëîñêîñòåé áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé,ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ îñüþ
ïó÷êà.Óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé èìååò âèä
( ) ( ) 022221111 =+++β++++α DzCyBxADzCyBxA , (5.114)
ãäå 022 ≠β+α .
Ñâÿçêîé ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõî-äÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó, íàçûâàåìóþ öåíòðîì ñâÿçêè.
Óðàâíåíèå ñâÿçêè ïëîñêîñòåé èìååò âèä
( ) ( )( ) 03333
22221111
=+++γ+++++β++++α
DzCyBxA
DzCyBxADzCyBxA
, (5.115)
ãäå 0222 ≠γ+β+α .
158
6. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
6.1. Ïàðàáîëà
Îïðåäåëåíèå 6.1. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïà-ðàáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò
yxO ,, , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä
pxy 22 = , 0>p . (6.1)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.1 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò yxO ,, , êîîðäèíàòû yx, è ñàìî óðàâíåíèå (6.1) íàçû-âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
Ïðè 0<x òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ (6.1) íå ñóùåñòâóåò. Ýòîãîâîðèò î òîì, ÷òî âñÿ ïàðàáîëà ëåæèò â ïîëóïëîñêîñòè 0≥x .
Îñü îðäèíàò Oy ( )0=x ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò òîëüêî â îäíîé
òî÷êå ( )00,O , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïàðàáîëû.
Îñü àáñöèññ Ox ( )0=y ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáîëû,
ò.ê. èçìåíåíèå çíàêà ó y íå ìåíÿåò óðàâíåíèÿ (6.1). Íà ýòîì îñíî-âàíèè îñü àáñöèññ Ox áóäåì íàçûâàòü îñüþ ïàðàáîëû (ôîêàëüíîéîñüþ). Ôîêàëüíàÿ îñü ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé îñüþ ñèììåòðèè. Çà-ìåòèì, ÷òî ïàðàáîëà íå èìååò öåíòðà ñèììåòðèè.
Èòàê, îñü è âåðøèíà ïàðàáîëû îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè, áåç îáðàùåíèÿ ê êàêèì-ëèáî êîîðäèíàòàì:
îñü åñòü îñü ñèììåòðèè;âåðøèíà - îáùàÿ òî÷êà îñè è ïàðàáîëû.Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îñè êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ïàðàáîëîé: îñü àáñöèññ - êàêîñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à îñü îðäèíàò - êàê ïðÿìàÿ ïðîõîäÿ-ùàÿ ÷åðåç âåðøèíó ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè.Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè àáñöèññ òàêæå îïðåäåëÿåòñÿïàðàáîëîé - êàê ïîëóïðîñòðàíñòâî â êîòîðîì ðàñïîëîæåíà ïà-ðàáîëà (ðèñ. 6.1).
Ìû ìîæåì ñêàçàòü: êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû îäíîçíà÷íîîïðåäåëÿþòñÿ ñàìîé ïàðàáîëîé.
159
Ñëåäñòâèåì ýòîãî ôàêòà áóäåò òî, ÷òîâñå îáúåêòû, îïðåäåëÿþùèåñÿ ñ ïîìîùüþ
êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå
îò îðèåíòàöèè îñè îðäèíàò áóäóò èíâàðè-àíòíî (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëà) ñâÿ-
çàíû ñ ïàðàáîëîé.Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.1) îòíîñÿòñÿ:1) ÷èñëî p - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
2) ÷èñëî 2
p - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå;
3) òî÷êà
02
,p
F - êîîðäèíàòû ôîêóñà;
4) ïðÿìàÿ 2
px −= - äèðåêòðèñà ïàðàáîëû;
5) òî÷êà ( )00,O - âåðøèíà ïàðàáîëû;
6) ïðÿìàÿ 0=y - ôîêàëüíàÿ îñü ïàðàáîëû.
6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê,
ðàâíîóäàë¸ííûõ îò ôîêóñà è äèðåêòðèñû (ðèñ. 6.2).Ïóñòü
FMNM = ,
òîãäà
( )22
022
−+
−=+ y
px
px .
Âîçâåäÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâîâ êâàäðàò ïîëó÷èì
222
22y
px
px +
−=
+
Ðèñ. 6.1.
2p
F
O
y
x
2
px −=
Ðèñ. 6.2.
02
,p
F
− y
pN ,
2 ( )yxM ,
2p− O
y
x
160
èëè
pxy 22 = . (6.1)
Ýòî ñâîéñòâî ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ äèðåêòîðèàëüíûì ñâîé-
ñòâîì ïàðàáîëû è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû.
6.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå
Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê
êðèâîé ( )xfy = â òî÷êå ( )000 yxM , èìååò óðàâíåíèå
( )( )000 xxxfyy −′=− . (6.2) Ýòî îáùåå óòâåðæäåíèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê ÷àñòè ïàðàáî-
ëû â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå 0>y , çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì
pxy 2= .
Òàê êàê
0020 y
p
px
pyM ==′
òî, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå (6.1) â å¸ òî÷êå
( )000 yxM , , 0>y çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì:
( )00
0 xxy
pyy −=− .
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå:
0200 pxpxyyy −=− ,
ãäå 020 2pxy = , òîãäà
( )00 xxpyy += . (6.3)
íåòðóäíî ïîëó÷èòü (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìî-
ñòîÿòåëüíî) ýòî æå óðàâíåíèå (6.3) è äëÿ 0≤y . Ïðè 00 =y êàñà-
òåëüíàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ îðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñêà-çàòü: (6.3) åñòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå (6.1) â ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êå ( )000 yxM , ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå.
161
6.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû
Çàìåòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ 0=y â òî÷-
êå ( )00,xA − . Ïîëàãàÿ â (6.3) 0=y ñðàçó ïîëó÷àåì 0xx −= .
Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà ( )00,xA − íàõîäèòñÿ (ñì. ðèñ. 6.3) íà òîì
æå ðàññòîÿíèè 20p
x + îò ôîêóñà
02
,p
F ïàðàáîëû, ÷òî è òî÷êà
êàñàíèÿ ( )000 yxM , , â ñèëó ÷åãî AFMFAM 00 ∠=∠ .
Èç ðèñ. 6.3 ñðàçó âèäíî, ÷òî
20p
xAF += ,
22
22 00
2
020
2
00p
xpxp
xyp
xFM +=+
−=+
−= .
Ê ýòîìó ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèäòè è èíà÷å. Ïåðåïèøåì óðàâ-íåíèå êàñàòåëüíîé (6.3) òàê:
p
y
y
xx =+
0
0,
ãäå ( )pya ,0r
- íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé.
Ðèñ. 6.3.
( )000 yxM ,
ar
rr
ϕ
ϕ
ψ
( )0,xA −
02
,p
FO
y
x
11 À.À. Êèðñàíîâ
162
Íàéä¸ì óãîë ϕ ìåæäó ( )pya ,0r
è âåêòîðîì
− 000 2
yp
xFM , .
 ñîîòâåòñòâèè ñ (4.37) èìååì
( ) =
+
−⋅+
+
−
=⋅
=ϕ20
2
022
0
000
0
0
2
2
yp
xpy
pyp
xy
FMa
FMar
r,
cos
220
0
022
0
00
2
2
py
y
pxpy
pxy
+=
+⋅+
+
=.
Íàéä¸ì òåïåðü óãîë ψ ìåæäó ( )pya ,0r
è âåêòîðîì
+ 0
20 ,p
xAF . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.37) ëåãêî ïîëó÷èì, ÷òî
220
0
py
y
+=ψcos . (6.4)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî óãîë îáðàçóåìûé ðàäèóñ âåê-
òîðîì 0FMr =r
è êàñà-
òåëüíîé ê ïàðàáîëå ðàâåí
óãëó îáðàçóåìîìó êàñà-
òåëüíîé ñ ôîêàëüíîé îñüþ
ïàðàáîëû.Ýòî ñâîéñòâî ïàðà-
áîëû íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñ-êèì ñâîéñòâîì ïàðàáîëû.
Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà-÷àåò, ÷òî åñëè â ôîêóñåïàðàáîëû ïîìåñòèòü òî-÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà
Ðèñ. 6.4.
ϕ
ϕ
x
y
O
163
(ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí), òî îòðàæàÿñü îò ïàðàáîëû (ðèñ. 6.4) ëó÷èóéäóò ïàðàëëåëüíî ôîêàëüíîé îñè. Íà ýòîì ñâîéñòâå ïàðàáîëû îñ-íîâàíî, íàïðèìåð, äåéñòâèå ïðîæåêòîðîâ è ñïóòíèêîâûõ àíòåíí.
6.2 Ýëëèïñ
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ýë-ëèïñîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, âêîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä:
12
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba . (6.5)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.5 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò yxO ,, , êîîðäèíàòû yx, è ñàìî óðàâíåíèå (6.5) íàçû-âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
Ïðè ab = (6.5) ïðèìåò âèä222 ayx =+ , (6.6)
ÿâëÿþùèéñÿ óðàâíåíèåì îê-
ðóæíîñòè ðàäèóñà aR = ñ öåí-
òðîì â òî÷êå ( )00,O . Òàêèì îá-ðàçîì îêðóæíîñòü, åñòü ÷àñò-
íûé ñëó÷àé ýëëèïñà.Ïðè ab < ñðàâíèì (ñì.
ðèñ. 6.5) ýëëèïñ (6.5) ñ îêðóæ-íîñòüþ (6.6).
Ïîëîæèì ka
b = . Åñëè òî÷êà ( )yxM , ïðèíàäëåæèò îêðóæíî-
ñòè, òî òî÷êà ( )kyxM ,′ ïðèíàäëåæèò ýëëèïñó, òàê êàê
( )1
2
2
2
2
2
2
2
2
=+=+a
y
a
x
b
ky
a
x
è íàîáîðîò.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëëèïñ (6.5) ïîëó÷àåòñÿ èç îêðóæíîñòè (6.6)
Ðèñ. 6.5.
c− c
b−
b
a− a
( )kyxM ,′
( )yxM ,
O
y
x
11*
164
ïðåîáðàçîâàíèåì
( ) ( )kyxyx ,, a ,ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé ñæàòèå ïëîñêîñòè ê îñèàáñöèññ â îòíîøåíèè k .
Ïðè ab = ëþáàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ( )00,O áó-äåò îñüþ ñèììåòðèè ýëëèïñà (îêðóæíîñòè). Òàê êàê â (6.6) âõîäÿòòîëüêî êâàäðàòû êîîðäèíàò, òî êîîðäèíàòíûå îñè áóäóò îñÿìè
ñèììåòðèè ýëëèïñà (îêðóæíîñòè) è ïðè ab < íèêàêèõ äðóãèõ îñåéñèììåòðèè íå áóäåò.
Èòàê, ïðè ab < îñè ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò îäíî-çíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ýë-
ëèïñîì.Çíà÷èò, ñ òî÷íîñòüþ äî
çíàêîâ êàíîíè÷åñêèå êîîðäè-
íàòû åäèíñòâåííû è ïîòîìóâñå îáúåêòû, îïðåäåëÿåìûå ñïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõ êî-îðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå îòîðèåíòàöèè êîîðäèíàòíûõîñåé, áóäóò èíâàðèàíòíîñâÿçàíû ñ ýëëèïñîì.
Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.6) ýëëèïñà îòíîñÿòñÿ:1) ÷èñëî a - áîëüøàÿ ïîëóîñü;2) ÷èñëî b - ìàëàÿ ïîëóîñü;
3) ÷èñëî 22 bac −= - ëèíåéíûé ýêñöåíòðèñèòåò;
4) ÷èñëî c2 - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå;
5) ÷èñëî 2
2
1a
b
a
ce −== - ÷èñëîâîé ýêñöåíòðèñèòåò ( 10 <≤ e );
6) ÷èñëî a
bp
2
= - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
7) ïðÿìàÿ 0=y - ôîêàëüíàÿ (áîëüøàÿ) îñü;8) ïðÿìàÿ 0=x - ìàëàÿ îñü;
Ðèñ. 6.6. e
ax =
e
ax −=
c− c
b−
b
a− aO
y
x
165
9) òî÷êà ( )00,O - öåíòð ýëëèïñà;
10) òî÷êè ( )0 ,a± , ( )b± ,0 - âåðøèíû ýëëèïñà;
11) òî÷êè ( )0 ,c± - ôîêóñû ýëëèïñà;
12) ïðÿìàÿ e
ax ±= - äèðåêòðèñû ýëëèïñà, 0≠e .
 ÷àñòíîñòè äëÿ îêðóæíîñòè (6.6):
ab = , 0=c , 0=e , ap = .
6.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ïóñòü 1rr
è 2rr
- ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ. 6.7)
íåêîòîðîé òî÷êè ( )yxM , ïðèíàäëåæàùåé ýëëèïñó (6.5). Òîãäà, êàêýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.7
( ) ( ) =−+++=
−++=++= 2
2
2222
2
222222
1 21 xa
bbcxcx
a
xbcxycxr
==+=
−=+++
−= 222
2
2
2
2222
2
2
121 abca
c
a
bbcxcx
a
b ,
( )2222222
2
22 aexaeaxxeeacacxxa
c +=++===++= .
Òàê êàê ax ≤ , òî aex < , òîãäà
exar +=1 . (6.7)Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî,
ïîëó÷èì
exar −=2 . (6.8)Ñëîæèì ëåâûå è ïðàâûå
÷àñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíå-íèé
arr 221 =+ . (6.9)
Ðèñ. 6.7.
c− c
2rr1r
r( )yxM ,
O
y
x
166
Îáðàòíî, ïóñòü ( )yxM , - òàêàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, ÷òî ñóììà
å¸ ðàññòîÿíèé 21 rr + îò ôîêóñîâ ýëëèïñà ðàâíà a2 :
( ) ( ) aycxycxrr 2222221 =+−+++=+ .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà (6.5).
Òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî-
÷åê, ñóììà ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà a2 .Ýòî òàê íàçûâàåìîå ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ÷àñòî èñ-
ïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñà.
6.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ðàññòîÿíèå òî÷êè ýëëèïñà ( )yxM , äî ëåâîé (ðèñ. 6.8) äèðåê-
òðèñû e
ax −= ðàâíî
e
r
e
aex
e
ax 1=
+=+ ,
à äî ïðàâîé
e
r
e
exax
e
a 2=−
=−
è
e
xe
a
r
e
ax
r =−
=+
21
. (6.10)
òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ (6.5) åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,
îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñà äî îäíîèì¸ííîé äèðåê-
òðèñû ðàâíî e - ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó.Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.10).
Ðèñ. 6.8.
c− c
2rr1r
r
( )yxM ,
O
y
x
e
ax =
e
ax −=
2d1d
QP
167
Çàïèøåì óðàâíåíèå ïðàâîé äèðåêòðèñû e
ax = â âèäå
0=+−e
ax .
Ýòî åñòü íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, òàê êàê çäåñü 12 =A
è íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü ( )01,−nr
. Åñëè ( )yxM , ïðîèçâîëüíàÿòî÷êà ýëëèïñà, òî å¸ ðàññòîÿíèå îò ïðàâîé äèðåêòðèñû â ñîîòâåò-ñòâèè ñ (5.68) åñòü
e
axd +−=2 ,
à òàê êàê
exar −=2 ,òî
e
e
exa
exa
xe
a
exa
d
r =−−=
−
−=2
2
.
Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ ê ëåâîé äèðåêòðèñå e
ax −=
ñðàçó çàïèøåì
e
e
ax
exa
d
r =+
+=1
1
èëè
ed
r
d
r ==2
2
1
1. (6.11)
Ýòî è åñòü òàê íàçûâàåìîå äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèï-
ñà, âïîëíå àíàëîãè÷íîå ñîîòâåòñòâóþùåìó ñâîéñòâó ïàðàáîëû, â
êîòîðîå îíî ïðåâðàùàåòñÿ ïðè 1=e .
168
6.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó
Âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ýëëèïñà ( )0>y åñòü ãðàôèê ôóíêöèè
22 xaa
by −= .
Òîãäà
y
x
a
b
ya
b
xaxa
x
a
by ⋅−=⋅=
−=
−⋅−=′
2
2
2222
11.
Äëÿ 0<y
22 xaa
by −−= ,
y
x
a
b
ya
b
xaxa
x
a
by ⋅−=⋅−=
−=
−⋅=′
2
2
2222
11.
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó â ëþáîé åãî òî÷êå
( )000 yxM , , (êðîìå òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè ( )0 ,a± ) çàäà¸òñÿ óðàâíå-
íèåì
( )00
20
2
0 xxya
xbyy −−=− . (6.12)
Óìíîæèì (6.12) íà 20
b
y, òîãäà
( ) ( )20
00
20
2
20
0b
yxx
ya
xb
b
yyy ⋅−−=−
èëè
2
200
2
200
a
xxx
b
yyy −−=−
èëè
169
12
20
2
20
20
20 =+=+
b
y
a
x
b
yy
a
xx,
òàê êàê
12
20
2
20 =+
b
y
a
x.
Èòàê, óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó â òî÷êå ( )000 yxM ,
åñòü
120
20 =+
b
yy
a
xx. (6.13)
Òàê êàê â âåðøèíàõ ( )0 ,a± êàñàòåëüíàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé
ax ±= ,òî óðàâíåíèå (6.13) ãîäèòñÿ è äëÿ íèõ. Ìû ìîæåì, òàêèì îáðà-çîì, îêîí÷àòåëüíî ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (6.13) åñòü óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó (6.5) â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ( )000 yxM , .
6.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.13) òàê
0120
20 =−+
b
yy
a
xx. (6.14)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
20
a
xA = , 2
0
b
yB = , 1−=C .
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ(ðèñ. 6.9) îò ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ôîêóñîâ ( )01 ,cF − è
( )02 ,cF äî êàñàòåëüíîé(6.14).
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êèäî ïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ ñïîìîùüþ (5.68)
Ðèñ. 6.9.
ϕψ
2d
1d
c− c
2rr1r
r( )000 yxM ,
O
y
x
170
22 BA
CBYAXd
+
++= . (5.68)
Ïîëîæèì NBA =+ 22 , òîãäà
( )Na
raex
Naa
cx
Nb
y
a
cx
Nd 1
020
20
20
11
11
101 =+=+=−⋅+−⋅= .
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî ea
c = .
Èòàê
Na
rd 1
1 = . (6.15)
Na
raex
Naa
cx
Nb
y
a
cx
Nd 2
020
20
20
21
11
101 =−=−=−⋅+⋅=
èëè
Na
rd 2
2 = . (6.16)
Ñðàâíèâàÿ (6.15) è (6.16) ïîëó÷èì
Nar
d
r
d 1
2
2
1
1 == ,
íî
ϕ= sin1
1
r
d, à ψ= sin
2
2
r
d
èëèψ=ϕ . (6.17)
Ñâîéñòâî (6.17) íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ýëëèïñà.Îíî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç îäíîãî ôîêó-
ñà, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ýëëèïñà, ñîáèðàåòñÿ â äðóãîì ôîêóñå.
171
6.3. Ãèïåðáîëà
Îïðåäåëåíèå 6.3. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿãèïåðáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò
yxO ,, , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä
12
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b . (6.18)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.3 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà
êîîðäèíàò yxO ,, , êîîðäèíàòû yx, è ñàìî óðàâíåíèå (6.18) íàçû-âàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.
Ïðè ab = ãèïåðáîëà íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé.
Èç óðàâíåíèÿ (6.18) âèäíî, ÷òî ax ≥ . Ýòî ãîâîðèò î òîì,
÷òî ãèïåðáîëà ðàñïîëîæåíà âíå ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìû-ìè ax ±= .
Òàê êàê â óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (6.18) âõîäÿò òîëüêî ÷¸òíûåñòåïåíè êîîðäèíàò, òî êîîðäèíàò-íûå îñè áóäóò îñÿìè ñèììåòðèè ãè-
ïåðáîëû, à òî÷êà ( )00,O áóäåò å¸öåíòðîì ñèììåòðèè. Íèêàêèõ äðó-ãèõ îñåé ñèììåòðèè ó ãèïåðáîëûíåò.
Îñè ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ êî-îðäèíàò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿãèïåðáîëîé, ò.å. ñ òî÷íîñòüþ äî çíà-êîâ, êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòûåäèíñòâåííû. Âñå îáúåêòû, îïðåäå-ëÿåìûå ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõêîîðäèíàò, íî íå ìåíÿþùèåñÿ ïðèèçìåíåíèè èõ çíàêîâ, èíâàðèàíòíî
ñâÿçàíû ñ ãèïåðáîëîé.Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.10) ãèïåðáîëû îòíîñÿòñÿ:1) ÷èñëî a - äåéñòâèòåëüíàÿ ïîëóîñü;2) ÷èñëî b - ìíèìàÿ ïîëóîñü;
xa
by =x
a
by −=
e
ax =
e
ax −=
2F1Fcc−
b
b−
aa− O
y
Ðèñ. 6.10.
172
3) ÷èñëî 22 bac += - ëèíåéíûé ýêñöåíòðèñèòåò;
4) ÷èñëî c2 - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå;
5) ÷èñëî 2
2
1a
b
a
ce +== - ÷èñëîâîé ýêñöåíòðèñèòåò;
6) ÷èñëî a
bp
2
= - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
7) ïðÿìàÿ 0=y - ôîêàëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ îñü (îñü àáñöèññ);8) ïðÿìàÿ 0=x - ìíèìàÿ îñü (îñü îðäèíàò);
9) òî÷êà ( )00,O - öåíòð ãèïåðáîëû;
10) òî÷êè ( )0 ,a± - âåðøèíû ãèïåðáîëû;
11) òî÷êè ( )0 ,c± - ôîêóñû ãèïåðáîëû;
12) ïðÿìûå e
ax ±= - äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû;
13) ïðÿìûå xa
by ±= - àñèìïòîòû ãèïåðáîëû.
6.3.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû
Ïóñòü 1rr
è 2rr
- ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ.
6.11) íåêîòîðîé òî÷êè ( )yxM , ïðèíàäëåæàùåé ãèïåðáîëå (6.18).
Òîãäà, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.11
( ) =−++
+=−+++=++= 222
2
222
2
222222
1 212 bccxxa
bbx
a
bccxxycxr
( )2222222
2
22 aexaeaxxeacxxa
c +=++=++= .
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
173
22
22 1 x
a
by
+= , 222 acb −= , 2
2
2
ea
c = , eac = .
( ) =−+−
+=−++−=+−= 222
2
222
2
222222
2 212 bccxxa
bbx
a
bccxxycxr
( )2222222
2
22 aexaeaxxeacxxa
c −=+−=+−= .
Èòàê
aexr +=1r
è aexr −=2r
. (6.19)
1. Ðàññìîòðèì ïðàâóþ âåòâü ãèïåðáîëû. Äëÿ íå¸ ax ≥ , òîã-
äà (6.19) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
aexr +=1 , aexr −=2 . (6.20)Èç (6.20) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
arr 221 =− . (6.21)2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ëåâóþ âåòâü ãèïåðáîëû. Äëÿ íå¸
ax −≤ , òîãäà (6.19) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü òàê
aexr −−=1 , aexr +−=2 . (6.22)Èç (6.22) ñëåäóåò, ÷òî
arr 221 −=− . (6.23)Îáúåäèíèâ (6.21) è (6.23) çàïèøåì
Ðèñ. 6.11.
à) á)
2rr
1rr
2rr1r
r MM
cc−cc− O
y
xO
y
x
174
arr 221 =− . (6.24)
Ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå (6.24), òàêîå æå êàê è ñîîòíîøå-íèå (6.9) äëÿ ýëëèïñà.
Ãèïåðáîëà åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê, àáñîëþò-
íàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà a2 .Ýòî è åñòü ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû, ÷àñòî èñïîëüçóå-
ìîå è êàê îïðåäåëåíèå ãèïåðáîëû.Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò íàì ñäåëàòü íåêîòîðîå
ïðåäïîëîæåíèå î ãëóáîêîì ðîäñòâå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.
6.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèðåêòîðèàëüíûõ ñâîéñòâ ãèïåðáîëû âîñ-ïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ï. 6.2.2.
Çàïèøåì äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû e
ax ±= â âèäå íîðìàëüíûõ
óðàâíåíèé ïðÿìûõ
0=−e
ax è 0=+
e
ax .
Åñëè ( )yxM , åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëû (ðèñ. 6.12),òî å¸ ðàññòîÿíèå äî ïðàâîé äèðåêòðèñû åñòü
e
axd −=2
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.20)
aexr −=2 .Òîãäà
e
e
aex
aex
e
ax
aex
d
r =−−=
−
−=2
2
.
Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ
ê äèðåêòðèñå 0=+e
ax è ó÷èòûâàÿ,
Ðèñ. 6.12.
2d1d
e
ax =
e
ax −=
( )yxM ,
2rr
1rr
cc− O
y
x
QP
175
÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ( )yxM , äî ëåâîé äèðåêòðèñû åñòü
e
axd +=1 è aexr +=1
ïîëó÷èì
e
e
ax
aex
d
r =+
+=1
1
.
Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì çàïèñàòü
ed
r
d
r ==2
2
1
1. (6.25)
Èòàê, ãèïåðáîëà, åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê îò-
íîøåíèÿ ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ äî îäíîèì¸ííûõ äèðåê-
òðèñ ðàâíî ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó e .Òàêèì îáðàçîì ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà ìîãóò áûòü
ïîëó÷åíû èç îäíîé è òîé æå äèðåêòîðèàëüíî-ôîêàëüíîé êîíôèãó-
ðàöèè. Âñ¸ ðàçëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â âåëè÷èíå ÷èñëîâîãî ýêñöåíòðè-
ñèòåòà e :0=e - îêðóæíîñòü, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà;
10 <≤ e - ýëëèïñ;
1=e - ïàðàáîëà;
1>e - ãèïåðáîëà.
6.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå
Ðàññìîòðèì ïðàâóþ ( )0>x âåòâü ãèïåðáîëû äëÿ 0>y , ãðà-ôèê ôóíêöèè êîòîðîé åñòü
22 axa
by −= .
Òîãäà (ñì. ï. 6.2.3)
y
x
a
b
ax
x
a
by ⋅=
−⋅=′
2
2
22 .
176
Äëÿ 0<y èìååì
22 axa
by −−= , ya
b
ax
1122
⋅−=−
,
y
x
a
b
ax
x
a
by ⋅=
−⋅−=′
2
2
22 .
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ïðàâîé ãèïåðáîëå ( )0>x â
ëþáîé å¸ òî÷êå ( )000 yxM , çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì
( )00
20
2
0 xxya
xbyy −=− .
Ðàññóæäàÿ äàëåå ïî àíàëîãèè ñ ï. 6.2.3 ïîëó÷èì óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå â òî÷êå ( )000 yxM ,
120
20 =−
b
yy
a
xx. (6.26)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî æå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïî-
ëó÷àåòñÿ è äëÿ ëåâîé âåòâè ( )0<x ãèïåðáîëû.
6.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ï. 6.2.4 ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.26) ââèäå
0120
20 =−−
b
yy
a
xx. (6.27)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
20
a
xA = , 2
0
b
yB −= , 1−=C .
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 6.13) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêóñîâ
( )01 ,cF − è ( )02 ,cF äî êàñàòåëüíîé (6.27).
Èñïîëüçóÿ (5.68) ïîëó÷èì
177
( )Na
r
Na
aex
b
y
a
cx
Nd 1
20
20
1 101 =+=−⋅+−⋅= ,
Na
r
Na
aex
b
y
a
cx
Nd 2
20
20
2 101 =−=−⋅+⋅=
èëè
Nar
d
r
d 1
2
2
1
1 == .
Èç ðèñ. 6.13 ìû âèäèì, ÷òî
ϕ= sin1
1
r
d, à ψ= sin
2
2
r
d
èëèψ=ϕ . (6.28)
Ñâîéñòâî (6.28) ãîâîðèò îòîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ äåëèò óãîë
ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðàìè òî÷êè
( )000 yxM , ëåæàùåé íà ãèïåðáîëå
ïîïîëàì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè â îäèí ôîêóñ ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé
èñòî÷íèê ñâåòà, òî ëó÷ ñâåòà âûõîäÿùèé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî
ôîêóñà îòðàçèòñÿ îò ãèïåðáîëû ïî ëèíèè ñîåäèíÿþùå¸ äðóãîé ôî-
êóñ ãèïåðáîëû è òî÷êó ( )000 yxM , . Âòîðîé ôîêóñ â ýòîì ñëó÷àå âû-
ñòóïàåò êàê ìíèìûé èñòî÷íèê ñâåòà.
6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîëîòíåñ¸ííûå ê âåðøèíå
Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëó (6.18)
12
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b . (6.18)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî ÏÑÊ (ðèñ. 6.14) â ïðàâóþ âåðøèíó ãè-ïåðáîëû. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ
ψϕ
ϕ
2d
1d
( )000 yxM ,
2rr
1rr
cc− O
y
x
Ðèñ. 6.13.
12 À.À. Êèðñàíîâ
178
axx −=′ ,
yy =′ .Íàéä¸ì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (6.18) â íîâûõ
êîîðäèíàòàõ:
( )1
2
2
2
2
=′
−+′b
y
a
ax
èëè
( )
112
2
2
2
2
2
2
2
2
=′
−+′+′
=′
−+′b
yx
aa
x
b
y
a
ax.
Ïðåîáðàçóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî äàëåå, ïîëó÷èì
02
2
2
2
2
=′
−′+′
b
yx
aa
x,
22
222 2 x
a
bx
a
by ′+′=′ . (6.29)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
a
bp
2
= , 2
2
a
bq =
è ïîäñòàâèì èõ â (6.29), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèå ãè-
ïåðáîëû â ÏÑÊ yxO ′′′
22 2 xqxpy ′+′=′ . (6.30)
Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
011 22
2
2
22
2
2
>−=−=−== ea
c
a
ac
a
bq , ò.ê. 1>e .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëëèïñ (6.5)
12
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba . (6.5)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî êîîðäèíàò (ðèñ. 6.15) â ëåâóþ âåðøèíóýëëèïñà, ÷òî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ
Ðèñ. 6.14.
aO′
y′
x′cO
y
x
179
axx +=′ ,
yy =′ .Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ýëëèïñà â íîâûõ êîîðäèíàòàõ6
( )1
2
2
2
2
=′
+−′b
y
a
ax.
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
( )11
22
2
2
2
2
2
2
2
=′
++′−′
=′
+−′b
yx
aa
x
b
y
a
ax,
22
222 2 x
a
bx
a
by ′−′=′ . (6.31)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
a
bp
2
= , a
bq
2
−=
è ïîäñòàâèì èõ â (6.31), â ðå-çóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíå-
íèå ýëëèïñà â ÏÑÊ yxO ′′′
22 2 xqxpy ′+′=′ . (6.32)
Çäåñü
0122
22
2
2
>−=−=−= ea
ac
a
bq , ò.ê. 1<e .
Ïðè 1=e , 0=q , òîãäà (6.32) ïðèíèìàåò âèä
pxy 22 = ,
ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïàðàáîëû (6.1), ïîñêîëüêó íà÷àëî
ñèñòåìû êîîðäèíàò óæå ïîìåùåíî â âåðøèíó ïàðàáîëû è Oxy
ñîâïàäàåò ñ yxO ′′′ .
Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë ìîæ-
íî çàäàòü îäíèì îáùèì óðàâíåíèåì âèäà
22 2 qxpxy += , (6.33)
êîòîðîå ïðè:
Ðèñ. 6.15.
c−a−O′
y′
x′cO
y
x
12*
180
0>q - îïðåäåëÿåò ãèïåðáîëó;
0=q - îïðåäåëÿåò ïàðàáîëó;
01 <≤− q - îïðåäåëÿåò ýëëèïñ;
1−=q - îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà.
6.5. Óðàâíåíèÿ ýëëèïñîâ, ïàðàáîë è ãèïåðáîëâ ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïàðàáîëû(ðèñ. 6.16) â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ,î êîòîðûõ ìîæíî áîëåå ïîäðîáíîïðî÷èòàòü â ï. 4.4.4.
Ñîâìåñòèì ïîëþñ ïîëÿðíîé ñè-
ñòåìû êîîðäèíàò ñ òî÷êîé
0,2
pF
êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïî-ëÿðíóþ îñü íàïðàâèì ïî îñè àáñöèññè çàïèøåì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèåïàðàáîëû (6.1)
pxy 22 = , 0>p (6.1)
â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿϕ= cosrx ,
ϕ= sinry . (4.12)Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 6.16
ϕ=− cosrp
x2
, (6.34)
ãäå
2
pxr += , à
2
prx −= .
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå x â (6.34) ïîëó÷èì
2
px +
ϕrr
2
px −
( )yxM ,
x2
p x
2
px −=
O
y
Ðèñ. 6.16.
181
ϕ=−− cosrpp
r22
èëèϕ=− cosrpr
è îêîí÷àòåëüíî
ϕ−=
cos1
pr . (6.35)
Áóäåì èìåòü â âèäó, ÷òî äëÿ ïàðàáîëû 1=e .Ïîëó÷èì òåïåðü óðàâíåíèå ýëëèïñà
12
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba (6.5)
â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, ñîâìå-ñòèâ ïîëþñ (ðèñ. 6.17) ñ ëåâûìôîêóñîì. Èç ðèñ. 6.17 ñëåäóåò,÷òî
ϕ=+ cos1rcx
èëè
crx −ϕ= cos1 . (6.36)Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè âûðàæå-
íèå äëÿ 1r
exar +=1 .(6.7)
Ïîäñòàâèì â (6.7) çíà÷åíèå x èç (6.36), òîãäà
( ) ϕ+−=−ϕ+=+= coscos 111 erceacreaexar , (6.37)ãäå
02
222222
>===−=−=−===− pa
bbca
a
ca
a
ca
a
cecea .
Òîãäà
ϕ+= cos11 erpr
è îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå ýëëèïñà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ áóäåòèìåòü âèä
Ðèñ. 6.17.
ϕ
( )yxM ,
1rr
cc− O
y
xx
182
ϕ−=
cose
pr
1 , 10 <≤ e . (6.38)
Ðàññìîòðè óðàâíåíèå ãèïåðáîëû
12
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b . (6.18)
Ñîâìåñòèì ïîëþñ (ðèñ. 6.18) ñ ïðà-âûì ôîêóñîì ãèïåðáîëû, òîãäà
ϕ=− cos2rcx
îòêóäà
crx +ϕ= cos2 .Çäåñü
aexr −=2 . (6.20)Ïîäñòàâëÿÿ â (6.20) çíà÷åíèå x ,
ïîëó÷èì
( ) ϕ+−=−+ϕ= coscos 222 eraecacrer .Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
02222
>==−=−===− pa
b
a
aca
a
c
a
ceaec ,
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ãèïåðáîëû â ïîëÿðíûõêîîðäèíàòàõ
ϕ+= cos22 erpr
èëè
ϕ−=
cose
pr
1 , 1>e . (6.39)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà â
ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ìîãóò áûòü çàäàíû îäíèì è òåì æå óðàâ-
íåíèåì
ϕ−=
cose
pr
1 . (6.40)
Ýòî åù¸ ðàç ãîâîðèò î åäèíñòâå ýòèõ ëèíèé.
Ðèñ. 6.18.
cx −ca
ϕ
( )yxM ,2rr
O
y
xx
183
7. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáùàÿ òåîðèÿ
7.1. Îáùåå ïîíÿòèå î ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
Îïðåäåëåíèå 7.1. Àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì îò ïåðåìåííûõ
nxxx ,...,, 21 áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèå âèäà
( ) 021 =nxxxF ,...,, , (7.1)
â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü ( )nxxxF ,...,, 21 åñòü ìíîãî÷ëåí îò ýòèõ ïåðå-
ìåííûõ. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà ( )nxxxF ,...,, 21 áóäåì íàçûâàòü ñòå-ïåíüþ óðàâíåíèÿ (7.1).
 äàííîì ðàçäåëå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ìíîãî÷ëå-íîâ âòîðîé ñòåïåíè îò ïåðåìåííûõ x è y , ò.å. ìíîãî÷ëåíîâ âèäà
( ) 0=yxF , ,êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
0222 22 =+++++ FEyDxCyBxyAx (7.2)
èëè â áîëåå ñèììåòðè÷íîé çàïèñè
0222 3323132
22122
11 =+++++ ayaxayaxyaxa . (7.3)
Óðàâíåíèÿ (7.2) è (7.3) åñòü ïðîñòî ðàçíûå âèäû çàïèñè îä-íîãî è òîãî æå îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà îò ïåðå-ìåííûõ x è y . Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì çàïèñèîáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå (7.3).
Èòàê, ïóñòü íàì çàäàíî îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãîïîðÿäêà
0222 3323132
22122
11 =+++++ ayaxayaxyaxa (7.3)
â íåêîòîðîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Íàøà çàäà÷à áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïîèñêå êàíîíè÷åñêîé ñèñ-
òåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò ìàêñèìàëüíîïðîñòîé - êàíîíè÷åñêèé âèä.
 ðåçóëüòàòå íàøèõ ïîèñêîâ ìû ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (7.3)áóäåò îïðåäåëÿòü îäíó èç ñëåäóþùèõ ëèíèé:
184
1. 12
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba ýëëèïñ;
2. 12
2
2
2
−=+b
y
a
x, 0>≥ ba ìíèìûé ýëëèïñ;
3. 02
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba , 1
1122
=+ba
äâå ìíèìûå
ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå;
4. 12
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b ãèïåðáîëà;
5. 02
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b , 1
1122
=+ba
äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ
ïðÿìûå;
6. pxy 22 = , 0>p ïàðàáîëà;
7. 22 by = , 0≠b äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå;
8. 22 by −= , 0≠b äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå;
9. 02 =y äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
Óñëîâèìñÿ î ñëåäóþùåé òåðìèíîëîãèè:1) ãðóïïó ñëàãàåìûõ
22212
211 2 yaxyaxa ++ (7.4)
áóäåì íàçûâàòü ãðóïïîé ñòàðøèõ ÷ëåíîâ (êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé)äàííîãî óðàâíåíèÿ (7.3);
2) ãðóïïó ñëàãàåìûõ
332313 22 ayaxa ++ (7.5)áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíîé ÷àñòüþ (ëèíåéíîé ôîðìîé) äàííîãî óðàâ-íåíèÿ (7.3);
3) êîýôôèöèåíòû 11a , 12a , 22a - êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷-íîé ôîðìû;
185
4) êîýôôèöèåíòû 13a , 23a , 33a - êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîéôîðìû;
5) êîýôôèöèåíò 33a - ñâîáîäíûé ÷ëåí.Äëÿ ñèììåòðèè ôîðìóëû (7.3) ïîëîæèì
2112 aa = , 3113 aa = , 3223 aa = .
7.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè çàìåíå ÏÑÊ
Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó ïåðåõîäà îò îáùåãî óðàâíå-íèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ê êàêîìó-ëèáî êàíîíè÷åñêîìóâèäó, äëÿ ÷åãî ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ëèíèè âòî-ðîãî ïîðÿäêà ïðè ïðîèçâîëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ íå âûõî-äÿ èç îäíîãî îïðåäåë¸ííîãî êëàññà ñèñòåìû êîîðäèíàò, à èìåííîïðàâîé ÏÑÊ.
7.2.1. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ
Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ëèíèè âòîðî-ãî ïîðÿäêà (7.3) âûçâàííîå ïåðåíîñîì íà÷àëà êîîðäèíàò (ñì. ï.
4.5.1) â íåêîòîðóþ òî÷êó ( )00 yxO ,′ .  ýòîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèèñ (4.17) çàïèøåì
0xxx +′= ,
0yyy +′= . (7.6)Ïîäñòàâèì (7.6) â (7.3). Òîãäà ó÷èòûâàÿ, ÷òî
200
22 2 xxxxx +′+′= ,
200
22 2 yyyyy +′+′= ,
0000 yxxyyxyxxy +′+′+′′=ïîëó÷èì
++′+′+′′++′+′ 0012012012122011011
211 22222 yxaxyayxayxaxaxxaxa
022222 3302323013132022022
222 =++′++′++′+′+ ayayaxaxayayyaya .
186
Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè
1313012011 aayaxa ′=++ , (7.7)
2323022012 aayaxa ′=++ , (7.8)
333302301320220012
2011 222 aayaxayayxaxa ′=++++++ (7.9)
çàïèøåì åãî â âèäå
0222 3323132
22122
11 =′+′′+′′+′+′′+′ ayaxayayxaxa . (7.10)
Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (7.10) ñ èñõîäíûì óðàâíå-íèåì (7.3) ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä: ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñåÏÑÊ â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.6) êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ñòàðøåé ãðóï-ïû íå ìåíÿþòñÿ. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ëèíåéíîé ãðóïïû ìåíÿþò-ñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7.7) ÷ (7.9).
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.7) è (7.8) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü(7.9) òàê
( ) ( ) =++++++++=′ 3302301302302201201301201133 ayaxayayaxaxayaxaa
( ) ( ) 330232301313 ayaaxaa ++′++′= .Èëè
( ) ( ) 33023230131333 ayaaxaaa ++′++′=′ . (7.11)
7.2.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ
Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ Oxy âîêðóã òî÷êè O íà óãîë ϕïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñì. ï. 4.5.2). Ïðè ýòîì ìû ìîæåì âîñ-ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (4.25), ñâÿçûâàþùèìè ñòàðûå è íî-âûå êîîðäèíàòû
ϕ′−ϕ′= sincos yxx ,
ϕ′+ϕ′= cosyxinxy . (4.25)
Ïîäñòàâèì (4.25) â (7.3). Òîãäà
ϕ′+ϕϕ′′−ϕ′= 22222 2 sinsincoscos yyxxx ,
ϕ′+ϕϕ′′+ϕ′= 22222 2 cossincossin yyxxy ,
ϕϕ′−ϕ′′−ϕ′′+ϕϕ′= cossinsincoscossin 2222 yyxyxxxy .
187
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ
2
212 ϕ−=ϕ cossin ,
2
212 ϕ+=ϕ coscos , ϕ=ϕϕ 22 sincossin :
( ) ( )ϕ−′+ϕ′′−ϕ+′= 212
1221
2
1 222 cossincos yyxxx ,
( ) ( )ϕ+′+ϕ′′+ϕ−= 212
1221
2
12 cossincos yyxy ,
( ) ( ) ϕ′−ϕ−′′−ϕ+′′+ϕ′= 22
121
2
121
2
12
2
1 22 sincoscossin yyxyxxxy =
ϕ′−ϕ′′+ϕ′= 22
122
2
1 22 sincossin yyxx .
Ñ ó÷¸òîì òð¸õ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ è (4.25) óðàâíåíèå (7.3)ïðèìåò âèä:
+ϕ′−′+ϕ′′−ϕ′+′ 22
1
2
122
2
1
2
1 211
21111
211
211 cossincos yayayxaxaxa
+ϕ′−ϕ′′+ϕ′+ 2222 21212
212 sincossin yayxaxa
+ϕ′+′+ϕ′′+ϕ′−′+ 22
1
2
122
2
1
2
1 222
22222
222
222 cossincos yayayxaxaxa
02222 3323231313 =+ϕ′+ϕ′+ϕ′−ϕ′ ayaxayaxa cossinsincos .Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
( ) ( ) +′
ϕ+ϕ−++ 2
1222112211 222
1
2
1xaaaaa sincos
( ) +′′
ϕ+ϕ−−+ yxaaa 22
2
12 122211 cossin
( ) ( ) +′
ϕ−ϕ−−++ 2
1222112211 222
1
2
1yaaaaa sincos
( ) ( ) =+′ϕ−ϕ+′ϕ+ϕ+ 3313232313 22 ayaaxaa sincossincos
0222 3323132
22122
11 =′+′′+′′+′′+′′′+′′= ayaxayayxaxa .
188
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïå-ðåìåííûõ ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ îáùåãî óðàâ-íåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ
( ) ( ) ϕ+ϕ−++=′ 222
1
2
1122211221111 sincos aaaaaa , (7.12)
( ) ϕ+ϕ−−=′ 222
112221112 cossin aaaa , (7.13)
( ) ( ) ϕ−ϕ−−+=′ 222
1
2
1122211221122 sincos aaaaaa , (7.14)
ϕ+ϕ=′ sincos 231313 aaa , (7.15)
ϕ−ϕ=′ sincos 132323 aaa , (7.16)
3333 aa =′ . (7.17)Îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
0222 3323132
22122
11 =′+′′+′′+′′+′′′+′′ ayaxayayxaxa . (7.18)
Àíàëèçèðóÿ óðàâíåíèÿ (7.12) ÷ (7.17) ìû ìîæåì ñäåëàòü âû-âîä:
1) ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ êîýôôèöèåíòû 11a′ , 12a′ , 22a′ãðóïïû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ âûðàæàþòñÿ ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýô-
ôèöèåíòû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ 11a , 12a è 22a ;
2) êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû 13a′ è 23a′ âûðàæàþòñÿ
ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû 13a è 23a ;
3) ñâîáîäíûé ÷ëåí 3333 aa =′ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íå ìåíÿåòñÿ.
7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà.Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
Ðàññìîòðèì îäèí èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ñâÿçàííûõ ñ òåî-ðèåé ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, à èìåííî, âîïðîñ îá èíâàðèàíòàõ.
Íà÷í¸ì ñ ïîÿñíåíèÿ ýòîãî ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå. Ñëîæèâ óðàâ-íåíèÿ (7.12) è (7.14), ïîëó÷èì:
189
22112211 aaaa +=′+′ .
Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ âåëè÷èíû 11a è 22a
èçìåíÿþòñÿ êàæäàÿ â îòäåëüíîñòè (îáðàùàÿñü â íîâûå âåëè÷è-
íû 11a′ è 22a′ ), íî èõ ñóììà îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé. Íåèçìåííûìè ýòèâåëè÷èíû, êàê ìû ýòî âûÿñíèëè ðàíåå, îñòàþòñÿ è ïðè ïàðàëëåëü-íîì ïåðåíîñå ÏÑÊ.
Èòàê, ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ ïåðåìåííûõ â(7.3)
22111 aaI += (7.19)îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé ïî îòíîøåíèþ ê ïàðàëëåëüíîìó ïåðåíîñó è
ïîâîðîòó ÏÑÊ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âûðàæàþò, ãîâîðÿ, ÷òî 1I
åñòü èíâàðèàíò óðàâíåíèÿ (7.3) ïðè óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõÏÑÊ.
Âîîáùå, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
( )332313221211 aaaaaaf ,,,,,
îò êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (7.3) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðèïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ, åñëè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè îñòà¸òñÿ íå-èçìåííûì ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé, ò.å. åñëè
( ) ( )332313221211332313221211 aaaaaafaaaaaaf ,,,,,,,,,, =′′′′′′ .Îñíîâíîå çíà÷åíèå ïîíÿòèÿ èíâàðèàíòà ñòàíåò ÿñíûì, åñëè
çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå âèäà ( )332313221211 aaaaaaf ,,,,, òîëüêî â òîìñëó÷àå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ãåîìåòðè÷åñêóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåð-íóþ äëÿ ñàìîé ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè, à íå çàâèñÿùóþ îò ñëó-÷àéíîãî ïîëîæåíèÿ îñåé êîîðäèíàò, åñëè òîëüêî ýòî âûðàæåíèååñòü èíâàðèàíò. Ïîýòîìó âîïðîñ îá îòûñêàíèè èíâàðèàíòîâ - åñòüîäèí èç ñàìûõ âàæíûõ êàê â òåîðèè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, òàê èâ ãåîìåòðèè âîîáùå.
Ïðèâåä¸ì åù¸ îäèí ïðèìåð èíâàðèàíòà ëèíèè âòîðîãî ïî-ðÿäêà. Èç óðàâíåíèé (7.12) ÷ (7.14) ñëåäóåò:
( ) ϕ+ϕ−=′−′ 222 1222112211 sincos aaaaa ,
( ) ϕ+ϕ−−=′ 2222 12221112 cossin aaaa .Âîçâîäÿ ýòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì
190
( ) ( ) 212
22211
212
22211 44 aaaaaa +−=′+′−′ ,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå
( ) ( ) 212
22211
212
22211 44 aaaaaa +−=′+′−′
åñòü òîæå èíâàðèàíò.
( ) 212
22211 4aaa +− (7.20)
Ýòîò èíâàðèàíò ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí è òàê:
( ) =++−=+− 212
2222211
211
212
22211 424 aaaaaaaa
=−+++−= 22112211212
2222211
211 2242 aaaaaaaaa
( ) ( )2122211
222112211
212
2222211
211 4242 aaaaaaaaaaaa −−+=−+++=
èëè
( ) ( ) ( )2122211
22211
212
22211 44 aaaaaaaa −−+=+− . (7.21)
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû èìååì íåñêîëüêî èíâàðèàíòîâ
nIII ,...,, 21 , òî ëþáàÿ èõ ôóíêöèÿ ( )nIIIF ,...,, 21 åñòü òîæå èíâàðè-
àíò. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè nIII ,...,, 21 íå ìåíÿþòñÿ ïðè çà-
ìåíå ÏÑÊ, òî íå áóäåò ìåíÿòüñÿ è ( )nIIIF ,...,, 21 . Òàêèì îáðàçîìåñëè
22111 aaI +=èíâàðèàíò, òî è
( )22211
21 aaI +=
òîæå èíâàðèàíò.
Âû÷èòàÿ èç (7.21) 21I ïîëó÷èì èíâàðèàíò
( )21222114 aaa −− ,
ðàçäåëèâ êîòîðûé íà 4− îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì íîâûé èíâàðè-
àíò 2I :
2221
121121222112 aa
aaaaaI =−= . (7.22)
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî 2112 aa = .
191
Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé (èëè èñ-ïîëüçóÿ òåîðèþ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êîòîðóþ ìû áóäåì èçó÷àòüâî âòîðîì ñåìåñòðå) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
=′′′′′′′′′
,
ò.å.
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
I = (7.23)
åñòü òîæå èíâàðèàíò ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.Èòàê, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âàæíîìó âûâîäó: âûðà-
æåíèÿ
1I , 2I , 3I
åñòü îðòîãîíàëüíûå èíâàðèàíòû óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
O=λ− EI2
èëè
02221
1211 =λ−
λ−aa
aa. (7.24)
Ðàñêðîåì îïðåäåëèòåëü (7.24)
( ) ( ) 02122211
2221
1211 =−λ−⋅λ−=λ−
λ−aaa
aa
aa
èëè
( ) ( ) 021222112211
2 =−+λ+−λ aaaaa ,
èëè ñ ó÷¸òîì (7.19) è (7.22)
0212 =+λ−λ II , (7.25)
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü êîðíåé 1λ è 2λ â ñèëó èí-
âàðèàíòíîñòè êîýôôèöèåíòîâ 1I è 2I .
192
Èíâàðèàíòû 1I è 2I åñòü ôóíêöèè îò 1λ è 2λ â ñèëó õîðîøîèçâåñòíîé íàì èç øêîëüíîé ïðîãðàììû òåîðåìû Âèåòà, ò.å.
211 λ+λ=I à 212 λ⋅λ=I . (7.26)Ê èíâàðèàíòàì ìû ìîæåì ïðèïèñàòü è ðàíãè îïðåäåëèòå-
ëåé 2I è 3I , ò.å.
2RgI è 3RgI
åñòü òîæå èíâàðèàíòû.Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà è èõ
ðàñïîëîæåíèå âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èõ èíâàðèàíòîâ
1I , 2I , 3I .
 çàâèñèìîñòè îò çíàêà 2I îíè ðàçäåëÿþòñÿ íà ñëåäóþùèåòèïû:
02 >I - ýëëèïòè÷åñêèé òèï;
02 <I - ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï;
02 =I - ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì òðè êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ãè-ïåðáîëû è ïàðàáîëû:
1. Ýëëèïñ 1916
22
=+ yx èëè 0144169 22 =−+ yx .
Çäåñü 911 =a , 1622 =a , 012 =a , òîãäà
0144160
092 >==I .
2. Ãèïåðáîëà 1916
22
=− yx èëè 0144169 22 =−− yx .
Çäåñü 911 =a , 1622 −=a , 012 =a è òîãäà
0144160
092 <−=
−=I .
3. Ïàðàáîëà xy 62 = èëè 062 =− xy .
193
Çäåñü 011 =a , 122 =a , 012 =a , 313 −=a è òîãäà
010
002 ==I .
7.4. Öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.Ïðåîáðàçîâàíèå ê öåíòðó
 ï. 7.2.1. ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñåÏÑÊ èçìåíÿþòñÿ ëèøü êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ãðóïïû â ñîîò-âåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7.7), (7.8) è 97.9).
Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì, êàê íàéòè òàêóþ ÏÑÊ yxO ′′′ , ïîëó÷åí-
íóþ èç ÏÑÊ Oxy ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, ÷òîáû óðàâíåíèå(7.10) ïðèíÿëî âèä
02 332
22122
11 =′+′+′′+′ ayayxaxa . (7.27)
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû äîëæíû íàéòè òàêóþ ÏÑÊ yxO ′′′ , â êî-
òîðîé
013 =′a è 023 =′a .
Åñëè 0x , 0y - êîîðäèíàòû O′ èñêîìîé ÏÑÊ, òîãäà èç óðàâ-
íåíèé (7.7) è (7.8) ìû èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé
013012011 =++ ayaxa ,
023022012 =++ ayaxa , (7.28)
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèÿìè öåíòðà ëèíèè âòîðîãî
ïîðÿäêà, à òî÷êà ( )00 yxO ,′ , ãäå 0x , 0y - ðåøåíèå ñèñòåìû (7.28) -
öåíòð ýòîé ëèíèè.Ïîÿñíèì ïîíÿòèå öåíòð ëèíèè. Ïóñòü íà÷àëî ÏÑÊ ïåðå-
íåñåíî â òî÷êó O′ . Òîãäà óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)ïðèìåò âèä (7.27).
Ïóñòü òî÷êà ( )yxM ′′, ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè
l , òîãäà è òî÷êà ( )yxM ′−′− ,* ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå M îòíîñèòåëü-
13 À.À. Êèðñàíîâ
194
íî O′ òîæå ïðèíàäëåæèò ëèíèè l . Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñóùå-
ñòâóåò öåíòð ñèììåòðèè O′ äëÿ l , òî îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðàòî÷êè ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà l ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íîïàðàìè è öåíòð ëèíèè l åñòü öåíòð å¸ ñèììåòðèè.
Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíèÿ l èìååò öåíòð ñèììåòðèè, òî äëÿ íå¸
3323 aII ′⋅= . (7.29)Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî
3322221
121133
33
2221
1211
333231
232221
131211
3
00
0
0
aIaa
aaa
a
aa
aa
aaa
aaa
aaa
I ′⋅=⋅′=′
=′′′′′
= .
Èç (7.29) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
2
333 I
Ia =′ . (7.30)
Íàëè÷èå öåíòðà ó ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ñâÿçàíî ñ ðàçðå-øèìîñòüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.28), ò.å. åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé(7.28) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ëèíèÿ l áóäåò öåíòðàëüíîé.Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (7.28) åñòü
22221
1211 Iaa
aa= ,
òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ öåíòðà åñòüîòëè÷èå îò íóëÿ ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè
02 ≠I
ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà l èìååò öåíòð.Èç ñêàçàííîãî âûøå ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä:
Ëèíèè ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà 02 >I è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà
02 <I è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè ëèíèÿìè.Èòàê, åñëè ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, òî ïàðàëëåëüíûì ïåðå-
íîñîì å¸ â òî÷êó ( )00 yxO ,′ ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü å¸ â âèäå (7.27)
02 332
22122
11 =′+′+′′+′ ayayxaxa . (7.27)
195
7.5. Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ
Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)ïóò¸ì ïîâîðîòà ÏÑÊ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óðàâíåíèþ, â êî-
òîðîì íå áóäåò ñîäåðæàòüñÿ ñëàãàåìîãî yxa ′′′122 , ò.å. áóäåò 012 =′a .Òàêîå óïðîùåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èñõîäíîì óðàâíåíèè (7.3) 012 ≠a . Ïóñòü
óãîë ϕ - óãîë ïîâîðîòà íîâîé ÏÑÊ yxO ′′ îòíîñèòåëüíî ñòàðîé
ÏÑÊ Oxy . Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ (7.13) ïðè 012 =′a ïîëó÷èì
( ) 0222
1122211 =ϕ+ϕ−− cossin aaa , (7.31)
ãäå 012 ≠a ïî îïðåäåëåíèþ. Òîãäà
12
2211
22
a
aactg
−=ϕ (7.32)
èëè
2211
1222
aa
atg
−=ϕ . (7.33)
Èòàê, åñëè ìû ïîâåðí¸ì ÏÑÊ Oxy íà óãîë ϕ â ñîîòâåòñòâèè
ñ (7.32) èëè (7.33), òî â íîâîé ÏÑÊ yxO ′′ 12a′ ïðèìåò çíà÷åíèå
íóëü ( 012 =′a ) è óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïðèìåò
âèä
022 3323132
222
11 =′+′′+′′+′′+′′ ayaxayaxa . (7.34)
Ïðèìåíèì ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ê ÷àñòíîìó âèäó ëèíèèâòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. ê ëèíèè âèäà
02 332
22122
11 =′+′+′′+′ ayayxaxa . (7.27)
Ýòî åñòü óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, èìåþùåé öåíòðèëè ïðÿìóþ öåíòðîâ. Òàê êàê ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòñóòñòâóåò, òî íà-÷àëî êîîðäèíàò ÏÑÊ åñòü öåíòð ëèíèè l . Ïîëîæèì äëÿ îïðåäå-ë¸ííîñòè, ÷òî
13*
196
021222112 ≠−= aaaI ,
ò.å. öåíòð îäèí.Åñëè ïîâåðíóòü ñèñòåìó îñåé òàê, ÷òîáû îäíà èõ íèõ ñîâïà-
ëà ñ îäíèì èç ãëàâíûõ äèàìåòðîâ (ñ îäíîé èç îñåé ñèììåòðèè), òîäðóãàÿ îñü ñîâïàä¸ò ñ äðóãèì ãëàâíûì äèàìåòðîì (äðóãîé îñüþñèììåòðèè) è ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ãäå áóäåò îòñóòñòâîâàòü
ñëàãàåìîå yxa ′′′122 .Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïîâåðíóòü îñè â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.32) èëè
(7.33), ò.å. åñëè 012 =′a , òî
111 a′=λ è 222 a′=λ , (7.35)
ãäå 1λ è 2λ åñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (7.24).Íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò
221122111 aaaaI ′+′=+=è
22112
12221121222112 aaaaaaaaI ′′=′−′′=−= .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.26) èìååì
211 λ+λ=I è 212 λ⋅λ=I
è ìû ìîæåì ïîëîæèòü
111 a′=λ è 222 a′=λè óðàâíåíèå (7.27) òîãäà ïðèìåò âèä
0332
22
1 =′+′λ+′λ ayx . (7.36)
7.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïóñòü ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, ò.å.
021222112 ≠−= aaaI . (7.37)
Ïåðåíîñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð ( )00 yxO ,′ ëèíèè, ò.å.ïîëàãàÿ
197
0xxx +′= ,
0yyy +′= ,
ãäå 00 yx , - ðåøåíèå ñèñòåìû (7.28) ïðèâåä¸ì (7.30 ê âèäó
022
322212
211 =+′+′′+′
I
Iyayxaxa . (7.38)
Âçÿâ äàëåå âìåñòî ÏÑÊ yxO ′′′ ñèñòåìó îñåé yxO ′′′′′ , êîòîðàÿ
ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ xO ′ óãîë ϕ , îïðåäåëÿåìûé ñ ïîìîùüþ óðàâíå-íèé (7.32) èëè (7.33), (ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè)
2211
1222
aa
atg
−=ϕ , (7.33)
ïðèâåä¸ì óðàâíåíèå (7.38) ê âèäó
02
322
21 =+′′λ+′′λ
I
Iyx (7.39)
èëè ïîëàãàÿ
2
3
I
Ik = (7.40)
ê âèäó
022
21 =+′′λ+′′λ kyx , (7.41)
ãäå 1λ è 2λ åñòü êîðíè óðàâíåíèÿ
0212 =+λ+λ II . (7.25)
Òàê êàê ïî óñëîâèþ (7.37)
021222112 ≠−= aaaI ,
òî íè îäèí èç êîðíåé 1λ è 2λ íå ðàâåí íóëþ.Ðàññìîòðèì òåïåðü âñåâîçìîæíûå ñëó÷àè êîìáèíàöèè çíà-
êîâ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (7.41).
I. 02
3 ≠=I
Ik , ò.å. 03 ≠I .
À. Ïóñòü 1λ , 2λ è k èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè ( 1λ± , 2λ± , k± ).
198
 ýòîì ñëó÷àå ( )0≠k
022
21 =+′′λ+′′λ kyx (7.41)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
012221 =+′′λ+′′λy
kx
k. (7.42)
Ïîëàãàÿ
21 1
ak=λ
è 22 1
bk=λ
(7.43)
çàïèøåì (7.42) êàê
12
2
2
2
−=′′
+′′
b
y
a
x, - ìíèìûé ýëëèïñ. (7.44)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëèçîâàëñÿ ìíèìûé ýëëèïñ, ò.å. ÷òîáû
1λ è 2λ áûëè îäíîãî çíàêà ñ ó÷¸òîì
0212 =+λ+λ II (7.25)
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ÷òîáû 02 >I , òàê êàê
212 λ⋅λ=I . ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ
2
3
I
Ik =
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó k áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì 3I .Äàëåå, òàê êàê
2122111 λ+λ=+= aaI ,
çíàê ó 1λ è 2λ áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì 1I .Èòàê, ìíèìûé ýëëèïñ õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè:
02 >I , 03 ≠I , 3I è 1I îäíîãî çíàêà.
B. 1λ è 2λ îäíîãî çíàêà ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêó k ( 1λ± , 2λ± , km ).Ïîëàãàÿ â (7.42)
199
21 1
ak−=λ
è 22 1
bk−=λ
(7.45)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó
012
2
2
2
=+′′
−′′
−b
y
a
x
èëè
12
2
2
2
=′′
+′′
b
y
a
x - äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ. (7.46)
 ýòîì ñëó÷àå 0212 >λ⋅λ=I , òàê êàê çíàêè 1λ è 2λ ñîâïàäà-
þò, çíàê 211 λ+λ=I òîæå ñîâïàäàåò ñî çíàêîì 1λ è 2λ , çíàê ó k
ñîâïàäàåò ñî çíàêîì 3I è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó 1I , òîãäà èç
2
3
I
Ik =
ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó 3I ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó 1I .Òàêèì îáðàçîì äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ ðåàëèçóåòñÿ åñëè
02 >I , 03 ≠I , 3I è 1I ðàçíûõ çíàêîâ.
C. 1λ è 2λ èìåþò ðàçíûå çíàêè ( 1λ± , 2λm ), 03 ≠I .
 ýòîì ñëó÷àå 0212 <λ⋅λ=I è ïîëàãàÿ â (7.42)
21 1
akm=λ
è 22 1
bk±=λ
, (7.47)
ïîëó÷èì
12
2
2
2
±=′′
−′′
b
y
a
x - ãèïåðáîëà. (7.48)
Ñëó÷àé ãèïåðáîëû õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè
02 <I , 03 ≠I è, êàê ýòî ñëåäóåò èç (7.25), 01 ≠I .
II. 0=k èëè â ñèëó (7.40) - 03 =I . ýòîì ñëó÷àå (7.41) ïðèìåò âèä
200
022
21 =′′λ+′′λ yx . (7.49)
À. Ïóñòü 1λ è 2λ îäíîãî çíàêà - 02 >I .Ïîëàãàÿ â (7.49)
211 k±=λ è 2
22 k±=λ (7.50)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó
0222
221 =′′+′′ ykxk . (7.51)
Ðàñêëàäûâàÿ (7.51) íà ìíîæèòåëè ïîëó÷èì
( ) ( ) 02121 =′′−′′⋅′′+′′ yikxkyikxk
èëè
021 =′′+′′ yikxk ,
021 =′′−′′ yikxk . (7.52)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.52) åñòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ ìíèìûõ
ñîïðÿæåííûõ ïðÿìûõ - âûðîæäåííûé ýëëèïñ.Ýòîò ñëó÷àé õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè
01 ≠I , 02 >I , 03 =I .
Â. Ïóñòü 1λ è 2λ ðàçíûõ çíàêîâ - 02 <I .Ïîëàãàÿ â (7.49)
211 k±=λ è 2
22 km=λ (7.53)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó
0222
221 =′′−′′ ykxk . (7.54)
Ðàñêëàäûâàÿ (7.54) íà ìíîæèòåëè ïîëó÷èì
( ) ( ) 02121 =′′−′′⋅′′+′′ ykxkykxk
èëè
021 =′′+′′ ykxk ,
021 =′′−′′ ykxk . (7.55)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.55) åñòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ äåéñòâèòåëü-
íûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, êîòîðûå îïðåäåëåíû óñëîâèÿìè
01 ≠I , 02 <I , 03 =I .
201
7.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàáåç îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà
Íàì îñòà¸òñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâ-íåíèÿ (7.3)
0222 3323132
22122
11 =+++++ ayaxayaxyaxa (7.3)
óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ, õàðàêòåðèçóþùåìó ïàðàáîëè÷åñ-êèé òèï ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
021222112 =−= aaaI . (7.56)
 ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû(7.28), èëè âîâñå íå èìååò öåíòðà, èëè èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ.
Íà÷í¸ì ïðåîáðàçîâàíèå (7.3) ñ ïîâîðîòà îñåé, ÷òîáû ïðèâå-ñòè êâàäðàòè÷íóþ ôîðó
22212
211 2 yaxyaxa ++
ê âèäó2
22
1 yx ′λ+′λ .
Äëÿ ýòîãî, êàê ìû óæå çíàåì, íàäî ïîâåðíóòü êîîðäèíàòíûåîñè íà óãîë ϕ , îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì
2211
1222
aa
atg
−=ϕ . (7.33)
Âåëè÷èíû 1λ è 2λ îïðåäåëÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ
02221
1211 =λ−
λ−aa
aa(7.24)
èëè
0212 =+λ−λ II , (7.25)
êîòîðîå â ñèëó (7.56) 02 =I ïðèìåò âèä
012 =λ−λ I . (7.57)
Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïðèíÿòü
01 =λ , 12 I=λ ,â ñèëó ÷åãî óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò âèä
202
022 3323132
1 =+′′+′′+′ ayaxayI . (7.58)
Îòìåòèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ (7.58). Çàìå-
òèì, ÷òî åñëè 011 =a , òî âû ñèëó (7.56) è 012 =a , è óðàâíåíèå (7.3)ñðàçó èìååò âèä (7.58).
Ïóñòü 012 ≠a , òîãäà êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðåîáðà-çîâàòü òàê:
( )=++=++ 222111211
2211
11
22212
211 2
12 yaaxyaaxa
ayaxyaxa
( ) ( )21211
11
22121211
2211
11
12
1yaxa
ayaxyaaxa
a+=++= .
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî èç (7.56) ñëåäóåò2122211 aaa = .
Òåïåðü óðàâíåíèå (7.3) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
( ) 0221
3323132
121111
=++++ ayaxayaxaa . (7.59)
Äëÿ ïðèâåäåíèÿ (7.59) ê âèäó (7.58) äîñòàòî÷íî ïîâåðíóòüîñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû íîâàÿ îñü xO ′ ñîâïàëà ñ ïðÿìîé
01211 =+ yaxa ,èáî â òàêîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü
ykyaxa ′=+ 1211 , (7.60)
ãäå k - íåêîòîðîå ÷èñëî.Ïðè ïîâîðîòå îñåé íà óãîë ϕ (ñì. 4.25) èìååì
ϕ+ϕ−=′ cossin yxy .
Ïîäñòàâëÿÿ y′ â (7.60) ïîëó÷èì
( )ϕ+ϕ−=+ cossin yxkyaxa 1211 ,îòêóäà
ykxkyaxa ⋅ϕ+⋅ϕ−=+ cossin1211 .Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì
203
11ak −=ϕsin , 12ak =ϕcos (7.61)èëè
211
22 ak =ϕsin , 212
22 ak =ϕcos .
Ñêëàäûâàÿ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïîëó-÷èì
( )( ) 111221111
22112112211
212
212
211
222
Iaaaa
aaaaaaaak
=+=
=+===+=ϕ+ϕ
cossin
èëè
1112 Iak = ,
ò.å.
111Iak ±= . (7.62)
Ðàâåíñòâà (7.61) ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü òàê
111
12
Ia
a
±=ϕcos ,
111
11
Ia
a
±−=ϕsin , (7.63)
èëè
22
12
12
11
a
a
a
atg −=−=ϕ , (7.64)
òàê êàê
22
12
2212
212
2212
2211
12
11
a
a
aa
a
aa
aa
a
a === , ãäå 2122211 aaa = .
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (7.33) åñòü ñëåäñòâèå (7.63) è (7.64).Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ϕcos è ϕsin â (7.59) ñ ó÷¸òîì (7.60)
ïîëó÷èì:
022 3323132
11
2
=+′′+′′+′ ayaxaya
k,
à òàê êàê
111Iak ±= , (7.62)
ìû ñðàçó ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (7.58).
204
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.63) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ôîðìó-ëû (7.15) è (7.16) òàê:
111
11231213231313
Ia
aaaaaaa
±−=ϕ+ϕ=′ sincos , (7.65)
111
11131223132323
Ia
aaaaaaa
±+=ϕ−ϕ=′ sincos . (7.66)
Ñîñòàâèì èíâàðèàíò 3I äëÿ óðàâíåíèÿ
022 3323132
1 =+′′+′′+′ ayaxayI . (7.58)
12
13231
1313
332313
231
13
30
0
00
IaaI
aa
aaa
aI
a
I ′−=′′
′−=′′
′′
=
èëè
1
313 I
Ia −±=′ . (7.67)
Çàìåòèì, ÷òî â (7.67) 1I è 3I äîëæíû áûòü ðàçíûõ çíàêîâ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ñëó÷àÿ.
À. 03 ≠I - ïàðàáîëà.
Åñëè 03 ≠I , òî èç (7.67) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî è 013 ≠′a .
Ïóò¸ì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò yxO ′′ â
òî÷êó ( )βα′′ ,O óðàâíåíèå (7.58) ïåðåéä¸ò (ñì. (7.10)) â óðàâíåíèå
022 3323132
1 =′′+′′′′+′′′′+′′ ayaxayI . (7.68)
Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òàêîì ïîäáîðå êîîðäèíàò òî÷êè
( )βα′′ ,O , ÷òîáû òðåòèé ( )23a ′′ è ÷åòâ¸ðòûé ( )33a ′′ êîýôôèöèåíòû â
ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.68) èñ÷åçëè (ñòàëè íóëÿìè).Ïîëàãàÿ
205
α+′′=′ xx ,
β+′′=′ yy ,ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
222 2 β+′′β+′′=′ yyy ,
çàïèøåì (7.58) òàê
022222 33232313132
112
1 =+β′+′′′+α′+′′′+β+′′β+′′ aayaaxaIyIyI .
Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òàê
( ) 02222 3323132
1231132
1 =+β′+α′+β+′′′+β+′′′+′′ aaaIyaIxayI .
Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå
( ) 3323132313323132
1 222 aaaaIaaaI +β′+α′+β′+β=+β′+α′+βïåðåïèøåì åãî òàê
( ) ( ) 0222 332313231231132
1 =+β′+α′+β′+β+′′′+β+′′′+′′ aaaaIyaIxayI .
Ñðàâíèâàÿ ýòî óðàâíåíèå ñ (7.68) èìååì
1313 aa ′=′′ ,
23123 aIa ′+β=′′ ,
( ) 33231323133 2 aaaaIa +β′+α′+β′+β=′′ .
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé 023 =′′a è
033 =′′a , êîîðäèíàòû α è β íàäî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû âûïîëíÿ-ëèñü ðàâåíñòâà
0231 =′+β aI ,
02 332313 =+β′+α′ aaa ,êîòîðûå áóäóò âûïîëíåíû, åñëè ïîëîæèòü
1
23
I
a′−=β ,
′−
′−=α
1
223
33132
1
I
aa
a . (7.69)
Óðàâíåíèå (7.58) ÷åðåç (7.68) ïåðåéä¸ò â
02 132
1 =′′′+′′ xayI , (7.70)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü êàê
xPy ′′=′′ 22 , (7.71)
206
ãäå
1
13
I
aP
′−= .
Ìû âèäèì, ÷òî ïàðàìåòð p ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïàðàáîëû
Pp =
è ïðè 0>P ìû èìååì Pp = , åñëè 0<P ìû ìîæåì âìåñòî x ′′ âçÿòü
x ′′− , ò.å. íàïðàâèòü îñü xO ′′′′ â îáðàòíóþ ñòîðîíó è òîãäà (7.71)ìîæíî çàïèñàòü êàê
xPy ′′−=′′ 22
èëè
xpy ′′=′′ 22 , (7.72)
ãäå 0>−= Pp .Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ P ñ ó÷¸òîì (7.67)
31
3
1
1
3
1
13
I
I
I
I
I
I
aP −=
−±−=
′−= m .
Òîãäà
31
3
I
IPp −+== . (7.73)
Çàìåòèì, ÷òî 31I è 3I , ñòîÿùèå ïîä êîðíåì, èìåþò ðàçíûå
çíàêè.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîâåä¸ííûõ ïðåîáðàçîâàíèé òàêîâ:
1) yxOOxy ′′a - îñü xO ′ áûëà íàïðàâëåíà ïàðàëëåëüíî îñè
ñèììåòðèè ïàðàáîëû ;
2) yxOyxO ′′′′′′′′ a - íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðåíåñåíî â âåðøèíó
ïàðàáîëû ( )βα′′ ,O .
Òàêèì îáðàçîì îñü xO ′′′′ ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáî-
ëû, à íîâîå íà÷àëî êîîðäèíàò ( )βα′′ ,O - âåðøèíîé ïàðàáîëû.
207
Â. 03 =I - ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
 ýòîì ñëó÷àå 013 =′a è óðàâíåíèå (7.58) ïðèíèìàåò âèä
02 33232
1 =+′′+′ ayayI . (7.74)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó ( )βα′′ ,O , ïîëàãàÿ
α+′′=′ xx ,
β+′′=′ yy .Óðàâíåíèå (7.74) â ðåçóëüòàòå òàêîé ïîäñòàíîâêè ïðèìåò âèä
0222 3323232
112
1 =+β′+′′′+β+′′β+′′ aayaIyIyI .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
( ) ( ) 02 33232312312
1 =+β′+′+β+′′′+β+′′ aaaIyaIyI . (7.75)
Ïîëàãàÿ
0231 =′+β aI ,ïîëó÷èì
1
23
I
a′−=β , α - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, íàïðèìåð 0=α . (7.76)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå β â (7.75) ïîëó÷èì
0331
2232
133232
1 =+′
−′′=+β′+′′ aI
ayIaayI .
Ïîëàãàÿ
1
223
33 I
aak
′−= (7.77)
ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òàê
021 =+′′ kyI . (7.78)
ßñíî, ÷òî (7.78) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ
1I
ky −±=′′ .
ïðè ýòîì, åñëè k è 1I îäíîãî çíàêà - ïðÿìûå ìíèìûå, åñëè ðàç-
íûõ äåéñòâèòåëüíûå.
208
7.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïóñòü íàì äàíî óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3)
0222 3323132
22122
11 =+++++ ayaxayaxyaxa . (7.3)
Õàðàêòåð ëèíèè (7.3) öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âå-ëè÷èíàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíâàðèàíòàìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ:
22111 aaI += ; (7.19)
2221
12112 aa
aaI = ; (7.22)
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
I = . (7.23)
Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ìû âñåãäà ìîæåì òàê çàïèñàòü óðàâíåíèå
(7.3), ÷òîáû 22111 aaI += áûëî áîëüøå íóëÿ.Òîãäà:1. Ëèíèÿ (7.3) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïðÿìûå (äåéñòâèòåëüíûå
èëè ìíèìûå) åñëè 03 =I .
2. Íåðàâåíñòâî 02 >I õàðàêòåðèçóåò ýëëèïòè÷åñêèé òèï ëè-íèè (7.3).
3. Íåðàâåíñòâî 02 <I õàðàêòåðèçóåò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèïëèíèè (7.3).
4. Ðàâåíñòâî 02 =I õàðàêòåðèçóåò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï ëè-íèè (7.3).
Ñâåä¸ì ïåðå÷èñëåííûå âûøå èíâàðèàíòû â òàáëèöó.
209
Òàáëèöà 7.1.
1I 2I 3I òèï ëèíèè
0> 0> 0> ìíèìûé ýëëèïñ
0< äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ
0= âûðîæäåííûé ýëëèïñäâå ñîïðÿæåííûå ìíèìûå ïðÿìûå
0> 0< 0≠ ãèïåðáîëà
0= ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ
0> 0= 0≠ ïàðàáîëà
0= ïàðà ïàðàëëåëüíûõäåéñòâèòåëüíûõ èëè ìíèìûõ ïðÿìûõ
14 À.À. Êèðñàíîâ
210
8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà
Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàí-ñòâå, ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Òà-êèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà
( ) 0=yxF , ,óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåò çàäàíî óðàâíåíèåì
( ) 0=zyxF ,, , (8.1)
ãäå ( )zyxF ,, - íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò zyx ,, .Èç-çà îòñóòñòâèÿ âðåìåíè ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì îïè-
ñàíèåì âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.Íà÷í¸ì èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íàèáîëåå
ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (8.1) íå ñîäåðæèòîäíîé èç êîîðäèíàò, ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ýòî áóäåò êîîð-äèíàòà z .
Äîãîâîðèìñÿ, î òîì, ÷òî â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçî-âàòüñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).
8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè
Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè âòî-ðîãî ïîðÿäêà
( ) 0=zyxF ,, , (8.1)
êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1) íå çàâèñèò îò z .  ýòîì ñëó÷àåóðàâíåíèå (8.1) ïðèíèìàåò âèä
( ) 0=yxF , . (8.2)
Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà ( )0000 zyxM ,, ïðèíàäëåæèò ðàññìàò-
ðèâàåìîé íàìè ïîâåðõíîñòè (8.2). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñ êî-
îðäèíàòàìè zyx ,, 00 ïðè ëþáûõ z òîæå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñ-
òè (8.2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âñå òî÷êè âèäà zyx ,, 00 îáðàçóþò ïðÿ-
211
ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè Oxy . Ðàññìîòðèì äâå òî÷-
êè ïîâåðõíîñòè (8.2) - ( )0000 zyxM ,, è ( )zyxM ,, 00 , è ñîñòàâèì óðàâ-
íåíèå ïðÿìîé (5.35)
n
xz
m
yy
l
xx 00000 −=
−=
−
èëè
0xx = , 0yy = . (5.37)
Ìû èìååì ïðÿìóþ ïà-ðàëëåëüíóþ îñè àïïëèêàò -îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì ìûâèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé
( )0000 zyxM ,, íà ïîâåðõíîñ-
òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) èïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó ( )0000 zyxM ,,
ïàðàëëåëüíî îñè Oz .Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõ-
íîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàí-íîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëèöèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþíà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâ-ëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îï-ðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâó-þùåé îñè êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåð-õíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèèêîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1:ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåð-áîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâåäåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûåïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
Ðèñ. 8.1.
( )0000 ,, zyxM
( )zyxM ,,
z
y
x
O
14*
212
Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Òèï [1]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.2) ïðèíàäëå-æàò ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòèèìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
12
2
2
2
=+b
y
a
x, 0>≥ ba . (8.3)
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè öèëèíäðà (8.3),íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåò-ðèè è ïðè ba ≠ äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèì-ìåòðèè íåò.
Òèï [2]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.3) ïðèíàäëåæàòìíèìûå ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñ-òè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
12
2
2
2
−=+b
y
a
x, 0>≥ ba . (8.4)
Ýòî ïîâåðõíîñòè íå èìåþùèå âåùå-ñòâåííûõ òî÷åê.
Òèï [3]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.4) ïðèíàäëåæàòäâå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïåðå-ñåêàþùèåñÿ ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîéïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå âÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
02
2
2
2
=+b
y
a
x, (8.5)
ãäå 0>a , 0>b è, êðîìå òîãî,
11122
=+ba
.
Âåùåñòâåííûå òî÷êè êàæäîé òà-êîé ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþò ïðÿìóþ.
z
y
xO
Ðèñ. 8.2.
z
y
xO
Ðèñ. 8.3.
Ðèñ. 8.4.
z
y
xO
213
Òèï [4]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.5) ïðèíàä-ëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïî-âåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâ-íåíèå âèäà
12
2
2
2
=−b
y
a
x, 0>a , 0>b . (8.6)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hz = ïåðåñåêàåòöèëèíäð (8.6) ïî ãèïåðáîëå, èìåþùåé âÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.6).
Òèï [5]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.6) ïðèíàä-ëåæàò äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþ-ùèåñÿ ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþ-ùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
02
2
2
2
=−b
y
a
x, (8.7)
ãäå 0>a , 0>b è, êðîìå òîãî,
11122
=+ba
.
Òèï [6]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.7) ïðèíàäëå-æàò ïàðàáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñ-òè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
pxy 22 = , 0>p . (8.8)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hz = ïåðåñåêàåòöèëèíäð (8.8) ïî ïàðàáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊOxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.8).
Òèï [7]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.8) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå äåé-ñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå âÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
Ðèñ. 8.6.
z
y
xO
Ðèñ. 8.5.
zy
x
O
Ðèñ. 8.7.
z
y
x
O
214
22 by = , 0>b . (8.9)
Òèï [8]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.9) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå ìíè-ìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåð-õíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
22 by −= , 0>b . (8.10)
Òèï [9]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.10) ïðèíàäëåæàò äâå ñîâïàäàþùèåäåéñòâèòåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz
óðàâíåíèå âèäà
02 =y . (8.11)
8.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà
Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðîéêè ÷èñåë ( )zyx ,, è
( )zyx λλλ ,, , ãäå λ - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîéæå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è, êðîìå òîãî, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëü-íîãî s
( ) ( )zyxFzyxF s ,,,, λ=λλλ . (8.12)
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ F áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíîé ôóíê-öèåé ñòåïåíè s .
Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìóþ â íåêîòîðîé ÏÑÊóðàâíåíèåì âèäà
Ðèñ. 8.8.
z
y
xO
Ðèñ. 8.9.
z
y
xO
Ðèñ. 8.10.
z
y
xO
215
( ) 0=zyxF ,, ,ãäå F - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
åñëè òî÷êà ( ) SzyxM ∈,, , òî ïðè ëþáîì
λ â ñèëó (8.12) òî÷êà ( ) SzyxN ∈λλλ ,, .Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóòêîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà N áó-äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé OM .Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþòî÷êó O , íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿ-ìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà O - âåðøèíîé êî-íóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåð-øèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâ-ëÿþùåé ëèíèåé.
Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12) 2=s ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî
ïîðÿäêà ( ) 0=zyxF ,, .
Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûåêîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìå-þùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
02
2
2
2
2
2
=−+c
z
b
y
a
x, (8.13)
ãäå 0>≥ ba , 0>c , 1111222
=++cba
.
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íà-÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè.
Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ
hz = , ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy . Çäåñü h- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ.8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ
Ðèñ. 8.11.
l N
M
z
y
xO
Ðèñ. 8.12.
z
y
x
O
216
02
2
2
2
2
2
=−+c
h
b
y
a
x, hz = ,
ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü Oxy äà¸òñÿ óðàâíåíèåì
02
2
2
2
2
2
=−+c
h
b
y
a
x èëè 2
2
2
2
2
2
c
h
b
y
a
x =+ .
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà 2
2
c
h ïîëó÷èì
1
2
22
2
2
22
2
=+
c
hb
y
c
ha
x
èëè 12
2
2
2
=′
+′ b
y
a
x,
ãäå hc
aa ⋅=′ , h
c
bb ⋅=′ - ïîëóîñè ýëëèïñà.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ hz =åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè a′ è b′ , ñ öåíòðîì íà îñè Oz . Ëþáîéòàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü ba = ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãî-âîé êîíóñ
02222 =−+ zkyx , (8.14)
ãäå c
ak = .
Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè hz = ,
0≠h , ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè2222 hkyx =+
ðàäèóñà hkR ⋅= ñ öåíòðàìè íà îñè OZ .
Ïëîñêîñòü 0=z ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå O , à ïëîñ-
êîñòè 0=x è 0=y ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì.
Ïëîñêîñòè hx = è hy = ïðè 0≠h ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïîãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè
217
ha
c ⋅ , ha
b ⋅ è hb
c ⋅ , hb
a ⋅ ,
à êîíóñ (8.14) ïî ãèïåðáîëàì ñ ïîëóîñÿìè
ha
c ⋅ , h è hb
c ⋅ , h .
Ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè è íàïðàâëÿþùèìè êîíóñà (8.13) ÿâëÿ-þòñÿ è ïàðàáîëû (ðèñ. 8.13á). Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñ-êîñòüþ
hxa
cz += , ïðè 0≠h .
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå z â (8.13) ïîëó÷èì
02
2
2
2
2
2
=
+
−+c
hxa
c
b
y
a
x
èëè
Ðèñ. 8.13.à á
z
y
x
z
y
x
O O
218
2
2
2
2
2c
hx
ac
h
b
y += ,
èëè
+=
c
hax
ac
hby
22 2 . (8.15)
Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ
âåðøèíîé â òî÷êå
− 0,
c
ha.
Çàìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ïå-ðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) è (8.14) ïëîñêîñòüþñ íåáîëüøèì óãëîì íàêëîíà ê ïëîñêîñòèOxy ìû â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì îêðóæ-íîñòü, à âî âòîðîì (ðèñ. 8.14) ñëó÷àå - ýë-ëèïñ.
Òèï [11]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.15) ïðèíàäëåæàòìíèìûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòèèìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
02
2
2
2
2
2
=++c
z
b
y
a
x,
(8.16)
ãäå 0>≥≥ cba , 1111222
=++cba
.
Åäèíñòâåííîé âåùåñòâåííîé òî÷êîé ìíèìî-
ãî êîíóñà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ( )000 ,,O .
8.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû
Òèï [12]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.16) ïðèíàäëåæàò ýëëèïñîèäû - ïî-âåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
Ðèñ. 8.14.
z
y
x
O
Ðèñ. 8.15.
z
y
x
O
219
12
2
2
2
2
2
=++c
z
b
y
a
x, (8.17)
ãäå 0>≥≥ cba - ïîëóîñè ýëëèïñîèäà.Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿ-þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýë-ëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãîöåíòðîì ñèììåòðèè.
Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a , b è cíàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà.
Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ-ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
axa ≤≤− , byb ≤≤− , czc ≤≤− ,ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè-÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿîãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè.
Ïóñòü 222 cba ≥≥ . Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17)
ñ ïëîñêîñòüþ hz = ïðè ch < . Ïîäñòàâëÿÿ hz = â (8.17) ïîëó÷èì
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x −=+
èëè
1
112
2
2
2
2
2
=
−
+
−
c
hb
y
c
ha
x
. (8.18)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü hz = ïðè ch <
ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1c
ha − , 2
2
1c
hb − ,
êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè 0=h è ìîíîòîííî óáûâàþò
Ðèñ. 8.16.
z
yx
O
220
äî íóëÿ ïðè ch → .
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñåêàÿ ýëëèïñîèä (8.17) ïëîñêîñòÿ-
ìè hy = è hx = ïðè bh > è ah > ìû ïîëó÷èì â ñå÷åíèÿõ ýë-
ëèïñû ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1b
ha − , 2
2
1b
hc −
è
2
2
1a
hb − , 2
2
1a
hc − .
Åñëè â ýëëèïñîèäå (8.17) cba ≠= , òî åãî ïåðåñå÷åíèå ñ ïëîñ-êîñòüþ hz = äàñò íàì îêðóæíîñòü
2
2
2
2
2
2
1c
h
a
y
a
x −=+
ðàäèóñà
22 hcc
arh −= .
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.17) ïîëó÷àåòñÿ âðàùå-íèåì ýëëèïñà
12
2
2
2
=+c
z
a
x, 0=y
âîêðóã îñè Oz . Òàê êàê ac < , òî âðàùåíèå ýëëèïñà ïðîèñõîäèòâîêðóã åãî ìåíüøåé îñè è ìû èìå-åì â ýòîì ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûéñæàòûé ýëëèïñîèä.
Åñëè cba => , òî ñå÷åíèå ýë-ëèïñîèäà ïëîñêîñòüþ hx = äà¸òíàì îêðóæíîñòè
2
2
2
2
2
2
1a
h
b
z
b
y −=+
Ðèñ. 8.17.
z
y
x
221
ðàäèóñà
22 haa
brh −= .
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.18) ïîëó÷àåòñÿ âðàùå-íèåì ýëëèïñà
12
2
2
2
=+b
z
a
x, 0=y
âîêðóã îñè Ox . Ïîëó÷åííûé ýëëèïñîèä íàçîâ¸ì âûòÿíóòûì ýë-ëèïñîèäîì âðàùåíèÿ.
Åñëè cba == ýëëèïñîèä (ðèñ. 8.19) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà a .
Òèï [13]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.20)ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïñîèäû -ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz
óðàâíåíèå âèäà
12
2
2
2
2
2
−=++c
z
b
y
a
x, (8.19)
ãäå 0>≥≥ cba . Îíè âåùåñòâåííûõòî÷åê íå èìåþò.
Òèï [14]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.21) ïðèíàäëåæàò äâóïîëîñòíûå ãè-ïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
Ðèñ. 8.18.
zy
x
Ðèñ. 8.19.
z
yx
O
Ðèñ. 8.20.
z
y
x
O
222
12
2
2
2
2
2
−=−+c
z
b
y
a
x, (8.20)
ãäå 0>≥ ba , 0>c .Âèä óðàâíåíèÿ (8.20) ñðàçó ãîâîðèò î òîì,
÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñ-êîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâ-ëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè äâóïîëîñòíîãî ãè-ïåðáîëîèäà.
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 8.21 ïëîñêîñòü hz =
ïðè ch < íå ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä, ïðè
ch = èìååò ñ ãèïåðáîëîèäîì òî÷êè êàñà-
íèÿ ( )c,,00 è ( )c−,,00 . Ïðè ch > ïëîñêîñòü
hz = ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä (8.20) ïî ýëëèïñó
12
2
2
2
2
2
−=+c
h
b
y
a
x
ñ ïîëóîñÿìè
12
2
−c
ha è 1
2
2
−c
hb ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ êîãäà h âîçðàñòàåò
îò c äî +∞ .Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hy = ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè
ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå
2
2
2
2
2
2
1b
h
a
x
c
z +=−
ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1b
hc + è 2
2
1b
ha + ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è a äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h
Ðèñ. 8.21.
z
y
x
O
223
îò íóëÿ äî +∞ .Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hx = ïåðåñåêàåò íàø ãèïåðáîëîèä ïî ãè-
ïåðáîëå
2
2
2
2
2
2
1a
h
b
y
c
z +=−
ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1a
hc + è 2
2
1a
hb + ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è b äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h
îò íóëÿ äî +∞ .Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà íàìè
ïîëíîñòüþ âûÿñíåíà è ìû âèäèì, ÷òî îí ñîñòîèò äâóõ ñèììåò-ðè÷íûõ ÷àñòåé (ïîë), ðàñïîëîæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ïîëó-ïðîñòðàíñòâàõ cz ≥ è cz −≤ .
Òèï [15]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.22) ïðèíàäëåæàò îäíîïîëîñòíûåãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
12
2
2
2
2
2
=−+c
z
b
y
a
x, (8.21)
ãäå 0>≥ ba , 0>c .Âèä óðàâíåíèÿ (8.21) ñðàçó ãîâîðèò î
òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþò-ñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîð-äèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè îäíîïî-ëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hz = ïåðåñåêàåò(ðèñ. 8.22) îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ïîýëëèïñó
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x +=+
ñ ïîëóîñÿìèÐèñ. 8.22.
z
y
x
224
2
2
1c
ha + è 2
2
1c
hb + ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò a äî +∞ , åñëè h âîçðàñòàåò îò
íóëÿ äî +∞ .Ïðè 0=h ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûé ãîðëîâîé ýëëèïñ
12
2
2
2
=+b
y
a
x. (8.22)
Åñëè ba = ðàññìîòðåííûå âûøå ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíî-ñòÿìè, à ãèïåðáîëîèä (8.21) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáî-ëîèäîì âðàùåíèÿ.
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü hy = ïðè bh < ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâà-
åìûé íàìè îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä (8.21) ïî ãèïåðáîëå
2
2
2
2
2
2
1b
h
c
z
a
x −=− (8.23)
ñ ïîëóîñÿìè
2
2
1b
ha − è 2
2
1b
hc − ,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò a è c äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò
îò íóëÿ äî b .
Ïëîñêîñòü bhy == ïåðåñåêàåò (ðèñ.8.23)
ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä, êàê ýòîñëåäóåò èç (8.23), ïî ïàðå ïðÿìûõ
02
2
2
2
=−c
z
a
x,
à ïðè bh > - ïî ãèïåðáîëå ñ ïîëóîñÿìè
12
2
−b
hc è 1
2
2
−b
ha ,
Ðèñ. 8.23.
225
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ , êîãäà h âîçðàñòàåò
îò b äî +∞ .Ìíèìûå (äåéñòâèòåëüíûå) (ðèñ. 8.24)
îñè ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè bh > ,
ïàðàëëåëüíû äåéñòâèòåëüíûì (ìíèìûì)
îñÿì ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè bh < .
Ñëó÷àé ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäà
(8.21) ïëîñêîñòüþ hx = àíàëîãè÷åí ðàñ-
ñìîòðåííîìó âûøå ïåðåñå÷åíèþ ãèïåðáî-
ëîèäà ñ ïëîñêîñòüþ hy = .
Îäíèì èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îä-íîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ÿâëÿåòñÿ íà-ëè÷èå öåëèêîì íà í¸ì ëåæàùèõ ïðÿìûõ(ñì. ðèñ. 8.23).Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîâåðõíîñòü â ïðî-ñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ l -êðàòíî ëèíåé÷à-òîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ÷åðåç ëþáóþ å¸òî÷êó ïðîõîäèò l è òîëüêî l ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ, öåëèêîì íàíåé ëåæàùèõ. Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþ-ùèìè ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè.
Ñôîðìóëèðóåì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) äëÿ îäíîïîëîñòíîãîãèïåðáîëîèäà (8.21) ñëåäóþùååÏðåäëîæåíèå 8.1. Îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäûëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.
 ïîëüçó ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ñëóæèò òîò ôàêò, ÷òî ïðè ïåðå-
ñå÷åíèè ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòÿìè bhy == è ahx == ìû ïî-
ëó÷àåì ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êàõ ïðèíàäëåæàùèõ ãîðëîâî-ìó ýëëèïñó ïðÿìûõ. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü êàñàòåëüíàÿ êîäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó â òî÷êàõ ãîðëîâîãî ýëëèïñà áóäåòïåðåñåêàòü åãî ïî ïàðå ïðÿìûõ.
Òàêèì îáðàçîì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ìû ìîæåì ïðåäïîëî-æèòü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ îäíîïîëîñòíîãî ãè-
Ðèñ. 8.24.
z
y
x
15 À.À. Êèðñàíîâ
226
ïåðáîëîèäà ïåðåñåêàåò åãî ãîðëîâîé ýëëèïñ.Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ( )000 yxM , ãîðëîâîãî ýë-ëèïñà, èìåþò âèä
tyb
auxx 00 −= ,
txa
buyy 00 += , (8.24)
ctz = ,ãäå 1±=u .
Äâå ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáî-ëîèäà áóäåì íàçûâàòü îäíîèì¸ííûìè, åñëè èì ñîîòâåòñòâóåò îäíîè òî æå çíà÷åíèå u . Òàêèì îáðàçîì âñå îáðàçóþùèå ðàçáèâàþòñÿíà äâà êëàññà, êîòîðûå îáû÷íî íàçûâàþòñÿ ñåìåéñòâàìè ïðÿìî-ëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ãèïåðáîëîèäà (8.21).
Òèï [16]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.25) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå ïà-ðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
zq
y
p
x2
22
=+ , (8.25)
ãäå 0>≥ qp .Âèä óðàâíåíèÿ (8.25) ñðàçó ãîâî-
ðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêî-ñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèèýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Ïðè
qp ≠ äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèèó íåãî íåò.
Ïëîñêîñòü hz = ïðè 0<h íåïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä, ïðè 0=hèìååò ñ ïàðàáîëîèäîì åäèíñòâåí-
íóþ îáùóþ òî÷êó ( )000 ,,O è ïðè
0>h ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä ïî ýë-Ðèñ. 8.25.
z
y
xO
227
ëèïñó
hq
y
p
x2
22
=+
ñ ïîëóîñÿìè
hp2 è hq2 ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ .
Ïëîñêîñòè hy = è hx = ïåðåñåêàþò íàø ïàðàáîëîèä ïî ïà-ðàáîëàì ñ ôîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè p è q , ñ âåðøèíàìè ñîîò-âåòñòâåííî â òî÷êàõ
q
hh
20
2
, , è
p
hh
20
2
, ,
è ñ ðîãàìè íàïðàâëåííûìè â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ z .
Òèï [17]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.26) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèåïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
zq
y
p
x2
22
=− , (8.26)
ãäå 0>p , 0>q .Âèä óðàâíåíèÿ (8.26) ñðàçó ãî-
âîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûåïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìèñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáî-ëîèäà. Äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåò-ðèè ó íåãî íåò.
Èç âñåõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãîïîðÿäêà ýòî ñàìàÿ òðóäíàÿ äëÿïðåäñòàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòü.
Ïëîñêîñòü hz = ïðè 0<h ïå-ðåñåêàåò ïàðàáîëîèä (8.26) ïî ãèïåðáîëå
hq
y
p
x2
22
−=−
Ðèñ. 8.26.
z
y
x
O
15*
228
èëè
122
22
=−hp
x
hq
y
ñ ïîëóîñÿìè
hq2− è hp2− ,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò +∞ äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò−∞ äî íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè
Ox , à ìíèìàÿ - îñè Oy .Ïðè 0=h ïëîñêîñòü 0=z ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè-
÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ
022
=−q
y
p
x.
Ïðè 0>h ïëîñêîñòü hz = ïåðå-ñåêàåò íàø ïàðàáîëîèä ïî ãèïåðáî-ëàì
hq
y
p
x2
22
=−
ñ ïîëóîñÿìè
hp2 è hq2 ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Äåé-
ñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Oy , à ìíè-ìàÿ - îñè Ox .
Ïëîñêîñòü hy = ïðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïîïàðàáîëå
q
hz
p
x 22
2 +=
èëè
Ðèñ. 8.27.
z y
xO
229
+=
q
hzpx
22
22
ñ ïàðàìåòðîì p è âåðøèíàìè
−
q
hh
20
2
, , , íàïðàâëåííîé ðîãàìè
ââåðõ.Ïëîñêîñòü hx = ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî
ïàðàáîëå
p
hz
q
y 22
2 +−=
èëè
−−=
p
hzqy
22
22
ñ ïàðàìåòðîì q , âåðøèíàìè
p
hh
20
2
, , , íàïðàâëåííîé ðîãàìè âíèç.
Ïëîñêîñòè 0=y è 0=x ïåðåñåêàþò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðà-áîëîèä ïî ãëàâíûì ïàðàáîëàì:
íåïîäâèæíîé ïàðàáîëå
pzx 22 = , 0=y (8.27)
è ïîäâèæíîé ïàðàáîëå
qzy 22 −= , 0=x , (8.28)
îáðàù¸ííûå ðîãàìè â ðàçíûå ñòîðîíû.
Ïðåäëîæåíèå 8.2. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæ-äû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè 0=h ïëîñêîñòü 0=z ïåðåñåêàåò(ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ
022
=−q
y
p
x
230
èëè
0=
−⋅
+
q
y
p
x
q
y
p
x. (8.29)
Ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðà-çóþùàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) ïåðåñåêàåò ïëîñ-êîñòü 0=z èëè ðàñïîëîæåíà â íåé.
Ïóñòü ( )0000 ,, zyxM - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêî-
ãî ïàðàáîëîèäà (8.26) è ïóñòü ïðÿìàÿ
tlxx += 0 ,
tmyy += 0 ,
tnzz += 0 ,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó 0M , öåëèêîì ëåæèò íà ïàðàáîëîèäå.
Êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòüóðàâíåíèþ (8.26)
( ) ( ) ( )tnzq
tmy
p
tlx +=+−+0
20
20 2 ,
êîòîðîå ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâìîæíî çàïèñàòü òàê
02 0022
2 =
−−+
− n
q
my
p
lxt
q
m
p
lt .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè
022
=−q
m
p
l(8.30)
è
000 =−− nq
my
p
lx. (8.31)
Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
231
λ==qu
m
p
l, ( 1±=u )
èëè
qupml :: = .
Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ
pl λ= è qum λ= ,
ïîëó÷èì
nq
yu
p
x =
−λ 00
,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè(8.30) è (8.31) èìåþò äâà è òîëüêî äâà ðåøåíèÿ:
−=
q
yu
p
xqupnml 00:::: .
Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äâå ïðÿ-ìûå ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè
pl = ,
qum= ,
q
yu
p
xn 00 −=
öåëèêîì ëåæàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîì ïàðàáîëîèäå (8.26). Ïðÿìûå
ñ 1=u îáðàçóþò îäíî ñåìåé-ñòâî îáðàçóþùèõ (ðèñ. 8.28), à
ñ 1−=u - äðóãîå. çàêëþ÷åíèå ìû ìîæåì
ñêàçàòü, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ ïî-âåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêàïîëíîñòüþ èñ÷åðïûâàåòñÿ ïå-
Ðèñ. 8.28.
232
ðå÷èñëåííûìè ñåìíàäöàòüþ òèïàìè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿä-êà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íè äëÿ îäíîé ïîâåðõíîñòè íå ñó-ùåñòâóåò äâóõ ÏÑÊ, â êîòîðûõ îíà èìåëà áû ðàçëè÷íûå óðàâíå-íèÿ ýòèõ òèïîâ.
Òàêèì îáðàçîì âñå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñ÷åðïûâà-þòñÿ1) ýëëèïñîèäàìè (äåéñòâèòåëüíûìè [12] è ìíèìûìè [13]) ,2) ãèïåðáîëîèäàìè (îäíîïîëîñòíûìè [15] è äâóïîëîñòíûìè [14]),3) ïàðàáîëîèäàìè (ýëëèïòè÷åñêèìè [16] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [17]),4) êîíóñàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè [10] ìíèìûìè [11]),5) öèëèíäðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè ýëëèïòè÷åñêè-ìè [1] è ìíèìûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [2], ïàðàáîëè÷åñêèìè [6] è ãè-ïåðáîëè÷åñêèìè [4]),6) ïàðàìè ïëîñêîñòåé (äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [5], ìíè-ìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [3] è äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ è ðàç-ëè÷íûõ [7], ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ [8], äåéñòâèòåëüíûõ ñîâïàäà-þùèõ [9]).
233
Ëèòåðàòóðà
1. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîéàëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1979.2. Áåêëåìèøåâ Ä.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîéàëãåáðû. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2000.3. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèêçàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íà-óêà, 1987.4. Áîðåâè÷ Ç.È. Îïðåäåëèòåëè è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1970.5. Âåðíåð À.Ë., Êàíòîð Á.Å., Ôðàíãóëîâ Ñ.À. Ãåîìåòðèÿ, ÷.1., ÷.2.- ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1997.6. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæíåíèÿõ èçàäà÷àõ. ×. I. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967.7. Åôèìîâ Í.Â. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1967.8. Åôèìîâ Í.Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. - Ì.:Ïðîñâåùåíèå, 1969.9. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåð-íàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1970.10. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåéàëãåáðå. Ë.: Èçäàòåëüñòâî ËÃÓ, 1986.11. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íà-óêà, 1968.12. Êèðñàíîâ À.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.Ìàòðèöû. Äåòåðìèíàíòû. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïñêîâ:ÏÃÏÈ, 2002.13. Êèðñàíîâ À.À. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002.14. Ëàïòåâ Ã.Ô. Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà,1975.15. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ìèðå. Ì.: Ìèð, 1967.16. Ìèëîâàíîâ Ì.Â. è äð. Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåò-ðèÿ. × 1. Ìí.: Àìàëôåÿ, 2001.17. Ìîäåíîâ Ï.Ñ., Ïàðõîìåíêî À.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè-÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1976.
234
18. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Âûñ-øàÿ øêîëà, 1967.19. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð I. Àíàëèòè-÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1986.20. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Ïîä ðåä. Â.Ò. Áàçûëåâà. Ì.:Ïðîñâåùåíèå, 1980.21. Øèëîâ Ã.Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Êîíå÷íîìåðíûå ëèíåé-íûå ïðîñòðàíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1969.
Ê 435
Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷Êèðñàíîâ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈßÈ
ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
I ñåìåñòð
(êóðñ ëåêöèé)
Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà.Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 24.07.2003 ã. Ôîðìàò 60õ90/16.
Îáúåì èçäàíèÿ: 14,75 ó.ï.ë. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹ .
Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà,180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2.
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà,180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.
9 7 8 5 8 7 8 5 4 2 7 3 9
ISBN 5 -87854-273 -0